湘教版八年級數(shù)學(xué)下冊精品教案大全

目錄

1.1既1課時(shí)直角三魚形為版翻1走3.1第1課打平囪豆角主標(biāo)系

1.1第2課時(shí)含30正角三直角三角形的“，3.1第2課時(shí)利用直角生標(biāo)案町方版述.

1.2第1課時(shí)勾展會3.2制■朝掰坐標(biāo)新

1.2第2課時(shí)勾段定亞場應(yīng)用33野漠町題淵幽編

1.2第3課時(shí)勾我&否3.3第2課時(shí)平移的坐行表示

1.3直角三角形純脆4.1.1建蟠5

1.4角平微怫fi4.1,2函數(shù)的標(biāo)法

2.1glW多邊形的內(nèi)魯42-熄數(shù)

2.1M21JJ多邊形的外向4.3glilff正比例的J!遂ffl象艙底

2.2.1平行四邊形的邊、像的住百4.3翁2黝一次函數(shù)第里象艙質(zhì)

2.2.1K29f!平行四邊形的確線的住質(zhì)44用靛系數(shù)法i艇一次函數(shù)表達(dá)式

2.2.2JU謨町平行四邊形的刊面理L24,5第1課打利用一次的攤吳實(shí)云問筵

2.2.2SUil時(shí)平￡四邊形的判定卷建34.5SJ2譚時(shí)富立一次的副理假決預(yù)恐“

2.3第1課時(shí)中心函及具住度4,5?3?!7一次的數(shù)與一次方H的聯(lián)系

2.3篦2潺町中心瑜酬5.1冊與藏

24三翻般殿5.2糜魴圖

2.5.1野醺習(xí)

2.5.2電院弼窿第2tg習(xí)

2.6,1瓢期編M3W

2.6.2覲粉癥蓊4童復(fù)習(xí)

2.7正方形翔醺習(xí)

第一章直角三角形

1.1直角三角形的性質(zhì)和判定（I）

第1課時(shí)直角三角形的性質(zhì)和判定

解析：???AC_L8C于C,???△

SBA8C是直角三角形，???NA8C=90°

i.掌握“直角三角形兩個(gè)銳角-ZA=90°-20°=70°,???/

互余”，并能利用“兩銳角互余”判A^C=Z1=70°,,:AB//DF,：.Z

斷三角形是直角三角形；（重點(diǎn)）l+ZCEF=180°,即NCE/=180°

2.探索、理解并掌握“直角三-Zl=180°-70°=110°.故選A.

角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”方法總結(jié)：熟知直角三角形兩銳

的性質(zhì).（重點(diǎn)、難點(diǎn)）角互余的性質(zhì)，并準(zhǔn)確識圖是解決此

類題的關(guān)鍵.

探究點(diǎn)二：有兩個(gè)角互余的三角

一、情境導(dǎo)入形是直角三角形

在小學(xué)時(shí)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過有關(guān)直S2如圖所示，已知AB〃C7）,

角三角形的知識，同學(xué)們可以用手上/BAF=/F,/EDC=/E,求證:

的三角板和量角器作直角三角形，并△E。產(chǎn)是直角三角形.

和小組成員一同探究直角三角形的性

質(zhì).

解析：三角形內(nèi)角和定理是解答

有關(guān)角的問題時(shí)最常用的定理，是解

決問題的突破口，本題欲證△EOF是

直角三角形，只需證NE+N/=90°

二、合作探究即可，而NE=/180°一/BCD）,N

探究點(diǎn)一：直角三角形兩銳角互

余F=1(180°-NA8C),由AB〃C?？?/p>

圓1如圖，AB//DF,于

C,BC與DF交于息E,若N4=知N4BC+N8CO=180°,即問題得

20°,則NCEE等于（）證.

證明：???/笈4/=/尸，ZBAF+

Nb+NAB/=180°,尸=義

(180°-ZABF).同理，NE=g

(180°—/ECD).AZE+ZF=180°

-^(ZABF-\-ZECD).、：AB//CD,

D.70°

AZABF-\-ZECD=\^°.AZE4-探究點(diǎn)四：直角三角形性質(zhì)的綜

ZF=180°-1xi80°=90°,，△合運(yùn)用

［類型—］利用直角三角形的性

￡0尸是直角三角形.質(zhì)證明線段關(guān)系

方法總結(jié)：由三角形的內(nèi)角和定g4如圖，在△ABC中，AB=

理可知一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角之和為AC,ZBAC=nO°,EF為AB的垂

180°,如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角直平分線，交.BC于F,交AB于點(diǎn)、E.

的和為90°,可知該三角形為直角三求證：FC=2BF.

角形.

探究點(diǎn)三：直角三角形斜邊上的

中線等于斜邊的一半

解析：根據(jù)E尸是48的垂直平分

線，聯(lián)想到垂直平分線的性質(zhì)，因此

連接AF,得到AA尸3為等腰三角

形.又可求得NB=NC=/BAF=

30°,進(jìn)而求得NE4C=90°.取

@3]如圖，△ABC中，AO是的中點(diǎn)M,連接AM,就可以利用直

高，E、〃分別是4瓜AC的中點(diǎn).角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明.

⑴若A8=10,AC=8,求四邊形證明：如圖，取。尸的中點(diǎn)M,

AEDF的周長；連接AF、是的垂直平分

(2)求證：E“垂直平分AD線，:?AF=BF.：?/BAF=AB

解析：(1)根據(jù)直角三角形斜邊上=AC,ZBAC=120°,/.ZB=

的中線等于斜邊的一半可得OE=AENBA/=NC=4(18O°-120°)=

DF=AF=^ACf再根據(jù)四邊

30°.：,ZFAC=ZBAC-ZBAF=

形的周長的公式計(jì)算即可得解；(2)根90°.在尸。中，ZC=30°,M

據(jù)“到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線為C尸的中點(diǎn)，Z/IFM=60",AM

段的垂直平分線上”證明即可.=；FC=FM.；.AyAFM為等邊三角

(1)解：???4。是高,E、尸分別是

4B、AC的中點(diǎn)，：.DE=AE=^AB=形.AAF=VBF=AF,

10=5,DF=AF=|/lC=1x8=：.BF=^FC,B|JFC=2BF.

乙1乙

4,二四邊形AE?！钡闹荛L=AE+OE方法總結(jié)：當(dāng)已知條件中出現(xiàn)直

+。尸+4/=5+5+4+4=18；角三角形斜邊上的中線時(shí)，通常會運(yùn)

(2)證明：:DE=AE,DF=AF,用到'‘直角三角形斜邊上的中線等于

??.E是A。的垂直平分線上的點(diǎn)，產(chǎn)是斜邊的一半”這個(gè)性質(zhì)，使用該性質(zhì)

AO的垂直平分線上的點(diǎn)，???ER垂直時(shí)，要注意找準(zhǔn)斜邊和斜邊上的中

平分AD.線.

方法總結(jié)：當(dāng)已知條件含有線段［類型二］利用直角三角形的性

的中點(diǎn)、直角三角形等條件時(shí)，可聯(lián)質(zhì)解決實(shí)際問題

想直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，H5J如圖所示，四個(gè)小朋友在操

連接中點(diǎn)和直角三角形的直角頂點(diǎn)進(jìn)場上做搶球游戲，他們分別站在四個(gè)

行求解或證明.直角三角形的直角頂點(diǎn)A、B、C、D

處，球放在石產(chǎn)的中點(diǎn)。處，則游戲角三角形的性質(zhì)，得NCAO=NB=

(填“公平”或“不公Z45°,OA=OB,又AN=MB,所

平”).以△AONgABOM,所以O(shè)N=OM,

4NOA=/MOB,于是有NNOM=

NAO8=9()°,所以△OMN是等接直

角三角形.

解：(1)連接A。.在RtZVIBC中，

ZBAC=90°,。為BC的中點(diǎn)，J

解析：游戲是否公平就是判斷點(diǎn)OA=^C=OB=OC,即OA=OB=

4、B、C、。到點(diǎn)0的距離是否相

等.四個(gè)直角三角形有公共的斜邊OCx

EF,且0為斜邊后產(chǎn)的中點(diǎn).連接(2)Z\OMN是等腰直角三角

。4、OB、OC、0D根據(jù)“直角三角形.理由如下：,：AC=BA.OC=

形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的OB,ZBAC=90°,：.OA=OB,Z

性質(zhì)可知，OA=OB=OC=OD=3NAO=^ZCAB=ZB=45°,AOL

EF,即點(diǎn)A、B、C、。到O的距離BC,又AN=BM,???△AON"

相等.由此可得出結(jié)論：游戲公平.BOM,???ON=OM,ZNOA=

方法總結(jié)：題目中如果出現(xiàn)“直ZMOB,???NNOA+NAOM=

角三角形”和“中點(diǎn)”這兩個(gè)條件NMOB+NAOM,NOM=

時(shí)，應(yīng)連接直角頂點(diǎn)與斜邊中點(diǎn)，再NA08=90°,;?△MON是等腰直角

利用“斜邊上的中線等于斜邊的一半三角形.

的性質(zhì)”解題.方法總結(jié)：解決動態(tài)探究性問

［類型三］利用直角三角形性質(zhì)題，要把握住動態(tài)變化過程中的不變

解動態(tài)探究題量，比如角的度數(shù)、線段的長和不變

圖16如圖所示，在中,的數(shù)量關(guān)系，比如斜邊上的中線等于

A8=AC,N8AC=9(T,。為8c的斜邊的一半，直角三角形兩銳角互

中點(diǎn).余.

(1)寫出點(diǎn)0到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)三、板書設(shè)計(jì)

A、B、。的距離的數(shù)量關(guān)系；1.直角三角形的性質(zhì)

(2)如果點(diǎn)M、N分別在線段性質(zhì)一：直角三角形的兩銳角互

AB.AC上移動，移動中保持4V=余；

8M.請判斷△OMN的形狀，并證明你性質(zhì)二：直角三角形斜邊上的中

的結(jié)論.線等于斜邊的一半.

2.直角三角形的判定

方法一：一個(gè)角是直角的三角形

是直角三角形；

方法二：兩銳角互余的三角形是

直角三角形.

解析：(1)由于△ABC是直角三角

形，。是的中點(diǎn)，得OA=OB=

OC=；BC;(2)由于。4是等腰直角三通過練習(xí)反饋的情況來看，學(xué)生對于

利用已知條件判定一個(gè)三角形是否為

角形斜邊上的中線，因此根據(jù)等腰直直角三角形這一考點(diǎn)比較容易上手一

些，而往往忽略在直角三角形中告訴問題.在今后的教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生不斷

斜邊上的中點(diǎn)利用中線這一性質(zhì)解決強(qiáng)化提高這一點(diǎn).

第2課時(shí)含30。銳角的直角三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用

SB?BD=^X4X2=

1.理解并掌握含3()0銳角的直4(cm2).故答案為2,4.

角三角形的性質(zhì)；(重點(diǎn))方法總結(jié)：作出準(zhǔn)確的圖形、構(gòu)

2.能利用含30°銳角的直角三造含30°角的直角三角形是解決此題

角形的性質(zhì)解決問題.(難點(diǎn))的關(guān)鍵.

一、情境導(dǎo)入探究點(diǎn)二：在直角三角形中，如

用兩個(gè)全等的含3()。角的直角三果一條直角邊等于斜邊的一半，那么

角尺，你能拼出一個(gè)等邊三角形嗎？這條直角邊所對的角等于30°

說說理由，并把你的發(fā)現(xiàn)和大家交流酮如圖所示，在四邊形人CBO

一下.中，AD//BC,ABLAC,且AC=：

BC,求ND4C的度數(shù).

二、合作探究解析：根據(jù)題意得NC84=

探究點(diǎn)一：在直角三角形中，如30°,由平行得/84。=30°,進(jìn)而

果有一個(gè)銳角等于30°,那么它所對可得出結(jié)論.

的直角邊等于斜邊的一半解：'：ABA-ACf：.ZCAB=90°.

9：AC=^BC,：.ZCBA=30°/：AD

〃BC,：.ZBAD=30Q,：.ZCAD=

NC48+N8AO=120°.

方法總結(jié)：如果題中出現(xiàn)直角三

角形及斜邊是直角邊的兩倍可直接得

@1等腰三角形的一個(gè)底角為出30°的角，再利用相關(guān)條件求解.

75°,腰長4cm,那么腰上的高是探究點(diǎn)三：含30°銳角的直角三

________cm,這個(gè)三角形的面積是角形性質(zhì)的應(yīng)用

________cm2.S3J如圖，某船于上午11時(shí)30

解析：因?yàn)?5°不是特殊角，但分在A處觀測到海島B在北偏東6()°

是根據(jù)“三角形內(nèi)角和為180°”可方向；該船以每小時(shí)10海里的速度

知等腰三角形的頂角為30°,依題意向東航行到C處，觀測到海島8在北

畫出圖形，則有NA=30°,BD±偏東30°方向；航行到。處，觀測到

AC,A8=4cm,所以BO=2cm,海島8在北偏西300方向；當(dāng)船到達(dá)

C處時(shí)恰與海島3相距20海里.請你

確定輪船到達(dá)C處和。處的時(shí)間.

處的時(shí)間為13時(shí)30分，到達(dá)。處的

時(shí)間為15時(shí)30分.

方法總結(jié)：方位角是遵循“上北

下南左西右東”的原則，弄清楚方位

角是解決這類題的關(guān)鍵，再利用含

解析：根據(jù)題意得出NBAC,N30°角的直角三角形的性質(zhì)解題.

BCD,NBDA的皮數(shù),根據(jù)直角三角三、板書設(shè)計(jì)

形的性質(zhì)求出BC、AC、C。的長I.含30°銳角的直角三角形的

度.根據(jù)速度、時(shí)間、路程關(guān)系式求性質(zhì)

出時(shí)間.(1)在直角三角形中，3()度的角所

解：由題意得NBCO=90°-對的邊等于斜邊的一半；

30°=60°,ZBDC=90°-30°=(2)在直角三角形中，如果一條直

60°.：.ZBCD=ZBDC=60°,角邊等于斜邊的一半，那么這條直角

BCD為等邊三角形.在AABO中，邊所對的角等于30°.

ZBAD=90°-60°=30°,ZBDC2.含3()°銳角的直角三角形的

=60°,AZABD=90°,即△AB。性質(zhì)的應(yīng)用.

為直角三角形，：.ZABC=30°.VBC

=20海里，???S="O=20海里.又

9在教學(xué)中，應(yīng)該要注意強(qiáng)調(diào)這兩個(gè)性

：BD=^ADf???AO=40海里.：.AC

質(zhì)都是在直角三角形中得到的，如果

=AQ—CO=20(海里).,??船的速度為是一般三角形是不能得到的；兩邊的

每小時(shí)1()海里，因此輪船從A處到二倍關(guān)系是斜邊和直角邊之間的關(guān)

2()系，不是兩直角邊的關(guān)系，這在教學(xué)

C處的時(shí)間為的=2(h),從A處到。

中要注意強(qiáng)調(diào)，這是學(xué)生常犯的錯(cuò)誤.

4()

處的時(shí)間為常=4(h)..??輪船到達(dá)C

1-2直角三角形的性質(zhì)和判定(II)

第1課時(shí)勾股定理

I.經(jīng)歷探索及驗(yàn)證勾股定理的

過程，體會數(shù)形結(jié)合的思想；(重點(diǎn))

如圖所示的圖形液一棵枝葉茂

2.掌握勾股定理.，并應(yīng)用它解

決簡單的計(jì)算題；(重點(diǎn))盛、姿態(tài)優(yōu)美的樹，這就是著名的畢

3.了解利用拼圖驗(yàn)證勾股定理達(dá)哥拉斯樹，它由若干個(gè)圖形組成，

的方法.(難點(diǎn))而每個(gè)圖形的基本元素是三個(gè)正方形

和一個(gè)直角三角形.各組圖形大小不

一，但形狀一致，結(jié)構(gòu)奇巧.你能說

一、情境導(dǎo)入說其中的奧秘嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：勾股定理解析：本題應(yīng)分△ABC為銳角三

［類型—］直接運(yùn)用勾股定理角形和鈍角三角形兩種情況進(jìn)行討

論.

解：此題應(yīng)分兩種情況：

圓1已知：如圖，在△ABC中,(1)當(dāng)△AbC為銳角三角形時(shí)，如

ZACB=90°,AB=13cm,BC=圖①所示，在中，BD=

5cm,CD_LAB于D,求：

ylAB2~AD1=^/152-122=9,在Rta

ACO中，CD=y/AC2-AD2=

'132—122=5,???BC=5+9=14,/.

(1)AC的長；

⑵SzMBC；△ABC的周長為15+13+14=42：

(3)CO的長.

解析：(1)由于在ZkABC中，N

ACB=90Q,48=13cm,BC=5cm,

根據(jù)勾股定理即可求出AC的長；(2)

直接利用三角形的面積公式即可求出

S△人BC；(3)根據(jù)CDA5=BCAC即可(2)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)、如

求出CD.圖②所示，在RtZXAB。中，BD=

解：(1)???在△ABC中，ZACB=

［八層一4。2=、］52—12?=9.在RtA

90°,AB=13cm,BC=5cm,：.AC

=A/AB2-BC2=12(cm)；ACO中，CCKAC2—m=

(2)VSA^C=1CB-AC=1X5X^132-122=5,???8C=9—5=4,

12=30(cm2)；△ABC的周長為：15+13+4=32,

(3);SAA5C=5C?BC=；J△ABC的周長為32或42.

方法總結(jié)：解題時(shí)要考慮全面，

AC-BC60對于存在的可能情況，可作出相應(yīng)的

CD?

AB,AB=丁圖形，判斷是否符合題意.

(cm).［類型三］勾股定理與等腰三角

方法總結(jié)：解答此類問題，一般形的綜合

是先利用勾股定理求出第三邊，然后酶如圖所示，已知△ABC中，

利用兩種方法表示出同一個(gè)直角三角ZB=22.5°,A8的垂直平分線分別

形的面積，根據(jù)面積相等得出一個(gè)方

交.BC、A8于。、F點(diǎn),BD=6y［i,

程，再解這個(gè)方程即可.

［類型二］分類討論思想在勾股

定理中的應(yīng)用

圓2在△/WC中，/W=15,AC

=13,BC邊上的高AO=12,試求

△ABC周長.

解析：欲求AE,需與B。聯(lián)系,

連接AD,由線段垂直平分線的性質(zhì)

可知A力=8。.可證△AOE是等腰直角解析：方法1：根據(jù)四邊形

三角形，再利用勾股定理求AE的49花的面積等于對△8AE和RlA

長.8FE的面積之和進(jìn)行解答；方法2:

解：如圖所示，連接AD；。尸是根據(jù)△ABC和RlAACD的面積之和

線段A8的垂直平分線，??.AO=3D=等于RtAAZJD和△3CD的面積之和

解答.

6巾,：.ZBAD=ZB=22.5°.VZ

解：方法1：S正方形ACFD=S四邊也

ADE=ZB-\-ZBAD=45°,AE1.

ABFE=SABAE+S/XBFE,即/

BC,...NQ4E=45°,.,.AE=QE由t

勾股定理得入爐+^^二人。?，A2AE2+GS—4),整理得2〃=^+/—

.2,/.tf2+/?2=C2;

=(6/R."七=第=6.

h法2：S四邊形ABCD=SMBC+

ACDfspijiiKABCD=S^ABD+S/\BCD,即

方法總結(jié)：22.50雖然不是特殊

ABC~^~SLACD=S^ABDS^.BCD?即2。?+]

角，但它是特殊角45。的一半，所以

經(jīng)常利用等腰三角形和外角進(jìn)行轉(zhuǎn)

ab=—a),整理得/十浦=

換.直角三角形中利用勾股定理求邊

長是常用的方法.c2Ia(b—a),b1Icib=c2'Iab—cTt

探究點(diǎn)二：勾股定理與圖形的面cr+h1=c1.

積方法總結(jié)：證明勾股定理時(shí)，用

圖14探索與研究:幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則

方法1：如圖:的圖形，然后利用大圖形的面積等于

幾個(gè)小圖形的面積和化簡整理證明勾

股定理.

三、板書設(shè)計(jì)

1.勾股定理

對任意的符合條件的直角三角形如果直角三角形的兩條直角邊長

A8C繞其頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得直角三角分別為。，b,斜邊長為C,那么J+

形AEO,所以NB4E=90°,且四邊b1=c1.

形AC")是一個(gè)正方形，它的面積和2.勾股定理的應(yīng)用

四邊形A8FE面積相等，而四邊形3.勾股定理與圖形的面積

ABFE的面積等于RtZ\B4E和RtA

的面積之和.根據(jù)圖示寫出證明

勾股定理的過程；課堂教學(xué)中，要注意調(diào)動學(xué)生的積極

性.讓學(xué)生滿懷激情地投入到學(xué)習(xí)

中，提高課堂效率.勾股定理的驗(yàn)證

既是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是本節(jié)課的難

點(diǎn)，為了突破這一難點(diǎn)，可設(shè)計(jì)拼圖

方法2：如圖：活動，并自制精巧的課件讓學(xué)生從圖

任意的符合條件的兩個(gè)全等的Rt形上感知，再層層設(shè)問，從面積(數(shù))

△BEA和RtA4CD拼成的，你能根入手，師生共同探究突破本節(jié)課的難

據(jù)圖示再寫一種證明勾股定理的方法點(diǎn).

嗎？

第2課時(shí)勾股定理的實(shí)際應(yīng)用

10米，則=5小米,

i.熟練運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際

則船向岸邊移動距離為(12—5小)米.

問題；(重點(diǎn))

2.勾股定理的正確使用.(難點(diǎn))方法總結(jié)：在實(shí)際生產(chǎn)生活中有

很多圖形是直角三角形或可構(gòu)成直角

三角形，在計(jì)算中常應(yīng)用勾股定理.

一、情境導(dǎo)入［類型二］含3()°或45°等特

殊角的三角形與勾股定理的綜合應(yīng)用

圓2

被，我國許多地區(qū)頻頻遭受沙塵暴的

侵襲，今日A市測得沙塵暴中心在A

如圖，在一個(gè)圓柱形石凳上，若市的正西方向300km的3處，以

小明在吃東西時(shí)留下了一點(diǎn)食物在B

1spkm/h的速度向南偏東60°的跖

處，恰好一只在A處的螞蚊捕捉到這

一信息，于是它想從4處爬向4處，方向移動，距沙塵暴中心200km的范

你們想一想，螞蟻怎么走最近？圍是受沙塵暴影響的區(qū)域，問：A市

二、合作探究是否會受到沙塵暴的影響？若不會，

探究點(diǎn)一：勾股定理在實(shí)際生活說明理由；若會，求出A市受沙仝暴

中的應(yīng)用影響的時(shí)間.

［類型—］勾股定理在實(shí)際問題

中的簡單應(yīng)用

解析：過點(diǎn)A作ACJ_8尸于C,

然后求出NA8C=30°,再根據(jù)直角

@1三角形30°角所對的直角邊等于斜邊

的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始的一半可得AC=)B,從而判斷出A

時(shí)繩子的長為13米，此人以().5

米每秒的速度收繩.問6秒后船向岸市受沙塵暴影響，設(shè)從。點(diǎn)開始受影

邊移動了多少米(假設(shè)繩子是直的，結(jié)響，此時(shí)A0=200km,利用勾股定理

果保留根號)？列式求出CD的長，再求出受影響的

解析：開始時(shí)，AC=5BC=距離，然后根據(jù)時(shí)間=路程：速度計(jì)

13米，即可求得48的值，6秒后根算即可得解.

據(jù)BC、AC長度即可求得AB的值，解：如圖，過點(diǎn)A作ACJ_BF于

然后解答即可.C,由題意得，乙48c=90°-60°

=30°,??.AC=；AB=Jx3()()=

解：在BC=13150(km),VI50<200,?"市受沙塵

暴影響，設(shè)從。點(diǎn)開始受影響，則

米，AC=5米，則48rBe^AC2

4。=200km.由勾股定理得，CD=

=12米，6秒后，8C=13—0.5X6=

\)AD2AC2=^2OO2—15(?=5()V7

(km),A受影響的距離為2CD=

10Mkm,受影響的時(shí)間位100巾；

l()V7=10(h).

方法總結(jié)：熟記“直角三角形

30°角所對的直角邊等于斜邊的一

半”這一性質(zhì)，知道方向角如何在圖

上表示，作輔助線構(gòu)造直角三角形，

再利用勾股定理是解這類題的關(guān)鍵.

探究點(diǎn)二：勾股定理在幾何圖形

中的應(yīng)用

［類型—］利用勾股定理解決最

短距離問題圖②

GHGH

20cmD10cmC

圖③

方法總結(jié)：因?yàn)殚L方體的展開圖

A不止一種情況，故對長方體相鄰的兩

圖13如圖，長方體的長8七=個(gè)面展開時(shí)，考慮要全面，不要有所

15cm,寬AB=10cm,高AD=遺漏.不過要留意展開時(shí)的多種情

20cm,點(diǎn)、M在CH上,且CM=況，雖然看似很多，但由于長方體的

5cm,一只螞蟻如果要沿著長方體的對面是相同的，所以歸納起來只需討

表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)M,需要爬行的最論三種情況：前面和右面展開，前面

短距離是多少？和上面展開，左面和上面展開，從而

解：分三種情況比較最短距離：比較取其最小值即可.

如圖①(將正面與上面展開)所［類型二］運(yùn)用勾股定理與方程

解決有關(guān)計(jì)算問題

示，AM=y/l()2+(20+5)?=

圖14如圖，四邊形A8C。是邊長

為9的正方形紙片，將其沿MN折

5回，如圖②(將正面與右側(cè)面展開)

疊，使點(diǎn)B落在。。邊上的夕處，點(diǎn)

4的對應(yīng)點(diǎn)為4,且"C=3,則AM

所示，AM=y］261-［-(10+5)2=

的長是()

A.1.5B.2

25(cm).V5729>25,.?.第二種短

C.2.25D.2.5

些，此時(shí)最短距離為25cm；如圖

③(將正面與左側(cè)面展開)所示，AM=

y［(20+10)2+52=5、歷(cm).54

>25,???最短距離為25cm.

答：需要爬行的最短距離是

25cm.MB',在中，AB2+AM2=

BM2,在RlZkMQ"中，B'M2=

MD?+DB?,?:MB=MB\：.AB2+

離是小，那么點(diǎn)4所表示的數(shù)為小

AM1=BM2=B,M2=/WD2+D^2,即

92+?=（9-r）2+（9-3）2,解得x=一1.故選C.

2,即AM=2.故選B.方法總結(jié)：本題考查的是勾股定

方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是設(shè)出適理和數(shù)軸的知識，解答此題時(shí)要注

當(dāng)?shù)木€段的長度為乂然后用含有工意，確定點(diǎn)A的符號后，點(diǎn)A所表示

的式子表示其他線段，然后在直角三的數(shù)是距離原點(diǎn)的距離.

角形中利用勾股定理列方程解答.三、板書設(shè)計(jì)

［類型三］勾股定理與數(shù)軸1.勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)

如圖所示，數(shù)軸上點(diǎn)A所表用

示的數(shù)為。，則。的值是（）2.勾股定理在幾何圖形中的應(yīng)

用

-3-2-10323

就練習(xí)的情況來看，一方面學(xué)生簡單

A.小+1B.一市+1

機(jī)械地套用了“/+/=c2"，沒有

分析問題的本質(zhì)所在；另一方面對于

C.小一1D小

立體圖形轉(zhuǎn)化為平面問題在實(shí)際問題

解析：先根據(jù)勾股定理求出三角中抽象出數(shù)學(xué)模型還存在較大的困

形的斜邊長，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公難，在今后的教學(xué)中要通過實(shí)例不斷

式即可求出A點(diǎn)的坐標(biāo).圖中的直角訓(xùn)練提高.

三角形的兩直角邊為1和2,???斜邊

長為嚴(yán)百=小，,??一1到A的距

第3課時(shí)勾股定理的逆定理

古埃及人曾經(jīng)用下面的方法面直

目標(biāo)

角：將一根長繩打上等距離的13個(gè)

I.能利用勾股定理的逆定理判結(jié)，然后如圖那樣用樁釘釘成一個(gè)三

定一個(gè)三角形是否為直角三角形；（重角形，他們認(rèn)為其中一個(gè)角便是直

點(diǎn)）角.

2.靈活運(yùn)用勾股定理及其逆定你知道這是什么道理嗎？

理解決問題.（難點(diǎn)）二、合作探究

探究點(diǎn)一；勾股定理的逆定理

【類型一】勾股數(shù)

一、情境導(dǎo)入圖11判斷下列幾組數(shù)中，一定是

勾股數(shù)的是（）

A.1,啦，5B.8,15,17

34

彳，

C.7,14,15D.J7J,1

解析：???AB2=『+22=5,Bd=

解析：選項(xiàng)A不是，因?yàn)椤?，和

12+22=5,AC2=l2+32=10,/.AC2

=AB2jrBC2J△ABC是等腰直南三

市不是正整數(shù)；選項(xiàng)B是，因?yàn)??+1

角形，??,NACO是△ABC的外角，J

152=172,且8、15、17是正整數(shù)；ZACD=ZA+ZB=450+90°=

選項(xiàng)c不是，因?yàn)?2+142^152；選135°.故選B.

34方法總結(jié)：在網(wǎng)格圖中求三角形

項(xiàng)D不是，因?yàn)椤炫c弓不是正整數(shù).故

的角度時(shí)可以運(yùn)用勾股定理和一些特

選B.殊角的邊角關(guān)系來解答，比如在直角

方法總結(jié)：勾股數(shù)必須滿足：①三角形中3()°所對的直角邊是斜邊的

三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、一半，45°的直角三角形中兩直角邊

6、6.5滿足/+/=c2,但是2.5、6.5相等.

不是正整數(shù)，所以它們不是勾股數(shù)；［類型四］運(yùn)用勾股定理的逆定

②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到理解決面積問題

三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù).畫EJ如圖，在四邊形A5c。中，

［類型二］判斷三角形的形狀NB=90°,AB=8,BC=6,CD=

@224,AD=26,求四邊形43co的面

邊，且滿足3—7yIS—24)2|(C—積.

25)2=0.試判斷△ABC的形狀.

解析：可先確定。，b,c的值，

然后再結(jié)合勾股定理的逆定理進(jìn)行判

斷.

解：由平方數(shù)的非負(fù)性，得。一7

=0,8-24=(),c—25=().???〃=7,b

=24,c、=25.又?4=72=49,b2=

242=576,C2=252=625,???02+從=

???AABC是直角三角形.解析：連接AC,根據(jù)已知條件

方法總結(jié)：此題主要依據(jù)“若幾運(yùn)用勾股定理的逆定理可證△A8C和

個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)△ACO為直角三角形，然后代入三角

同時(shí)為0”這一性質(zhì)來確定a,b,c形面積公式將兩直角三角形的面積求

的值.該知識點(diǎn)在解題時(shí)會經(jīng)常用出來，兩者面積相加即為四邊形

到，應(yīng)注意掌握.ABCD的面彳只.

［類型三］利用勾股定理逆定理解：連接AC,VZZ?=90°,A

解決與角有關(guān)的問題△A8C為直角三角形，.\AC2=AB2+

圓3在如圖的方格中，△ABC的^=824-62=102,/.AC=10,在

頂點(diǎn)A、B、C都是方格線的交點(diǎn)，則△ACD中，???AC2+Cr>2=100+576

三角形ABC的外角ZACD的度數(shù)等=676,AD2=262=676,：.AC2+CD2

=AO\??.△AC。為直角三角形，且

NACZ)=90°,?二5四邊形4BCD=SAABC+

5A4CD=1X6X8+1X10X24=144.

方法總結(jié)：將求四邊形面積的問

A.130°B.135°題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)直角三角形面積和的

C.140°D.145°

問題，解題時(shí)要利用題目信息構(gòu)造出

海的最短距離是CE，由

直角三角形，如角度，三邊長度等.

探究點(diǎn)二：勾股定理逆定理的實(shí)AB?BC=^AC?BE,得BE=^（海

際應(yīng)用

里），由C聲+BW=Bd,即

（§）2=122,得"=號（海里），???

144|44

13=y^g^0.85（h）=51（min）,9

時(shí)50分+51分=10時(shí)41分.

圓5如圖，南北向MN為我國領(lǐng)答：走私艇C最早在10時(shí)41分

海線，即MN以西為我國領(lǐng)海，以東進(jìn)入我國領(lǐng)海.

為公海，上午9時(shí)50分，我國反走私方法總結(jié)：本題考查了對題意的

A艇發(fā)現(xiàn)正東方有一走私艇以13海里準(zhǔn)確把握和使用勾股定理解直角三角

/時(shí)的速度偷偷向我領(lǐng)海開來，便立即形，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中整理

通知正在線上巡邏的我國反走私出幾何圖形.

艇B密切注意.反走私艇A和走私般三、板書設(shè)計(jì)

。的距離是13海里，入。兩艇的距1.勾股定理的逆定理

離是5海里；反走私艇。距離C艇12如果三角形的三邊長4,b,。滿

海里，若走私艇。的速度不變，最早足/+從=。2,那么這個(gè)三角形是直

會在什么時(shí)候進(jìn)入我國領(lǐng)海.角三角形

解析：已知走私艇的速度，求出2.利用勾股定理逆定理求角和

走私版的距離即可得it走私使所用的線段的長

時(shí)間，即可得出走私艇何時(shí)能進(jìn)入我3.利用勾股定理逆定理解決實(shí)

國領(lǐng)海.所以現(xiàn)在的問題是得出走私際問題

艇的距離，根據(jù)題意，。石即為走私

艇所走的路程，可知，△A8E和

△EBC均為直角三角形，可分別解這學(xué)生在練習(xí)的過程中很容易受到固定

兩個(gè)直角三角形即可得出.思維模式的限制，往往不找最長邊而

解：設(shè)MN與AC相交于￡,則總是按照先后順序來解題，這樣很容

ZBEC=90°,V/AB2+BC2=52+122易發(fā)生錯(cuò)誤，再就是利用勾股定理的

=\32=AC\???△48C為直角三角逆定理進(jìn)行rr關(guān)的證明不是很得法，

形，且NA6C=90°,由于需在以后的學(xué)習(xí)中逐步訓(xùn)練提高.

MNICE,所以走私艇。進(jìn)入我國領(lǐng)

1.3直角三角形全等的判定

定一般三角形全等的方法判定兩個(gè)