專題01有理數(shù)

屠K晟H囊H闔

知識點1：正負(fù)數(shù)

小學(xué)學(xué)過的除0以外的數(shù)都是正數(shù).

在正數(shù)前面加上符號（負(fù)）的數(shù)叫做負(fù)數(shù).

大于零的數(shù)是正數(shù)，小于零的數(shù)是負(fù)數(shù).

0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界點.

知識點2：有理數(shù)的分類

用正、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量.

(1)概念

整數(shù)：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù).

分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù).(有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù))

注：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)，負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱為非

正整數(shù).

(2)分類：兩種

正整數(shù)

正有理數(shù)一

正分?jǐn)?shù)

按正、負(fù)性質(zhì)分類：有理數(shù)＜零

'負(fù)整數(shù)

負(fù)有理數(shù)?

負(fù)分?jǐn)?shù)

一正整數(shù)

整數(shù)＜零

按整數(shù)、分?jǐn)?shù)分類：有理數(shù)?負(fù)整數(shù)

'正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)■

負(fù)分?jǐn)?shù)

知識點3：有理數(shù)的相關(guān)概念

1.數(shù)軸：規(guī)定了原點、單位長度和正方向的直線叫做數(shù)軸.數(shù)軸上所有的點與全體實數(shù)一一對應(yīng).

2.相反數(shù)：只有符號不同，而絕對值相同的兩個數(shù)稱為互為相反數(shù)，若“、》互為相反數(shù)，則"6=0.

3.倒數(shù)：1除以一個不等于零的實數(shù)所得的商，叫做這個數(shù)的倒數(shù).若a、b互為倒數(shù)，則必=1.

4.絕對值：數(shù)軸上表示數(shù)。的點與原點的距離，記作間.

知識點4：有理數(shù)的運算

1.有理數(shù)的加法

加法法則：

(1)同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加.

(2)絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.

互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0.

(3)一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).

加法運算定律：

(1)加法交換律：兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變.即a+b=b+a.

(2)加法結(jié)合律：在有理數(shù)加法中，三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加或者先把后兩個數(shù)相加，和不變，即a+b+c=

(a+b)+c=a+(b+c).

2.有理數(shù)的減法

減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù).即a-b=a+(-b).

3.有理數(shù)的乘法

乘法法則：

（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘.

（2）任何數(shù)同0相乘，都得0.

（3）多個不為0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為負(fù)數(shù)，即先確定

符號，再把絕對值相乘，絕對值的積就是積的絕對值.

（4）多個數(shù)相乘，若其中有因數(shù)0,則積等于0；反之，若積為0,則至少有一個因數(shù)是0.

乘法運算定律：

（1）乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等.即axb=ba.

（2）乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等.

即axbxc=（axb）xc=ax（bxc）.

（3）乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加，

即ax（b+c）=axb+axc.

4.有理數(shù)除法法則

（1）除以一個（不等于0）的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù).

（2）兩個數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除.

（3）0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.

5.有理數(shù)的乘方運算法則

（1）正數(shù)的任何次塞都是正數(shù).

（2）負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次累是正數(shù).

（3）0的任何正整數(shù)次幕都是0.

6.科學(xué)記數(shù)法

1.科學(xué)記數(shù)法概念：把一個大于10的數(shù)表示成axion的形式（其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n為正整數(shù)）.

這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法.（日間〈10）

2.近似數(shù)的精確度：兩種形式

（1）精確到某位或精確到小數(shù)點后某位.

（2）保留幾個有效數(shù)字.

注：對于較大的數(shù)取近似數(shù)時，結(jié)果一般用科學(xué)記數(shù)法來表示.

例如：256000（精確到萬位）的結(jié)果是2.6x105.

3.有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個非。數(shù)字起，到末尾數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù).

注意：

（1）用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)的有效數(shù)字時，只看乘號前面的數(shù)字.例如：3.0又1。4的有效數(shù)字是3.

（2）帶有記數(shù)單位的近似數(shù)的有效數(shù)字，看記數(shù)單位前面的數(shù)字.

例如：2.605萬的有效數(shù)字是2,6,0,5.

?考點剖析

考點一：正負(fù)數(shù)

【典例1】《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之“，意思是：今有兩數(shù)若其意義相反，則

分別叫做正數(shù)與負(fù)數(shù).如果MOm表示向東走40m,那么-100m表示（）

A.向東走60mB.向西走60mC.向東走100mD.向西走100m

【答案】D

【解析】-100m表示向西走100m,故選D.

【變式1-1】何小虎是航天科技六院西安航天發(fā)動機有限公司的數(shù)控車工、高級技師，他的絕活是在非精密

環(huán)境中實現(xiàn)產(chǎn)品精密加工.在長三乙火箭發(fā)動機噴注器架的生產(chǎn)中，需要加工幾項基本尺寸為3.5mm的深

小軸（3.5±0.008）mm范圍內(nèi)的尺寸均為合格品，則下列深小軸的尺寸中合格的是（）

A.3.592mmB.3.429mmC.3.501mmD.3.4mm

【答案】C

【解析】由題意可得合格品的范圍是3.492mm?3.508mm,

則A,B,D均不符合題意，故選：C.

【變式1-2】某校儀仗隊隊員的平均身高為175cm,如果高于平均身高2cm記作+2cm,那么低于平均身高

2cm應(yīng)該記作（）

A.2cmB.—2cmC.175cmD.—175cm

【答案】B

【解析】高于平均身高2cm記作+2cm,那么低于平均身高2cm應(yīng)該記作-2cm.故選B.

考點二：有理數(shù)的相關(guān)概念

【典例2】-2023的相反數(shù)是（）

【答案】A

【解析】-2023的相反數(shù)是2023.故選：A.

【變式2-1】下列7個數(shù)：—1.4、1.21221222K0.23、41、0、L其中有理數(shù)有（）

7

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解析】有理數(shù)有：-14、1.21221222K0.23、0、-1,

7

故選：D.

【變式2-2】數(shù)軸上的點A表示的數(shù)是+1,那么在數(shù)軸上與點A相距3個單位長度的點表示的數(shù)是（）

A.-2B.-2或4C.±3D.4

【答案】B

【解析】與點A相距3個單位長度的點在點A左邊時，+1-3=-2；

與點A相距3個單位長度的點在點A右邊時，+1+3=4.

與點A相距3個單位長度的點表示的數(shù)是4或-2.

故選：B.

【變式2-3］若國=8,則無的值為（）

A.8B.-8C.8或-8D.以上答案都不對

【答案】C

【解析】V|x|=8,/.x=±8,故選：C.

【變式2-4］數(shù)軸上表示整數(shù)的點稱為整點，某數(shù)軸的單位長度是1厘米，若在這條數(shù)軸上隨意畫出一條長

2023厘米的線段4B,則線段4B蓋住的整點個數(shù)是（）

A.2020或2021B.2021或2022C.2022或2023D.2023或2024

【答案】D

【解析】當(dāng)長2023厘米的線段AB的端點A與整數(shù)點重合時，兩端與中間的整數(shù)點共有2024個，

當(dāng)長2023厘米的線段的端點A不與整數(shù)點重合時，中間的整數(shù)點只有2023個，

故選：D.

【變式2-5】數(shù)軸上點A,B表示的數(shù)分別為-3和5,點加也在該數(shù)軸上，且到A,8兩點的距離相等，則

點M表示的數(shù)是.

【答案】1

【解析】???點48表示的數(shù)分別為-3和5,

AB=5—（—3）=8,

???點M到A,B兩點的距離相等，

:.BM=4,且點M在點8的左邊，

點M表示的數(shù)是5-4=1,

故答案為：1.

33

【變式2-6】比較大?。海ㄌ睢啊础被?

【答案】<

333_3

【解析】??.-］=］，

8-8

..3^3

*>，

78

.3

,.“飛'

故答案為：<.

【變式2-7］已知“，b,c在數(shù)軸上的位置如圖，化簡2|“—4-。+°|-卜+2al.

_______________?1?］a

abOc

【答案】b

【解析】由。，b,c在數(shù)軸上的位置可知。-6<0,b+c>0,c+2a<0,

:.21a—Z?|-0+c|一|c+2a

=2(Z?-q)-(b+c)_(_c_2a)

—2Z?—2a—b—c+c+2a

=b.

考點三：非負(fù)性的性質(zhì)

【典例3］若同=~m,則m的值一定是()

A.0B.負(fù)數(shù)C.非負(fù)數(shù)D.非正數(shù)

【答案】D

【解析】|m|=-m>0,

，加的值一定是非正數(shù)，

故選：D.

【變式3-1］若。是有理數(shù)，則|。-1|+2的最小值是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】是有理數(shù)，

可為正數(shù)、負(fù)數(shù)、零.

由絕對值的非負(fù)性可知：1“-1120,

|￡?—11+2>2,

即：|”1|+2的最小值是2,

故選：C.

【變式3-2］若|“+3|+|6-2|=0,則5+6)2儂=.

【答案】-1

【解析］V|a+3|+|^-2|=O,

.,?〃+3=0,b—2=0,

a=—3,b=2f

J(〃+6)2023=(—3+2)2。23=(—1)2023=-1,

故答案為：-1.

【變式3-3】已知數(shù)。，b,c滿足|a+l|+|a+b|+|c—5|=0,請回答問題：

ABC

—1------1------------1---->

⑴請直接寫出a,b,。的值：",b=,。=.

(2)數(shù)軸上。，b,c三個數(shù)所對應(yīng)的點分別為A,B,C,則A,B兩點的距離可表示為=4=

數(shù)軸上有一點尸，它表示的數(shù)為x.若AP=3,則點P表示的數(shù)x是.

(3)點8和點C分別以每秒3個單位長度和1個單位長度的速度同時向右運動，設(shè)運動時間為小).

①當(dāng)f=4時，求AB的長；

②當(dāng)6,C兩點的距離為2時，求，的值.

【解析】(1)+]a+耳+匕一5|=。，且+1|2。，N。，,一512。，

/.|a+l|=0,|a+Z?|=0,|c—5|=0,

即a=—1,a=—b,c=5,

則》=1,

故答案為：-1,1,5.

(2)AB=|d!—Z?|=|-1—1|=2,

AP=|^-(-l)|=3,

貝！Ix=2或x=T,

故答案為：2,2或T.

(3).??點8和點C分別以每秒3個單位長度和1個單位長度的速度同時向右運動，設(shè)運動時間為心)，

則點8運動的長度為：37,點C運動的長度為：f；

即/秒時，點8對應(yīng)數(shù)軸上的點為1+3乙點C對應(yīng)數(shù)軸上的點為5+t,

①當(dāng)t=4時，A3的距離為2+31=2+3x4=14；

②當(dāng)B,C兩點的距離為2時，Bp|5+Z-l-3r|=2,

解得：f=l或7=3,

即當(dāng)，=1或t=3時，B,C兩點的距離為2.

考點四：有理數(shù)的運算

【典例4】計算：

⑴23T7-(-7)+(-16)；

⑵昌+15.5-6251.

【解析】(1)23-17-(-7)+(-16)=23-17+7-16=-3；

(2)[-3?+15.5-6,+,5；]=[-3,-6切+(15；-5；)=一10+10=0.

【變式4-1】計算:

3571

(1)(------+-)--；

491236

(2)|-7|x|-1)-|x(-4)2.

357±

+T

-4--9-

1236

357

T

4-9-

12

=—27—20+21

=-26；

(2)|-7|-^(|-1)-|X(-4)2

29

T

【變式4-2】計算：|x(-5)-12xf-|to.75x3.

【解析】原式=0.75x(-5)+12x0.75-0.75x3

=0.75x(-5+12-3)

=0.75x4

=3.

1|+2］。.75

【變式4-3】計算:x(-24).

1173

【角星析】原式=—x(—24)+—x(—24)+—x24

834

=—33—56+18

=-71.

【變式4-4】計算：(―I)?02、2—(—2)4+4+卜31

【解析】(—1)2023x2—(—2)4+4+卜3|

=—1x2—16+4+3

=-2-4+3

-3

考點五：有理數(shù)的實際應(yīng)用

【典例5】有8筐白菜，以每筐25千克為準(zhǔn)，超過的千克數(shù)記作正數(shù)，不足的千克數(shù)記作負(fù)數(shù)，稱后的記

錄如下：1,4,2,-0.5,1,-2,-2,-2.5,求：

(1)這8筐白菜一共多少千克？

(2)如果每千克白菜能賣5元，這8筐白菜共能賣多少元？

【解析】(1)由題意得：25x8+(1+4+2-0.5+1-2-2-2.5)=200+1=201(千克)，

.?.這8筐白菜一共201千克；

(2)由題意得：201x5=1005(元)，

...這8筐白菜共能賣1005元.

【變式5-1】檢修工乘汽車沿東西方向檢修電路，規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，某天檢修工從。地出發(fā)，到收

工時行程記錄為：(單位：千米)

+8,-7,+2,—6,+1,—8,+11,—5,+8,—5.

(1)收工時，檢修工在。地的哪邊？距。地多遠(yuǎn)？

(2)若每千米耗油0.3升，從。地出發(fā)到收工時，共耗油多少升？

【解析】(1)(+8)+(-7)+(+2)+(-6)+(+1)+(-8)+(+11)+(-5)+(+8)+(-5)

=[(+8)+(+2)+(+1)+(+11)+(+8)]+[(-7)+(-6)+(-8)+(-5)+(-5)]

=(+30)+(-31)

=-1(千米)；

答：收工時，檢修工在。地的西邊，距。地1千米；

(2)|+8|+|-7|+|+2|+|-6|+|+1|+|-8|+|+11|+|-5|+|+8|+|-5|

=8+7+2+6+1+8+11+5+8+5

=61(千米)，

0.3x61=18.3(升)，

答：共耗油18.3升.

【變式5-2】某自行車廠一周計劃生產(chǎn)700輛自行車，平均每天生產(chǎn)自行車100輛，由于各種原因，實際每

天生產(chǎn)量與計劃每天生產(chǎn)量相比有出入.下表是某周的自行車生產(chǎn)情況(超過計劃生產(chǎn)量為正，不足計劃

生產(chǎn)量為負(fù)，單位：輛)：

星期一二三四五六日

增減+8-2-3+16-9+10-11

(1)根據(jù)記錄可知前三天共生產(chǎn)自行車輛.

(2)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)輛.

(3)若該廠實行按生產(chǎn)的自行車數(shù)量的多少計工資，即計件工資制.如果每生產(chǎn)一輛自行車就可以得到人民

幣60元.一周超額完成任務(wù)，每超一輛可多得15元；不足計劃數(shù)的，每少生產(chǎn)一輛扣20元.那么該廠工

人這一周的工資總額是多少？

【解析】（1）100x3+（+8-2—3）=303（輛），

故答案為：303；

（2）+16—（—11）=27（輛），

故答案為：27；

（3）8-2-3+16-9+10-11=9,

（700+9）x60+9x15=42675（元）.

答:該廠工人這一周的工資總額是42675元.

?過關(guān)檢測

一、選擇題

1.下列四個數(shù)中，屬于負(fù)數(shù)的是（）

A.-3B.3C.兀D.0

【答案】A

【解析】-3是小于0的數(shù)，是負(fù)數(shù)，故選項A正確；

3是大于0的數(shù)是正數(shù)，故選項B不正確；

兀是大于0的數(shù)是正數(shù)，故選項C不正確；

0不是負(fù)數(shù)，故選項D不正確.

故選A.

2.在-5,-3,0,1.7這4個數(shù)中絕對值最大的數(shù)是（）

A.-5B.-3C.0D.1.7

【答案】A

【解析】|-5|=5,I-3|=3,|0|=0,|1.7|=1.7,

V5>3>1.7>0,

絕對值最大的數(shù)為-5,

故選:A.

3.有理數(shù)b在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

—__

-1O1

A.ab>0B.a+b<0C.Q+1>0D.a-b>0

【答案】c

【解析】根據(jù)數(shù)軸可得0<同<1且。<0,1<網(wǎng)且3>0,

由此可得用<0,故A選項錯誤；

a+b>0,故B選項錯誤；

a+l>0,故C選項正確；

a-b<0,故D選項錯誤.

故選C.

4.一種巧克力的質(zhì)量標(biāo)識為"100±0.5克"，則下列質(zhì)量合格的是（）

A.95克B.99.8克C.100.6克D.101克

【答案】B

【解析】巧克力的質(zhì)量在（10。-0.5）克到（100+0.5）克的范圍內(nèi)即99.5克~100.5克之間，四個選項中只有B

選項符合，

故選B.

5.下列說法不正確的是（）

A.0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)B.一個有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)

C.1是絕對值最小的有理數(shù)D.0的絕對值是0

【答案】C

【解析】A、0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，正確，故此選項不符合題意；

B、整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，所以一個有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)，正確，故此選項不符合題意；

C、絕對值最小的數(shù)是0,所以1是絕對值最小的有理數(shù)說法錯誤，故此選項符合題意；

D、0的絕對值是0,正確，故此選項不符合題意.

故選：C.

6.2022年6月5日上午10時44分07秒，搭載神舟十四號載人飛船的長征二號F遙十四運載火箭，在酒

泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，順利將3名中國航天員送入太空，3名航天員將在距離地球約388600米的中國

空間站駐留6個月.其中388600用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.388.6xl02B.388.6xl03C.3.886xl04D.3.886xlO5

【答案】D

【解析】388600=3.886xlO5.故選：D.

7.下列去括號正確的是（）

A.a—（6+1）=?！猙—1B.2（x+3）=2x+3

C.x-（y_l）=無D.-3（m-n）=-3m-3n

【答案】A

【解析】A.a—0+1）=。一6一1,故本選項正確，符合題意；

B.V2（x+3）=2x+6,故本選項錯誤，不符合題意:

C.Vx-（y-D=x-y+l,故本選項錯誤，不符合題意；

D.V-3（m-n）=-3m+3n,故本選項錯誤，不符合題意.

故選：A.

8.式子x+3與x-5互為相反數(shù)，則x的值是()

A.0B,1C.2D.3

【答案】B

【解析】解：???龍+3與x-5互為相反數(shù)，

x+3+x—5=0,解得：x=l.

故選B.

二、填空題

9.-2的倒數(shù)是.

【答案】

【解析】根據(jù)兩個數(shù)乘積是1的數(shù)互為倒數(shù)的定義，因此求一個數(shù)的倒數(shù)即用1除以這個數(shù).

所以-2的倒數(shù)為l+(-2)=-g.

故答案為：

10.用四舍五入法對3.14取近似數(shù)精確到個位的結(jié)果是.

【答案】3

【解析】解：3.14=3(精確到個位).

故答案為3.

11.若卜