第九節(jié)函數(shù)與方程高三一輪復習講義湘教版第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)課程標準1.結合學過的函數(shù)圖象，了解函數(shù)的零點與方程解的關系.

2.結合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點，了解函數(shù)零點存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路.0403考教銜接精研教材課時測評02考點探究提升能力教材梳理夯實基礎01內容索引教材梳理夯實基礎1.函數(shù)零點(1)定義：對于函數(shù)y=f(x)(x∈D)，把使________的實數(shù)x叫作函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點.(2)三個等價關系f(x)=0(3)函數(shù)零點存在定理連續(xù)不斷f(a)·f(b)<0f(x0)=02.二分法對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且____________的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把它的零點所在區(qū)間__________，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近______，進而得到零點近似值的方法叫作二分法.f(a)f(b)<0一分為二零點常用結論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調函數(shù)，則f(x)至多有一個零點.(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號.(3)f(a)f(b)<0是y=f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點的充分不必要條件.自主檢測1.(多選)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，則下列說法中錯誤的有A．若f(a)f(b)>0，則不存在實數(shù)c∈[a，b]，使得f(c)=0B．若f(a)f(b)<0，則存在且只存在一個實數(shù)c∈[a，b]，使得f(c)=0C．若f(a)f(b)>0，則可能存在實數(shù)c∈[a，b]，使得f(c)=0D．若f(a)f(b)<0，則可能不存在實數(shù)c∈[a，b]，使得f(c)=0√√√

√對于B，y=(x－2)2有唯一零點x=2，但函數(shù)值在零點兩側同號，則不可用二分法求零點.故選B．

√

－2，e

返回考點探究提升能力考點一函數(shù)零點所在區(qū)間的判定

自主練透1.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以判定方程lnx－x+2=0的一個根所在的區(qū)間為A．(1，2) B．(2，3)C．(3，4) D．(4，5)√x12345lnx00.6931.0991.3861.609x－2－10123設f(x)=ln

x－x+2=ln

x－(x－2)，易知函數(shù)f(x)在(1，+∞)上的圖象連續(xù)，由表格數(shù)據(jù)得f(1)>0，f(2)>0，f(3)>0，f(4)<0，f(5)<0，則f(3)·f(4)<0，即在區(qū)間(3，4)上，函數(shù)f(x)至少存在一個零點，即方程ln

x－x+2=0的一個根所在的區(qū)間為(3，4).故選C．x12345lnx00.6931.0991.3861.609x－2－101232.函數(shù)f(x)=5－2x－lg(2x+1)的零點所在的區(qū)間是A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)√

3.已知函數(shù)f(x)=e－x－2x－5的零點位于區(qū)間(m，m+1)(m∈Z)上，則m等于A．－2 B．－1 C．0 D．1√因為函數(shù)f(x)=e－x－2x－5是連續(xù)減函數(shù)，f(－2)=e2－1>0，f(－1)=e－3<0，所以f(－2)·f(－1)<0，函數(shù)f(x)=e－x－2x－5的零點位于區(qū)間(－2，－1)，即(m，m+1)上，又m∈Z，所以m=－2.故選A．

√

函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷方法及適用情形1.定理法：利用函數(shù)零點存在定理進行判斷.適用于容易判斷區(qū)間端點值所對應函數(shù)值的正負的情形.

2.圖象法：畫出函數(shù)圖象，通過觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.適用于容易畫出函數(shù)圖象的情形.規(guī)律方法考點二函數(shù)零點個數(shù)的判定

師生共研典例1

√

2024

函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法1.直接法：令f(x)=0，有幾個解就有幾個零點.

2.定理法：首先確定函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)<0，再結合函數(shù)的圖象與性質確定函數(shù)零點個數(shù).

3.圖象法：將原函數(shù)分成兩個函數(shù)，作出兩函數(shù)圖象，觀察其交點個數(shù)即得零點個數(shù).規(guī)律方法

√由f(x)－2|x|=0，得f(x)=2|x|，則方程f(x)－2|x|=0的解的個數(shù)即函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y=2|x|的圖象的交點個數(shù).作出函數(shù)f(x)與函數(shù)y=2|x|的圖象，可知兩個函數(shù)圖象的交點的個數(shù)為2，故方程f(x)－2|x|=0的解的個數(shù)為2.故選C．

6

考點三函數(shù)零點的應用

多維探究典例2

√依題意，函數(shù)g(x)=f(x)－b有四個不同的零點，即f(x)=b有四個解，轉化為函數(shù)y=f(x)與y=b的圖象有四個交點，作函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示.結合圖象，可知實數(shù)b的取值范圍為(0，1].故選A．典例3

√

典例4

√√√

1.利用函數(shù)零點求參數(shù)范圍的方法

規(guī)律方法2.求函數(shù)的多個零點(或方程的根以及直線y=m與函數(shù)圖象的多個交點橫坐標)的和時，應考慮函數(shù)的性質，尤其是對稱性特征(這里的對稱性主要包括函數(shù)本身關于點的對稱，直線的對稱等).規(guī)律方法

[－1，2)

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√

返回教材呈現(xiàn)

課時測評1.用二分法研究函數(shù)f(x)=x5+8x3－1的零點時，第一次經過計算得f(0)<0，f(0.5)>0，則其中一個零點所在區(qū)間和第二次應計算的函數(shù)值分別為A．(0，0.5)，f(0.125) B．(0，0.5)，f(0.375)C．(0.5，1)，f(0.75) D．(0，0.5)，f(0.25)√

√

√當x≤0時，令f(x)=x2－2x－3=0，得x=－1(x=3舍去)，當x>0時，令f(x)=0，得log2x=3x－4，作出y=log2x與y=3x－4的圖象，如圖所示，由圖可知，y=log2x與y=3x－4有兩個交點，所以當x>0時，f(x)=0有兩個零點.綜上，f(x)有3個零點.故選C．

√當x≥1時，f(x)的零點為1，則當x<1時，必有一個零點，y=2x－a為一次函數(shù)，單調遞增，故需2－a>0，即a<2.故選C．

√

√

7.(多選)函數(shù)f(x)=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的圖象與直線y=k的交點個數(shù)可能是A．1 B．2 C．4 D．6√√

√

√√√

√√√

±211.(2024·山東德州模擬)方程2x+3x=k的解在[1，2)內，則實數(shù)k的取值范圍是________.

[5，10)令函數(shù)f(x)=2x+3x－k，則f(x)在R上是增函數(shù).當方程2x+3x=k的解在(1，2)內時，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5<k<10，又當f(1)=0時，k=5.綜上，實數(shù)k的取值范圍是[5，10).

√

√

2

16.(新定義)已知M={α|f(