第三節(jié)空間直線、平面的平行高三一輪復(fù)習(xí)講義湘教版第七章立體幾何與空間向量課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，歸納出有關(guān)平行的性質(zhì)定理和判定定理，并加以證明．2.能利用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．0403考教銜接精研教材課時(shí)測(cè)評(píng)02考點(diǎn)探究提升能力教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)01內(nèi)容索引教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果平面外一條直線與__________的一條直線平行，那么該直線與此平面平行?a∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面______，那么該直線與交線平行?a∥b此平面內(nèi)

相交

2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條__________與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行?α∥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，如果一個(gè)平面與這兩個(gè)平面______，那么兩條______平行?a∥b相交直線

相交交線

常用結(jié)論(1)平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論①垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.③平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(2)平行關(guān)系有關(guān)的性質(zhì)①夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長(zhǎng)度相等．②兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．③同一條直線與兩個(gè)平行平面所成的角相等．自主檢測(cè)1.(多選)下列說法錯(cuò)誤的是A．若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面B．若直線a∥平面α，P∈α，則過點(diǎn)P且平行于直線a的直線有無數(shù)條C．若直線a?平面α，直線b?平面β，a∥b，則α∥βD．如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面√√√2.平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α√若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，a∥α，a∥β，故排除A；若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，故排除B；若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，故排除C．故選D．3.下列命題正確的是A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α√A錯(cuò)誤，a可能在經(jīng)過b的平面內(nèi)；B錯(cuò)誤，a與α內(nèi)的直線平行或異面；C錯(cuò)誤，兩個(gè)平面可能相交．故選D．4.如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為____________．平行四邊形因?yàn)槠矫鍭BFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面DCGH＝HG，且平面EFGH∩平面ABFE＝EF，所以EF∥HG，同理EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形．5.(用結(jié)論)如圖，平面α∥平面β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，則AB＝________．

返回考點(diǎn)探究提升能力考點(diǎn)一直線與平面平行的判定與性質(zhì)

多維探究典例1角度1直線與平面平行的判定

如圖所示，正方形ABCD與正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE，BD上各有一點(diǎn)P，Q，且AP＝DQ，求證：PQ∥平面BCE.

1.線面平行的證明方法(1)定義法：一般用反證法．(2)判定定理法：關(guān)鍵是在平面內(nèi)找或作一條直線與已知直線平行，證明時(shí)注意用符號(hào)語(yǔ)言敘述證明過程．(3)性質(zhì)定理法：即兩平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面．規(guī)律方法2.構(gòu)造平行直線的常用方法(1)構(gòu)建三角形或梯形的中位線：可直接利用線段的中點(diǎn)、等腰三角形三線合一或利用平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)找中點(diǎn)，從而構(gòu)建中位線．(2)構(gòu)建平行四邊形：可以利用已知的平行關(guān)系(如梯形的上下底邊平行)或構(gòu)建平行關(guān)系(如構(gòu)造兩條直線同時(shí)平行于已知直線)，從而構(gòu)建平行四邊形．規(guī)律方法典例2角度2直線與平面平行的性質(zhì)

已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，E，F(xiàn)分別是棱PC，AB上的動(dòng)點(diǎn)．若E是PC的中點(diǎn)，且BE∥平面PFD.

證明：F是AB的中點(diǎn)．

線面平行性質(zhì)的應(yīng)用

證明線線平行，常常將線面平行轉(zhuǎn)化為該線與過該線的一個(gè)平面和已知平面的交線平行．注意：應(yīng)用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理時(shí)，一定要注意定理成立的條件，通常應(yīng)嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟．規(guī)律方法

(2)DF∥l.證明：由(1)知DF∥平面PBE，又DF?平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，所以DF∥l.考點(diǎn)二平面與平面平行的判定與性質(zhì)

師生共研

如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)．求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；證明：因?yàn)镚，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點(diǎn)共面．典例３(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明：在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以EF∥BC，因?yàn)镋F?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.又因?yàn)镚，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，AB＝A1B1，所以A1G綊EB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1E∥GB.因?yàn)锳1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因?yàn)锳1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，所以平面EFA1∥平面BCHG.1.(變條件、變?cè)O(shè)問)在本例條件下，若D為BC1的中點(diǎn)，求證：HD∥平面A1B1BA.證明：如圖所示，連接HD，A1B，BC1，因?yàn)镈為BC1的中點(diǎn)，H為A1C1的中點(diǎn)，所以HD∥A1B，又HD?平面A1B1BA，A1B?平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA.變式探究2.(變條件、變?cè)O(shè)問)在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.證明：如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)M，因?yàn)樗倪呅蜛1ACC1是平行四邊形，所以M是A1C的中點(diǎn)，連接MD，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以A1B∥DM.因?yàn)锳1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綊BD，所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，所以DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因?yàn)镈C1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.注意：利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明在一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交直線．規(guī)律方法對(duì)點(diǎn)練2.如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；證明：由題設(shè)知BB1綊DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因?yàn)锳1D1綊B1C1綊BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥D1C.又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因?yàn)锽D∩A1B＝B，BD，A1B?平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，證明：B1D1∥l.證明：由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以直線l∥直線BD，在四棱柱ABCD

-A1B1C1D1中，四邊形BDD1B1為平行四邊形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.考點(diǎn)三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

師生共研典例4

解決存在性問題一般先假設(shè)有關(guān)的元素(點(diǎn)、直線、平面)存在，然后從這個(gè)元素滿足的結(jié)論出發(fā)，尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件．若找到了使結(jié)論成立的充分條件，則存在；若找不到使結(jié)論成立的充分條件(出現(xiàn)矛盾)，則不存在．而對(duì)于探求點(diǎn)的問題，一般先探求點(diǎn)的位置，多為線段的中點(diǎn)或某個(gè)三等分點(diǎn)，然后給出符合要求的證明即可．規(guī)律方法

返回考教銜接精研教材真題再現(xiàn)

返回教材呈現(xiàn)(湘教版必修二P171T17)如圖，正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，在對(duì)角線AE，BD上各有一點(diǎn)P，Q，且AP＝DQ.求證：PQ∥平面BCE.(用兩種方法證明)

點(diǎn)評(píng)：這兩道題目的設(shè)問本質(zhì)是一樣的，都是考查直線與平面平行的判定這個(gè)知識(shí)點(diǎn)．高考題借助構(gòu)造平行四邊形證明線線平行，而教材題是通過比例關(guān)系證明線線平行，但本質(zhì)都是達(dá)到證明線面平行的目的．從證題的思路和方法上來說是一致的．課時(shí)測(cè)評(píng)1.如圖，已知P為四邊形ABCD外一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為BD，PD上的點(diǎn)，若EF∥平面PBC，則A．EF∥PAB．EF∥PBC．EF∥PCD．以上均有可能√由線面平行的性質(zhì)定理可知EF∥PB.故選B．2.已知兩條不同的直線a，b及兩個(gè)不同的平面α，β，下列說法正確的是A．若α∥β，a?α，b?β，則a∥bB．若α∥β，a?α，b?β，則a與b是異面直線C．若α∥β，a?α，b?β，則a與b平行或異面D．若α∩β＝b，a?α，則a與β一定相交√若α∥β，a?α，b?β，則直線a，b沒有交點(diǎn)，故a與b平行或異面，故A、B錯(cuò)誤，C正確；若α∩β＝b，a?α，當(dāng)a∥b時(shí)，a與β平行，故D錯(cuò)誤．故選C．

√

√

5.(多選)如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，則A．OM∥PAB．OM∥平面PCDC．OM∥平面PDAD．OM∥平面PBA√√由題意知，OM是△BPD的中位線，所以O(shè)M∥PD，又PD∩PA＝P，故A不正確；PD?平面PCD，OM?平面PCD，所以O(shè)M∥平面PCD，故B正確；同理，可得OM∥平面PDA，故C正確；OM與平面PBA相交于點(diǎn)M，故D不正確．故選BC．6.(多選)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，D，E，F(xiàn)為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面DEF平行的是√√對(duì)于A，AB∥DE，AB?平面DEF，DE?平面DEF，所以直線AB與平面DEF平行，故A正確；對(duì)于B，如圖①所示，作平面DEF交正方體的棱于點(diǎn)G，連接FG并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則AB與平面DEF相交于點(diǎn)H，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，AB∥DF，AB?平面DEF，DF?平面DEF，所以直線AB與平面DEF平行，故C正確；對(duì)于D，如圖②所示，連接AC，取AC的中點(diǎn)O，連接OD，又D為BC的中點(diǎn)，所以AB∥OD，因?yàn)镺D與平面DEF相交，所以直線AB與平面DEF相交，故D錯(cuò)誤．故選AC．7.在三棱錐P-ABC中，PB＝6，AC＝3，G為△PAC的重心，過點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于PB和AC，則截面的周長(zhǎng)為_____．8

8.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B1的中點(diǎn)是P，過點(diǎn)A1作與截面PBC1平行的截面，則該截面的面積為________．

9.(10分)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，SC的中點(diǎn)，求證：(1)EG∥平面BDD1B1；(4分)證明：如圖，連接SB，因?yàn)镋，G分別是BC，SC的中點(diǎn)，所以EG∥SB.又因?yàn)镾B?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，所以直線EG∥平面BDD1B1.(2)平面EFG∥平面BDD1B1.(6分)證明：如圖，連接SD，因?yàn)镕，G分別是CD，SC的中點(diǎn)，所以FG∥SD.又因?yàn)镾D?平面BDD1B1，F(xiàn)G?平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，EG?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.10.(12分)如圖所示，在等腰梯形ABCD中，已知BC∥AD，BP⊥AD，垂足為P，將△ABP沿BP折起，使平面ABP⊥平面PBCD，連接AD，AC，M為棱AD的中點(diǎn)，連接CM.試分別在BP，CD上確定點(diǎn)E，F(xiàn)，使平面MEF∥平面ABC.解：E，F(xiàn)分別為BP，CD的中點(diǎn)時(shí)，可使平面MEF∥平面ABC，證明如下：如圖，取BP的中點(diǎn)E，CD的中點(diǎn)F，連接ME，MF，EF.

因?yàn)镸，F(xiàn)分別為AD，CD的中點(diǎn)，所以MF∥AC.因?yàn)镸F?平面ABC，AC?平面ABC，所以MF∥平面ABC，又E為BP的中點(diǎn)，且四邊形PBCD為梯形，所以EF∥BC.因?yàn)镋F?平面ABC，BC?平面ABC，所以EF∥平面ABC，因?yàn)镸F∩EF＝F，MF，EF?平面MEF，所以平面MEF∥平面ABC.11.如圖，在各棱長(zhǎng)均為1的正三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分別為線段A1B，B1C上的動(dòng)點(diǎn)，且MN∥平面ACC1A1，則這樣的MN有A．1條 B．2條C．3條 D．無數(shù)條√如圖，任取線段A1B上一點(diǎn)M，過M作MH∥AA1交AB于點(diǎn)H，過H作HG∥AC交BC于點(diǎn)G，過G作GN∥