18.1.1平行四邊形的性質(zhì)第1課時平行四邊形邊和角的性質(zhì)課時目標(biāo)1.經(jīng)歷平行四邊形定義的形成過程,理解平行四邊形的定義,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2.通過觀察、度量及推理,探索并掌握平行四邊形的性質(zhì),滲透類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的推理能力與嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力.3.通過平行四邊形性質(zhì)的應(yīng)用,理解兩平行線間距離的意義,能度量兩平行線間的距離,發(fā)展學(xué)生的幾何直觀以及推理能力.達成目標(biāo)1的標(biāo)志:學(xué)生通過觀察生活中的四邊形,能說出平行四邊形的基本特征,并能用語言描述平行四邊形的定義.達成目標(biāo)2的標(biāo)志:學(xué)生通過觀察和度量,能猜想并論證平行四邊形的性質(zhì),并能運用性質(zhì)獨立完成檢測練習(xí).達成目標(biāo)3的標(biāo)志:能證明兩平行線間的距離處處相等,并能度量兩平行線間的距離.學(xué)習(xí)重點平行四邊形的性質(zhì)的探究.學(xué)習(xí)難點平行四邊形性質(zhì)的證明.課時活動設(shè)計回顧研究三角形及其性質(zhì)的研究路徑和方法,設(shè)計四邊形的研究路徑和方法.設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生回顧三角形及其性質(zhì)的研究路徑,讓學(xué)生體會關(guān)于圖形性質(zhì)的研究是由簡到繁,由一般到特殊的環(huán)環(huán)相扣、一脈相承的過程,按照定義—性質(zhì)—判定—應(yīng)用的順序進行研究,它們的研究路徑和方法是一致的.通過多媒體播放生活中的四邊形圖片,感受平行四邊形在生活中無處不在,并觀察這些圖片有哪些共同特征?你能試著給平行四邊形下個定義嗎?設(shè)計意圖:學(xué)生通過觀察大量的現(xiàn)實圖片,從中抽象出幾何圖形,通過分析、比較、交流,揭示事物的本質(zhì)屬性,最后得出定義.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力,學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達世界.思考平行四邊形除了對邊平行之外還有哪些性質(zhì)?研究一個圖形的性質(zhì)應(yīng)該從哪方面入手研究?如何研究?設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生研究圖形的性質(zhì)需要研究組成圖形的要素之間的關(guān)系,即數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系,而對性質(zhì)的研究要經(jīng)歷觀察—猜想—驗證—證明的過程,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會獨立去研究幾何圖形的性質(zhì).探究平行四邊形的性質(zhì):問題1:請根據(jù)定義畫一個平行四邊形ABCD,猜想?ABCD的對邊AB與CD,AD與BC之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?∠BAD與∠BCD,∠ABC與∠ADC之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?你能驗證你的猜想嗎?問題2:如何證明上述猜想?證明線段相等和角相等的方法有哪些?如何將四邊形的問題轉(zhuǎn)化成三角形的問題?怎樣添加輔助線?問題3:證明平行四邊形對角相等,你還有其他方法嗎?要想求平行四邊形四個角的度數(shù),至少需要知道幾個角的度數(shù)?為什么?如圖,四邊形ABCD是平行四邊形.求證:AB=CD,AD=BC,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.證明:如圖所示,連接BD.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥CB,AB∥CD.∴∠ADB=∠CBD,∠ABD=∠CDB.又∵BD=DB,∴△ABD≌△CDB.∴AD=CB,AB=CD,∠BAD=∠BCD.∵∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD,∴∠ABD+∠CBD=∠CDB+∠ADB,即∠ABC=∠ADC.設(shè)計意圖:先引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖、觀察、驗證得出猜想,再通過將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形全等的問題證明猜想,培養(yǎng)學(xué)生掌握科學(xué)的研究問題的方法,發(fā)展學(xué)生的合情推理與演繹推理能力.通過讓學(xué)生思考平行四邊形對角相等的其他證明方法及求角的度數(shù)的必要條件,培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度和深度,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.總結(jié)平行四邊形性質(zhì)的探索過程,你能用兩種語言表達這些性質(zhì)嗎?1.文字語言:平行四邊形的對邊相等,對角相等.2.符號語言:如圖,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD,AD=BC,∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB.設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生反思研究平行四邊形性質(zhì)的過程,體會發(fā)現(xiàn)、提出、證明一個幾何命題的一般方法.讓學(xué)生關(guān)注自己的思考過程和表達過程,以提高歸納概括的能力.探究兩條平行線之間的距離:先獨立完成教材第42頁例1,然后學(xué)生代表講解,全班分享,共同完善修正答案.例如圖,在?ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分別為E,F.求證:AE=CF.證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠A=∠C,AD=CB.又∠AED=∠CFB=90°,∴△ADE≌△CBF.∴AE=CF.問題1:我們以前學(xué)過點與點之間的距離,點與線之間的距離,圖中的DE可以看作哪兩個點之間的距離?也可以看作哪個點與哪條線之間的距離?同時DE也是平行線AB與CD之間的距離,兩條平行線中,一條直線上任意一點到另一條直線的距離,叫做這兩條平行線之間的距離.問題2:兩條平行線之間的距離和點與點之間的距離、點與線之間的距離有何聯(lián)系與區(qū)別?設(shè)計意圖:本環(huán)節(jié)通過平行四邊形性質(zhì)的應(yīng)用得出兩條平行線之間的距離,通過對比點與點、點與線、線與線之間的距離,可以幫助學(xué)生加深對“距離”這一概念的理解,同時也可以幫助學(xué)生梳理所學(xué)知識,使知識結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化.本節(jié)課我們研究了平行四邊形的概念和部分性質(zhì),請同學(xué)們帶著以下問題進行總結(jié):(1)本節(jié)課探究了平行四邊形的哪些問題?(2)在探尋平行四邊形的定義及證明其性質(zhì)時,你經(jīng)歷了什么?這個過程中用到了哪些數(shù)學(xué)方法?積累了哪些活動經(jīng)驗?(3)在研究一個圖形時,圖形的定義、性質(zhì)、判定是重要的研究問題,你能說一說它們的邏輯關(guān)系嗎?對于平行四邊形,后續(xù)還會研究哪些內(nèi)容?設(shè)計意圖:學(xué)生通過自主反思,可進一步加深對平行四邊形的性質(zhì)的研究方法和內(nèi)容的理解,明確平行四邊形的定義、性質(zhì)、判定的邏輯關(guān)系,并通過將圖形組成要素、要素間關(guān)系進行特殊化,得出新的研究對象,為后續(xù)研究奠定基礎(chǔ).反思是數(shù)學(xué)活動的核心和動力,只有以反思為核心的數(shù)學(xué)教育,才能使學(xué)生真正深入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,才能使學(xué)生真正抓住數(shù)學(xué)思維的內(nèi)在實質(zhì).知能演練提升能力提升1.如圖,在?ABCD中,CE平分∠BCD,交AB于點E,EA=3,EB=5,ED=4,則CE的長是()A.52 B.62C.45 D.552.如圖,在?ABCD中,對角線AC和BD相交于點O.如果AC=12,BD=10,AB=m,那么m的取值范圍是()A.1<m<11 B.2<m<22C.10<m<12 D.5<m<63.如圖,在周長為20cm的?ABCD中,AB≠AD,AC,BD相交于點O,OE⊥BD交AD于點E,則△ABE的周長為()A.4cm B.6cmC.8cm D.10cm★4.某廣場上一個形狀是平行四邊形的花壇(如圖),分別種有紅、橙、藍、黃、紫、綠6種顏色的花.如果有AB∥EF∥DC,BC∥GH∥AD,那么下列說法錯誤的是()A.紅花、綠花的種植面積一定相等B.紫花、橙花的種植面積一定相等C.紅花、藍花的種植面積一定相等D.藍花、黃花的種植面積一定相等5.如圖,在?ABCD中,AB=2,∠ABC的平分線與∠BCD的平分線交于點E,若點E恰好在邊AD上,則BE2+CE2的值為.

6.如圖,AB∥CD,O為∠BAC,∠ACD的平分線的交點,OE⊥AC于點E,且OE=2,則AB與CD之間的距離為.

7.如圖,點E是?ABCD的邊CD的中點,連接AE并延長,交BC的延長線于點F.(1)若AD的長為2,求CF的長.(2)若∠BAF=90°,試添加一個條件,并寫出∠F的度數(shù).8.如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,分別過點A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分別為E,F.AC平分∠DAE.(1)若∠AOE=50°,求∠ACB的度數(shù);(2)求證:AE=CF.9.如圖,在?ABCD中,∠BCD的平分線CE交邊AD于點E,∠ABC的平分線BG交CE于點F,交AD于點G.求證:AE=DG.10.如圖,在?ABCD中,∠BAD=32°.分別以BC,CD為邊向外作△BCE和△DCF,使BE=BC,DF=DC,∠EBC=∠CDF,延長AB交邊EC于點G,點G在E,C兩點之間,連接AE,AF,EF.(1)求證:△ABE≌△FDA;(2)當(dāng)AE⊥AF時,求∠EBG的度數(shù).創(chuàng)新應(yīng)用★11.如圖,在?ABCD中,點E在AD上,以BE為折痕,將△ABE向上翻折,點A正好落在CD上的點F處.若△FDE的周長為8,△FCB的周長為22,求CF的長.知能演練·提升能力提升1.C2.A由平行四邊形對角線互相平分,知OA=OC=6,OB=OD=5.在△AOB中,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得,6-5<m<6+5,即1<m<11.3.DOE垂直平分BD,則BE=DE,故△ABE的周長為AB+AD=10cm.4.C5.166.4如圖,過點O作直線OM⊥AB于點M,交CD于點N.∵AB∥CD,∴ON⊥CD.∵AO是∠BAC的平分線,∴OM=OE=2.∵CO是∠ACD的平分線,∴ON=OE=2.∴MN=2+2=4,即AB與CD之間的距離為4.7.解(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥CF,∴∠DAE=∠CFE,∠ADE=∠FCE.∵點E是CD的中點,∴DE=CE.在△ADE和△FCE中,∠∴△ADE≌△FCE(AAS),∴CF=AD=2.(2)∵∠BAF=90°,添加一個條件:當(dāng)∠B=60°時,∠F=90°-60°=30°(答案不唯一).8.(1)解∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°,∵∠AOE=50°,∴∠EAO=40°.∵CA平分∠DAE,∴∠DAC=∠EAO=40°.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC=40°.(2)證明∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC.∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEO=∠CFO=90°.∵∠AOE=∠COF,∴△AEO≌△CFO(AAS).∴AE=CF.9.證明∵四邊形ABCD是平行四邊形(已知),∴AD∥BC,AB=CD(平行四邊形的對邊平行,對邊相等),∴∠GBC=∠BGA,∠BCE=∠CED(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).又BG平分∠ABC,CE平分∠BCD(已知),∴∠ABG=∠GBC,∠BCE=∠ECD(角平分線定義),∴∠ABG=∠AGB,∠ECD=∠CED,∴AB=AG,DC=DE(在同一個三角形中,等角對等邊),∴AG=DE.∴AG-EG=DE-EG,即AE=DG.10.(1)證明在平行四邊形ABCD中,AB=DC.又DF=DC,∴AB=DF.同理EB=AD.在平行四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC.又∠EBC=∠CDF,∴∠ABE=∠ADF.∴△ABE≌△FDA.(2)解∵△ABE≌△FDA,∴∠AEB=∠DAF.∵∠EBG=∠AEB+∠EAB,∴∠EBG=∠DAF+∠EAB.∵AE⊥AF,∴∠EAF=90°.∵∠BAD=32°,∴∠DAF+∠EAB=90°-32°=58°.∴∠EBG=58°.創(chuàng)