2矩形的性質(zhì)與判定第1課時(shí)矩形的性質(zhì)教師備課素材示例●情景導(dǎo)入利用多媒體展示一組生活中的圖片，觀察圖中有哪些常見的平面圖形，從而引出矩形，進(jìn)而探究矩形的定義及性質(zhì)．【教學(xué)與建議】教學(xué)：從生活實(shí)例入手，感受生活中的矩形圖案．建議：選擇學(xué)生熟悉的圖片，也可以利用教室中可以看到的實(shí)物，比如黑板、門、窗等．●類比導(dǎo)入觀察思考，如圖(1)將兩長兩短的四根木條用小釘鉸合在一起，使等長的木條成為對邊，這樣就得到一個(gè)平行四邊形，即?ABCD；轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)四邊形使A′B′⊥B′C′時(shí)如圖(2)，就得到一個(gè)特殊的平行四邊形，你能說出這時(shí)平行四邊形A′B′C′D′是什么圖形嗎？有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形，它具有平行四邊形所有的性質(zhì)，這節(jié)課來探究它的特殊性質(zhì)．【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過平行四邊形教具類比到矩形，體會(huì)矩形與平行四邊形的區(qū)別和聯(lián)系．建議：在展示平行四邊形教具的變化情況后讓學(xué)生說出矩形的特征．命題角度1利用矩形的性質(zhì)計(jì)算線段的長或角的度數(shù)矩形的對角線相等且互相平分．【例1】(1)如圖，矩形ABCD對角線AC＝8cm，∠AOD＝120°，則AB的長為__4__cm；eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC＝12，P，Q分別為AO，AD的中點(diǎn)，則PQ的長度為__3__．命題角度2直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半利用直角三角形中線的性質(zhì)計(jì)算線段長度或面積等．【例2】(1)如圖，一根長am的木棍(AB)，斜靠在與地面(OM)垂直的墻(ON)上，設(shè)木棍的中點(diǎn)為P，若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行，請判斷木棍滑動(dòng)的過程中，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離__不發(fā)生__(選填“發(fā)生”或“不發(fā)生”)變化．eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，CD⊥AB于點(diǎn)D，E是AC的中點(diǎn)，若AD＝6，DE＝5，則CD＝__8__．命題角度3利用矩形的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形利用矩形的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，從而得到新的線段相等、角相等．【例3】(1)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且DE＝CF，連接OE，OF.求證：OE＝OF.證明：四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠ADC－∠ODC＝∠BCD－∠OCD，即∠EDO＝∠FCO.在△ODE和△OCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DE＝CF，,∠EDO＝∠FCO，,OD＝OC，))∴△ODE≌△OCF(SAS)，∴OE＝OF.(2)如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且EF＝ED，EF⊥ED.求證：AE平分∠BAD.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠BEF＋∠BFE＝90°.∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°，∴∠BFE＝∠CED，∴∠BEF＝∠EDC.在△EBF和△DCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BFE＝∠CED，,EF＝DE，,∠BEF＝∠CDE，))∴△EBF≌△DCE(ASA)，∴BE＝CD，∴BE＝AB，∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∴∠EAD＝45°，∴∠BAE＝∠EAD，∴AE平分∠BAD.高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．了解矩形的定義，理解矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系．2．發(fā)現(xiàn)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，并能運(yùn)用矩形的性質(zhì)．▲重點(diǎn)矩形的概念及性質(zhì)．▲難點(diǎn)矩形的性質(zhì)在解決問題中的應(yīng)用．◆活動(dòng)1創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課(課件)1．平行四邊形具有哪些性質(zhì)？2．菱形是特殊的平行四邊形，它具有哪些性質(zhì)？3．今天我們繼續(xù)學(xué)習(xí)另一種特殊的平行四邊形——矩形，先來觀看平行四邊形角度變化的動(dòng)畫．◆活動(dòng)2實(shí)踐探究交流新知【探究1】矩形的定義教師：同學(xué)們知道矩形特殊在什么地方嗎？我們來看一下矩形的定義：(課件展示變化的過程)歸納：有一個(gè)角是__直角__的__平行四邊形__叫做矩形(通常也叫長方形)．【探究2】矩形的性質(zhì)定理教師：同學(xué)們還有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生：矩形是特殊的平行四邊形．教師：所以矩形具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)．請同學(xué)們畫一個(gè)矩形，結(jié)合圖形探究一下，矩形除了具有一般平行四邊形的性質(zhì)外還有哪些特殊的性質(zhì)呢？學(xué)生動(dòng)手畫圖，結(jié)合圖形思考并給出結(jié)論．教師結(jié)合學(xué)生給出的結(jié)論引導(dǎo)學(xué)生分別從邊、角、對角線三個(gè)方面來探究．我們說矩形是特殊的平行四邊形，那么它特殊在什么地方？(展示矩形圖形)學(xué)生猜想：矩形的四個(gè)角都是直角；矩形的對角線相等．教師：同學(xué)們給出了兩個(gè)特殊的性質(zhì)，對不對呢？我們一起來驗(yàn)證一下：(課件展示)矩形的四個(gè)角都是直角．已知：如圖，四邊形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，對角線AC與DB相交于點(diǎn)O.求證：(1)∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；(2)AC＝DB.證明：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB(矩形的對角相等)，AB∥DC(矩形的對邊平行).∴∠ABC＋∠BCD＝180°.又∵∠ABC＝90°，∴∠BCD＝90°.∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；(2)∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC(矩形的對邊相等).在△ABC和△DCB中，∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB.∴AC＝DB.歸納：eq\x(\a\al(定理矩形的四個(gè)角都是直角．,定理矩形的對角線相等．))【探究3】直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．教師：下面請同學(xué)們結(jié)合矩形的性質(zhì)來填空．(課件展示)練一練：如圖，在矩形ABCD中：①AB∥__CD__，AB＝__CD__，AD∥__BC__，AD＝__BC__；②∠BAD＝∠__ADC__＝∠__BCD__＝∠__ABC__＝90°；③AC＝__BD__＝2__OA__＝2__OB__＝2__OC__＝2__OD__．教師：請同學(xué)們看圖并思考：在Rt△ABC中，斜邊AC上的中線是__OB__，它與斜邊的關(guān)系是OB＝__eq\f(1,2)__AC.學(xué)生：斜邊AC上的中線是OB，它與斜邊的關(guān)系是OB＝eq\f(1,2)AC.歸納：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．◆活動(dòng)3開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例例1(教材P13例1)如圖，在矩形ABCD中，兩條對角線相交于點(diǎn)O，∠AOD＝120°，AB＝2.5，求這個(gè)矩形對角線的長．【方法指導(dǎo)】矩形性質(zhì)的應(yīng)用．解：方法一：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝__BD__(矩形的對角線相等)，OA＝OC＝eq\f(1,2)__AC__，OB＝OD＝eq\f(1,2)__BD__(矩形的對角線互相平分)，∴OA＝__OD__．∵∠AOD＝120°，∴∠ODA＝∠OAD＝eq\f(1,2)×(180°－120°)＝30°.又∵∠DAB＝90°(矩形的四個(gè)角都是直角)，∴BD＝2__AB__＝2×__2.5__＝5.故這個(gè)矩形的對角線的長為5.方法二：∠AOD＝120°→∠AOB＝60°→OA＝OB＝AB→AC＝2OA＝2×2.5＝5.例2如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，DF⊥AE于F，AE＝BC.求證：CE＝EF.【方法指導(dǎo)】CE，EF分別是BC，AE線段上的一部分，若AF＝BE，則問題得以解決，而證明AF＝BE，只要證明△ABE≌△DFA即可．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，且AD∥BC，AD＝BC，∴∠1＝∠2.∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°.∴∠B＝∠AFD.又∵AE＝BC，AD＝BC，∴AD＝AE，∴△ABE≌△DFA(AAS)，∴AF＝BE.∵EF＝AE－AF，EC＝BC－BE，∴EF＝EC.此題還可以連接DE，證明Rt△DEF≌Rt△DEC，得到EF＝EC.◆活動(dòng)4隨堂練習(xí)1．如圖，在矩形ABCD中，AD＝3AB，點(diǎn)G，H分別在AD，BC上，連接BG，DH，且BG∥DH，當(dāng)eq\f(AG,AD)等于多少時(shí)，四邊形BHDG為菱形(C)A．eq\f(4,5)B．eq\f(3,5)C．eq\f(4,9)D．eq\f(3,8)eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))2．如圖，矩形ABCD沿著對角線BD折疊，使點(diǎn)C落在C′處，BC′交AD于點(diǎn)E，AD＝8，AB＝4，則DE的長為__5__．3．教材P13隨堂練習(xí)．解：∵OA＝4，∴BD＝AC＝2OA＝8，AD＝BC＝eq\r(AC2－AB2)＝eq\r(82－62)＝2eq\r(7).◆活動(dòng)5課堂小結(jié)與作業(yè)學(xué)生活動(dòng)：這節(jié)課你學(xué)到了什么