第8講特殊平行四邊形單元整體分類總復(fù)習(xí)

考點一矩形的判定與性質(zhì)

知識點睛：

1.矩形的判定方法：

①有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

②有三個角是直角的四邊形是矩形；

③四個角都相等的四邊形是矩形；

④對角線相等的平行四邊形是矩形；

⑤對角線相等且互相平分的四邊形是矩形.

2.矩形的性質(zhì)

①矩形的對邊平行且相等；

②矩形的四個角都是直角；

③矩形的對角線相等且互相平分；

④矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。

類題訓(xùn)練

1.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.對邊相等B.對角相等

C.對角線相等D.對角線互相平分

【分析】矩形的對角線互相平分且相等，而平行四邊形的對角線互相平分，不一定相等.

【解答】解：矩形的對角線相等，而平行四邊形的對角線不一定相等.

故選：C.

2.如圖，已知點P是矩形ABCD內(nèi)一點（不含邊界），設(shè)ZPBA=02,ZPCB

=03,ZPDC=Q4,若NAPB=80°,ZCPD=50°，貝！J()

A.(01+04)-(02+03)=30°B.(02+04)-(01+03)=40°

C.(01+02)-(03+04)=70°D.(91+02)+(03+04)=180°

【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，可得02-01=10°,04-03=40°,

兩式相減即可得到(01+04)-(02+03)=30°.

【解答】解：???矩形ABCD,

:./BAD=NBCD=9Q°,

4P=90°-0i,ZZ)CP=90°-03,

.?.△ABP中，90°-01+02+80°=180°,即02-31=10°,①

△DCP中，90°-03+04+50°=180°,即。4-例=40°,②

由②-①，可得(。4-。3)-(02-01)—30°,

即(01+04)-(02+03)=30°,

故選：A.

3.如圖，在矩形ABC。中，AB=6,BC=8,過對角線交點。作EFLAC交于點E,交

A.1B.工C.2D.衛(wèi)

45

【分析】連接CE,由矩形的性質(zhì)得出/AOC=90°,CD=AB=6,AD=BC=8,OA=

OC,由線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=CE,設(shè)。E=x,貝！JCE=4E=8-X,在Rt/XCQE

中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【解答】解：連接CE,如圖所示：

:四邊形A8CD是矩形，

AZAZ)C=90°,CD=AB=6,AD=BC^8,OA=OC,

"：EFLAC,

：.AE^CE,

設(shè)DE=x,則CE=AE=8-x,

在RtACDE中，由勾股定理得：X2+62=(8-x)2,

解得：尸工，

4

即OE=工；

4

故選：B.

4.如圖，點尸是矩形ABCD的對角線AC上一點，過點尸作跖〃5C,分別交A3,。。于

E、F,連接尸5、PD.若AE=2,PF=S.則圖中陰影部分的面積為()

A.10B.12C.16D.18

【分析】想辦法證明S△尸硬解答即可.

【解答】解：作于交3C于N.

則有四邊形AEPM,四邊形四邊形CFPN,四邊形3EPN都是矩形，

:?SAADC=SAABC,SAAMP=S^AEP,SAPBE=5APBN,SAPFD=S^PDM,SAPFC=S^PCN，

S^DFP=S^PBE=AX2X8=8,

2

???S陰=8+8=16,

（本題也可以證明兩個陰影部分的面積相等，由此解決問題）

故選：C.

5.如圖，在矩形ABC。中，AB=2,BC=3.若點石是邊CD的中點，連接AE,過點5作

BFLAE交AE于點F,則BF的長為（）

C

ASVIUB

C.D.

2555

【分析】根據(jù)SAABE=^S矩形ABCD=3=-1"AE'BF,先求出AE,再求出即可.

22

【解答】解：如圖，連接BE.

二

BC

?.?四邊形ABC。是矩形，

.,.AB=CD=2,2C=A￡>=3,NZ）=90°,

在RtAADE中，AE=JAD2+DE?=4/十仔=yflQ，

S^ABE=—S矩形ABCD=3=L?AE?BF,

22

.?.2尸=冬叵.

5

故選：B.

6.如圖所示，矩形48CD中，AE平分交BC于E,ZCA￡=15°,則下面的結(jié)論:

①△ODC是等邊三角形；②BC=2AB；③NAOE=135°；@SAAOE=S^COE,

其中正確結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)求出0￡>=0C,根據(jù)角求出/。。。=60°即可得出三角形DOC

是等邊三角形，求出AC=2AB,即可判斷②，求出NBOE=75°,ZAOB=60°,相加

即可求出/AOE,根據(jù)等底等高的三角形面積相等得出S&AOE=SACOE.

【解答】解：：四邊形ABC。是矩形，

：.ZBAD=90°,OA=OC,OD=OB,AC=BD,

：.OA=OD=OC=OB,

平分/BA。，

；.ND4E=45°,

VZCA￡=15°,

：.ZDAC=30°,

'：OA^OD,

：.ZODA=ZDAC=30°,

AZDOC=60°,

'：OD=OC,

.?.△OOC是等邊三角形，.?.①正確；

?.?四邊形ABCD是矩形，

：.AD//BC,ZABC=90°

：.ZDAC=ZACB=30°,

.AC=2AB,

'：AC>BC,

：.2AB>BC,.?.②錯誤；

'：AD//BC,

：.ZDBC=ZADB=3>0°,

平分NZMB,ZDAB=90°,

：.ZDAE=ZBAE=45°,

'：AD//BC,

：.ZDAE=NAEB,

：.ZAEB=ZBAE,

：.AB=BE,

:四邊形ABC。是矩形，

AZDOC=60°,DC=AB,

?：ADOC是等邊三角形，

：.DC=OD,

:.BE=BO,

：.ZBOE=ZBEO=1.(180°-NOBE)=75°,

2

VZAOB=ZDOC=60Q,

AZAOE=6Q°+75°=135°,.,.③正確；

'：OA=OC,

???根據(jù)等底等高的三角形面積相等得出S?OE=5ACOE,.?.④正確;

故選：C.

7.如圖，在矩形ABC。中，AB=3,對角線AC,8。相交于點O,AE垂直平分08于點E,

則AD的長為

【分析】由矩形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)證出OA=A2=OB=3,得出BD=2OB

=6,由勾股定理求出即可.

【解答】解：???四邊形ABCD是矩形，

：?OB=OD,OA=OCfAC=BDf

:?OA=OB,

TAE垂直平分OB,

：.AB=AO,

：.OA=AB=OB=3f

：.BD=2OB=69

?'-A￡)=VBD2-AB2=V62-32=3^;

故答案為：3A/§.

8.如圖，尸是矩形ABC。的邊A。上一個動點，矩形的兩條邊A3、BC的長分別為6和8,

那么點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是.

【分析】首先連接。尸，由矩形的兩條邊A3、RC的長分別為6和8,可求得。4=0。=

5,△A。。的面積，然后由以40D=%A0P+S30P=1O4?PE+L?O?PP求得答案.

22

【解答】解：連接0P,

?.?矩形的兩條邊A3、BC的長分別為6和8,

矩形ABCD=AB?8C=48,OA=0C,OB=OD,AC—BD=J^2^Q2=10,

：.OA=OD=5,

S/\,ACD=-5矩形ABCD=24,

2

S^AOD=—SAACD=12,

2

,?SAAOD=S^AOP+SADOP=^OA?PE+^OD-PF=X5XPE+kX5XPF=5(PE+PF)

22222

=12,

解得：PE+PF=4.8.

故答案為：4.8.

9.如圖是一張長方形紙片ABCD,已知A8=8,AD=1,E為A8上一點，AE=5,現(xiàn)要剪

下一張等腰三角形紙片（△>!￡2），使點P落在長方形ABC。的某一條邊上，則等腰三角

【分析】分情況討論：①當(dāng)AP=AE=5時，則△AEP是等腰直角三角形，得出底邊PE

=調(diào)4片=5加即可；

②當(dāng)1PE=AE=5時，求出BE,由勾股定理求出尸止，再由勾股定理求出等邊AP1即可;

③當(dāng)P2A=P2E時，底邊AE=5；即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖所示：

①當(dāng)AP=AE=5時，

VZBAD=90°,

...△AEP是等腰直角三角形，

底邊PE=QE=5近,

②當(dāng)尸1E=AE=5時，

：BE=A2-AE=8-5=3,N2=90°,

'?PlB=yj_J2=4,

底邊APi=Ng2+42=4，^；

③當(dāng)尸2A=P2E時，底邊AE=5；

綜上所述：等腰二角形AEP的底邊長為5加或4立或5；

故答案為：5加或4加或5.

10.（南關(guān)區(qū)校級期末）矩形ABC。與矩形CEfG如圖放置，點、B、C、E共線，點C、D、

G共線，連接AR取AF的中點H,連接G”.若8c=EF=3,CZ）=CE=1,則GH=

【分析】延長G8交AD于M點，由矩形的性質(zhì)得出CD=CE=FG=1,BC=EF=CG

=3,BE//AD//FG,推出QG=CG-CO=2,ZHAM=ZHFG,由ASA證得四

/\FGH,得出AM=PG=1,MH=GH,則在RtZiA?G中，根據(jù)勾

股定理得到GM,即可得出結(jié)果.

【解答】解：延長GH交于M點，如圖所示：

?/四邊形ABCD與四邊形CEFG都是矩形，

：.CD=CE=FG=1,BC=EF=CG=3,BE//AD//FG,

：.DG=CG-CD=3-1=2,ZHAM=ZHFG,

的中點H,

：.AH=FH,

在△AM/和△尸GH中，

，ZHAM=ZHFG

-AH=FH，

ZAHM=ZFHG

:.△AMH2AFGH(ASA).

：.AM=FG=1,MH=GH,

：.MD=AD-AM=3,-1=2,

在RtAMDG中，GM={MD2+DG?=?22+22=,

:.GH=LGM=五,

2

故答案為：V2-

11.（婺城區(qū)期末）陳師傅應(yīng)客戶要求加工4個長為40"、寬為3c7〃的矩形零件.在交付客

戶之前，陳師傅需要對4個零件進(jìn)行檢測.根據(jù)零件的檢測結(jié)果，圖中有可能不合格的

【分析】根據(jù)矩形的判定定理有：（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；（2）有三

個角是直角的四邊形是矩形；（3）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形.

【解答】解：4有一個角是直角的平行四邊形是矩形，能判定矩形，不符合題意；

8、其中四邊形中三個角都為直角，能判定矩形，不符合題意；

C、對角相等的四邊形不一定是矩形，不能判定形狀，符合題意；

一組對邊平行且相等，能判定平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形，則

能判定矩形，不符合題意.

故選：C.

12.如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，兩條對角線交于點。，下列條件中，不能判定平

行四邊形A8CZ）為矩形的是（）

A.NABC=/BCDB./ABC=/ADCC.AO^BOD.AO^DO

【分析】利用矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)對各個選項進(jìn)行逐一判斷即可.

【解答】解：A、：四邊形ABC。是平行四邊形，

J.AB//CD,

ZABC+ZBCD=1SO°,

'：ZABC=ZBCD,

：.ZABC=90°,

平行四邊形A2CD為矩形，故選項A不符合題意；

2、：四邊形ABCD是平行四邊形，

ZABC=ZADC,

不能判定平行四邊形ABC。為矩形，故選項B符合題意；

C、：四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AO=CO=^AC,BO=DO=^BD,

22

'：AO=BO,

：.AC=BD,

平行四邊形ABC。為矩形，故選項C不符合題意；

D、:四邊形ABC。是平行四邊形,

/.AO=CO=AAC,BO^DO=1BD,

22

\'AO=DO,

：.AC=BD,

.??平行四邊形ABC。為矩形，故選項。不符合題意；

故選：B.

13.如圖，順次連接四邊形A2CD各邊中點得四邊形EFGH要使四邊形斯G8為矩形,

應(yīng)添加的條件是（）

A.AB//DCB.AC=BDC.AC±BDD.AB^DC

【分析】根據(jù)矩形的判定定理（有一個角為直角的平行四邊形是矩形）.先證四邊形EFGH

是平行四邊形，要使四邊形EFG8為矩形，需要NEFG=90度.由此推出ACL2D

【解答】解：依題意得，四邊形EFG”是由四邊形ABCQ各邊中點連接而成，

連接AC、BD,^LEF//AC//HG,EH//BD//FG,

所以四邊形EFGH是平行四邊形，

要使四邊形EFGH為矩形，

根據(jù)矩形的判定（有一個角為直角的平行四邊形是矩形）

故當(dāng)AC_L8￡＞時，NEFG=NEHG=90度.四邊形E/GH為矩形.

故選：C.

14.如圖，在四邊形中，/B=/C.點、E、F、G分別在邊42、BC、CD上，AE=

GF=GC.

（1）求證：四邊形AEPG是平行四邊形；

（2）當(dāng)/尸GC與滿足怎樣的關(guān)系時，四邊形AEFG是矩形.請說明理由.

A

BFC

【分析】(1)要證明該四邊形是平行四邊形，只需證明AE〃/G.根據(jù)對邊對等角NGFC

=NC,和等腰梯形的性質(zhì)得到則/B=NGFC,得到AE〃尸G.

(2)在平行四邊形的基礎(chǔ)上要證明是矩形，只需證明有一個角是直角.根據(jù)三角形FGC

的內(nèi)角和是180°,結(jié)合NBGC=2NEFB和/GPC=/C,得至lJ/BFE+GPC=90°.則

NEFG=90°,于是得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：在梯形ABCD中，AB=DC,/B=NC,

:GF=GC,

：.ZC=ZGFC,ZB=ZGFC,

J.AB//GF,BPAE//GF,

；AE=GF,

/.四邊形AEFG是平行四邊形.

(2)解：當(dāng)/PGC=2NEF8時，四邊形AEBG是矩形，

理由：,/ZFGC+ZGFC+ZC=180°,NGFC=/C,NFGC=2NEFB,

.\2ZGFC+2Z￡FB=180°,

AZBFE+ZGFC=90°.

：.ZEFG=9Q°.

■：四邊形AEFG是平行四邊形，

四邊形AEPG是矩形.

15.如圖，在口ABC。中，對角線AC與8。相交于點。，點E,尸分別為。2,。。的中點，

延長AE至G,使EG=AE,連接CG.

(1)求證：AABE^ACDF；

(2)當(dāng)48與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形EGCF是矩形？請說明理由.

D

o

G

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD,AB//CD,OB=OD,OA^OC,由平

行線的性質(zhì)得出/CDF,證出BE=DF,由SAS證明/即可；

(2)證出AB=OA,由等腰三角形的性質(zhì)得出AGLOB,ZOEG=90°,同理：CFL

0D,得出EG〃CR證出EG=CR得出四邊形EGCP是平行四邊形，即可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：???四邊形48。是平行四邊形，

C.AB^CD,AB//CD,OB=OD,OA^OC,

：.NABE=/CDF,

:點E,尸分別為。分的中點，

：.BE^1.0B,DF=LOD,

22

：.BE=DF,

在△ABE和△CDF中，

'AB=CD

<NABE=/CDF，

BE=DF

.'.△ABEqLCDF(SAS)；

(2)解：當(dāng)AC=2A2時，四邊形EGCP是矩形；理由如下：

'：AC=2OA,AC=2AB,

：.AB=OA,

是08的中點，

：.AG±OB,

：.ZOEG=9Q°,

同理：CF±OD,

J.AG//CF,

J.EG//CF,

由(1)得：ZXABE絲△CQF,

：.AE=CF,

\"EG=AE,

：.EG=CF,

.?.四邊形EGCF是平行四邊形,

；/OEG=90°,

四邊形EGCF是矩形.

考點二菱形的判定與性質(zhì)

知識點睛：

1.菱形的判定方法：

①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

②四條邊相等的四邊形是菱形；

③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

④對角線互相垂直平分的四邊形是菱形。

2.菱形的性質(zhì)

①菱形的四條邊都相等；

②菱形的對角線互相垂直平分且每條對角線平分一組對角；

③菱形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；

③菱形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

④菱形的面積等于對角線乘積的一半。

3.應(yīng)熟練掌握菱形在邊、角、對角線等方面的性質(zhì)，菱形的問題經(jīng)?？赊D(zhuǎn)化為直角

三角形的問題。

類題訓(xùn)練

1.如圖，在的兩邊上分別截取。4、。3,使。4=。3；分別以點A、B為圓心，0A

長為半徑作弧，兩弧交于點C；連接AC、BC、AB,0C.若A2=2c〃z,四邊形。4cB的

【分析】根據(jù)作法判定出四邊形。4cB是菱形，再根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一

半列式計算即可得解.

【解答】解：根據(jù)作圖，AC^BC^OA,

'：OA=OB,

：.OA=OB=BC=AC,

.?.四邊形。4cB是菱形，

'：AB=2cm,四邊形OACB的面積為4cm2,

AAB?0C=■1X2X0C=4,

22

解得0C=4MI.

故選：C.

2.如圖，平行四邊形ABC。中，NA=HO°,AD^DC.E,歹分別是邊AB和BC的中點,

EP_LCD于點P,則()

A.35°B.45°C.50°D.55°

【分析】先判定四邊形ABC。為菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得到/BE尸的度數(shù)，再根

據(jù)/尸即=90°,即可得出/PEF的度數(shù).

【解答】解：：平行四邊形ABC。中，A￡)=￡)C,

...四邊形A8CD為菱形，

：.AB=BC,ZABC=180°-ZA=70°,

■:E,尸分別為AB,BC的中點，

:.BE=BF,NBEF=NBFE=55°,

'：PE±CD,AB//CD,

：.PE±AB,

：.ZPEB^90°,

:.NPEF=90°-55°=35°,

故選：A.

3.如圖，兩把完全一樣的直尺疊放在一起，重合的部分構(gòu)成一個四邊形，這個四邊形一定

是，依據(jù)是.

【分析】過點D作DELAB于E,DFLBC于F,由條件可知AB//CD,AD//BC.DE

=DF,再由平行四邊形的面積求得即可解決問題.

【解答】解：過點。作于E,DFLBC于尸，如圖所示：

???兩把完全一樣的直尺疊放在一起，

.'.AB//CD,AD//BC,兩把直尺的寬度相等，

四邊形ABCD是平行四邊形，DE=DF,

又：平行四邊形ABCD的面積=AB?Z）E=8C?。凡

：.AB=BC,

平行四邊形ABC。為菱形，

故答案為：菱形，鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

4.（饒平縣校級期中）如圖，由兩個長為9,寬為3的全等矩形疊合而得到四邊形A8C。（不

完全重合），則四邊形A3CD面積的最大值是（）

【分析】首先根據(jù)圖1,證明四邊形A2CD是菱形；然后判斷出菱形的一條對角線為矩

形的對角線時，四邊形ABC。的面積最大，如圖2,設(shè)AB=BC=無，則BE=9-x,利用

勾股定理求出x的值，即可求出四邊形ABCD面積的最大值是多少.

【解答】解：如圖1,作于E,APLCO于E

D

E

圖1,

^ADZ/BC,AB//CD,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

???兩個矩形的寬都是3,

.\AE=AF=3,

VS四邊形

:?BC=CD,

平行四邊形ABC。是菱形.

如圖2,當(dāng)菱形的一條對角線為矩形的對角線時，四邊形ABC。的面積最大,

^AB^BC=x,貝l|BE=9-尤，

VBC2=BE2+C￡2,

.'.x2=(9-x)2+32,

解得x=5,

四邊形ABCD面積的最大值是:

5X3=15.

故選：A.

5.（棗莊）如圖，四邊形ABC。是菱形，AC=8,DB=6,。//_LAB于則。燈等于（

D

E

A.24B.12C.5D.4

55

【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)求出AO=4,。8=3,ZAOB=90°,根據(jù)勾股定理求出AB,再

根據(jù)菱形的面積公式求出即可.

【解答】解：設(shè)AC交8。于。

:四邊形ABC。是菱形，

：.AO=OC,BO=OD,AC±BD,

：AC=8,DB=6,

Dr

：.AO=4,OB=3,/AOB=90°,

由勾股定理得：AB=^22+^2=5,

,-,S菱形ABCD=/XACxBD=ABxDE

.1

?--|-X8X6=5XDH>

:.DH=2^,

5

故選：A.

6.（中山市校級月考）如圖，口ABC。中,對角線AC、8。相交于點。，AD^XAC,M、N、

2

P分別是04、OB、CD的中點,下列結(jié)論:

?CN±BD；

②MN=NP；

③四邊形MNCP是菱形；

④ND平分/PNM.

其中正確的有（）

DBS

AB

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】證出OC=BC,由等腰三角形的性質(zhì)得CN工BD,①正確；證出MN是4A0B

的中位線，得MN〃AB,MN=LAB,由直角三角形的性質(zhì)得NP=LC￡),貝l|MN=NP,

22

②正確；周長四邊形MNCP是平行四邊形，無法證明四邊形MNCP是菱形；③錯誤；由

平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證出則ND平分NPNM,④正確；

即可得出結(jié)論.

【解答】解：：四邊形ABCD是平行四邊形，

C.AB^CD,AB//CD,BC^AD,OA=OC=Lc,

2

VAD=AAC,

2

OC=BC,

是02的中點，

：.CN±BD,①正確；

N分別是。4、。8的中點，

MN是△AOB的中位線，

C.MN//AB,MN=LAB,

2

■:CN1BD,

：.ZCND=90°,

是C￡＞的中點，

:.NP=Aco=PD=PC,

2

：.MN=NP,②正確；

"：MN//AB,AB//CD,

：.MN//CD,

又,:NP=PC,MN=NP,

：.MN=PC,

四邊形MNCP是平行四邊形，無法證明四邊形MNCP是菱形；③錯誤；

'JMN//CD,

：.ZPDN=ZMND,

:NP=PD,

Z.ZPDN=ZPND,

：.ZMND=ZPND,

:.ND平分NPNM,④正確；

正確的個數(shù)有3個，

故選：C.

7.如圖，四邊形ABC。是菱形，對角線AC、2。相交于點。，DH_LAB于H,連接。/,

(1)求證：ZDHO=ZDCO.

(2)若0C=4,BD=6,求菱形ABC。的周長和面積.

【分析】(1)由菱形的性質(zhì)得。。=。8,AB//CD,BDLAC,再由直角三角形斜邊上的

中線性質(zhì)得08=0￡?,然后由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(2)由菱形的性質(zhì)得。。=。2=[3。=3,0A=0C=4,BD±AC,再由勾股定理得CD

2

=5,然后由菱形的性質(zhì)和面積公式求菱形ABC。的周長和面積即可.

【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是菱形，

：.OD=OB,AB//CD,BDLAC,

\'DH1AB,

：.DH±CD,

；.NDHB=90°,

OH=ABD=OD=OB,

2

：.ZODH=ZDHO,

'：DH±CD,

：.ZODH+ZODC=90°,

'：BD±AC,

：.ZODC+ZDCO=90°,

：.ZODH=ZDCO,

：.ZDHO=ZDCO；

(2)解：：四邊形ABC。是菱形,

：.AB=BC=CD^AD,0D=0B=、BD=3,OA=OC=4,BDLAC,

2

：.AC=2OC=4,ZCO￡>=90°,

在Rt^OCZ)中，由勾股定理得：CD=7OD2-H3C2=VS2+42=5)

菱形ABC。的周長=4C￡)=20,

菱形ABCD的面積=』8￡>><AC=]><6X8=24.

22

8.(易門縣二模)如圖，在平行四邊形ABC。中，/BAQ的平分線交3C于點E,交。C的

延長線于R以EC、CP為鄰邊作平行四邊形ECFG,如圖1所示.

(1)證明平行四邊形ECFG是菱形；

(2)若NABC=120°,連接BG、CG、DG,如圖2所示，

①求證：△DG8ABGE；

②求/BOG的度數(shù).

(3)若N4BC=90°,AB=8,AD=14,M是EP的中點，如圖3所示，求DM的長.

【分析】(1)平行四邊形的性質(zhì)可得AD〃BC,AB//CD,再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明NCEF

=/CFE,根據(jù)等角對等邊可得CE=CR再有條件四邊形ECFG是平行四邊形，可得

四邊形ECTG為菱形，即可解決問題；

(2)先判斷出/8EG=120°=/DCG,再判斷出AB=BE,進(jìn)而得出BE=CD,即可判

斷出ABEG0△DCG(SAS),再判斷出/CGE=60°,進(jìn)而得出△BAG是等邊三角形，

即可得出結(jié)論；

(3)首先證明四邊形以才'G為正方形，再證明可得。ZDMC

=/BME,再根據(jù)NBMD=/BME+NEMO=NDMC+/EMO=90°可得到△BDW是等

腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)證明：

：A/平分/BAD

：.ZBAF=ZDAFf

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BCfAB//CD,

：.ZDAF=ZCEF,NBAF=/CFE,

:?/CEF=/CFE,

:?CE=CF,

又,:四邊形ECFG是平行四邊形，

???四邊形ECFG為菱形;

(2)①???四邊形A5CO是平行四邊形,

：.AB//DC,AB^DC,AD//BC,

VZABC=120°,

：.ZBCD=60°,ZBCF=120°

由(1)知，四邊形CEG尸是菱形，

:?CE=GE,NBCG=L/BCF=60°,

2

：?CG=GE=CE,ZDCG=nO°,

,:EG〃DF,

：.ZBEG=120°=ADCG,

???AE是NBA。的平分線，

；?/DAE=/BAE,

U：AD//BC,

：.ZDAE=NAEB,

：.ZBAE=NAEB,

：.AB=BE,

:?BE=CD,

:ADGSABGE(SAS)；

②:△DGSABGE,

：.BG=DG,/BGE=/DGC,

:?NBGD=NCGE,

,:CG=GE=CE,

.?.△CEG是等邊三角形,

：.ZCGE=60°,

AZBGD=60°,

;BG=DG,

:ABDG是等邊三角形,

AZBDG=60°；

(3)方法一：如圖3中，連接MC,

VZABC=90°,四邊形ABC。是平行四邊形,

四邊形ABCD是矩形，

又由(1)可知四邊形ECTG為菱形，

ZECF=90°,

四邊形ECFG為正方形.

,：ZBAF=ZDAF,

:.BE=AB=DC,

■:M為EF中點,,

:./CEM=/ECM=45°,

：.ZBEM=ZDCM=135°,

在ABME和△DMC中，

'BE=CD

'?,<ZBEM=ZDCM>

EM=CM

：.4BME冬ADMC(SAS),

：.MB=MD,

ZDMC=ZBME.

Z.ZBMD=ZBME+ZEMD=ZDMC+ZEMD=90°,

???△BMD是等腰直角三角形.

\"AB=8,AO=14,

:.BD=2芯,

：.DM=返3D=

2

方法二：過M作MH_L。/于H,

,：ZABC=90°,四邊形ABC￡）是平行四邊形,

二四邊形ABC。是矩形，

圖4

又由（1）可知四邊形ECFG為菱形，

ZECF=90°,

四邊形ECFG為正方形,

：.ZCEF=45°,

；.NAEB=/CEF=45°,

：.BE=AB=8,

：.CE=CF^14-8=6,

'JMH//CE,EM=FM,

:.CH=FH=LCF=3,

2

：.MH=1CE=3,

2

,?DM=4]/+32=7130"

考點三正方形的判定與性質(zhì)

知識點睛：

L正方形的判定方法：

①有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形;

②有一組鄰邊相等的矩形是正方形；

③有一個角是直角的菱形是正方形；

④對角線相等且互相平分的四邊形是正方形。

2.正方形的性質(zhì)

正方形具有矩形、菱形的一切性質(zhì)

3.平行四邊形與特殊平行四邊形間的轉(zhuǎn)化關(guān)系:

類題訓(xùn)練

1.如圖，在正方形A3C。的外側(cè)，作等邊三角形AOE,AC.BE相交于點R則乙BFC為

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)求出/ABE=15°,NB4C=45°,再求

ZBFC.

【解答】解：：四邊形ABC。是正方形，

：.AB=AD,

又,/AADE是等邊三角形，

J.AE^AD^DE,ZDAE^60°,

J.AB^AE,

：.ZABE=ZAEB,ZBAE=900+60°=150°,

:.NABE=(180°-150°)4-2=15°,

又：NBAC=45°,

.,.ZBFC=450+15°=60°.

故選：C.

2.如圖，正方形A8CD的邊長為9,將正方形折疊，使頂點。落在BC邊上的點E處，折

痕為GH.若BE：EC=2：1,則線段CH的長是()

D

A.3B.4C.5D.6

【分析】根據(jù)折疊可得在直角△（7￡；//中，設(shè)CH=x,則。H=￡H=9-x,根

據(jù)BE：EC=2：1可得C￡=3,可以根據(jù)勾股定理列出方程，從而解出CW的長.

【解答】解：設(shè)CH=x,則DH=EH=9-x,

?:BE：EC=2：1,BC=9,

；.CE=XBC=3,

3

在RtAECH中，EH2^EC2+CH2,

即(9-x)2=32+?,

解得：x=4,

即CH=4.

故選：B.

3.（萊西市一模）如圖，在四邊形ABC。中，ZADC=ZABC=90°,AD=CD,DP±AB

于P.若四邊形ABC。的面積是18,則。尸的長是,

【分析】過點Q作。尸交BC的延長線于E,先判斷出四邊形。P8E是矩形，再根

據(jù)等角的余角相等求出再利用“角角邊"證明△AD尸和全等,

根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得。E=OP,然后判斷出四邊形。PBE是正方形，再根據(jù)

正方形的面積公式解答即可.

【解答】解：如圖，過點。作。交BC的延長線于E,

VZADC=ZABC=9Q°,

...四邊形DPBE是矩形,

AP

'：ZCDE+ZCDP=90°,ZADC=90°，

：.ZADP+ZCDP=9Q°,

ZADP=ZCDE,

,:DP_LAB,

；./APO=90°,

AZAPD=ZE=90°,

在△AOP和△CDE中，

,ZADP=ZCDE

?ZAPD=ZE，

AD=CD

AAADP^ACDE（AAS）,

：.DE=DP,四邊形ABCD的面積=四邊形。PBE的面積=18,

矩形DPBE是正方形，

:?DP=yJ

故答案為：3、/^.

4.（雨花區(qū)校級期末）如圖，點尸的坐標(biāo)為（4,4）,點A,2分別在x軸，>軸的正半軸上

運動，且NAPB=90°,連接AB,OP,下列結(jié)論：

①B4=P8；

②若0P與AB的交點恰好是AB的中點，則四邊形OAPB是正方形；

③四邊形OAPB的面積與周長為定值；

?AB>OP.

其中正確的結(jié)論是（）

【分析】過尸作軸于M,PN_Lx軸于MAB與。尸交于點C,由尸（4,4）,得

出PN=PM=4,易證四邊形MONP是正方形，得0M=0N=PN=PM=4,由ASA證得

AMPB%ANPA,得出m=尸8,故①正確；由。尸與AB的交點恰好是A8的中點，在

RtZVIPB中，PC是斜邊的中線，在RtZXAOB中，0C是斜邊的中線，得2C=AC

=PC=OC,則四邊形OAPB是矩形，又臥=PB,則四邊形OAP8是正方形，故②正確；

由四△NB4,易證四邊形OAPB的面積=正方形PMON的面積=16,BM=AN,

則。4+OB=ON+OM=8,PA=PB,且必和尸8的長度會不斷的變化，故周長不是定值，

故③錯誤；由。尸與AB的交點恰好是AB的中點，則四邊形。4PB是正方形，則48=

OP,故④錯誤.

【解答】解：過尸作PMLy軸于M,PNLx軸于N,A3與0P交于點C,如圖所示：

,：P(4,4),

:.PN=PM=4,

?.“軸_1》軸，

NMON=/PNO=ZPMO=90°,

:.NMPN=36Q°-90°-90°-90°=90°,則四邊形MONP是正方形，

OM=ON=PN=PM=4,

:/MPN=/APB=90°,

/MPB=/NPA,

fZMPB=ZNPA

在△MPB和△7W中，＜PM=PN，

ZPMB=ZPNA=90°

:AMPB%&NPA(ASA),

：.PA=PB,故①正確；

1/OP與AB的交點恰好是AB的中點，

C.BC^AC,

在Rt^APB中，PC是斜邊A8的中線，

：.PC=BC,

在RtAAOB中，OC是斜邊A8的中線，

：.OC^BC,

:.BC=AC=PC=OC,

四邊形OAPB是矩形，

'：PA=PB,

，四邊形。APB是正方形，故②正確；

??AMPB咨ANPA,

四邊形OAPB的面積=四邊形BONP的面積+Z\PAA的面積=四邊形BONP的面積+

△PMB的面積=正方形PMON的面積=4X4=16,

AMPB沿ANPA,

：.BM=AN,

：.OA+O3=ON+AN+OB=ON+OM=4+4=8,

PA=PB,且也和PB的長度會不斷的變化，故周長不是定值，故③錯誤;

?：OP與AB的交點恰好是A8的中點，則四邊形OAPB是正方形，

：.AB=OP,故④錯誤；

故選：A.

M...../

5.（化州市期末）如圖，已知E,尸分別為正方形ABC。的邊AB,BC的中點，AF與DE

交于點M,。為8。的中點，則下列結(jié)論：①N4WE=90°,②NBAF=/EDB,③AM

=ZMF,④ME+MF=&MB.其中正確結(jié)論的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=AD,ZABC=ZBAD=90°,再根據(jù)中點定

義求出AE=BR然后利用“邊角邊”證明△ABF和△加￡全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)

角相等可得然后求出/&￡）￡■+/￡）&/=/氏4￡）=90°,從而求出/AMD

=90°,再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得NAME=90°,得出①正確；根據(jù)中線的定義判斷出

ZADE^ZEDB,然后求出磯小，判斷出②錯誤；設(shè)正方形ABCD的邊長為

2a,利用勾股定理列式求出AE再根據(jù)似三角形對應(yīng)邊成比例求出AM,然后求出MF,

消掉°即可得到判斷出③正確；如圖，過點M作于M于是得到

&_=幽=幽，得到-A7V=2a-￡—6。，根據(jù)勾股定理得到BMRM

BFABAF55=YJbNM++1MfN

于是得到結(jié)論.

5

【解答】解：在正方形A8CO中，AB=BC=AD,ZABC=ZBAD=90°,

■:E、尸分別為邊AB,BC的中點,

;.AE=BF=LBC,

2

'AE=BF

在△ABE和△￡)?1￡中，，ZABC=ZBAD>

AB=AD

AAABF^ADAE(SAS),

：.ZBAF=ZADE,

'：ZBAF+ZDAF=ZBAD=90°,

AZAM￡=180°-ZAMD=180°-90°=90°,

故①正確；

是△AB￡>的中線，

二ZADE^ZEDB,

：.NBAF#ZEDB,

故②錯誤；

設(shè)正方形ABCD的邊長為2a,則BF=a,

在Rt/XAB尸中，AF=JAB2+Bp2=-

VZBAF=ZMAE,ZABC=ZAME=90°,

.AM_AEanAM_a

ABAF2av5a

解得：AM=2區(qū)，

5_

：.MF=AF-AM=Jsa-=

55

：.AM=^MF,

3

故③正確；

如圖，過點M作MAUAB于N,

N

B

則期=細(xì)=細(xì)，

BFABAF

2-

即MN=AN=~^一—

a2a

解得MN=Za,AN=&,

55

.,.NB—AB-AN—la-生

55

根據(jù)勾股定理，

BM=^BN2+HN2=^j^-a,

5

U：ME+MF=逅"運=啦，6MB=g型魚a=?)

55555

：.ME+MF=42MB.

綜上所述，正確的結(jié)論有①③④共3個.

故選：B.

6.如圖，在梯形ABC。中，AD〃BC(BC>AD),ZD=90°,BC=CD=12,/ABE=45

若AE=10.求CE的長度.

【分析】過B作/X4的垂線交DA的延長線于M,M為垂足，延長DM到G,使MG=

CE,連接2G.求證ABEC空△BMG,AABE^AABG,設(shè)CE=x,在直角△ADE中,

根據(jù)AE2=AD2+DE2求X的值，可以求CE的長度.

【解答】解：過