第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

本章主要內(nèi)容

§1數(shù)學(xué)期望

§2方差

§3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

§4矩、協(xié)方差矩陣16八月20251目前一頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月20252

在第二、三章我們討論了隨機(jī)變量的分布，這是關(guān)于隨機(jī)變量的一種完整性描述．但在實(shí)際問(wèn)題中，要確定一個(gè)隨機(jī)變量的分布往往是比較困難的。另一方面，在某些實(shí)際問(wèn)題中，未必一定需要去全面考察隨機(jī)變量的變化情況，而只需知道隨機(jī)變量的某些特征，因而并不需要求出它的分布函數(shù)．例如，氣象分析中常常考察某一時(shí)段的雨量、濕度和日照等氣象要素的平均值和極端值以判定氣象情況，而不必掌握每一個(gè)氣象變量的分布函數(shù)．在這些用來(lái)作為顯示隨機(jī)變量分布特征的數(shù)字中，最重要的就是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差以及各階矩．本章主要討論隨機(jī)變量的常用數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)系數(shù)和矩．

目前二頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望

一、數(shù)學(xué)期望的概念16八月20253從分布律并不能直觀地看出答案，這說(shuō)明分布律雖然完整地描述了隨機(jī)變量，但卻不夠“集中”地反映出它的變化情況．因此我們有必要找出一些量來(lái)更集中、更概括地描述隨機(jī)變量，這些量常是某種平均值．

目前三頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月20254目前四頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月20255定義1.1

目前五頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月20256目前六頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月20257目前七頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月20258目前八頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月20259§4.1數(shù)學(xué)期望目前九頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月202510[例1-5](一種驗(yàn)血新技術(shù))在一個(gè)很多人的團(tuán)體中普查某種疾病，為此要抽驗(yàn)N個(gè)人的血，可以用兩種方法進(jìn)行：(1)將每個(gè)人的血分別去驗(yàn)，這就需驗(yàn)N次；(2)按k個(gè)人一組進(jìn)行分組，把從k個(gè)人抽來(lái)的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn)，如果這個(gè)混合血液呈陰性反應(yīng)，就說(shuō)明k個(gè)人的血都呈陰性反應(yīng)，這樣，這k個(gè)人的血就只需驗(yàn)一次．若呈陽(yáng)性，則再對(duì)這k個(gè)人的血液分別進(jìn)行化驗(yàn)．這樣這k個(gè)人的血總共要化驗(yàn)k+1次．假設(shè)每個(gè)人化驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為p，且這些人的試驗(yàn)反應(yīng)是相互獨(dú)立的．試說(shuō)明當(dāng)p較小時(shí)，選取適當(dāng)?shù)膋，按第二種方法可以減少化驗(yàn)次數(shù)，并說(shuō)明k取什么值最適宜．

目前十頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202511§4.1數(shù)學(xué)期望目前十一頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月202512目前十二頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月202513目前十三頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月202514目前十四頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月202515目前十五頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月202516目前十六頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月202517目前十七頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月202518目前十八頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望16八月202519目前十九頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月202520目前二十頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月202521目前二十一頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月202522目前二十二頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月202523目前二十三頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月202524目前二十四頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月202525[例1-12]

假設(shè)市場(chǎng)上對(duì)某種產(chǎn)品每年的需求量為X(噸)，它服從[2000，4000]上的均勻分布．己知每出售1噸產(chǎn)品可賺3萬(wàn)元；若售不出去，則每噸需付倉(cāng)庫(kù)保管費(fèi)1萬(wàn)元．試問(wèn)每年應(yīng)進(jìn)該產(chǎn)品多少噸，才能使銷售商獲得的平均收益最大？并求最大平均收益．目前二十五頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月202526目前二十六頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月202527三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)設(shè)C是常數(shù)，則有E(C)=C．

(2)設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有E(CX)=CE(X)．

(3)設(shè)X，Y是隨機(jī)變量，則有E(X+Y)=E(X)+E(Y)．這一性質(zhì)可推廣到有限個(gè)隨機(jī)變量之和的情況．結(jié)合(2)和(3)，我們有對(duì)于任意的常數(shù)a,b，隨機(jī)變量X,Y，則

E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)．(4)設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有

E(XY)=E(X)E(Y)．

這一性質(zhì)可推廣到有限個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之積的情況．目前二十七頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月202528我們來(lái)證明(3)和(4)．我們僅就連續(xù)型情形給出證明，離散型情形類似可證．

目前二十八頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202529性質(zhì)(4)得證．[例1-13]

設(shè)隨機(jī)變量X~B(n,p)，試?yán)眯再|(zhì)求E(X)．

§4.1數(shù)學(xué)期望目前二十九頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月202530目前三十頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月202531將隨機(jī)變量分解為有限個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)變量之和，然后利用性質(zhì)(3)來(lái)求E(X)，這種方法有著普遍的意義．

[例1-14]

一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出，旅客有10個(gè)車站可以下車．如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客下車就不停車．以X表示停車的次數(shù)，求平均停車次數(shù)E(X)(設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立)．目前三十一頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月202532目前三十二頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月202533目前三十三頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.1數(shù)學(xué)期望16八月202534目前三十四頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202535§4.1數(shù)學(xué)期望目前三十五頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202536§4.1數(shù)學(xué)期望目前三十六頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202537§4.2方差目前三十七頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202538一、方差的概念§4.2方差目前三十八頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202539§4.2方差目前三十九頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202540§4.2方差目前四十頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202541§4.2方差目前四十一頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202542§4.2方差目前四十二頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202543§4.2方差目前四十三頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202544§4.2方差目前四十四頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202545§4.2方差目前四十五頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202546二、方差的性質(zhì)§4.2方差目前四十六頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202547§4.2方差目前四十七頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202548§4.2方差目前四十八頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202549§4.2方差目前四十九頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202550§4.2方差目前五十頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)§4.2方差16八月202551目前五十一頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202552定義§4.2方差目前五十二頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202553§4.2方差目前五十三頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202554§4.2方差目前五十四頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202555§4.2方差目前五十五頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202556§4.2方差目前五十六頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202557§4.2方差目前五十七頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202558§4.2方差目前五十八頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202559§4.2方差目前五十九頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202560§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)目前六十頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202561§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)目前六十一頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)一、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的定義16八月202562定義3.1

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)，如果E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在，則稱E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差．記為Cov(X,Y)，即Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}．

§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)目前六十二頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202563§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)目前六十三頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)二、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)16八月202564§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)目前六十四頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202565§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)目前六十五頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202566§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)目前六十六頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202567§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)目前六十七頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202568§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)目前六十八頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202569注意：§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)目前六十九頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202570§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)目前七十頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202571§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)目前七十一頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202572§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)目前七十二頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202573§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)目前七十三頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202574§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)目前七十四頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202575§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)目前七十五頁(yè)\總數(shù)八十二頁(yè)\編于二點(diǎn)16八月202576§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)目前七十六頁(yè)\總