12正余弦定理與解三角形小題1

目錄

一、熱點(diǎn)題型歸納...............................................................................1

【題型一】解三角形基礎(chǔ)：角與對(duì)邊........................................................1

【題型二】判斷三角形形狀...............................................................3

【題型三】最值與范圍1：先判斷角........................................................5

【題型四】最值與范圍2：余弦定理........................................................7

【題型五】最值與范圍3：輔助角..........................................................8

【題型六】最值與范圍4：均值不等式.....................................................10

【題型七】最值與范圍5：周長(zhǎng)最值.......................................................12

【題型八】面積最值1：消角.............................................................13

【題型九】面積最值3：正切代換.........................................................16

【題型十】最值與范圍6：建系設(shè)點(diǎn).......................................................18

【題型十一】最值與范圍7：求正切的最值范圍..............................................22

【題型十二】圖形1：中線................................................................24

【題型十三】圖形2:角平分線.............................................................27

【題型十四】圖形3：高...................................................................29

【題型十五】圖形4：四邊形...............................................................31

二、最新?？碱}組練............................................................................34

【題型一】解三角形基礎(chǔ)：角與對(duì)邊

【典例分析】

A.立B.石C.2乖)D.4

2

【答案】B

【分析】由(sinB+sin。)？一sin2(B+C)=3sinBsinC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得siMB+

sin2c—sin2i4=sinBsinC,再由正弦定理可得小+b2—c2=be,從而由余弦定理求得cos4=再利用基

本不等式可得be<4,由三角形面積公式可得結(jié)果.

【詳解】

sin(B+C)=sinZ,且(sinB+sinC)2—sin2(B+C)=3sinBsinC,

???sin2B+sin2c—siMZ=sinBsinC,由正弦定理可得a?+Z?2—c2=be,

由余弦定理可得cos/=b+'sinZ=—f又;a=2,4=b2+c2—be>2bc—be=be,即be<4,

2bc22

；?SMBC=(bexsinAW[x4xf=百，即44BC最大面積為舊，故選B.

【提分或籍】

基本規(guī)律

L角與角所對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)已知

2.一般情況下，對(duì)稱型多用余弦定理。

3.通法為“正弦定理與外接圓半徑代換”

【變式演練】

【答案】A

【答案】A

A.(1,9]B.(3,9]

C.(5,9]D.(7,9]

【答案】D

【題型二】判斷三角形形狀

【典例分析】

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【分析】利用余弦定理將角化為邊整理，即可得三角形的邊之間的關(guān)系，從而可得此三角形的形狀.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.正余弦定理恒等變形：化邊或者化角

2.判斷邊或者角的大小。

【變式演練】

A.等腰三角形但一定不是直角三角形

B.等腰直角三角形

C.直角三角形但一定不是等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

【答案】C

【答案】AB

對(duì)C,結(jié)合B代特值即可判斷；

對(duì)D,結(jié)合B,可以得到A,2的關(guān)系，進(jìn)而可以判斷.

【詳解】

故選：AB.

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.以上都不對(duì)

【答案】A

【分析】

【詳解】

【題型三】最值與范圍L先判斷角

【典例分析】

【答案】A

【分析】

故選：A.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

每個(gè)角都要判斷。如銳角三角形，則三個(gè)角都要轉(zhuǎn)化判斷。

【變式演練】

【答案】C

【解析】

A.(—1,3)B.(1,3)

C.(V2,V3)D.(1,2)

【答案】D

2

所以由正弦定理可知些=￡=%￡=*=3sinB-4sin3B=3一4sin2B=4COSB—16(1,2),故選D.

ACbsmBsmBsmB'J

3.銳角4ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b>c,若2sinA(acosC+ccosA)=V5a,貝哈的取值范圍是

()

A.(|,2)B.弓，手)C.(1,2)D.(亨,1)

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合2sinA(acosC+ccosA)=舊a可求得角B.又由三角形為銳角三角形，求得角

C的取值范圍，即可求解.

【詳解】由正弦定理得，2sinA(sinAcosC+sinCcosA)=V3sinA=>sin(A+C)=曰今B=]

又A,Cefo,-).-.-<C<-=>-<sinC<1A(=等=—sinCe)故選B.

k27622bsinB3'3'3'

【題型四】最值與范圍2：余弦定理

【典例分析】

【答案】C

【分析】

利用余弦定理可得+b2=02+2abeosC,結(jié)合三角形面積為:可得c2=4absinC,三+可化為=

8ba

4sinf+2cosf=2V^sin(C+9),從而可得結(jié)果.

【詳解】由題意得，S=^-absinC=^c2,Ac2=4absinC,又c?=小+廬__2abcosC,

??a2+b2=c2+2abeosC,

.a,ba2+b2c2+2abcosC4absinC+2abcosC

.?—|—=--------------=--------------=4sinC+2cosC

baababab=2V5sin(C+cp).

則￡+5的最大值為2代，故選c

【提分秘籍】

基本規(guī)律

2.一般情況下，邊的平方形式，可能就是余弦定理的變形。需要通過(guò)構(gòu)造與問(wèn)題相關(guān)的形式和條件

【變式演練】

.7Tc兀c兀

A.-BD.—

6-1c*2

【答案】B

be

【詳解】由sinZ=2sinBsinC,根據(jù)正弦定理，-^―=

smzAsinBsinC

2bc(cosA+sinA).“、

所以￡+&=±=--——--------=2(sin/+cos?!)=2V2sin(i4+2)，

bcbe4y

【答案】D

【解析】

【詳解】

A.3B.V3C.2D.無(wú)法確定

【答案】B

【詳解】

【題型五】最值與范圍3：輔助角

【典例分析】

A,也B.顯「不D.叵

16121618

【答案】A

【分析】

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.正余弦齊次式(同角一次式)

2.引入變量，構(gòu)造輔助角，借助正余弦有界性求解

【變式演練】

A.1B.y/2c.73D.2

【答案】C

【答案】B

【答案】B

【詳解】

【題型六】最值與范圍4：均值不等式

【典例分析】

【答案】C

【詳解】

【提分秘籍】

基本規(guī)律

L余弦定理形式可以用均值。一般式對(duì)稱構(gòu)造

2.其他形式中邊的關(guān)系可以用均值

【變式演練】

A?—B.2c.-D.4

A24

【答案】A

A.(0尋B.(2,^)C.[2,2V3]D.(2,4)

【答案】B

【解析】

把不等式W+亡？士變形為"告+E=2+咨+小，

a-bb-c

【詳解】

11ta-c?a-c..a-c?a-c_a-b+b-c]cL—b+b—c_、b-ca-b

LH------十----

—a-bu+7b—-c—a----c-=t工a-bb-ca-bb-ca-bb-ca-bb-c

：.t<4,：.T=4,

22222

?TnAAa+c-bca?+c2-(等)3a+3c-2ac

,,TcosB=4cosB=4x-----------=2x---------衛(wèi)2-=---------

2acac2ac

令m=-<m<1,y=m+5在區(qū)間(1,1)上單調(diào)遞減，所以1+:<巾+5<|+*;.|1+?T<

3335,312

2、ca.253即2<12G+I)T〈差5

：.2<TcosB<..故選B.

【答案】B

【分析】

將原式分離常數(shù)，然后利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，化簡(jiǎn)為對(duì)勾函數(shù)，利用不等式求最值即可.

【詳解】

故選：B.

【題型七】最值與范圍5：周長(zhǎng)最值

【典例分析】

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

【分析】

【詳解】

故選：B.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.角與對(duì)邊型：正弦定理

2.對(duì)稱邊，可以余弦定理+均值不等式

【變式演練】

r-

1.在AABCAABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若sinA+cos(A+口)=^,b+c=4,則fiABC周長(zhǎng)的取值范

62

圍是()

A.[6,8)B.[6r8]C.[4,6)D.(4,6)

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)余弦的和角公式及輔助角公式，可求得角A的值；利用余弦定理結(jié)合基本不等式即可求得a的取值范

圍，進(jìn)而得到周長(zhǎng)的取值范圍.

【詳解】__

??n需和14市,日(n和

?sinA+cos(A?一)=-，sinA+—cosA--sinA=一，口」行sin:A+—)=一，

6222232

nH4nn2nzn

AE(0?itJ?A*—W(一,—),,*?A?—=—9解得A=一,

333333

Vb+c=4,

由余弦定理可得a?=b?+c2-2bccosA=:b+c)2-2bc-bc=16-3bc>

?.?由b+c=4,b+cN2dbe，得0<bc44,

*'-4<a2<16?即2?a4-

???△ABC周長(zhǎng)L=a+b+c=a+4W[6,8).

故選A

A.[6,8)B.[6,8]C.[4,6)D.(4,6]

【答案】A

【分析】

利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知可得sin(A+-)=￥，結(jié)合A的范圍可求A,再由余弦定理求得

a2=16-3bc,再由基本不等式，求得be的范圍，前可得至"的范圍，進(jìn)而可求周長(zhǎng)的范圍.

【詳解】

：sin4+cos(A+-)=—,sinA+%cosA--sinA—返，

、6，2222

可得：sinCA+-)=五，

32

??,ae(0,n),A+-E且)：.A+-=^,解得4=二

333333

+C=4,

,,由余弦定理可得a?=b2+c2-2bccosA=(b+c)—2bc—be=16—36c,

:由b+c=4,b+c>2>/bc,得QVbcW4,.'.4<a2<16,即2WaV4.

【答案】C

【題型八】面積1：消角

【典例分析】

【答案】C

【分析】

故選：C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.已知或者求出一角，則可以利用另外倆角和定值來(lái)消角

2.廣義消角：已知或者求得一角（非特殊角）三角函數(shù)值，可以利用兩角和的正余弦來(lái)“消角”

【變式演練】

【答案】C

【詳解】

【分析】

【詳解】

【答案】J

O

【詳解】

9

故答案為：—

O

【題型九】面積2：正切代換

【典例分析】

【答案】D

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.正余弦齊次式，可以正切代換

2.萬(wàn)能公式形式也可以正切代換

【變式演練】

A.8A/2B.4石C.6D.2指

【答案】B

【詳解】

［答案］D

遙型十】最值與范圍6：建系設(shè)點(diǎn)

【典例分析】

【答案】C

【分析】

【詳解】

故選：C

【提分秘籍】

基本規(guī)律

L滿足圓錐曲線定義，特別是“阿波羅尼斯圓”，可以適當(dāng)?shù)慕ㄏ翟O(shè)點(diǎn)

2.利用正余弦平方形式可以建系設(shè)點(diǎn)

3.具有幾何意義特征，如垂直，距離，斜率等?？梢赃m當(dāng)?shù)慕ㄏ翟O(shè)點(diǎn)

【變式演練】

【答案】C

【分析】

【答案噌

【分析】

利用面積公式和余弦定理，結(jié)合均值不等式以及線性規(guī)劃即可求得最大值.

3.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)8,C分別在天軸和丁軸非負(fù)半軸上，點(diǎn)A在第一象限，且NB4C=90°,

4B=4C=4,那么。，A兩點(diǎn)間距離的

A.最大值是4位,最小值是4B.最大值是8,最小值是4

C.最大值是4位，最小值是2D.最大值是8,最小值是2

【答案】A

【分析】設(shè)BC與x軸的夾角為。(0<0<71),通過(guò)數(shù)形結(jié)合，分情況分析0,A兩點(diǎn)間距離，進(jìn)而得解.

【詳解】設(shè)BC與x軸的夾角為6(0<0<7T),E為△ABC的中點(diǎn)，當(dāng)0=0時(shí)，如圖：

當(dāng)0<8<￡時(shí)，A,O,E三點(diǎn)構(gòu)成如圖三角形，根據(jù)題意，可知NOBC=乙BOE，乙4EB=9AE=OE=2迎,

4Z

當(dāng)。=3時(shí)，如圖,四邊形ABOC是正方形，。2=4或

：.Z.AEO=T+(兀-20),cosZ-AEO-cos+(TT-20)]=—sin20,206

同理可求得4<0A<4V2;

故選A

【題型十一】最值與范圍7：求正切的最值范圍

【典例分析】

【答案】C

【分析】

根據(jù)余弦定理以及正弦定理化簡(jiǎn)條件得A、C關(guān)系，再根據(jù)二倍角正切公式以及函數(shù)單調(diào)性求范圍.

【詳解】

故選：C

【提分秘籍】

基本規(guī)律

解三角形題。對(duì)含有正切函數(shù)求最值范圍，屬于較難題型，一般從以下幾方面分析:

L切化弦

【變式演練】

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】

【答案】6

【分析】

先根據(jù)正余弦定理對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)得2(sin2yl-sin2B)=sin2C,再利用正弦平方差定理化簡(jiǎn)可得

sin/cosB=3coSi4sinBntan/=3tanB,然后tan/=x,tanB=3x,表示出tanC=3久匚j構(gòu)造函數(shù)求最值

即可得出答案.

【詳解】根據(jù)題意，已知小+2abeosC=3b2,由余弦定理得小+2ab四黑巨=3h2,化簡(jiǎn)得2(小-fa2)=

c2

由正弦定理：2(sin2i4—sin2B)=sin2C即2sin(Z+B)sin(4—B)=sin2c(正弦平方差)

整理可得：2sirh4cos8—2cosZsinB=sinZeosB+cosAsinB即sinAcosB=3cos/sinB=>tanA=3tanB

設(shè)tanZ=x,tanB=3'因?yàn)闉殇J角三角形，所以tan/>0,x>0止匕時(shí)tanC=—tan(4+B)=—tan/1+tang即

''1-tanAtanB

tanC=貴^所以tanAtanBtanC、^令/"(%)=>。)尸(嗎=雙；；普器。

DaA.3%J"XIOJL)

當(dāng)廣(久)>0,x>1,f(x)遞增；當(dāng)尸(%)<0,0<%<1,f(x)遞減；

所以/(久)min=/⑴=6故tanZtanBtanC的最小值是6。故答案為6

【答案】B

【解析】

【題型十二】圖形1:中線

【典例分析】

A.2非B.4A/5

C.6下D.前三個(gè)答案都不對(duì)

【答案】C

【分析】

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.中線可分三角形得兩個(gè)三角形，分別運(yùn)用余弦定理

2.中線可延伸補(bǔ)形得平行四邊形

【變式演練】

1.已知△ABC為銳角三角形，D,￡分別為A3、AC的中點(diǎn)，且CD，BE,則cosA的取值范圍是

【答案】D

【答案】D

【解析】

【答案】C

【詳解】

A

BV----------------------------

【題型十三】圖形2：角平分線

【典例分析】

【答案】C

【分析】

【詳解】

【提分秘籍】

基本規(guī)律

L角平分線，可以借助面積“和”構(gòu)造等量關(guān)系

2.角平分線也是兩邊的“對(duì)稱軸”

3.三角形角平分線定理可以直接在小題中使用

【變式演練】

【答案】B

【分析】

由三角形面積公式可得

故選:B

113

A.-B.-C.-D.0

324

【答案】c

【分析】由兩個(gè)三角形的面積比，得到邊3=|,利用正弦定理胃=嗯求得8s4的值.

CB2smAsmB

【詳解】??,角C的平分線CO,；.N4CD=NBCD?.?包四=輪匕竺上空="=a,.,?設(shè)力c=3x,CB=2x,

SABCD-CBCDsinz.BCDCB2

A.B.(-^,V3]2

C-(小司D.匕/

【答案】A

【解析】

先根據(jù)正弦定理用角A,C表示三，2，再根據(jù)三角形內(nèi)角關(guān)系化基本三角函數(shù)形狀，最后根據(jù)正弦函數(shù)性

AMCM

質(zhì)得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)?=芻BM為"BC的角平分線，所以N4BM=NCBM=E

36

在4aBM中，黑=」^，因?yàn)锽M=2,所以總=等=2sinA,

sinAsmz.ABMsm^

在4GBM中，岑='^,因?yàn)锽M=2,所以高=15=2sinC,所以焉=sinC,

sinCsmz.CBMsmg

則-----=2sinZ—sinC=2sinZ—sin(——Z)

AMCMV3)

—|sinA—?cosi4=V3sin(4—胃

因所以一

3662

所以一(<sin(力一\)<1,則一曰<V3sin(4-9<V3，

即總一高的取值范圍為(-￥，8)?選A?

【題型十四】圖形3：高

【典例分析】

.△ABC中，BD是AC邊上的高，A=-,cosB=@,則處=(

'45AC

D-I

【答案】A

故選A.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.一般給高，基本就與求面積聯(lián)系起來(lái)

2.高也可以分開(kāi)構(gòu)造直角三角形，得出對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值

【變式演練】

【答案】

【答案】C

【題型十五】圖形4：四邊形

【典例分析】

【答案】A

【分析】畫(huà)出該平行四邊形，結(jié)合圖形分析討論取最值時(shí)，點(diǎn)A、。的位置.再結(jié)合正弦定理求出A2取

值范圍.

【詳解】延長(zhǎng)區(qū)4、交于點(diǎn)E,平移AO

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.四邊形可以“劈成”倆三角形。

2.四邊形可以“補(bǔ)成”三角形

【變式演練】

A.27B.16C.10D.25

【答案】A

【分析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OBQC分別為軸建立直角坐標(biāo)系，求出4點(diǎn)軌跡方程，再根據(jù)圓的性質(zhì)求

最值.

【詳解】

故選：A

故選：B.

【答案】C

【分析】

【詳解】

模擬題

【答案】B

A.等邊三角形B.等腰直角三角形

C.頂角為150。的等腰三角形D.頂角為120。的等腰三角形

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系得siMA+sin2c-sin2B=-sinXsinC,結(jié)合正余弦定理得貯士打=一工進(jìn)而

2ac2

得反再利用sinA+sin0-4)=1化簡(jiǎn)得sin(4+勻=1,得A值進(jìn)而得C,則形狀可求

【詳解】

由題1—siMz—(1—sin2B)+1—sin2c=1+sinAsinC

即sin?/+sin2C—sin2^=—sin/sinC,由正弦定理及余弦定理得吐《士=--

i72ac2

即cosB=--,■■■BEQ0,IT)B=-rt

故sinX+sin6一2)=1整理得sin(4+§=1,故A=三,B=三

故選D

【答案】A

【分析】

【答案】A

【解析】

【詳解】

【答案】D

故選：D.

【答案】A

【分析】

【解析】

【分析】

【詳解】

由4B,Ce（0,J）,得46e,胃Beg

/\64/\32/

sinBE（日,1）,所以———苑）.

tanAtanB\3/

【答案】A

【解析】

【詳解】

A9-36B-