第二章

一元二次方程第8課

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

知識點(diǎn)1

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

根據(jù)求根公式，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根為

x1＝

?，

注意：此關(guān)系使用的前提條件是方程有實(shí)數(shù)根，即b2－4ac≥0.

1．

【例1】若x1，x2是方程2x2＋6x＝8的兩個根，求x1＋x2與x1x2

的值．

解：移項(xiàng)，得2x2＋6x－8＝0.

∴a＝

，b＝

，c＝

?．

26－8

－3－4

2．

(1)若x1，x2是一元二次方程3x2＋2x＝2(x＋1)的兩個實(shí)數(shù)根，則

x1＋x2＝

，x1x2＝

?．

(2)若關(guān)于x的一元二次方程x2－8x＋m＝0的兩根為x1，x2，且x1＝

3x2，則m的值為

?．0

12

知識點(diǎn)2

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用

3．

【例2】設(shè)x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的兩個根，利用根與系數(shù)

的關(guān)系，求下列各式的值：

解：∵x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的兩個根，

(2)(x1－3)(x2－3)．

(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9

4．

已知關(guān)于x的一元二次方程x2－(2m－1)x－3m2＋m＝0.

(1)求證：無論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；

(1)證明：∵關(guān)于x的一元二次方程x2－(2m－1)x－3m2＋m＝0，

∴a＝1，b＝－(2m－1)，c＝－3m2＋m.∴Δ＝b2－4ac＝[－(2m－1)]2－4×1×(－3m2＋m)＝(4m－1)2.∵(4m－1)2≥0，即Δ≥0，∴無論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根．

(2)解：由題意，得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝－3m2＋m.

整理，得5m2－7m＋2＝0.

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的常見變形：

(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；

(6)(x1＋a)(x2＋a)＝x1x2＋a(x1＋x2)＋a2.

1．

下列方程中，兩個實(shí)數(shù)根之和等于2的方程是(

B

)A．

x2＋2x－3＝0B．

x2－2x－3＝0C．

2x2－2x－3＝0D．

－3x2－6x＋1＝0B

2．

已知關(guān)于x的一元二次方程x2－3x＋1＝0的兩個實(shí)數(shù)根分別為x1

和x2，則x1＋x2－x1x2的值為

?．

3．

(2024巴中)已知方程x2－2x＋k＝0的一個根為－2，則方程的另

一個根為

?．

4．

已知方程x2－kx－3＝0的兩個根分別為x1，x2，若方程兩個根互

為相反數(shù)，則k的值為

?.

5．

(2024德州)已知a和b是方程x2＋2024x－4＝0的兩個解，則a2＋

2023a－b的值為

?．2402028

A．

1B．

－1C．

D．

－

B

A．

－1B．

1C．

－2D．

2A

8．

新考向(2024綏化)小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方

程時，小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項(xiàng)，因而得到方程的兩個根是6和

1；小冬在化簡過程中寫錯了一次項(xiàng)的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是－

2和－5.則原來的方程是(

B

)A.

x2＋6x＋5＝0B．

x2－7x＋10＝0C.

x2－5x＋2＝0D．

x2－6x－10＝0B

9．

(2024遂寧)已知關(guān)于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0.

(1)求證：無論m取何值，方程都有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

(1)證明：x2－(m＋2)x＋m－1＝0.

這里a＝1，b＝－(m＋2)，c＝m－1，

Δ＝b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1)＝m2＋4m＋4－4m＋4＝

m2＋8.

∵m2≥0，∴Δ＞0.∴無論m取何值，方程都有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．

(2)如果方程的兩個實(shí)數(shù)根為x1，x2，且x12＋x22－x1x2＝9，求m

的值．

(2)解：∵方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0的兩個實(shí)數(shù)根為x1，x2，

∴x1＋x2＝m