第四節(jié)平面向量的數(shù)量積及應用1.理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的

數(shù)量積.2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.3.會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.4.能用坐標表示平面向量的數(shù)量積、平面向量垂直的條件，會表示兩

個平面向量的夾角.5.會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題以及其他實際問

題，體會向量在解決數(shù)學和實際問題中的作用.目錄CONTENTS123知識體系構(gòu)建微專題9平面向量與三角形的“四心”考點分類突破4課時跟蹤檢測PART1知識體系構(gòu)建必備知識系統(tǒng)梳理基礎重落實課前自修

1.若向量

a

＝（1，1），

b

＝（0，－1），則

a

與

b

的夾角等于

（

）A.－

B.

C

.

D.

2.已知向量

a

＝（2，4），

b

＝（－6，

m

），若

a

⊥（

a

＋

b

），則

m

＝（

）A.－2B.

－1C.0D.3解析：

因為

a

＝（2，4），

b

＝（－6，

m

），

a

＋

b

＝（－

4，4＋

m

），由

a

⊥（

a

＋

b

），得－8＋4×（

m

＋4）＝0，所

以

m

＝－2.

A.－1B.

－

C.1D.

4.已知｜

a

｜＝5，｜

b

｜＝4，

a

與

b

的夾角θ＝120°，則向量

b

在向量

a

上的投影向量的模為

?.解析：由數(shù)量積的定義知，向量

b

在向量

a

上的投影向量的模

為｜｜

b

｜cosθ｜＝｜4×cos120°｜＝2.2

1.平面向量數(shù)量積運算的常用公式（1）（

a

＋

b

）·（

a

－

b

）＝

a

2－

b

2；（2）（

a

±

b

）2＝

a

2±2

a

·

b

＋

b

2.2.有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論（1）兩個向量

a

與

b

的夾角為銳角，則有

a

·

b

＞0，反之不成立

（因為夾角為0時不成立）；（2）兩個向量

a

與

b

的夾角為鈍角，則有

a

·

b

＜0，反之不成立

（因為夾角為π時不成立）.

1.已知

a

，

b

為非零向量，則“

a

·

b

＞0”是“

a

與

b

的夾角為銳角”

的

條件.（填“充分不必要”“必要不充分”或“充

要”）解析：由結(jié)論2可得“

a

·

b

＞0”是“

a

與

b

的夾角為銳角”的必要不

充分條件.必要不充分2.若非零向量

a

，

b

滿足｜

a

｜＝2｜

b

｜＝｜

a

＋2

b

｜，則

a

，

b

的夾

角為

?.

PART2考點分類突破精選考點典例研析技法重悟通課堂演練平面向量數(shù)量積的基本運算

A.

B.3

C

.

2

D.5

A.－2B.

－1C.1D.2

11

練后悟通1.計算平面向量數(shù)量積的主要方法（1）利用定義：

a

·

b

＝｜

a

｜｜

b

｜cos＜

a

，

b

＞；（2）利用坐標運算，若

a

＝（

x

1，

y

1），

b

＝（

x

2，

y

2），則

a

·

b

＝

x

1

x

2＋

y

1

y

2；（3）活用平面向量數(shù)量積的幾何意義.2.解決涉及幾何圖形的向量的數(shù)量積運算問題時，可先利用向量的

加、減運算或數(shù)量積的運算律化簡后再運算.但一定要注意向量的夾

角與已知平面幾何圖形中的角的關(guān)系是相等還是互補.平面向量數(shù)量積的應用

A.－

B.

－

C.

D.

解題技法求平面向量的夾角的方法

考向3

向量的垂直【例3】

（1）已知單位向量

a

，

b

的夾角為60°，則在下列向量中，

與

b

垂直的是（

）A.

a

＋2

b

B.2

a

＋

b

C.

a

－2

b

D.2

a

－

b

（2）（2023·新高考Ⅰ卷3題）已知向量

a

＝（1，1），

b

＝（1，－1）.若（

a

＋λ

b

）⊥（

a

＋μ

b

），則（

）A.λ＋μ＝1B.

λ＋μ＝－1C.λμ＝1D.

λμ＝－1解析：因為

a

＝（1，1），

b

＝（1，－1），所以

a

＋λ

b

＝（1＋λ，1－λ），

a

＋μ

b

＝（1＋μ，1－μ），因為（

a

＋λ

b

）⊥（

a

＋μ

b

），所以（

a

＋λ

b

）·（

a

＋μ

b

）＝0，所以（1＋λ）（1＋μ）

＋（1－λ）（1－μ）＝0，整理得λμ＝－1.故選D.解題技法有關(guān)平面向量垂直的兩類題型

1.（2022·全國乙卷3題）已知向量

a

＝（2，1），

b

＝（－2，4），

則｜

a

－

b

｜＝（

）A.2B.3

C

.

4D.5

2.已知非零向量

a

，

b

滿足｜

a

｜＝2｜

b

｜，且（

a

－

b

）⊥

b

，則

a

與

b

的夾角為（

）A.

B.

C

.

D.

平面向量中的最值（范圍）問題

A.（－2，6）B.

（－6，2）C.（－2，4）D.

（－4，6）

解題技法向量數(shù)量積的最值（范圍）問題的解法（1）坐標法：通過建立直角坐標系，運用向量的坐標運算轉(zhuǎn)化為代

數(shù)問題處理；（2）向量法：運用向量數(shù)量積的定義、幾何意義等有關(guān)向量知識

解決.考向2

與模有關(guān)的最值（范圍）問題【例5】

（2024·南通模擬）已知向量

a

，

b

滿足｜

a

｜＝1，｜

b

｜

＝2，

a

·

b

＝0，若向量

c

滿足｜

a

＋

b

－2

c

｜＝1，則｜

c

｜的取值范

圍是

?.

解題技法求向量模的最值（范圍）的方法（1）代數(shù)法：把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，或通過建立平面

直角坐標系，借助向量的坐標表示，構(gòu)造不等式，三角函數(shù)等

求解；也可直接應用平面向量模的三角不等式：｜

a

｜－｜

b

｜

≤｜

a

±

b

｜≤｜

a

｜＋｜

b

｜求解；（2）幾何法（數(shù)形結(jié)合法）：弄清所求的模表示的幾何特征，注意

題目中所給的垂直、平行，以及其他數(shù)量關(guān)系合理的轉(zhuǎn)化，結(jié)

合動點表示的圖形求解.考向3

與夾角有關(guān)的最值（范圍）問題【例6】

平面向量

a

，

b

滿足｜

a

｜＝｜

b

｜，且｜

a

－3

b

｜＝1，則

cos＜

b

，3

b

－

a

＞的最小值是

?.

解題技法

求夾角的最值（范圍）要根據(jù)夾角余弦值的表達式，利用基本不

等式或函數(shù)的性質(zhì)進行求解.

1.（2024·泉州模擬）設向量

a

與單位向量

e

滿足，對任意

t

∈R都有｜

a

－

te

｜≥｜

a

－

e

｜，則｜

a

＋

e

｜的最小值為（

）A.

B.2

C

.

3D.4

A.16B.17

C

.

18D.19

3.已知｜

a

｜＝2｜

b

｜，｜

b

｜≠0，且關(guān)于

x

的方程

x

2＋｜

a

｜

x

＋

a

·

b

＝0有實根，則

a

與

b

的夾角θ的取值范圍是

?.

PART3微專題9平面向量與三角形的“四心”

在三角形中，重心、內(nèi)心、垂心和外心簡稱“四心”，它們與

向量知識的整合，既自然又表達形式多樣，在新高考試題中，總會出

現(xiàn)一些與“四心”相關(guān)的既新穎又別致的試題，不僅考查了向量的表

示與運算、性質(zhì)等知識點，而且培養(yǎng)了考生“以向量為工具”的邏輯

推理能力.

A.外心B.

內(nèi)心

C

.

垂心D.

重心

A.重心B.

外心C.垂心D.

內(nèi)心

A.外心B.

內(nèi)心C.重心D.

垂心

A.外心B.

內(nèi)心C.重心D.

垂心

A.

B.

C.4

D.6

A.垂心B.

內(nèi)心C.外心D.

重心

外心PART4課時跟蹤檢測關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習1.（2024·安陽一模）已知向量

a

＝（1，－4），

b

＝（－5，3），若

向量

ta

＋

b

與

b

垂直，則實數(shù)

t

＝（

）A.2B.1C.－1D.

－2解析：

ta

＋

b

＝

t

（1，－4）＋（－5，3）＝（

t

－5，－4

t

＋

3），若向量

ta

＋

b

與

b

垂直，則（

ta

＋

b

）·

b

＝（

t

－5，－4

t

＋

3）·（－5，3）＝－5（

t

－5）＋3（－4

t

＋3）＝－17

t

＋34＝0，

解得

t

＝2，故選A.12345678910111213141516

A.

B.

C.

D.

12345678910111213141516

123456789101112131415163.（2024·綿陽模擬）已知向量

a

，

b

滿足｜

a

｜＝1，｜

b

｜＝2，

a

與

b

的夾角為120°，則｜

a

－2

b

｜＝（

）A.3B.

C.21D.

12345678910111213141516

A.

B.

C.－

D.

－

12345678910111213141516

123456789101112131415165.（多選）對于任意的向量

a

，

b

，

c

，下列選項一定成立的有（

）A.（

a

＋

b

）·

c

＝

a

·

c

＋

b

·

c

B.（

b

·

c

）

a

－（

a

·

c

）

b

不與

c

垂直C.

a

·

b

≤｜

a

｜·｜

b

｜D.｜

a

－

b

｜≤｜

a

｜＋｜

b

｜12345678910111213141516解析：

根據(jù)數(shù)量積的分配律可知A正確；由[（

b

·

c

）

a

－

（

a

·

c

）

b

]·

c

＝（

b

·

c

）（

a

·

c

）－（

a

·

c

）（

b

·

c

）＝0，故B不正

確；根據(jù)數(shù)量積的定義，可知

a

·

b

＝｜

a

｜｜

b

｜cos＜

a

，

b

＞

≤｜

a

｜·｜

b

｜，故C正確；｜

a

－

b

｜2＝｜

a

｜2＋｜

b

｜2－2

a

·

b

＝｜

a

｜2＋｜

b

｜2－2｜

a

｜·｜

b

｜cos＜

a

，

b

＞≤｜

a

｜2＋｜

b

｜2＋2｜

a

｜｜

b

｜＝（｜

a

｜＋｜

b

｜）2，故｜

a

－

b

｜≤｜

a

｜

＋｜

b

｜，故D正確.123456789101112131415166.（多選）已知向量

a

＝（2，1），

b

＝（1，－1），

c

＝（

m

－2，

－

n

），其中

m

，

n

均為正數(shù)，且（

a

－

b

）∥

c

，則下列說法正確

的是（

）A.

a

與

b

的夾角為鈍角B.向量

a

在

b

上的投影向量為

b

C.2

m

＋

n

＝4D.

mn

的最大值為212345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.12

B.8

C

.

4

D.412345678910111213141516

12345678910111213141516

A.8B.2

C.4

D.412345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

B.

C.

D.

12345678910111213141516

12345678910111213141516

1234567891011121314151612.（多選）已知

a

，

b

是單位向量，且｜

a

＋

b

｜＝｜

a

－

b

｜，（

c

－

a

－

b

）·（

c

－2

a

）＝0，則下列說法正確的是（

）A.

a

·

b

＝0B.若

a

·

k

＝

n

·

a

，則

n

＝

k

C.｜

c

｜的最大值為

D.

c

·

b

的最小值是

12345678910111213141516解析：

∵｜

a

＋

b

｜＝｜

a

－

b

｜，∴（

a

＋

b

）2＝（

a

－

b

）2，

a

2＋2

a

·

b

＋

b

2＝