第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年河南省駐馬店市上蔡一中、二中中考數(shù)學(xué)三模試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列各數(shù)中，比-2小的數(shù)是（）A.2 B.-3 C.1 D.02.2025年4月17日，中國(guó)電影新類別“虛擬現(xiàn)實(shí)電影”的001號(hào)龍標(biāo)授予河南廣播電視臺(tái)出品的《唐宮夜宴》.將“虛擬現(xiàn)實(shí)電影”六個(gè)漢字分別寫在某正方體的表面，如圖是它的一種展開圖，則在原正方體中，與“現(xiàn)”字所在面相對(duì)的面上的漢字是（）

A.虛 B.實(shí) C.電 D.影3.計(jì)算（x2y）3÷x3的結(jié)果是（）A.xy B.x2y3 C.x3y3 D.x4y34.如圖，在一個(gè)建筑工地有兩根平行的鋼梁l1和l2，它們分別固定在建筑物的不同位置，用于支撐結(jié)構(gòu).工人師傅需要在鋼梁上安裝兩根互相垂直的支架AB，CD，以確保鋼梁的穩(wěn)定性和安全性.經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)∠1=40°，則∠2的度數(shù)為（）A.60° B.50° C.45° D.40°5.為了解本班同學(xué)做家務(wù)情況，勞動(dòng)委員小耿隨機(jī)調(diào)查了本班8名同學(xué)平均每周做家務(wù)勞動(dòng)的天數(shù)（單位：天）：2，3，5，5，6，6，6，7，據(jù)此小耿估計(jì)本班同學(xué)平均每周做家務(wù)勞動(dòng)的天數(shù)為（）A.6天 B.5天 C.4天 D.3天6.已知不等式組只有一個(gè)整數(shù)解，且其中一個(gè)不等式是3x-2＜1，則另一個(gè)不等式可能是（）A.1-2x≤3 B.1-x≤2x-2 C.3（2-x）＜6 D.7.如圖，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD邊的中點(diǎn)，連接BE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，則線段EF的長(zhǎng)為（）A.1

B.

C.

D.8.你能找到三個(gè)連續(xù)整數(shù)，使得前兩個(gè)數(shù)的平方和等于第三個(gè)數(shù)的平方嗎？如果將這三個(gè)連續(xù)整數(shù)中最小的數(shù)設(shè)為x,那么可得方程x2+（x+1）2=（x+2）2，則該方程的根的情況是（）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D.沒有實(shí)數(shù)根9.如圖，在△ABC中，∠BAC=70°，BC=6，以AB為直徑的半圓O交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接OE，若D是的中點(diǎn)，則陰影部分的面積為（）A.

B.

C.

D.10.如圖①，四邊形ABCD是矩形，E，F(xiàn)分別為邊AD，CD上兩定點(diǎn)，DF=CF=1，G為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接GE，GF，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿E→G→F的方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接BP，PQ.設(shè)P，Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度相同，且運(yùn)動(dòng)路程均為x,△BPQ的面積為S，圖②是S隨x變化的關(guān)系圖象，連接EF，則線段EF的長(zhǎng)為（）A. B.2 C. D.3二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.分解因式：a2-a=______．12.2025年2月26日清晨，潘建偉團(tuán)隊(duì)宣布“九章四號(hào)”量子計(jì)算機(jī)已完成數(shù)據(jù)采集，這臺(tái)光子數(shù)突破3000的量子裝置，將計(jì)算優(yōu)勢(shì)差距拉升到1032倍，這意味著全球最快的超算對(duì)其1分鐘完成的任務(wù)需運(yùn)行五萬億年.數(shù)據(jù)“五萬億”用科學(xué)記數(shù)法表示為______.13.少林武術(shù)，又稱少林功夫，是在河南嵩山少林寺這一特定歷史文化環(huán)境中形成的.將正面畫有少林功夫經(jīng)典招式——朝陽拳、梅花拳、黑虎拳、羅漢拳的四張卡片背面朝上洗勻，且它們除正面外完全相同.從中隨機(jī)抽取一張，放回洗勻后，再從中隨機(jī)抽取一張，兩次抽取的卡片是同一招式的概率是______.14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-5，0），B（5，0），點(diǎn)C在第二象限內(nèi)且，AC⊥BC，BC交y軸于點(diǎn)D，將△BOD沿x軸向左平移使點(diǎn)D落在AC上，則平移后的點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B'的坐標(biāo)為______.

15.如圖，△ABC是等邊三角形，P是△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)P繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)Q，射線CP和射線AQ交于點(diǎn)D，則∠ADC=______°；過點(diǎn)A作AE⊥CD交CD于點(diǎn)E，連接BP，若AB=5，BP=3，則AE的最小值為______.

三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題10分)

（1）計(jì)算：；

（2）化簡(jiǎn)：.17.(本小題9分)

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，∠BAC=60°.

（1）請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)過點(diǎn)C作CD∥AB交⊙O于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）的條件下，連接BD，求證：BD=CD.18.(本小題9分)

河南省教育廳通知2025年春季學(xué)期開始，全省義務(wù)教育階段學(xué)校要每天開設(shè)一節(jié)體育課，確保學(xué)生每天兩小時(shí)綜合體育活動(dòng)時(shí)間.某校為鼓勵(lì)學(xué)生積極參與體育活動(dòng)，舉辦了一場(chǎng)跳繩比賽.小晶在本班參加比賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的跳繩成績(jī)（用x表示，單位：個(gè)），將數(shù)據(jù)整理后分為四組：A組（60≤x＜100），B組（100≤x＜140），C組（140≤x＜180），D組（180≤x≤220），得到如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表（跳繩的成績(jī)均不低于60個(gè)，不超過220個(gè)）.

部分學(xué)生成績(jī)頻數(shù)分布表組別頻數(shù)A組：60≤x＜1003B組：100≤x＜140aC組：140≤x＜1807D組：180≤x≤2206根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）所抽取的學(xué)生總數(shù)是______人，a=______，m=______；

（2）小晶根據(jù)以上數(shù)據(jù)認(rèn)為所抽取的部分學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)在B組范圍內(nèi)，請(qǐng)判斷她的說法是否正確，并說明理由；

（3）小晶根據(jù)本班學(xué)生的成績(jī)，估計(jì)全校參加跳繩比賽的3000名學(xué)生中有450名學(xué)生的成績(jī)低于100個(gè)，而實(shí)際上只有200名學(xué)生的成績(jī)低于100個(gè)，請(qǐng)你分析小晶估計(jì)不準(zhǔn)確的原因.19.(本小題9分)

如圖①，已知A（1，m），B是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC∥x軸，過點(diǎn)B作BC∥y軸，兩直線交于點(diǎn)C，連接AB，OA，OC.

（1）求m的值；

（2）若AB=2OA，D為x軸正半軸上一點(diǎn)，求證：∠AOD=3∠COD.

以下是小軍的證明過程：證明：如圖②，過點(diǎn)A作AE⊥AC交OC于點(diǎn)E，連接BE，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則C（n,2），

∴直線OC的函數(shù)表達(dá)式為，

∴，

∴BE∥x軸，

∴AE⊥BE，易證得四邊形AEBC是矩形.

…請(qǐng)將小軍的證明過程補(bǔ)充完整.20.(本小題9分)

如圖①是古代測(cè)量工具“水平真尺”的示意圖，在尺子的表面有一條凹槽用來盛水，尺子兩端各有一個(gè)小孔，通過這兩個(gè)小孔去觀察遠(yuǎn)處的目標(biāo)，如果兩個(gè)小孔和水面在同一水平線上，那么通過小孔看到的遠(yuǎn)處目標(biāo)也在同一水平線上.如圖②，小明利用自制水平真尺測(cè)量池塘對(duì)面樓房CE的高度.小明在B處安置一根與地面垂直的標(biāo)桿BG，利用水平真尺在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)A，B，樓房底端點(diǎn)C在同一水平線上，此時(shí)點(diǎn)A，標(biāo)桿上的點(diǎn)D，樓房頂端點(diǎn)E恰在同一直線上.小明往后退5米到點(diǎn)F處，利用水平真尺測(cè)得點(diǎn)F，B，C在同一水平線上，此時(shí)點(diǎn)F，標(biāo)桿頂點(diǎn)G，樓房頂端點(diǎn)E在同一直線上.測(cè)量得到AB=3米，BD=1.5米，DG=1.7米.請(qǐng)據(jù)此計(jì)算出樓房CE的高度.21.(本小題9分)

端午節(jié)將至，小紅爸爸計(jì)劃購買A，B兩種品牌共20袋糯米制作粽子售賣.已知用400元購買A品牌糯米的袋數(shù)與用350元購買B品牌糯米的袋數(shù)相同，且A品牌每袋糯米的價(jià)格比B品牌每袋糯米的價(jià)格多10元.

（1）求A，B兩種品牌每袋糯米的價(jià)格；

（2）小紅爸爸計(jì)劃購買B品牌糯米的袋數(shù)不超過A品牌糯米袋數(shù)的，則怎樣購買才能花費(fèi)最少，最少為多少元？

（3）小紅去商家柜臺(tái)了解到若整箱（5袋/箱）購買任意一種品牌的糯米，每箱可優(yōu)惠10元.小紅猜想購買A品牌糯米3整箱，購買B品牌糯米1整箱會(huì)比（2）中的方案更省錢.請(qǐng)通過計(jì)算說明小紅的猜想是否正確.22.(本小題10分)

太陽能的特點(diǎn)是巨大、清潔、取之不盡.如圖①，小明所在的學(xué)習(xí)小組自制了一個(gè)太陽能灶，太陽能灶的關(guān)鍵部件是聚光鏡，其截面類似拋物線，我們稱之為拋物面.如圖②，A為拋物面的頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A與水平地面的距離OA為1m時(shí)，測(cè)得拋物面兩端B，C相距2m,且離地面均為1.25m.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平地面為x軸，OA所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

（1）求拋物面的表達(dá)式；

（2）太陽光線經(jīng)拋物面反射后集中聚焦在焦點(diǎn)D（0，2）處，將水壺置于焦點(diǎn)位置時(shí)，可達(dá)到加熱的目的.經(jīng)了解，當(dāng)太陽光線照射在拋物面上的點(diǎn)到地面的距離與其到焦點(diǎn)的距離相等時(shí)，加熱效果最好，請(qǐng)判斷該學(xué)習(xí)小組自制的太陽能灶是否滿足該條件，并說明理由.23.(本小題10分)

小明同學(xué)在進(jìn)行四邊形大單元整合知識(shí)時(shí)，試圖用“特殊到一般”的思想方法研究四邊形的邊長(zhǎng)與對(duì)角線的關(guān)系，下面是他的探究過程.

【觀察發(fā)現(xiàn)】

（1）如圖①，正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為m,則AB2+BC2=______（用含m的代數(shù)式表示）；

【操作探究1】

（2）如圖②，菱形ABCD的對(duì)角線AC長(zhǎng)為m,BD長(zhǎng)為n,則AB2+BC2=______（用含m,n的代數(shù)式表示）；

【操作探究2】

（3）如圖③，在?ABCD中，對(duì)角線AC長(zhǎng)為m,BD長(zhǎng)為n,猜想AB2+BC2的值并說明理由（用含m,n的代數(shù)式表示）；

【拓展應(yīng)用】

（4）在（3）的條件下，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，若AB=AO=2，∠BAO=120°，M為BC邊上一點(diǎn)（不含點(diǎn)B），連接AM，將AB沿AM折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'，當(dāng)點(diǎn)B′落在?ABCD邊上時(shí)，請(qǐng)直接寫出CM的長(zhǎng).

1.解：根據(jù)有理數(shù)的大小關(guān)系，-3＜-2＜0＜1＜2．

∴比-2小的數(shù)是-3．

故選：B．

2.解：在原正方體中，與“現(xiàn)”字所在面相對(duì)的面上的漢字是“電”．

故選：C．

3.解：原式=x6y3÷x3=x3y3，

故選：C．

4.解：如圖，

∵CD⊥AB，∠1=40°，

∴∠3=90°-∠1=50°，

∵l1∥l2，

∴∠2=∠3=50°，

故選：B．

5.解：（2+3+5+5+6+6+6+7）÷8=5（天），

故選：B．

6.解：解不等式3x-2＜1，得x＜1，

∵不等式組只有一個(gè)整數(shù)解，

∴整數(shù)解為0，

∴第二個(gè)不等式的解集為x＞-1或x≥0，

A、解不等式1-2x≤3，得x≥-1，不合題意；

B、解不等式1-x≤2x-2，得x≥1，不合題意；

C、解不等式3（2-x）＜6，得x＞0，不合題意；

D、解不等式，得x＞-1，不合題意；

故選：D．

7.解：∵四邊形ABCD是正方形，AB=2，E是AD邊的中點(diǎn)，

∴AD=CB=AB=2，AD∥CB，∠BAE=90°，

∴AE=DE=AD=1，

∴BE===，

∵AE∥CB，

∴△AEF∽△CBF，

∴==，

∴EF=BE=BE=，

故選：C．

8.解：原方程可化為：x2-2x-3=0，

則a=1，b=-2，c=3，

所以b2-4ac=（-2）2-4×1×（-3）=16＞0，

故原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

故選：A．

9.解：如圖：連接OD，

∵OA=OD，∠BAC=70°，

∴∠ODA=∠OAD=70°，

∴∠AOD=180°-70°-70°=40°，

∵D是的中點(diǎn)，

∴∠DOE=∠AOD=40°，

∴∠EOB=180°-40°-40°=100°，

∵OE=OB，

∴∠OBE=∠OEB==40°，

∴∠C=180°-40°-70°=70°，

∴AB=BC，

∵BC=6，

∴OB=OA=3，

∴S扇形OBE==．

故選：D．

10.解：根據(jù)函數(shù)圖象可得當(dāng)x=1時(shí)，BQ=EP=1，，

則點(diǎn)P到BC的距離為1，

∵CF=1，CF⊥BC，

∴當(dāng)x=1時(shí)，PF∥BC，

∵DF=1，

∴GE必須與AD垂直，

當(dāng)1＜x≤a時(shí)，△BPQ的面積S與x成一次函數(shù)，

∴1＜x≤a時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離不變，

∴點(diǎn)G的位置如圖所示，EG⊥GF，

，

當(dāng)BQ=a時(shí)，△BPQ的面積為，

∴，

∵EG=1，

∴GF=a-1=2，

∵∠G=∠D=∠GED=90°，

∴ED=GF=2，

∴，

故選：A．

11.解：a2-a=a（a-1）．

故答案為：a（a-1）．12.解：五萬億=5000000000000=5×1012．

故答案為：5×1012．

13.解：將四張卡片分別記為A，B，C，D，

列表如下：ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次抽取的卡片是同一招式的結(jié)果有4種，

∴兩次抽取的卡片是同一招式的概率為．

故答案為：．

14.解：∵點(diǎn)A（-5，0），B（5，0），

∴AB=10．

又∵AC=，AC⊥BC，

∴BC=．

過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為M，

∵，

∴CM=，

∴AM=，

∴OM=5-2=3，

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，4）．

令直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+b,

則，

解得，

所以直線AC的函數(shù)解析式為y=2x+10．

同理可得，直線BC的函數(shù)解析式為y=．

將x=0代入y=得，

y=，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，）．

將y=代入y=2x+10得，

2x+10=，

解得x=，

∴△BOD沿x軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，點(diǎn)D落在AC上，

∴5-，

則平移后的點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）．

故答案為：（）．

15.解：如圖1所示，連接BQ，設(shè)AB，CD交于T，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BQ=BP，∠PBQ=60°，

∵BA=BC，∠ABC=60°，

∴∠ABQ=∠CBP=60°-∠ABP，

∴△ABQ≌△CBP（SAS），

∴∠BAQ=∠BCP，

又∵∠ATD=∠BTC，∠ATD+∠D+∠DAT=∠BCT+∠BTC+∠CBT=180°，

∴∠D=∠ABC=60°；

∵∠BAC=∠ABC=60°，BC=AC=AB=5；

∵∠ADC=∠ABC=60°，

∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，

∴∠BDC=∠BAC=60°；

∵BP=3，

∴點(diǎn)P在以點(diǎn)B為圓心，3為半徑長(zhǎng)的圓上；

∵AE⊥CD，

∴AE=AC?sin∠ACE=5sin∠ACE，

∴當(dāng)∠ACE最小時(shí)，AE有最小值，

∴當(dāng)CP與⊙B相切時(shí)，∠ACE最小，此時(shí)AE有最小值，

如圖2所示，此時(shí)∠BPC=∠BPD=90°，

∴，，

設(shè)DE=x,則，

∴，

∵AE2+CE2=AC2，

∴，

解得或（不符合題意，舍去），

∴；

故答案為：60；．

16.解：（1）原式=1+3-2=2；

（2）原式=

=．

17.（1）解：如圖，CD即為所求作（作法不唯一，合理即可）；

（2）證明：如解圖①，連接BD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵∠BAC=60°，

∴∠ABC=30°，∠BDC=180°-∠BAC=120°，

∵CD∥AB，

∴∠BCD=∠ABC=30°，

∴∠CBD=180°-∠BDC-∠BCD=30°，

∴∠BCD=∠CBD，

∴．BD=CD．

18.解：（1）所抽取的學(xué)生總數(shù)是：6÷30%=20（人），

a=20×20%=4，

m%=×100%=15%，即m=15，

故答案為：20，4，15；

（2）小晶的說法不正確；

理由：將這20名學(xué)生的成績(jī)按從大到小（或從小到大）的順序排列，中位數(shù)為第10位和第11位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

∵第10位和11位數(shù)據(jù)均在C組范圍內(nèi)，

∴所抽取的部分學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)在C組范圍內(nèi)，

即小晶的說法不正確；

（3）小晶估計(jì)不準(zhǔn)確的原因：選取的樣本不對(duì)，應(yīng)該在全校參加比賽的學(xué)生中隨機(jī)抽樣，選取特定班級(jí)的樣本，評(píng)估全校情況不具有代表性（答案不唯一，合理即可）．

19.（1）解：∵反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)A（1，m），

∴，

即m的值為2；

（2）證明：如圖②，過點(diǎn)A作AE⊥AC交OC于點(diǎn)E，連接BE，

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則C（n,2），

∴直線OC的函數(shù)表達(dá)式為，

∴，

∴BE∥x軸，

∴AE⊥BE，易證得四邊形AEBC是矩形．

如圖，設(shè)AB，CE交于點(diǎn)F，

∴AB=2AF，AF=CF，

∴∠CAF=∠ACF，

∴∠AFO=2∠ACF，

∵AB=2OA，

∴OA=AF，

∴∠AOC=∠AFO=2∠ACF，

∵AC∥x軸，

∴∠COD=∠ACF，

∴∠AOC=2∠COD，

∴∠AOD=3∠COD．

20.解：∵樓房CE和標(biāo)桿BG均與地面垂直，

∴∠ACE=∠ABD=∠FBG=90°，

∵∠CAE=∠BAD，

∴△CAE∽△BAD，

∴，

整理，得CB=2CE-3，

∵∠CFE=∠BFG，

∴△CFE∽△BFG，

∴，

，

整理，得8CE=6.4CE+16，

解得CE=10，

答：樓房CE的高度為10米．

21.解：（1）設(shè)A品牌每袋糯米的價(jià)格為x元，則B品牌每袋糯米的價(jià)格（x-10）元．

根據(jù)題意，得=，

解得x=80，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=80是所列分式方程的根，

80-10=70（元）．

答：A品牌每袋糯米的價(jià)格為80元，B品牌每袋糯米的價(jià)格70元．

（2）設(shè)購買A品牌糯米a袋，則購買B品牌糯米（20-a）袋．

根據(jù)題意，得20-a≤a,

解得a≥13，

設(shè)花費(fèi)W元，則W=80a+70（20-a）=10a+1400，

∵10＞0，

∴W隨a的減小而減小，

∵a≥13且a為非負(fù)整數(shù)，

∴當(dāng)a=14時(shí)W值最小，W最小=10×14+1400=1540，

20-14=6（袋）．

答：購買A品牌糯米14袋、B品牌糯米6袋才能花費(fèi)最少，最少為1540元．

（3）購買A品牌糯米3整箱、B品牌糯米1整箱需要花費(fèi)3×5×80+1×5×70-（3+1）×10=1510（元），

∵1510＜1540，

∴小紅猜想購買A品牌糯米3整箱，購買B品牌糯米1整箱會(huì)比（2）中的方案更省錢，

∴小紅的猜想正確．

22.解：（1）設(shè)拋物面的表達(dá)式為y=ax2+c,

∵拋物面的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），且過點(diǎn)（1，1.25），

將（0，1），（1，1.25）代入y=ax2+c中，

得，

解得，

∴；

（2）滿足；

理由如下：設(shè)太陽光線照射在拋物面上的點(diǎn)為，則點(diǎn)P到地面的距離為，

∵D（0，2），

∴

=

=，

∵PD＞0，

∴，

∴該學(xué)習(xí)小組自制的太陽能灶滿足太陽光線照射在拋物