第二節(jié)常用邏輯用語高中總復習·數(shù)學課標要求

1.

理解充分條件、必要條件、充要條件的含義.2.

理解判定定理與充分條件的關系，性質(zhì)定理與必要條件的關系，數(shù)學定

義與充要條件的關系.3.

理解全稱量詞命題與存在量詞命題的含義，能正確地對含有一個量詞的

命題進行否定.目錄CONTENTS知識·逐點夯實01.考點·分類突破02.課時·跟蹤檢測03.PART01知識·逐點夯實必備知識|課前自修

1.

充分條件與必要條件命題真假“若p，則q”

為真命題“若p，則q”為假命題“若p，則q”和“若

q，則p”都是真命題推出關系p

?qp

?qp

?q條件關系p是q的

?

條件，q是P的

?

條件p不是q的

?條

件，q不是p的

?

條件p是q的

?

條件，簡稱

?

條件?

?

充分

必要

充分

必要

充分必要

充要

提醒

（1）A是B的充分不必要條件?A?B且B

A；（2）A的充分不必

要條件是B?B?A且A

B.

2.

全稱量詞和存在量詞類別全稱量詞存在量詞量詞所有的、任意一個存在一個、至少有一個符號??命題含有

的命題，

叫做全稱量詞命題含有

的命題，叫做存

在量詞命題命題形式“對M中任意一個x，p

（x）成立”可用符號簡記為

“

?”“存在M中的元素x，p（x）成

立”可用符號簡記為

“

?”全稱量詞

存在量詞

?x∈M，p（x）

?x∈M，p（x）

3.

全稱量詞命題和存在量詞命題的否定名稱全稱量詞命題存在量詞命題結構對M中任意一個x，p（x）成立存在M中的元素x，p（x）成立簡記?x∈M，p（x）?x∈M，p（x）否定?x∈M，

p（x）?x∈M，

p（x）提醒對省略了量詞的命題進行否定時，要結合命題的含義加上量詞，再改

變量詞.

1.

若p是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件.2.

p是q的充分不必要條件，等價于

q是

p的充分不必要條件.3.

用集合間的包含關系判斷充分、必要條件：設A＝{x｜p（x）}，B＝

{x｜q（x）}.（1）若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；（2）若A?B，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；（3）若A＝B，則p是q的充要條件.4.

命題p和

p的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可判斷

此命題的否定的真假.

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）全稱量詞命題一定含有全稱量詞.

（

×

）（2）“有些三角形中三個內(nèi)角相等”是存在量詞命題.

（

√

）（3）當p是q的充分條件時，q是p的必要條件.

（

√

）（4）若已知p：x＞1和q：x≥1，則p是q的充分不必要條件.

（

√

）×√√√2.

（人A必修一P27例1、P28例2改編）下列命題中的假命題是（

）A.

?x∈R，2x－1＞0B.

?x∈N*，（x－1）2＞0C.

?x0∈R，lg

x0＜1D.

?x0∈R，tan

x0＝2解析：

x∈N*時，x－1∈N，得（x－1）2≥0，當且僅當x＝1時取等

號，故B不正確；易知A、C、D正確.√3.

（人A必修一P21例3（3）改編）“xy＞0”是“x＜0，y＜0”的

（

）A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件解析：

因為xy＞0?/

x＜0，y＜0，且x＜0，y＜0?xy＞0，所以“xy

＞0”是“x＜0，y＜0”的必要不充分條件.√4.

（蘇教必修一P47本章測試10題改編）若命題“?x∈R，x2－x＋

a≠0”的否定是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A.

a≥

B.

a≤

C.

a＞

D.

a＜

√5.

若“x＞m”是“x＞3”的充分不必要條件，則m的取值范圍

是

?.解析：因為“x＞m”是“x＞3”的充分不必要條件，所以（m，＋∞）

是（3，＋∞）的真子集，由圖可知m＞3.（3，＋∞）

PART02考點·分類突破精選考點|課堂演練充分條件、必要條件的判定

（基礎自學過關）1.

（2024·天津高考2題）設a，b∈R，則“a3＝b3”是“3a＝3b”的

（

）A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件解析：

由函數(shù)y＝x3是增函數(shù)可知，若a3＝b3，則a＝b；由函數(shù)y＝

3x是增函數(shù)可知，若3a＝3b，則a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要

條件，故選C.

√2.

設x∈R，則“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的（

）A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件解析：

不等式x2－5x＜0的解集為A＝{x｜0＜x＜5}，由｜x－1｜＜1

得－1＜x－1＜1，其解集為B＝{x｜0＜x＜2}，則集合B是A的真子集，

所以“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的必要不充分條件，故選B.

√3.

（2025·青島一模）已知直線a，b和平面α，a?α，b?α，則

“a∥α”是“a∥b”的（

）A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充分必要條件D.

既不充分也不必要條件解析：

當a∥α時，a與b平行或異面，當a∥b時，a?α，b?α，

則a∥α，所以“a∥α”是“a∥b”的必要不充分條件.故選B.

√練后悟通充分條件、必要條件的兩種判定方法（1）定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問

題；（2）集合法：根據(jù)p，q對應的集合之間的包含關系進行判斷，多適用于

條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題.充分、必要條件的探究與應用（師生共研過關）

（2024·南昌三模）已知p：“x＞2”，q：“x2－x－a＞0”，若p

是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A.

［－

，2］B.

（－∞，2]C.

（－

，＋∞）D.

[2，＋∞）解析：

若p是q的充分不必要條件，故x2－x－a＞0在x＞2時恒成立，

故得a＜x2－x，令f（x）＝x2－x，由二次函數(shù)性質(zhì)得f（x）在（2，＋

∞）時單調(diào)遞增，則f（x）＞f（2）＝2，可得a∈（－∞，2]，故選B.

√解題技法應用充分、必要條件求解參數(shù)范圍的方法（1）把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根

據(jù)集合之間的關系列出關于參數(shù)的不等式（組）求解；（2）注意區(qū)間端點值的檢驗.尤其是利用兩個集合之間的關系求解參數(shù)的

取值范圍時，不等式是否能夠取等號取決于端點值的取舍，處理不當容易

出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.

1.

一元二次方程ax2＋5x＋4＝0（a≠0）有一個正根和一個負根的一個必

要不充分條件是a∈（

）A.

（－∞，0）B.

（0，＋∞）C.

（－∞，2）D.

（－∞，－1）

√2.

若關于x的不等式｜x－1｜＜a成立的充分條件是0＜x＜4，則實數(shù)a的

取值范圍是

?.

[3，＋∞）

全稱量詞與存在量詞（定向精析突破）考向1

含量詞命題的否定及真假判定1.

已知命題p：?x∈R，x＝－1或x＝2，則（

）A.

p：?x?R，x≠－1或x≠2B.

p：?x∈R，x≠－1且x≠2C.

p：?x∈R，x＝－1且x＝2D.

p：?x?R，x＝－1或x＝2解析：

注意“x＝－1或x＝2”的否定是“x≠－1且x≠2”，所以命

題p的否定是“?x∈R，x≠－1且x≠2”.√2.

（2024·新高考Ⅱ卷2題）已知命題p：?x∈R，｜x＋1｜＞1；命題q：

?x＞0，x3＝x.則（

）A.

p和q都是真命題B.

p和q都是真命題C.

p和

q都是真命題D.

p和

q都是真命題√解析：

法一因為?x∈R，｜x＋1｜≥0，所以命題p為假命題，所以

p為真命題.因為x3＝x，所以x3－x＝0，所以x（x2－1）＝0，即x（x

＋1）（x－1）＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以?x＞0，使得x3＝

x，所以命題q為真命題，所以

q為假命題，所以

p和q都是真命題，

故選B.

法二（特殊值法）在命題p中，當x＝－1時，｜x＋1｜＝0，所以命題p

為假命題，

p為真命題.在命題q中，因為立方根等于本身的實數(shù)有－

1，0，1，所以?x＞0，使得x3＝x，所以命題q為真命題，

q為假命

題，所以

p和q都是真命題，故選B.

3.

〔多選〕下列說法正確的是（

）A.

“菱形是正方形”是全稱量詞命題B.

“?x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“?x，y∈R，x2＋y2＜0”C.

命題“有一個奇數(shù)不能被3整除”的否定是“有一個奇數(shù)能被3整除”D.

“A＝B”是“sin

A＝sin

B”的必要不充分條件√√

練后悟通1.

含量詞命題真假的判斷方法判定全稱量詞命題“?x∈M，p（x）”是真命題，需要對集合M中的每

一個元素x，證明p（x）成立；要判定存在量詞命題“?x∈M，p

（x）”是真命題，只要在集合M內(nèi)找到一個x，使p（x）成立即可.2.

全稱量詞命題與存在量詞命題的否定（1）改寫量詞，即確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結合命題的

含義加上量詞，再對量詞進行改寫；（2）否定結論，即對原命題的結論進行否定.考向2

含量詞命題的應用

已知命題“?x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命題，則實數(shù)a的取值范

圍是（

）A.

（－

，0）B.

（0，

）C.

（

，＋∞）D.

（1，＋∞）

√解題技法由命題的真假求參數(shù)的方法（1）全稱量詞命題可轉化為恒成立問題；（2）存在量詞命題可轉化為存在性問題；（3）全稱量詞、存在量詞命題假可轉化為它的否定命題真.

已知命題p：?x∈[1，2]，x2－a≥0，命題q：?x∈R，x2＋2ax＋2－

a≠0，若命題p和

q都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A.

（－∞，－2]∪{1}B.

（－∞，－

］C.

（－∞，1]D.

［－

，1］√解析：

當p：?x∈[1，2]，x2－a≥0為真命題時，a≤x2在[1，2]上

恒成立，因為x∈[1，2]，所以x2∈[1，4]，所以a≤1；命題q：

?x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0的否定

q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0為

真命題時，Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≤－2或a≥1.因為命題p和

q

都是真命題，所以a＝1或a≤－2.PART03課時·跟蹤檢測關鍵能力|課后練習

12345678910111213141.

下列命題中既是全稱量詞命題，又是真命題的是（

）A.

菱形的四條邊都相等B.

?x∈N，使2x為偶數(shù)C.

?x∈R，x2＋2x＋1＞0D.π是無理數(shù)解析：

對于A，所有菱形的四條邊都相等，是全稱量詞命題，且是真命

題；對于B，?x∈N，使2x為偶數(shù)，是存在量詞命題；對于C，?x∈R，

x2＋2x＋1＞0，是全稱量詞命題，當x＝－1時，x2＋2x＋1＝0，故是假命

題；對于D，π是無理數(shù)，是真命題，但不是全稱量詞命題.√2.

命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是（

）A.

?x∈R，?n∈N*，使得n＞x2B.

?x∈R，?n∈N*，都有n＞x2C.

?x∈R，?n∈N*，使得n＞x2D.

?x∈R，?n∈N*，都有n＞x2解析：

?改寫為?，?改寫為?，n≤x2的否定是n＞x2，則該命題的否

定形式為“?x∈R，?n∈N*，都有n＞x2”.√12345678910111213143.

（2024·北京高考5題）設a，b是向量，則“（a＋b）·（a－b）＝

0”是“a＝－b或a＝b”的（

）A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件√1234567891011121314解析：

由（a＋b）·（a－b）＝0，得a2－b2＝0，即｜a｜2－｜b｜2

＝0，所以｜a｜＝｜b｜，當a＝（1，1），b＝（－1，1）時，｜a｜

＝｜b｜，但a≠b且a≠－b，故充分性不成立；當a＝－b或a＝b時，

（a＋b）·（a－b）＝0，故必要性成立.所以“（a＋b）·（a－b）＝

0”是“a＝－b或a＝b”的必要不充分條件.12345678910111213144.

已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則“公比q＞1”是“{an}為遞增數(shù)列”的

（

）A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件

√12345678910111213145.

設計如圖所示的四個電路圖，則能表示“開關A閉合”是“燈泡B亮”

的必要不充分條件的一個電路圖是（

）解析：

選項A：“開關A閉合”是“燈泡B亮”的充分不必要條件；選

項B：“開關A閉合”是“燈泡B亮”的充要條件；選項C：“開關A閉

合”是“燈泡B亮”的必要不充分條件；選項D：“開關A閉合”是“燈

泡B亮”的既不充分也不必要條件.故選C.

√12345678910111213146.

已知命題p：?x∈R，x2－ax＋1≥0；命題q：?x∈R，2x＜a.若p和

q均為真命題，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A.

（－2，0]B.

（－2，0）C.

[－2，0]D.

[－2，0）解析：

由p為真命題，可知對于方程x2－ax＋1＝0，Δ＝（－a）2－

4×1×1≤0，解得－2≤a≤2.由

q為真命題，可得?x∈R，2x≥a恒成

立，因為2x＞0恒成立，所以a≤0.綜上所述，a的取值范圍為[－2，0]，

故選C.

√1234567891011121314

A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件

√12345678910111213148.

〔多選〕關于二次函數(shù)y＝（x－2）2－1，下列說法中正確的是

（

）A.

?x∈R，y＝（x－2）2－1≥1B.

?a＞－1，?x0∈R，y＝（x0－2）2－1＜aC.

?a＜－1，?x0∈R，y＝（x0－2）2－1＝aD.

?x1≠x2，（x1－2）2－1＝（x2－2）2－1√√1234567891011121314解析：

對于二次函數(shù)y＝（x－2）2－1，其圖象開口向上，對稱軸為

直線x＝2，最小值為－1.對于選項A，當x＝2時，y＝－1＜1，所以A不

正確；對于選項B，?a＞－1，當x0＝2時，y＝－1＜a，所以B正確；對

于選項C，當a＝－2時，?x∈R，y＝（x－2）2－1＞a，所以C不正確；

對于選項D，取x1＝1，x2＝3，則（x1－2）2－1＝（x2－2）2－1，所以D

正確.故選B、D.

12345678910111213149.

〔多選〕若a，b，c∈R，則下列敘述中正確的是（

）A.

“ab2＞cb2”是“a＞c”的充要條件B.

“a＞1”是“

＜1”的充分不必要條件C.

“ax2＋bx＋c≥0對x∈R恒成立”的充要條件是“b2－4ac≤0”D.

“a＜1”是“方程x2＋x＋a＝0有一個正根和一個負根”的必要不充

分條件√√1234567891011121314

1234567891011121314

123456789101112131410.

命題p：若直線l與平面α內(nèi)的所有直線都不平行，則直線l與平面α

不平行.則命題

p是

命題（填“真”或“假”）.解析：若直線l與平面α內(nèi)的所有直線都不平行，則直線l與平面α相交，

所以直線l與平面α不平行，所以命題p為真命題，所以

p為假命題.假

123456789101112131411.

（2025·大連一模）“函數(shù)f（x）＝ax2－sin

x是奇函數(shù)”的充要條件

是實數(shù)a＝

?.解析：若f（x）為奇函數(shù)，則f（－x）＋f（x）＝0，所以a（－x）2－

sin（－x）＋ax2－sin

x＝0，2ax2＝0，所以a＝0.0

123456789101112131412.

已知條件p：x＞a，條件q：x≥2.（1）若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是

?

?；解析：設A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜x≥2}.（1）因為p是q的充分不必要條件，所以A?B，所以a≥2.（2）若p是q