第07講有理數(shù)的乘方

州內(nèi)容導航一預習三步曲

第一步：主動學

-，只教材精講精析，全方位預習

講典例練習題教材習題學解題，快速掌握解題方法

練考點強知識；三大核心考點六種常考題型精準練

第二步：用心記

：學習目標復核內(nèi)容掌握，思維導圖助力掌握知識脈絡，理清知識之間的聯(lián)系

第三步：限時測

過關(guān)檢測效果好，查漏補缺練考點

域析翻物識

就知識點1:有理數(shù)的乘方

1.乘方的概念：求相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做幕(power).

即有：a?a.........a=an.底數(shù)*^指數(shù)

〃不

底數(shù)：在屋中，a叫做底數(shù)，

指數(shù)：m叫做指數(shù).

典型例子：此處2叫做底數(shù)，3是指數(shù)，表示2的個數(shù)；

2X2X223

2.特例：當指數(shù)n=2時，一般成為平方；當指數(shù)九=3時，一般成為立方。

pre

(1)乘方與哥是不同的，乘方是一種運算，哥是乘方運算的結(jié)果.類比以前學的加減乘除法學習乘方。

運算名稱符號表示abC

加法a+b=c加數(shù)加數(shù)和

減法a—b=c被減數(shù)減數(shù)差

乘法aXb=c乘數(shù)乘數(shù)積

除法a+b=c被除數(shù)除數(shù)商

乘方ah—c底數(shù)指數(shù)暴

哥特指乘方作為結(jié)果時的一種叫法，與和差積商相對應。

(2)當?shù)讛?shù)是以下幾種情況時，要用括號括起來：

底數(shù)是負數(shù)、底數(shù)是分數(shù)、底數(shù)不是單獨的一個數(shù)而是含有運算的式子。

(3)一個數(shù)可以看作這個數(shù)本身的一次方，指數(shù)1通常省略不寫.

1R知識點2：乘方的符號法則

1.正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)；

2.負數(shù)的奇次軍是負數(shù)，負數(shù)的假劣早是正數(shù)；

3.0的任何正整數(shù)次幕都是0；

4.任何一個數(shù)的偶次哥都是非負數(shù)，即渭》0.

(1)有理數(shù)的乘方運算，首先應確定累的符號，然后再計算哥的絕對值.

(2)計算幕時，可以轉(zhuǎn)化成乘法計算。

知識點3：科學記數(shù)法(這是一個很小，但非常非常重要的知識點，要牢記)

科學記數(shù)法的定義：

把一個絕對值大于10的數(shù)表示成axlO"的形式(其中1W|a|<10,〃是正整數(shù))，這種記數(shù)法叫做科

學記數(shù)法.

(1)負數(shù)也可以用科學記數(shù)法表示，“-”照寫，其它與正數(shù)一樣;

(2)把一個數(shù)寫成axlO"形式時，若這個數(shù)是大于10的數(shù)，則n比這個數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1.

司m練習麴

教材習題第55頁練習第1題

解題方法指導

計算:⑴(H，⑵卜出⑶局4

利用乘方的定義計算；

注意第(1)與(4)的區(qū)別

(4)-43(5)0.14(6)I8

【分析】

解：按照乘方的定義計算；

(1)(-4)3=(-4)X(-4)X(-4)=-64,

⑵H)=(-1)x(-1)xH)x(-1)x(-1)-1

32

⑶G)=H)xH)xH)xH)=si

(4)-43=-4x4x4=-64

(5)0.14=0.1X0.1X0.1X0.1=0.0001

(6)I8=1

點撥：

(1)注意第(1)題與第(4)題區(qū)別。

(2)使用乘方的符號法則判斷結(jié)果的符號，防止結(jié)果錯誤。

教材習題第57頁習題第3題解題方法指導

目前將紙對折次數(shù)的世界紀錄是13次.假如一張紙的厚度1.從簡單到復雜，從特殊到一般發(fā)現(xiàn)規(guī)

是0.01cm,用計算器計算將其對折13次后的厚度.要想對律；

折后超過珠穆朗瑪峰的高度，需要對折多少次？2.學會估算；

【分析】

折疊13次后紙張的層數(shù)為：

折疊次數(shù)紙張層數(shù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，折疊n次后，紙張層數(shù)為2"

12=21所以折疊13次后，紙張層數(shù)為213=8192層

24=22所以折疊13次后，紙張厚度為8192X0.01=81.92cm

38=23要想對折后超過珠穆朗瑪峰的高度，那么

題型1考查乘方的概念、幕的概念

1.對于-53與(-5)3,下列敘述中正確的是()

A.底數(shù)相同，運算結(jié)果相同B.底數(shù)相同，運算結(jié)果不同

C.底數(shù)不同，運算結(jié)果相同D.底數(shù)不同，運算結(jié)果不同

【答案】C

【知識點】有理數(shù)累的概念理解、有理數(shù)的乘方運算

【分析】本題主要考查了募的認識和運算，準確分析判斷是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)幕的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】V-53=-125,(-5)3=-125,

???-53與(-5))底數(shù)不同，運算結(jié)果相同.

故選：C.

2.“(一2)義(一2)xx(-2),,可以寫成()

8個(-2)相乘

A.(-2)x8B.-2x8C.(-2)8D.-28

【答案】C

【知識點】有理數(shù)累的概念理解

【分析】本題考查了乘方的定義，利用乘方的定義解答即可.

8

【詳解】解：(-2)X(-2)XX(-2)=(-2)；

8個(-2)相乘

故選：C.

3.式子(-3)x(-3)x(—3)x(—3)可以表示為()

A.(-3)+4B.(-3)x4C.(-3)4D.-34

【答案】C

【知識點】有理數(shù)哥的概念理解

【分析】本題考查了有理數(shù)乘方的定義，根據(jù)多個相同的單項式相乘可以表示為基的形式，即41,。表示

相同的單項式，加表示單項式的個數(shù).據(jù)此即可解答.

【詳解】解：(-3)x(一3)x(-3)x(-3)=(-3)。

故選：C.

4.計算(-3)2可以表示為()

A.(-3)x2B.(-3)+2C.(-3)x(-3)D.(-3)+(-3)

【答案】C

【知識點】有理數(shù)哥的概念理解

【分析】根據(jù)幕的意義得(-3)2=(-3卜(-3),解答即可.

本題考查了有理數(shù)累的意義，正確理解累的意義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)嘉的意義得(-3)L(-3)x(-3),

故選：C.

5.式子-26表示的含義是()

A.6個2相乘的積的相反數(shù)B.-2與6相乘的積

C.6與-2相乘的積的相反數(shù)D.6個-2相乘的積

【答案】A

【知識點】有理數(shù)累的概念理解

【分析】本題考查了有理數(shù)乘方的意義，根據(jù)乘方的定義即可求出答案.

【詳解】解：式子-2$表示的含義是6個2相乘的積的相反數(shù)，

故選:A.

題型2利用乘方的定義進行計算

1.計算：

(1)(-4)3；(2)(-2)%

Q

【答案】⑴-64⑵16(3)--

【知識點】有理數(shù)的乘方運算

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方運算.

(1)根據(jù)乘方的定義將(-4)3展開算乘法即可；

(2)根據(jù)乘方的定義將(-2)4展開算乘法即可；

(3)根據(jù)乘方的定義將(-g］展開算乘法即可.

【詳解】(1)解：(T)3=(T)x(T)x(T)=—64；

(2)解：(—2)4=(—2)x(—2)x(—2)x(—2)=16；

2.計算：

(1)8?；⑵㈢1

【答案】(1)64⑵-，

【知識點】有理數(shù)的乘方運算

【分析】本題考查的是乘方運算，根據(jù)乘方運算的運算法則是解本題的關(guān)鍵;

(1)由8?=8x8,再計算即可;

(2)由再計算即可.

【詳解】(1)解：82=8x8=64；

3.計算：

(1)63:⑵㈠丫；⑶(-0.20

3

⑷㈢;(5)10:⑹(-IO。

(4)1(5)1000

【答案】(1)216(2)-343(3)-0.008(6)1000000

【知識點】有理數(shù)的乘方運算

【分析】本題考查了乘方的運算，熟練掌握哥的運算法則是解題的關(guān)鍵;

(1)根據(jù)正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)，計算即可;

(2)根據(jù)負數(shù)的奇次幕是負數(shù)，負數(shù)的偶次事是正數(shù)，計算即可;

(3)根據(jù)負數(shù)的奇次幕是負數(shù)，負數(shù)的偶次幕是正數(shù)，計算即可;

(4)根據(jù)負數(shù)的奇次幕是負數(shù)，負數(shù)的偶次嘉是正數(shù)，計算即可;

(5)根據(jù)正數(shù)的任何次塞都是正數(shù)，計算即可；

(6)根據(jù)負數(shù)的奇次塞是負數(shù)，負數(shù)的偶次基是正數(shù)，計算即可;

【詳解】(1)解:63=216；

(2)解：(-7)3=-343

⑶解：(-0.2)3=-0。08；

(4)解:㈢=1；

(5)解：103=1000;

(6)解：(-10)6=1000000.

4.計算:

⑶㈢?’

⑴(-5)3；(2)-53；

32

(4)—-；⑸TO；⑹

4

⑶29

【答案】(1)-125(2)-125(4)北(5)-2.25(6)—

1632

【知識點】有理數(shù)的乘方運算

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，掌握乘方的運算法則是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)有理數(shù)的乘方的運算法則計算即可；

(2)根據(jù)有理數(shù)的乘方的運算法則計算即可；

(3)根據(jù)有理數(shù)的乘方的運算法則計算即可；

(4)根據(jù)有理數(shù)的乘方的運算法則計算即可；

(5)根據(jù)有理數(shù)的乘方的運算法則計算即可；

(6)根據(jù)有理數(shù)的乘方的運算法則計算即可.

【詳解】⑴解：(-5)3=-125；

(2)解:-53=-125;

八329

(4)解：---二—；

44

(5)解：-1.52=-2.25

5.計算:

(1)(-10)3；⑵[I]；(3)-y；(4)-(-1)3.

【答案】(1)-1000⑵II(3)-y(4)1

【知識點】有理數(shù)的乘方運算

【分析】本題考查了乘方的運算，正數(shù)的任何次哥都是正數(shù)，負數(shù)的偶次暴是正數(shù)，負數(shù)的奇次塞是負數(shù),

0的任何正整數(shù)次累都等于0.

(1)(2)(3)(4)根據(jù)乘方運算法則計算即可.

【詳解】⑴解:(-10)3=(-10)x(-10)x(-10)=-1000

6636

(2)解:_x_—__

55-25

434x4x464

(3)解:

(4)解:^(-l)?-(-l)x(-l)x(-l)i1

題型3科學記數(shù)法

1.經(jīng)中國旅游研究院綜合測算，今年“五一”假日期間全國接待國內(nèi)游客1.47億人次，1.47億用科學記數(shù)法

表示為.

【答案】1.47x10s

【知識點】用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)

【分析】本題考查用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，絕對值大于1的數(shù)可以用科學記數(shù)法表示，一般形式為

4X10","為正整數(shù)，且比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1,據(jù)此可以解答.

【詳解】解：L47億=147000000用科學記數(shù)法表示為1.47x108.

故答案為：1.47x108

2.截至2025年5月5日，中國動畫電影《哪吒之魔童鬧海》全球票房已破158億元，暫列全球影史票房榜

第4位.科學記數(shù)法表示為.

【答案】1.58X1O10

【知識點】用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)

【分析】本題主要考查了科學記數(shù)法，科學記數(shù)法的表現(xiàn)形式為axlO"的形式，其中1＜忖＜10,〃為整

數(shù)，確定〃的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當

原數(shù)絕對值大于等于10時，”是正數(shù)，當原數(shù)絕對值小于1時”是負數(shù)；由此進行求解即可得到答案.

【詳解】解1.58xlO10.

故答案為：1.58x101°.

3.2025年4月24日，“長征二號尸'遙二十運載火箭將“神州二十號”載人飛船帶入太空，其起飛質(zhì)量約為

497000kg.將“497000”用科學記數(shù)法表示為.

【答案】4.97xlO5

【知識點】用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)

【分析】本題主要考查了科學記數(shù)法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握科學記數(shù)法的定義.

科學記數(shù)法的表現(xiàn)形式為ax10"的形式，其中心|“|＜10,〃為整數(shù)，確定〃的值時，要看把原數(shù)變成。時,

小數(shù)點移動了多少位〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當原數(shù)絕對值大于等于10時〃是正數(shù)，當原數(shù)

絕對值小于1時〃是負數(shù)；由此進行求解即可得到答案.

［詳解］解：497000=4.97xlO5,

故答案為：4.97xlO5.

4.OeepSe次是一款先進的人工智能助手，可提供高效、精準的信息檢索和智能對話服務.其活躍用戶數(shù)在

上線三個星期后達到了33700000.將33700000用科學記數(shù)法表示為.

【答案】3.37xlO7

【知識點】用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)

【分析】此題考查科學記數(shù)法的表示方法，科學記數(shù)法的表示形式為4X10〃的形式，其中〃為

整數(shù).確定”的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，"的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當

原數(shù)絕對值210時，〃是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，〃是負整數(shù).

【詳解】解：33700000=3.37xlO7,

故答案為：3.37xlO7.

5.地球有多大？這個問題對于今天的同學們來說已不再陌生：地球的平均半徑約為6371千米，赤道的周

長約為40075千米，子午線的周長約為40008千米.將子午線的周長用科學記數(shù)法可表示為米.

【答案】4.0008xlO7

【知識點】用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)

【分析】本題主要考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為4X10"的形式，其中”

為整數(shù).確定W的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，”的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.

【詳解】解：40008千米即40008000米.

40008000=4.0008xlO7，

故答案為：4.0008xlO7

題型4還原科學記數(shù)法表示的數(shù)

1.《康熙字典》是清朝康熙年間出版的圖書，字典全書共收錄漢字4.7x104余個，貝IJ4.7x104的原數(shù)為一.

【答案】47000

【知識點】將用科學記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)

【分析】本題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中1＜同＜10,n

為整數(shù).確定n的值時,要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位,”的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當

原數(shù)絕對值210時，w是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，”是負整數(shù).據(jù)此解答即可.

【詳解】解：4.7xlO4=47000.

故答案為：47000.

2.已知：4=3.456x106,則。表示的數(shù)為.

【答案】3456000

【知識點】將用科學記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)

【分析】本題考查科學記數(shù)法，利用有理數(shù)的乘方運算，把科學記數(shù)法表示的數(shù)還原即可.

【詳解】解：a=3.456x10s=3456000;

故答案為：3456000

3.蓮花湖濕地公園占地面積用科學記數(shù)法表示為7.92x106平方米，則原數(shù)為萬平方米.

【答案】792

【知識點】將用科學記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)

【分析】本題考查用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)，科學記數(shù)法的表示形式為axl(r,lSa|<10,〃為正

整數(shù)，是基礎考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

根據(jù)科學記數(shù)法表示形式解答即可.

【詳解】解：7.92x106=7920000平方米，則原數(shù)為792萬平方米.

故答案為:792.

4.下列是用科學記數(shù)法表示的數(shù)，把原數(shù)填在橫線上：4.08x102=；7.56x106=.

【答案】4087560000

【知識點】將用科學記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)

【分析】本題考查了科學記數(shù)法，熟練掌握科學記數(shù)法是解題的關(guān)鍵.科學記數(shù)法的形式為ax10",其中

l<|a|<10,〃為整數(shù)，當時，原數(shù)等于把小數(shù)點向右移動“位，據(jù)此解答.

【詳解】解：4.08?102408；

7.56?1067560000.

故答案為：408；7560000.

5.我國研究人員利用中國天眼發(fā)現(xiàn)了1個尺度大約為200萬光年的巨大原子氣體系統(tǒng)，尺度比銀河系大20

倍.長度單位光年是指光在真空中傳播一年所經(jīng)過的距離，大約為9.4607x10“千米，原來的數(shù)是.

【答案】9460700000000

【知識點】將用科學記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)

【分析】本題考查了科學記數(shù)法，科學記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中1<忖<10,”為整數(shù)，

掌握將科學記數(shù)法表示的數(shù)變回原來的數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意，將用科學記數(shù)法表示的數(shù)

9.4607xlO12化成原來的數(shù)即可.

【詳解】解：9.4607xlO12=9460700000000.

故答案為：9460700000000.

題型5含乘方的有理數(shù)的混合運算

1.計算：

⑴-(1-0.5)x；一12-(-3)](2)(-1)2°"+(-2)3X切-(-3『

【答案】(1)5，(2)T

【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運算

【分析】本題主要考查含乘方的有理數(shù)混合運算；

(1)先計算乘方和小括號里的計算，再計算乘法，最后計算加減法即可；

(2)先計算乘方，再計算乘法，最后計算加減法即可.

【詳解】（1）解：―廣―（i—05）x3—

=-l-0.5x1-(2-9)

23v7

=-l--+7

6

=5i

202431

⑵解：(-1)+(-2)X(-3)2

2

=l-8x

=1+4—9

=T

2.計算:

(1)(-1)2022-|1-0.5|X|X[2-(-3)2]；

113

【答案】⑴]（2）j

【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運算

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.

（1）先乘方、化簡絕對值、括號內(nèi)計算，再計算乘法，再計算減法即可；

（2）先進行括號內(nèi)計算，再計算乘除即可.

【詳解】⑴解：（一1廣2一卜0.5|xgx[2-（一3）1

n

_3

-2,

3.計算：-32+5X^-|-^-44-(-8).

【答案】-16.5

【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運算

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算.根據(jù)有理數(shù)的運算法則及運算順序依次計算即可.

【詳解】解：孑+5x(--4+(-8)

=-9-8+0.5

=-16.5.

4.計算：23x^-lj+5^|1-(-4)|-(-3)2X3.

【答案】-28

【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運算

【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)混合運算，掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵.先計算乘方和絕對值，再

計算乘除法，最后計算加減法即可.

【詳解】解：2,x[—+5*1一(一4)|一(一3)2x3

=8xC)+5+5-9x3

=-2+1-27

=-28.

5.計算：一/一卜升小(-2)3+卜3?+1]

【答案】1

【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運算

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵.

先算乘方，化簡絕對值，再算乘除，最后算加減即可.

【詳解】解：-14-[-5^X±+(-2)3+|-32+1|

=-1-1*1(+(-8)+卜9+1|

=—1+2—8+8

=1.

題型6利用乘方解決實際問題

1.拉面是很多人都喜歡吃的一種面食.拉面館的師傅用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉長，再捏合,

又拉長，反復幾次，就把這根很粗的面條拉成了許多根較細的面條.回答下列問題：

（1）第6次捏合后，可得多少根面條？

（2）經(jīng)過多少次捏合后可得到256根面條？

【答案】（1）64根（2）8次

【知識點】有理數(shù)的乘方運算、乘方的應用

【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘乘方的應用.

（1）計算26即可得出答案.

（2）由28=256即可得出答案.

【詳解】（1）解：26=64（根）

則第6次捏合后，可得64根面條.

（2）解:因為28=256,

所以經(jīng)過8次捏合后可得到256根面條.

2.古時候，在某個王國里有一位聰明的大臣，他發(fā)明了國際象棋，獻給了國王，為表示對大臣的感謝，國

王答應滿足大臣一個要求.大臣說：“就在這個棋盤上放一些米粒吧，第一格放1粒米，第二格放2粒米，第

三格放4粒米，然后是8粒米，16粒米，L直到第64格“你真傻就要這么一點米？”國王哈哈大笑，大臣

說：“就怕你的國庫里沒有這么多米？”你知道第64格中能放多少米嗎？請你幫忙計算出來.

【答案】263

【知識點】乘方的應用

【分析】本題考查了乘方的應用，由已知可得第〃格放的米粒數(shù)為2力，據(jù)此即可求解，根據(jù)題意找到數(shù)字

的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：第一格放1粒米，即20粒，

第二格放2粒米，即2粒，

第三格放4粒米，即2?粒，

第四格放8粒米,即23粒,

第五格放16粒米，即2,粒，

L,

.??第”格放的米粒數(shù)為2"一粒，

...第64格放的米粒數(shù)是263粒.

3.一根20米長的繩子，第1次剪去一半，第2次剪去剩下的一半，第3次又剪去剩下的一半，如此剪下

去，問第8次剪去后剩下的繩子有多長？

【答案】芻米

64

【知識點】乘方的應用

【分析】表示出第一次，第二次剪去后剩下的長度，…，歸納總結(jié)得到第8次后剩下的長度即可.

【詳解】解：：第1次剪去后剩下的繩子的長度為20x11-￡|=20x；米，

第2次剪去后剩下的繩子的長度為20x1g：米；

.?.第3次剪去后剩下的繩子的長度為20米；

依此類推第8次剪去后剩下的繩子的長度為20x（'1=A（米）.

⑵64

故答案為：垓;米.

64

【點睛】此題是規(guī)律類探索問題，主要考查了乘方的意義.由特殊出發(fā)探索得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

4.細菌分裂是一種特殊的生殖方式，細菌分裂一次由一個變?yōu)閮蓚€.某種細菌每0.5小時便可以進行一次

分裂，經(jīng)過5小時后這種細菌由1個能分裂成多少個？

【答案】經(jīng)過5小時后這種細菌由1個能分裂成*個

【知識點】乘方的應用

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，解決此題的關(guān)鍵是要找出分裂一次為2、

根據(jù)已知條件可知細菌每半小時分裂一次（由一個分裂為兩個）,經(jīng)過5個小時就會分裂10次,分裂一次為21，

則分裂10次為210個即可.

【詳解】解：：細菌每0.5小時便可以進行一次分裂，

該細菌5小時分裂10次，

???細菌分裂一次由一個變?yōu)閮蓚€

,經(jīng)過5小時，細菌分裂為個.

答：經(jīng)過5小時后這種細菌由1個能分裂成個.

5.水葫蘆是一種水生漂浮植物，有著驚人的繁殖能力.據(jù)研究表明：適量的水葫蘆生長對水質(zhì)的凈化是有

利的，關(guān)鍵是科學管理和轉(zhuǎn)化利用，若在適宜的條件下，1株水葫蘆每5天就能繁殖1株.（不考慮死亡、

被打撈等其他因素）

（1）假設湖面上現(xiàn)有1株水葫蘆，填寫下表：

天數(shù)51015255n

總株數(shù)24

（2）假定某個水域的水葫蘆維持在1280株以內(nèi)對水質(zhì)凈化有益.若現(xiàn)有10株水葫蘆，請你計算，按照上述

生長速度，多少天時有1280株水葫蘆？

【答案】（1）見解析；

（2）35天

【知識點】乘方的應用

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，理解乘方的意義并讀懂圖表信息是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)有理數(shù)乘方的定義填寫即可；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論列出方程求出小然后乘以5即可.

【詳解】（1）根據(jù)題意得，當天數(shù)為15時，總株數(shù)為23=8,

當天數(shù)為25時，總株數(shù)為2,=32,

???當天數(shù)為5〃時，總株數(shù)為2”,

填表如下：

天數(shù)51015255n

總株數(shù)248322〃

（2）根據(jù)題意得，10x2"=1280,

解得〃=7,

7x5=35（天）.

答：按照上述生長速度，35天時有1280株水葫蘆.

?金斕識框架

知識導圖記憶

乘方

知識目標復核

1.理解有理數(shù)乘方的意義，會進行有理數(shù)乘方的運算；

2.知道底數(shù)、指數(shù)、募的概念，會求一個有理數(shù)的正整數(shù)指數(shù)易；

3.會用科學記數(shù)法表示一個較大的數(shù)，并能將科學記數(shù)法表示的數(shù)還原為普通形式。

/跳檢毓開

一、選擇題

1.-25表示的意義是（）

A.-2與5相乘B.2個-5相乘

C.5個2相乘的相反數(shù)D.2個5相乘的相反數(shù)

【答案】C

【知識點】有理數(shù)事的概念理解、相反數(shù)的定義

【分析】本題考查了有理數(shù)幕的概念、相反數(shù)，熟練掌握有理數(shù)幕的概念和相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)有理數(shù)幕的概念和相反數(shù)的定義即可解答.

【詳解】解：-25表示的意義是5個2相乘的相反數(shù).

故選：C.

2.(-9)3的底數(shù)是()

A.-9B.-3C.3D.9

【答案】A

【知識點】有理數(shù)累的概念理解

【分析】本題考查有理數(shù)募的定義，根據(jù)有理數(shù)募的定義優(yōu)，其中。為底數(shù)，進行判斷即可.

【詳解】解：(-9)3的底數(shù)是一9；

故選A.

3.下列式子可以表示成3,的是()

A.4x4x4B.3x3x3x3C.3+3+3+3D.4+4+4

【答案】B

【知識點】有理數(shù)暴的概念理解

【分析】本題考查有理數(shù)乘方，關(guān)鍵是理解乘方的含義，乘方表示幾個相同因數(shù)的積的簡便運算.根據(jù)乘

方的定義運算即可.

【詳解】解：寸中3是底數(shù)，4是指數(shù)，表示4個3相乘，

即34=3x3x3x3.

故選：B.

4.下列各式中，不相等的是()

A.(-2)3和一23B.(-3)2和3?

C.(-和-3。D.卜2『和卜

【答案】C

【知識點】求一個數(shù)的絕對值、有理數(shù)的乘方運算

【分析】本題考查有理數(shù)乘方的運算，絕對值，熟練掌握乘法的定義及運算是解題的關(guān)鍵.利用乘方的定

義依次進行計算，即可判斷.

【詳解】解：A中，：(-2)3=-8,-23=-8,

/.(-2)3=-23,

故選項A正確，不符合題意；

B中，V(-3)2=9,32=9,

/.(-3)2=32,

故選項B正確，不符合題意；

C中，V(-3)2=9,-32=-9,

：.(-3)2*-32,

故選項c錯誤，符合題意；

D中，V|-2|3-8,|-23|=8,

故選項D正確，不符合題意；

故選：C.

5.對于一53與（-5）3,下列敘述中正確的是（）

A.底數(shù)相同，運算結(jié)果相同B.底數(shù)相同，運算結(jié)果不同

C.底數(shù)不同，運算結(jié)果相同D.底數(shù)不同，運算結(jié)果不同

【答案】C

【知識點】有理數(shù)事的概念理解、有理數(shù)的乘方運算

【分析】本題主要考查了幕的認識和運算，準確分析判斷是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)塞的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】：-53=-125,（-5）3=-125,

...-53與（-5）3,底數(shù)不同，運算結(jié)果相同.

故選：C.

6.若（一。嚴09〉。，則一定有（）

A.a>0B.a=0C.a<0D.o>0

【答案】C

【知識點】乘方運算的符號規(guī)律

【分析】本題考查的是乘方運算的符號規(guī)律，分別根據(jù)a>0，a=0,。<。進行探究即可得到答案.

【詳解】解：當a>0,則（-a嚴晨。，

當。=0,則（一°產(chǎn)°9=0,

當。<0,則-a>0,則（一。嚴09>0,

...當（一。產(chǎn)°9>0,則a<0,

故選：C

7.如果儲=16,貝!］。是（）

A.8或-8B.-4C.4D.4或-4

【答案】D

【知識點】有理數(shù)乘方逆運算

【分析】此題考查有理數(shù)的乘方.直接利用有理數(shù)的乘方運算法則計算得出答案.

【詳解】解：:42=16,（-4）2=16,a2=16,

a是：4或—4.

故選：D.

8.《莊子?天下篇》講到：“一尺之梗，日取其半，萬世不竭”意思是說一尺長的木棍，每天截取它的一半,

千秋萬代也截不完.一天之后“一尺之田剩3尺，兩天之后剩;尺,那么五天之后，這個一尺之梅,還剩（）

A.一尺B.-尺C.—尺D.—尺

481632

【答案】D

【知識點】有理數(shù)乘方逆運算

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方，弄懂題意并掌握乘方的運算法則是解答的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)題意，第一天后剩g尺，

兩天之后剩=-（尺），

22⑵4

第三天后剩=-（尺）,

8

第〃天后剩g）（尺），

第五天后這個“一尺之?！边€剩（工］=—（尺）.

（2）32

故選：D.

9.2025年春節(jié)期間，昭通市實現(xiàn)旅游綜合收入32.15億元.全市共接待游客約290.3萬人次，“290.3萬”用科

學記數(shù)法表示為（）

A.290.3xlO4B.290.3xlO5C.2.903xlO6D.2.903xlO7

【答案】C

【知識點】用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)

【分析】此題考查了科學記數(shù)法的表示方法，先把290.3萬轉(zhuǎn)化為2903000,再根據(jù)科學記數(shù)法的表示形式

為axlO"的形式，其中144<10,〃為整數(shù)即可求解，解題的關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值.據(jù)此求解

即可；

【詳解】解：290.3萬=2903000=2.903xlO6,

故選：C.

10.我們常用的十進制，如：2025=2X103+0X102+2X101+5,表示十進制的數(shù)要用10個數(shù)碼：0,1,2,

3,4,5,6,7,8,9.在計算機中用的是二進制，只有兩個數(shù)碼：0,1,如：二進制中111=1x2?+1x21+1.相

當于十進制中的7,又如：11011=1x24+1x23+0x22+1x21+1.相當于十進制中的27.那么十進制中的

25相當于二進制中的（）

A.10011B.11001C.11010D.11101

【答案】B

【知識點】有理數(shù)的乘方運算

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方讀懂題目信息，理解二進制數(shù)的表示方法是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)十進制中的25相當于二進制中的1x24+1x23+0x22+0x21+1即可解答.

【詳解】解：25=1X24+1X23+0X22+0X21+1,

十進制中的25相當于二進制中的11001,

故選：B.

二、填空題

11.的底數(shù)是.

【答案】|

【知識點】有理數(shù)事的概念理解

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的有關(guān)定義即可解答.

【詳解】解：的底數(shù)為

故答案為：~.

【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的定義是解本題的關(guān)鍵.求“個相同,因數(shù)的積的運

算叫乘方,乘方的結(jié)果叫做幕，在。的〃次方中。a叫做底數(shù),w叫做指數(shù).

12.比較大小：（填＞或〈）.

【答案】＜

【知識點】有理數(shù)的乘方運算、有理數(shù)大小比較

【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，1、在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的總比左邊的數(shù)大.2、正數(shù)都

大于零，負數(shù)都小于零，正數(shù)大于負數(shù).3、兩個正數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)大；兩個負數(shù)比較大小，絕

對值大的數(shù)反而小.

先計算各數(shù)，再利用有理數(shù)大小的比較方法比較即可.

【詳解】解：=一圖2=-。，

331^2）4

,,—8＞—9

?34，

89

??__?____、_，

34

故答案為：＜.

13.如果3=一32,/=8那么￡1=.

【答案】4

【知識點】有理數(shù)乘方逆運算、有理數(shù)的乘方運算

【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方的定義及法則.熟練掌握有理數(shù)的乘方的定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)有理

數(shù)乘方的定義，已知等式中的-32相當于-2的5次方，由此可以求出x的值為-2.已知等式中的8相當于

2的3次方，由此可以求出y的值為2.進而可求出/的值.

【詳解】解：???-32=(-2)5,

%5=(-2)\

??x=-2.

,/23=8,

y=2,

因此X，=(-2)2=4.

故答案為：4.

14.有一列按照一定規(guī)律寫出的單項式：-2%,?2,-6/，8/，-10x5,…請寫出這列單項式的第2%個

和第(24+1)個(左是正整數(shù)),.

【答案】4kx2k-(44+2)針”(或-2(2Z+1)/M)

【知識點】用代數(shù)式表示數(shù)、圖形的規(guī)律、乘方運算的符號規(guī)律、單項式規(guī)律題

【分析】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，能夠通過所給單項式的特點，探索出單項式的一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵.通

過觀察可得規(guī)律：第〃個單項式是由此即可求解題.

【詳解】解：：-2x,4x2,-6X3,8x4--lOx',…

六第n個單項式是(-1)"x2n-xn,

當〃=2左時,第2021個單項式是(-1廣x2x2%?一=4正"，

當〃=2%+1時，第2021個單項式是(-1戶+,2x(2左+1)?鏟左+2)針包，

故答案為：4kx2k;~(4k+2)x2k+1.

15.將邊長為1的正方形紙片按如圖所示方法進行對折，第1次對折后得到的圖形面積為b，第2次對折

后得到的圖形面積為$2，,第"次對折后得到的圖形面積為S”，則，+S2+S3++S2025=.

【答案】1-^F

【知識點】乘方的應用、圖形類規(guī)律探索

【分析】本題考查圖形中的規(guī)律問題.掌握“錯位相減法”是解題關(guān)鍵.由題意可得S“=￡,據(jù)此即可求解.

【詳解】解：由題意，可得，s“=&J，

所以岳+邑+S3++S“M+KT+RT++佶丫.

令,=4)+++

則2Af=l+g+(J+@

++

所以2M-M=1-|-,即河=1一

所以W+S2+S3++邑025=1-匕J=1-萍

故答案為：

16.資料表明，被稱為“地球之肺”的森林正以每年約1300萬公頃的速度從地球上消失，“1300萬”用科學記

數(shù)法表示是.

【答案】1.3X107

【知識點】用科學記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)

【分析】此題考查了科學記數(shù)法，科學記數(shù)法的表示形式為axio"的形式，其中14M<10,〃為整數(shù)，熟

練掌握科學記數(shù)法的定義是解答本題的關(guān)鍵.

根據(jù)科學記數(shù)法的定義解答即可.

【詳解】解：1300萬=13000000=1.3x107,

故答案為：1.3x107.

三、解答題

17.計算：(-2)3+-(1-9)x1.

【答案】42

【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運算

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算,

22

根據(jù)(-2)3=_8,-§=1F°25=I,再計算有理數(shù)的乘法，最后算有理數(shù)的加減.

7

【詳解】解：原式=-8+］-(-8)xl,

_2

-3-

18.計算：(一1戶"+卜6|+9(-23一4一2).

【答案】2

【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運算

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵.先算乘方、化簡絕對值，再

算乘除，后算加減，即可解答.

【詳解】解：(-1)2024+|-6|+|X(-23-4-2)

=l+6+；x(-8-2)

=l+6+；x(-10)

=7-5

=2

19.計算：

(2)-12024+18-|-|(-2)3-2|

【答案］⑴30

(2)4

【知識點】有理數(shù)乘法運算律、含乘方的有理數(shù)混合運算

【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵.

(1)原式先計算乘方，再運用乘法分配律進行計算即可；

(2)原式先計算乘方和化簡絕對值，再計算除法，最后計算加減法即可.

【詳解】(1)解：(一6八||-；+曰

=36#二+工］

(3412J

215

=36x——36x-+36x—

3412

=24-9+15

=30；

(2)解：-lM24+18^|-|(-2)3-2|

=-1+15-|-8-2|

=-1+15-10

=4

3/1\2025

20.計算：-32X|-2|+12H-x(T)

【答案】-答

【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運算、求一個數(shù)的絕對值

【分析】本題考查了化簡絕對值，含乘方的有理數(shù)的混合運算，先運算乘方，以及化簡絕對值，再運算乘

法，最后運算加法，即可作答.

32025

【詳解】解：-32X|-2|+12^x(-l)

=-9x2+12xx(-0

=-18+12x2

3

=—18+8

=—10.

21.當把一張紙對折1次時，紙的層數(shù)為2；對折2次時，紙的層數(shù)為4,照這樣折下去:

(1)當你將紙對折5次時，其層數(shù)是;對折6次時，其層數(shù)是

(2)如果一張紙的厚度是0.1mm,假設對折6次，求對折后紙的總厚度？

【答案】(1)32,64

(2)對折6次紙的總厚度為6.4mm

【知識點】乘方的應用、圖形類規(guī)律探索、用代數(shù)式表示數(shù)、圖形的規(guī)律

【分析】本題主要考查了對折紙.探究紙層數(shù)