第05講等邊三角形的性質(zhì)和判定知識(shí)點(diǎn)1：等邊三角形的概念和性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)2：等邊三角形的判定知識(shí)點(diǎn)3：含30°的直角三角形等邊三角形概念三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱(chēng)為正三角形.注意：等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.（2）等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.2.等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形是一類(lèi)特殊的等腰三角形，有三條對(duì)稱(chēng)軸，每個(gè)角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對(duì)稱(chēng)軸.（2）三個(gè)角都是60°【題型1：利用等邊三角形的性質(zhì)求邊長(zhǎng)】【典例1】如圖，△ABC與△CDE都是等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．若BE=2，AE=8，則CE的長(zhǎng)是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．由等邊三角形的性質(zhì)證明△ACD≌△BCESAS，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵△ABC與△CDE都是等邊三角形，∴∠ACB=∠ECD=60°，AC=BC，CD=CE，∠ACB?∠DCB=∠ECD?∠DCB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE=2，∵AE=8，∴DE=AE?AD=8?2=6，∴CE=DE=6，故選：C．【變式1】如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點(diǎn)E在線段AD上，連接EB、EC，若∠EBC=45°,BC=6，則ED等于（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，先證明BD=CD=3，∠BDE=90°，再證明∠BED=∠EBC=45°，從而可得答案．【詳解】解：在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，BC=6，∴BD=CD=3，∠BDE=90°，∵∠EBC=45°，∴∠BED=∠EBC=45°，∴DE=DB=3，故選：A【變式2】如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上（不與△ABC的頂點(diǎn)重合），將△BDE沿DE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，則三個(gè)陰影三角形的周長(zhǎng)和為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．由折疊的性質(zhì)可得BD=FD,BE=FE，再把三個(gè)陰影三角形的周長(zhǎng)和轉(zhuǎn)化成等邊△ABC的三邊之和，即可解答．【詳解】解：∵由折疊的性質(zhì)可得：BD=FD,BE=FE，∴三個(gè)陰影三角形的周長(zhǎng)和為：AC+DF+EF+AD+CE=AC+BD+BE+AD+CE，∵AB=AD+BD，BC=BE+CE，∴三個(gè)陰影三角形的周長(zhǎng)和=AC+AB+BC=2故選：B．【變式3】如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊上異于B，C的任意一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．若BC邊上的高線AM=10，則DE+DF=（

）A．5 B．10 C．8 D．6【答案】B【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的面積額，利用等積法求解是解答本題的關(guān)鍵．連接AD，根據(jù)S△ABC【詳解】解：連接AD，∵△ABC是等邊三角形，AM=10，∴AB=AC=BC．∵S△ABC∴12即12∴DE+DF=10．故選：B．【題型2：利用等邊三角形的性質(zhì)求角度】【典例2】如圖，△ABC是等邊三角形，E為BC上一點(diǎn)，在AB上取一點(diǎn)D，使AD=AE，且∠AED=65°，則∠EAC的度數(shù)是（

）A．10° B．20° C．15° D．5°【答案】A【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ADE=65°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DAE=50°，最后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解．本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用．【詳解】解：∵AD=AE，且∠AED=65°，∴∠ADE=65°，∴∠DAE=50°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠EAC=∠BAC?∠DAE=10°，故選：A．【變式1】如圖，等邊△ABC的頂點(diǎn)A、B分別在直線a，b上，且a∥b，若∠2=80°，則∠1的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．45°【答案】A【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由平行線的性質(zhì)可得∠3=80°，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的定義及性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖：∵a∥b，∴∠2=∠3=80°；∵△ABC是等邊三角形，∴∠C=60°，∴∠1=∠3?∠C=80°?60°=20°．故選：A．【變式2】如圖，在等邊△ABC中，AD為BC邊上的中線，點(diǎn)E在AC邊上，連接DE，若AD=AE，則∠CDE的度數(shù)為（

）A．20° B．25° C．10° D．15°【答案】D【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠CAD=12∠BAC=30°,∠ADC=90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ADE【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，且AD是BC邊上的中線，∴∠CAD=1∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=180°?30°∴∠CDE=∠ADC?∠ADE=90°?75°=15°．故選：D．【變式3】如圖，在等邊三角形ABC中，BD=CE，AD于BE相交于點(diǎn)P，則∠APE的度數(shù)是（

）A．80° B．45° C．60° D．70°【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，正確找出兩個(gè)全等三角形是解題關(guān)鍵．先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=BC，∠C=∠ABC=60°，再根據(jù)三角形全等的判定定理證出△ABD≌△BCE，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得∠BAD=∠CBE，最后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得．【詳解】解：∵ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠C=∠ABC=60°，在△ABD和△BCE中AB=BC∠ABD=∠C∴△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∴∠APE=∠ABE+∠BAD=∠ABE+∠CBE=∠ABC=60°，故選：C．（1）三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形.（2）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.【題型3：等邊三角形的判定】【典例3】下列條件中，能判定△ABC為等邊三角形的是（

）A．∠A=60° B．∠B+∠C=120°C．∠B=∠C D．∠B=60°,AB=AC【答案】D【分析】本題考查等邊三角形的判定，根據(jù)等邊三角形的判定條件逐一分析選項(xiàng)：需滿足三個(gè)角均為60°，或一個(gè)角為60°的等腰三角形．【詳解】解：A、不能判定△ABC為等邊三角形，不符合題意；B、不能判定△ABC為等邊三角形，不符合題意；C、不能判定△ABC為等邊三角形，不符合題意；D、能判定△ABC為等邊三角形，符合題意；故選D．【變式1】下列條件不能判斷△ABC是等邊三角形的是（

）A．∠A=∠B=∠C B．AB=BC,∠A=∠CC．AB=BC,∠B=60° D．AB=BC,AC=BC【答案】B【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定和三角形內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題．（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．（3）判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．根據(jù)等邊三角形的定義、判定定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、由“三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形”可以判斷△ABC是等邊三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、AB=BC得到∠A=∠C，那么只能得到△ABC是等腰三角形，故不能判斷為等邊三角形，符合題意；C、由“有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形”可以判斷△ABC是等邊三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、AB=BC,AC=BC，則三邊相等，故可以判斷為等邊三角形，不符合題意；故選：B．【變式2】若△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a?b2+∣b?c∣=0，則△ABC的形狀是（

A．銳角三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】本題考查非負(fù)性和等邊三角形的判定，根據(jù)非負(fù)性得到a?b=0,b?c=0，從而得出a=b=c，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵∴∵∴a?b=0,b?c=0∴a=b=c，即△ABC是等邊三角形．故選：C．【變式3】如圖所示，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，AD⊥BC．若添加一個(gè)條件可以證明△ABC是等邊三角形，則這個(gè)條件可以是（

）A．∠B=60° B．∠BAD=30° C．AB=BC【答案】D【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定．先證明AD是線段BC的垂直平分線，推出AB=AC，∠DAB=∠DAC，再根據(jù)等邊三角形的判定定理即可判斷．【詳解】解：∵D是BC的中點(diǎn)，AD⊥BC，∴AD是線段BC的垂直平分線，∴AB=AC，∠DAB=∠DAC，當(dāng)添加∠B=60∴△ABC是等邊三角形；當(dāng)添加∠BAD=30°時(shí)，則∠BAC=2∠BAD=60∴△ABC是等邊三角形；當(dāng)添加AB=BC時(shí)，則AB=BC=AC，∴△ABC是等邊三角形；故選：D．【題型4：等邊三角形的判定與性質(zhì)】【典例4】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足為G，且AD=AB，AC=4，∠EDF=60°，∠EDF的兩邊分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，AF=1．(1)求證：△ABD是等邊三角形．(2)求AE的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)3【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）由等腰三角形的性質(zhì)和已知條件得出∠BAD=∠DAC=60°，再由AD=AB，即可得出結(jié)論；（2）由△ABD是等邊三角形，得出∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD，證出∠BDE=∠ADF，由ASA證明△BDE≌△ADF，得出BE=AF，結(jié)合已知和【詳解】（1）證明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC=1∵∠BAC=120°，∴∠BAD=∠DAC=1又∵AD=AB，∴△ABD是等邊三角形．（2）證明：∵△ABD是等邊三角形，∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD．∵∠EDF=60°，∴∠ADB=∠EDF．∴∠ADB?∠ADE=∠EDF?∠ADE，∴∠BDE=∠ADF．在△BDE與△ADF中，∠DBE=∠DAF=60°BD=AD∴△BDE≌∴BE=AF，又∵AF=1，∴BE=1，∵AC=4，AB=AC，∴AE=AB?BE=AC?BE=3．【變式1】如圖，點(diǎn)C是線段AB上除點(diǎn)A、B外的任意一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交DC于M，連接BD交CE于N，交AE于點(diǎn)P，連接MN．(1)求證：AE=BD；(2)求∠APD的度數(shù)；【答案】(1)見(jiàn)解析(2)60°【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC=DC,∠ACD=60°,EC=BC,∠ECB=60°，證明∠ACE=∠DCB，即可證明△AEC≌△DBC(SAS（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠EAC=∠BDC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵等邊△ACD和等邊△BCE，∴AC=DC,∠ACD=60°,EC=BC,∠ECB=60°，∵∠ACE=∠ACD+∠DCE=60°+∠DCE，∠DCB=∠DCE+∠ECB=∠DCE+60°，∴∠ACE=∠DCB，在△AEC和△DBC中，AC=∠DC∠ACE=∠DCB∴△AEC≌△DBC(SAS∴AE=BD；（2）解：∵△AEC≌△DBC(SAS∴∠EAC=∠BDC，∵∠AMC=∠DMP，∠MAC+∠ACM+∠AMC=180°,∠MDP+∠DMP+∠APD=180°，∴∠APD=∠ACD=60°．【變式2】如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠C=20°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，交AC于點(diǎn)E．(1)求∠ADC的度數(shù)．(2)若△ADC與△EDC的周長(zhǎng)分別為11和9，求DE的長(zhǎng)．【答案】(1)100°(2)2【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，證明△ADE是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．（1）由三角形內(nèi)角和定理得到∠BAC=180°?∠B?∠C=120°，由AD平分∠BAC得到∠BAD=∠CAD=12∠BAC=60°（2）證明△ADE是等邊三角形，則AD=DE=AE，由三角形周長(zhǎng)得到AD+CD+AC=DE+CD+AC=11,DE+CD+CE=9，則AE=AC?CE=11?9=2，即可得到DE=AE=2．【詳解】（1）解：∵∠B=40°，∠C=20°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C=120°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=1∴∠ADC=∠BAD+∠B=100°，（2）∵DE∴∠ADE=∠BAD=60°，∴∠AED=180°?∠ADE?∠CAD=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴AD=DE=AE∵△ADC與△EDC的周長(zhǎng)分別為11和9，∴AD+CD+AC=DE+CD+AC=11,DE+CD+CE=9，∴AE=AC?CE=11?9=2，∴DE=AE=2．【變式3】如圖，△ABC是等邊三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分別為D、E，AE、BD相交于點(diǎn)O，連接DE．(1)求證：△CDE是等邊三角形；(2)若AO=12，求OE的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)6【分析】（1）證明∠C=60°，CD=CE，即可解決問(wèn)題．（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠BAE=∠ABD=∠DBC=30°，所OA=OB，再根據(jù)直角三角形中，30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可得OE的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：△CDE是等邊三角形．理由如下：∵△ABC是等邊三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，∴AC=BC，CD=CE=12AC=∴△CDE是等邊三角形；（2）解：∵△ABC是等邊三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，∴AE、BD分別是△ABC的中線，∴∠BAE=∠ABD=∠DBC=30°，∴OA=OB，∴OB=2OE，∴AO=2OE，而AO=12，∴OE=6．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，在直角三角形中，30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，做題的關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.【題型5：含30°角的直角三角形的性質(zhì)】【典例5】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，則AB的長(zhǎng)為（

A．30 B．15 C．12 D．10【答案】C【分析】本題考查了含30度角直角三角形的性質(zhì)．直接根據(jù)30度角的性質(zhì)作答即可．【詳解】解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=6，∴AB=2BC=12故選：C【變式1】如圖1是某地鐵站入口的雙翼閘門(mén)，當(dāng)它的雙翼展開(kāi)時(shí)，如圖2，雙翼邊緣的端點(diǎn)A與B之間的距離為10cm，雙翼的邊緣AC=BD=52cm，且與閘機(jī)側(cè)立面夾角∠PCA=∠QDB=30A．62 B．54 C．64 D．74【答案】A【分析】本題主要考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．過(guò)A作AE⊥CP于E，過(guò)B作BF⊥DQ于F，則可AE和BF的長(zhǎng)，依據(jù)端點(diǎn)A與B之間的距離為【詳解】解：如圖所示，過(guò)A作AE⊥CP于E，過(guò)B作BF⊥DQ于F，∠PCA=∠BDQ=30°則Rt△ACE中，AE=12同理可得，BF=26cm又∵點(diǎn)A與B之間的距離為10cm∴通過(guò)閘機(jī)的物體的最大寬度為26+10+26=62(cm)，故選：A．【變式2】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD⊥AB于點(diǎn)D，且BD=2，則AD=【答案】6【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，掌握30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠A=30°，進(jìn)而得到∠BCD=30°，根據(jù)30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得BC=2BD=4；同理可得AB=2BC=8，最后根據(jù)AD=AB?BD即可解答．【詳解】解：∵∠ACB=90°，∠B=60∴∠A=30°，∵CD⊥AB，∴∠BCD=30°，∵BD=2，∴BC=2BD=4，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=8，∴AD=AB?BD=8?2=6．故答案為：6．【變式3】某校在一塊如圖所示的三角形空地ABC上種植草皮美化環(huán)境，已知∠A=150°，這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購(gòu)買(mǎi)這種草皮需要元．【答案】150a【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，涉及到三角形的面積公式，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于作出AB邊上的高，根據(jù)相關(guān)的性質(zhì)推出高CD的長(zhǎng)度，正確的計(jì)算出△ABC的面積．作BA邊的高CD，設(shè)與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，則∠DAC=30°，由AC=30m，即可求出CD=15m，然后根據(jù)三角形的面積公式即可推出△ABC的面積為【詳解】解：如圖，作BA邊的高CD，設(shè)與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，∵∠BAC=150°，∴∠DAC=30°，∵CD⊥BD，AC=30m∴CD=15m∵AB=20m∴S∵每平方米售價(jià)a元，∴購(gòu)買(mǎi)這種草皮的價(jià)格：150a元．故答案為：150a．一、單選題1．已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為5，且其有一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為60°，則該等腰三角形的周長(zhǎng)是（

）A．10 B．15 C．18 D．20【答案】B【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，當(dāng)?shù)妊切斡幸粋€(gè)內(nèi)角為60°時(shí)，該三角形必為等邊三角形．因此，無(wú)論已知邊長(zhǎng)為5的是底邊還是腰，其余兩邊均為5，周長(zhǎng)可直接計(jì)算．【詳解】解：∵一個(gè)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為60°，∴該等腰三角形是等邊三角形，又∵其一邊長(zhǎng)為5，∴它的周長(zhǎng)是5×3=15．故選：B．2．如圖，一輛貨車(chē)為了方便裝運(yùn)貨物，使用了三角形鋼架，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1.6m，則AB的長(zhǎng)為（

）mA．1.6 B．0.8 C．3.2 D．2.8【答案】C【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)30°所對(duì)直角邊是斜邊的一半即可求解，熟練掌握30°所對(duì)直角邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴BC=1∴AB=3.2m故選：C．3．如圖，在Rt△ABC中，∠C=30°，∠B=90°．若AC=2，則AB的長(zhǎng)為（

A．12 B．1 C．2 【答案】B【分析】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求解即可．【詳解】解：∵∠C=30°，∠B=90°，AC=2，∴AB=1故選B．4．如圖是某景區(qū)一段索道示意圖，點(diǎn)A、B之間的距離為30米，∠BAC=30°，則纜車(chē)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的過(guò)程中豎直上升的高度（BC的長(zhǎng)）為（

）A．60米 B．45米 C．30米 D．15米【答案】D【分析】本題考查了含30度角的直角三角形，根據(jù)30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊一半求解即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AB=30則BC=1故選：D．5．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB,D為垂足，DE交BC于點(diǎn)E，若BE=10，則AC的長(zhǎng)為（A．5 B．53 C．10 D．【答案】A【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的外角定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)，并靈活應(yīng)用．先利用線段垂直平分線的性質(zhì)和外角定理得出∠AEC=30°，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵DE垂直平分AB，∴EA=EB=10，∴∠EBA=∠EAB=15°，∴∠AEC=∠EBA+∠EAB=30°，∵∠C=90°，∴AC=1故選：A．6．如圖，在等邊三角形△ABC中，E為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的直線交AC于點(diǎn)F，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，作EG⊥AC垂足為G，如AE=CD,AB=6，則GF的長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵，作EM∥BC交AC于點(diǎn)M，證明△AEM是等邊三角形，進(jìn)而證明△EMF≌△DCF，得出FM=CF=12CM【詳解】解：作EM∥BC交AC于點(diǎn)M，在等邊三角形△ABC中，∠A=∠B=∠ACB=60°,AB=AC=6，∴∠AEM=∠B=∠AME=∠ACB=∠A=60°，∴△AEM是等邊三角形，∴AE=EM，∵AE=CD，∴EM=CD，∵EM∥BC，∴∠MEF=∠D,∠EMF=∠DCF∴△EMF≌△DCF∴FM=CF=∵△AEM是等邊三角形，EG⊥AC，∴GM=AG=∴GF=GM+MF=1故選：B．二、填空題7．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)E，連接AD，若AD平分∠CAB，CD=2，則BD【答案】4【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAB=∠DBA，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴DA=DB，∴∠DAB=∠DBA，∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴∠DAB=∠DAC，DE=DC，∴∠DAB=∠DBA=∠DAC=30°，∴DE=1∴CD=1∴BD=4，故答案為：4．8．在△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=60°，則BC=【答案】4【分析】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，先根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形得到△ABC是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵AB=AC=4cm，∠B∴△ABC是等邊三角形，∴BC=AB=4cm故答案為：4．9．如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段AD上，∠ECD=20°，則∠ABE=°．【答案】40【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由等邊三角形三角形的性質(zhì)推出AD垂直平分BC．由等邊三角形的性質(zhì)推出∠ABC=60°,AD垂直平分BC，得到BE=CE，推出∠EBD=∠ECD=20°，即可求出∠ABE的度數(shù)．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴BD=CD，∠ABC=60°，∴AD垂直平分BC，∴EB=EC，∴∠EBD=∠ECD=20°，∴∠ABE=∠ABC?∠EBD=40°，故答案為：40．10．已知等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，把△BDE沿直線DE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，DB′，EB′分別交邊AC于點(diǎn)F，G，若∠ADF=80°【答案】80°【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握折疊后的對(duì)應(yīng)角相等及三角形內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵．由題意可得∠A=∠B=∠C=60°，由折疊可知∠BDE=∠B′DE，∠B′【詳解】解：∵三角形ABC為等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．由折疊可知，∠BDE=∠B∵∠ADF=80°，∴∠BDE=∠B∴∠B∴∠CEG=180°?∠BED?∠B∴∠EGC=180°?∠CEG?∠C=180°?40°?60°=80°．故答案為：80°．三、解答題11．如圖，D，E分別是等邊三角形ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且AD=CE，求∠BOD的度數(shù)．【答案】60°【分析】本題等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．先根據(jù)SAS證明△BCE≌△CAD，再由三角形的外角性質(zhì)即求解．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BCE=∠CAD=60°，BC=CA，在△BCE和△CAD中，BC=CA∠BCE=∠CAD∴△BCE≌△CADSAS∴∠CBE=∠ACD，∴∠BOD=∠OCB+∠CBE=∠OCB+∠ACD=∠ACB=60°．12．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°(1)尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)C作斜邊AB邊上的高CD，垂足為D；（不寫(xiě)作法，只保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，若∠A=30°,BC=6，求BD的長(zhǎng)．【答案】(1)圖見(jiàn)解析(2)3【分析】本題考查尺規(guī)作圖—作垂線，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)尺規(guī)作垂線的方法，作圖即可；（2）根據(jù)同角的余角相等，結(jié)合含30度角的直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：如圖，CD即為所求；（2）解：∵∠ACB=90°,CD⊥AB，∴∠A+∠B=90°,∠BCD+∠B=∠BDC=90°，∴∠BCD=∠A=30°，∵∠CDB=90°,BC=6，∴BD=113．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交(1)求證：BC=3AD．(2)若AB=6，AD=4，求【答案】(1)見(jiàn)解析(2)18【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠C=∠B=30°，再求出∠BAD=∠B，進(jìn)而得出AD=BD，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得DC=2AD，則答案可得；

（2）作AE⊥BC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得AE=12AB=3，再由（1）得BC=3AD【詳解】（1）證明：