4用因式分解法求解一元二次方程教師備課素材示例●情景導入在新城區(qū)規(guī)劃建設過程中，測量土地時，發(fā)現(xiàn)了一塊正方形土地和一塊長方形土地，長方形土地的寬和正方形土地的邊長相等，長方形土地的長為90m，測量人員說：“正方形土地面積是長方形土地面積的eq\f(1,3).”你能幫助工作人員計算一下正方形土地的面積嗎？[分析]如果設正方形土地的邊長為xm，根據(jù)題意，得3x2＝90x，在解此方程時，我們可以通過直接開平方法、配方法和公式法來解決，那么，一元二次方程除了上述解法外，還有其他解法嗎？今天，我們進一步探討一元二次方程的解法．(板書課題：4用因式分解法求解一元二次方程)【教學與建議】教學：回顧已學一元二次方程的多種解法，探求更簡便的解法，引入了本節(jié)課的課題．建議：利用具體問題列出一元二次方程后，教師可以讓學生去思考怎樣解答．●類比導入(1)用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋孩賦2－5＝0；②3x2－5x－1＝0；③(x＋2)2－9＝0.(2)如果a·b＝0，則a＝0或b＝0，你能用這個知識點解下面的方程嗎？它與(1)有什么區(qū)別？①x(x－10)＝0；②(x－2)(x＋3)＝0；③(3x－1)(2x＋4)＝0.【教學與建議】類比以前學的解一元二次方程的方法，讓學生感受因式分解法解一元二次方程所要達到的形式，自然地引入到新課的探究中．建議：在練習中讓學生求解方程后說明自己選擇對應方法的理由．命題角度1利用因式分解法求解一元二次方程因式分解法解一元二次方程，利用因式分解將一元二次方程中的2次降為1次，其結(jié)果的形式是兩個因式的積等于0.【例1】(1)用因式分解法解下列方程．①x2－4x－12＝0；②3(x－2)2＝x(x－2).解：①x1＝6，x2＝－2；②x1＝2，x2＝3.(2)解方程：(x＋2)(x－2)＝x＋2.解：兩邊同除以(x＋2)，得x－2＝1.①所以x＝3.②以上解答錯在第__①__步，正確的答案是__x1＝－2，x2＝3__．命題角度2用合適的方法解一元二次方程解一元二次方程的方法主要有直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法，解方程時優(yōu)先考慮直接開平方法和因式分解法，再考慮配方法和公式法．【例2】(1)解一元二次方程y2－2y＝288比較適合的方法是(B)A．直接開平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法(2)將下列方程的序號填在相應解法的后面：①2(x－1)2＝8；②(x－2)2＋x2＝4；③x2－2x－1＝0；④x2－eq\r(2)x＋eq\f(1,4)＝0.使用下列解法比較適合的是：直接開平方法__①__；配方法__③__；公式法__④__；因式分解法__②__．命題角度3用因式分解法解決問題此類題一般是應用因式分解法和幾何知識求解．【例3】(1)一個三角形的兩邊長分別為3和4，第三邊的長是方程x2－2x－15＝0的根，則這個三角形的周長為(A)A．12B．13C．14D．15(2)等腰三角形的兩邊長分別是方程x2－5x＋6＝0的兩根，則它的周長是__7或8__．高效課堂教學設計1．了解因式分解的步驟，能用因式分解法解一元二次方程．2．能根據(jù)一元二次方程的具體特征，靈活選擇方程的解法．▲重點會用因式分解法解方程．▲難點根據(jù)方程的具體特征靈活選取適當?shù)姆椒ń夥匠蹋艋顒?創(chuàng)設情境導入新課(課件)復習：將下列各式分解因式：(1)5x2－4x＝__x(5x－4)__；(2)x2－4x＋4＝__(x－2)2__；(3)4x(x－1)－2＋2x＝__2(x－1)(2x＋1)__；(4)x2－4＝__(x＋2)(x－2)__；(5)(2x－1)2－x2＝__(3x－1)(x－1)__．◆活動2實踐探究交流新知一個數(shù)的平方與這個數(shù)的3倍有可能相等嗎？如果相等，這個數(shù)是幾？你是怎樣求出來的？小穎、小明、小亮都設這個數(shù)為x.根據(jù)題意，可得方程x2＝3x.但他們的解法各不相同：小穎：由方程x2＝3x，得x2－3x＝0.這里a＝1，b＝－3，c＝0.∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×0＝9＞0，∴x＝eq\f(3±\r(9),2×1).即x1＝3，x2＝0，∴這個數(shù)是3或0.小明：方程x2＝3x兩邊同時約去x，得x＝3，∴這個數(shù)是3.小亮：由方程x2＝3x，得x2－3x＝0，即x(x－3)＝0.于是x＝0，或x－3＝0.∴x1＝3，x2＝0，∴這個數(shù)是3或0.1．解法分析：(1)以上三種解法對嗎？為什么？(2)三種解法分別用的是什么方法？(3)小亮的解法是我們以前學過的哪種變形？利用這種方法解方程的依據(jù)是什么？(4)你能總結(jié)一下什么是因式分解法嗎？對于這道題，哪種解法更簡便？2．歸納：當一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時，我們就可以用小亮的方法求解．這種解一元二次方程的方法稱為因式分解法．◆活動3開放訓練應用舉例例1(教材P47例題)解下列方程：(1)5x2＝4x；(2)x(x－2)＝x－2.【方法指導】先讓學生觀察第(1)個方程的特點，然后讓學生試著口述解題過程，教師根據(jù)學生的回答板書，期間可以做出必要的引導，如：移項要使“＝”號的右邊為“0”；分解因式要先判斷是否有公因式，若有公因式，則先用提公因式法分解因式；利用“若ab＝0，則a＝0或b＝0”將原來的一元二次方程轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程．解：(1)原方程可變形為5x2－4x＝0，x(5x－4)＝0.x＝0，或5x－4＝0.∴x1＝0，x2＝eq\f(4,5)；(2)原方程可變形為x(x－2)－(x－2)＝0，(x－2)(x－1)＝0.x－2＝0，或x－1＝0.∴x1＝2，x2＝1.例2用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)3x(x＋5)＝5(x＋5)；(2)3x2＝4x＋1；(3)5x2＝4x－1.【方法指導】解一元二次方程時，若沒有具體的要求，應盡量選擇最簡便的方法去解．能用因式分解法或直接開平方法的，選用因式分解法或直接開平方法；若不能用上述方法，可用公式法求解．在用公式法時，要先計算b2－4ac的值，若b2－4ac＜0，則判斷原方程沒有實數(shù)根．沒有特殊要求時，一般不用配方法．解：(1)原方程可變形為3x(x＋5)－5(x＋5)＝0，(x＋5)(3x－5)＝0，x＋5＝0，或3x－5＝0，∴x1＝－5，x2＝eq\f(5,3)；(2)將方程化為一般形式，得3x2－4x－1＝0.這里a＝3，b＝－4，c＝－1.∵b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－1)＝28＞0，∴x＝eq\f(4±\r(28),2×3)＝eq\f(4±2\r(7),6)＝eq\f(2±\r(7),3)，即x1＝eq\f(2＋\r(7),3)，x2＝eq\f(2－\r(7),3)；(3)將方程化為一般形式，得5x2－4x＋1＝0.這里a＝5，b＝－4，c＝1.∵b2－4ac＝(－4)2－4×5×1＝－4＜0，∴原方程沒有實數(shù)根．◆活動4隨堂練習1．用因式分解法解下列方程：(1)(x＋2)(x－4)＝0；(2)4x(2x＋1)＝3(2x＋1)；(3)4(x－1)＝(x－1)2；(4)x(x＋2)＝4＋2x.解：(1)x1＝－2，x2＝4；(2)x1＝－eq\f(1,2)，x2＝eq\f(3,4)；(3)x1＝1，x2＝5；(4)x1＝－2，x2＝2.2．一個數(shù)平方的2倍等于這個數(shù)的7倍，這個數(shù)是__0或eq\f(7,2)__．3．已知三角形的兩邊分別為3和7，第三邊長是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一個根，求這個三角形的周長．解：解方程x(x－7)－10(x－7)＝0，得x1＝7，x2＝10.∵當x＝10時，3＋7＝10，不符合三角形的三邊關系，∴x2＝10不合題意，舍去．∴x＝7，∴這個三角形的周長為3＋7＋7＝17.◆活動5課堂小結(jié)與作業(yè)學生活動：通過