第5講二項式定理復(fù)習(xí)要點1.能用計數(shù)原理證明二項式定理.2.會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題．一二項式定理1．二項式定理公式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)叫做二項式定理．2．二項展開式的通項Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk為展開式的第k＋1項．3．二項式系數(shù)二項展開式中各項的系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k∈{0，1，…，n})叫做二項式系數(shù)．二二項式系數(shù)的性質(zhì)1．對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等．2．增減性與最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間的兩項與相等，且同時取得最大值．3．各二項式系數(shù)的和：(a＋b)n的展開式的各二項式系數(shù)的和等于2n.常/用/結(jié)/論若二項展開式的通項為Tr＋1＝g(r)xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，則有以下常見結(jié)論：(1)h(r)＝0?Tr＋1是常數(shù)項；(2)h(r)是非負整數(shù)?Tr＋1是整式項；(3)h(r)是負整數(shù)?Tr＋1是分式項；(4)h(r)是整數(shù)?Tr＋1是有理項．1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)Ceq\o\al(r,n)an－rbr是(a＋b)n的展開式中的第r項．()(2)通項公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr中的a和b不能互換．(√)(3)(a＋b)n的展開式中某項的系數(shù)是該項中非字母因數(shù)部分，包括符號等，與該項的二項式系數(shù)不同．(√)(4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，則a7＋a6＋…＋a1的值為128.()2．(2022·天津卷)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(3,x2)))5展開式中的常數(shù)項為________．解析：由題意知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(3,x2)))5的展開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)·(eq\r(x))5－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x2)))r＝Ceq\o\al(r,5)·3r·xeq\s\up15(eq\f(5－5r,2))，令eq\f(5－5r,2)＝0，即r＝1，則Ceq\o\al(r,5)·3r＝Ceq\o\al(1,5)·3＝15，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(3,x2)))5展開式中的常數(shù)項為15.故答案為15.答案：153.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(,x)－\f(1,2\r(4,x))))8的展開式中的有理項共有________項．解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(,x)－\f(1,2\r(4,x))))8的展開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(eq\r(,x))8－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1,2\r(4,x))))r＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))rCeq\o\al(r,8)xeq\s\up15(eq\f(16－3r,4))(r＝0,1,2，…，8)，為使Tr＋1為有理項，r必須是4的倍數(shù)，所以r＝0,4,8，故共有3個有理項．答案：34．(2022·新高考全國Ⅰ卷)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為________(用數(shù)字作答)．解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,x)))(x＋y)8＝(x＋y)8－eq\f(y,x)(x＋y)8，由二項式定理可知其展開式中x2y6的系數(shù)為Ceq\o\al(6,8)－Ceq\o\al(5,8)＝－28.答案：－285．(2022·浙江卷)已知多項式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.解析：∵(x－1)4＝x4－4x3＋6x2－4x＋1，∴a2＝－4＋12＝8，令x＝0，則a0＝2，令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2.答案：8－2題型求展開式中的特定項的多維研討維度1利用通項公式求二項展開式的特定項典例1(1)(2024·天津南開中學(xué)第一次階段測試)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,x2)))6展開式中的常數(shù)項是eq\a\vs4\al(方法一：通項；,方法二：湊：C\o\al(4,6)x4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,x2)))2.)()A．－135 B．135C．1215 D．－1215(2)(2023·天津卷)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x3－\f(1,x)))6的展開式中，x2項的系數(shù)為________．湊：Ceq\o\al(2,6)(2x3)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))4.(3)(2024·遼寧名校聯(lián)考)(eq\r(3,3)－2)7的展開式中第二個有理項為________．解析：(1)二項展開式的通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,x2)))r＝Ceq\o\al(r,6)(－3)rx6－3r，令6－3r＝0，解得r＝2，所以常數(shù)項T3＝Ceq\o\al(2,6)(－3)2＝135，故選B．(2)展開式的通項公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(2x3)6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))k＝(－1)k×26－k×Ceq\o\al(k,6)×x18－4k，令18－4k＝2可得，k＝4，則x2項的系數(shù)為(－1)4×26－4×Ceq\o\al(4,6)＝4×15＝60.故答案為60.(3)(eq\r(3,3)－2)7的展開式的通項Tk＋1＝Ceq\o\al(k,7)·(eq\r(3,3))7－k·(－2)k＝Ceq\o\al(k,7)·3eq\s\up15(eq\f(7－k,3))·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，要使第k＋1項為有理數(shù)，則eq\f(7－k,3)∈Z，則k可取有理項的求法．1,4,7，所以(eq\r(3,3)－2)7的展開式中第二個有理項為Ceq\o\al(4,7)·3eq\s\up15(eq\f(7－4,3))·(－2)4＝35×3×16＝1680.故答案為1680.求二項展開式中特定項(或系數(shù))的步驟第一步，利用二項式定理寫出二項展開式的通項Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，把字母和系數(shù)分離開(注意符號不要出錯)；第二步，根據(jù)題目中的相關(guān)條件(如常數(shù)項要求指數(shù)為零，有理項要求指數(shù)為整數(shù))先列出相應(yīng)方程(組)或不等式(組)，解出k；第三步，把k代入通項中，即可求出Tk＋1，有時還需要先求n，再求k，才能求出Tk＋1或者其他量.eq\o(\s\up7(),\s\do5())對點練1(1)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(m,x)))6的展開式中，若常數(shù)項為－20，則實數(shù)m的值為()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．－2 D．2(2)(2024·湖北部分重點中學(xué)第二次聯(lián)考)用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中個位小于百位且百位小于萬位的五位數(shù)有n個，則(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n＋3－x3的展開式中，x2的系數(shù)是________．(用數(shù)字作答)解析：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(m,x)))6的展開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(2x)6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,x)))r＝Ceq\o\al(r,6)·26－r·(－m)r·x6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，所以常數(shù)項為Ceq\o\al(3,6)·26－3·(－m)3＝－20，解得m＝eq\f(1,2).(2)用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，滿足個位小于百位且百位小于萬位的五位數(shù)有Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(2,2)＝20(個)，即n＝20.當(dāng)n＝20時，不妨設(shè)x≠0，則(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n＋3－x3＝(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)23－x3＝eq\f(1＋x3[1－1＋x21],1－1＋x)－x3＝eq\f(1＋x3－1＋x24,－x)－x3＝eq\f(1＋x24,x)－eq\f(1＋x3,x)－x3，所以x2的系數(shù)是Ceq\o\al(3,24)－Ceq\o\al(3,3)＝2024－1＝2023.答案：(1)A(2)2023維度2兩個多項式積的展開式典例2(1)(2024·山東青島一中統(tǒng)考)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))5的展開式中常數(shù)項是方法二：湊：x·Ceq\o\al(2,5)x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))3＋eq\f(m,x)·Ceq\o\al(3,5)x3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))2.10，則m＝()A．－2B．－1C．1D．2(2)(2024·廣西柳州、梧州大聯(lián)考)已知(2－x)·(2x＋1)5＝a0＋a1x＋常數(shù)項eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(方法一：賦值：令x＝0，,方法二：湊：2×15.))a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，則a0＋a6＝()a6為x6項的系數(shù)，而x6項：(－x)(2x)5.A．34B．30C．－34D．－30解析：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))5＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))5＋eq\f(m,x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))5.【會思考】x＋eq\f(m,x)的每一項都要考慮，要注意系數(shù)和符號因子不能丟．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))5的展開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)x5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝Ceq\o\al(r,5)(－1)rx5－2r.令5－2r＝－1，解得r＝3，則xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))5的展開式的常數(shù)項為－Ceq\o\al(3,5)＝－10；令5－2r＝1，解得r＝2，則eq\f(m,x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))5的展開式的常數(shù)項為mCeq\o\al(2,5)＝10m.因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))5的展開式中常數(shù)項是10，所以10m－10＝10，解得m＝2.故選D．(2)令x＝0，得a0＝2，(2x＋1)5的展開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(2x)5－r·1r＝25－rCeq\o\al(r,5)x5－r，r＝0,1,2,3,4,5，令r＝0，則T1＝25Ceq\o\al(0,5)x5＝32x5，故a6＝－1×32＝－32，所以a0＋a6＝－30.故選D．求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展開式的特定項(或系數(shù))問題的思路(1)若n，m中一個比較小，可考慮把它展開，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展開分別求解．(2)觀察(a＋b)n(c＋d)m是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.(3)利用(a＋b)n，(c＋d)m的通項，綜合分析解決問題．對點練2(1)(2024·重慶巴蜀中學(xué)月考)在(x－3y)2(x＋y)5的展開式中，x3y4的系數(shù)是()A．60B．35C．155D．90(2)(2024·湖南益陽質(zhì)量檢測)若(1＋2x)·(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，x∈R，則a2的值為()A．－20B．20C．40D．60解析：(1)(x－3y)2(x＋y)5＝(x2－6xy＋9y2)(x＋y)5＝x2(x＋y)5－6xy(x＋y)5＋9y2(x＋y)5，且(x＋y)5的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)x5－ryr.令r＝4，則x2Ceq\o\al(4,5)xy4＝5x3y4；令r＝3，則－6xyCeq\o\al(3,5)x2y3＝－60x3y4；令r＝2，則9y2Ceq\o\al(2,5)x3y2＝90x3y4.綜上可得，展開式中x3y4的系數(shù)是5－60＋90＝35.故選B．(2)因為(1＋2x)(1－2x)5＝(1－2x)5＋2x(1－2x)5，故展開式中x2的系數(shù)a2＝Ceq\o\al(2,5)(－2)2＋2×Ceq\o\al(1,5)(－2)1＝40－20＝20.答案：(1)B(2)B維度3三項展開式的特定項典例3(1)(2024·吉林一中、東北師大附中等校聯(lián)考)(x2－x＋1)5的展開式中，x5的系數(shù)為________．(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)＋\r(,2)))5的展開式中的常數(shù)項為________(用數(shù)字作答)．解析：(1)(x2－x＋1)5可以看作5個盒子，每個盒子中有x2，－x,1三個元素，要想得到含x5的項，可分三類：①5個盒子中選2個盒子取x2,1個盒子?。瓁,2個盒子取1；②5個盒子中選1個盒子取x2,3個盒子?。瓁,1個盒子取1；③5個盒子中都取－x.所以展開式中含x5的項為Ceq\o\al(2,5)·(x2)2·Ceq\o\al(1,3)·(－x)·Ceq\o\al(2,2)·12＋Ceq\o\al(1,5)·x2·Ceq\o\al(3,4)·(－x)3·Ceq\o\al(1,1)·1＋Ceq\o\al(5,5)·(－x)5＝－51x5，【指點迷津】直接利用兩個計數(shù)原理來解決，注意符號因子不能丟．所以x5的系數(shù)為－51.故答案為－51.(2)方法一：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋2\r(,2)x＋2,2x)))5＝eq\f(1,32x5)·[(x＋eq\r(,2))2]5＝eq\f(1,32x5)(x＋eq\r(,2))10.求原式的展開式中的常數(shù)項，轉(zhuǎn)化為求(x＋eq\r(,2))10的展開式中含x5項的系數(shù)，即Ceq\o\al(5,10)(eq\r(,2))5.所以所求的常數(shù)項為體現(xiàn)化簡、轉(zhuǎn)化的重要性．eq\f(C\o\al(5,10)×\r(,2)5,32)＝eq\f(63\r(,2),2).方法二：要得到常數(shù)項，可以對5個括號中的選取情況進行分類：利用計數(shù)原理湊．①5個括號中都選取常數(shù)項，這樣得到的常數(shù)項為(eq\r(,2))5；②5個括號中1個選eq\f(x,2)，1個選eq\f(1,x)，3個選eq\r(,2)，這樣得到的常數(shù)項為Ceq\o\al(1,5)eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)(eq\r(,2))3；③5個括號中2個選eq\f(x,2)，2個選eq\f(1,x)，1個選eq\r(,2)，這樣得到的常數(shù)項為Ceq\o\al(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2Ceq\o\al(2,3)eq\r(,2).因此展開式中的常數(shù)項為(eq\r(,2))5＋Ceq\o\al(1,5)eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)(eq\r(,2))3＋Ceq\o\al(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2Ceq\o\al(2,3)eq\r(,2)＝eq\f(63\r(,2),2).故答案為eq\f(63\r(,2),2).求三項展開式中某些特定項(或系數(shù))的策略(1)通過變形先把三項式轉(zhuǎn)化為二項式，再用二項式定理求解．(2)兩次利用二項式定理的通項求解．(3)由二項式定理的推證方法知，可用排列、組合的基本原理去求，即把三項式看作幾個因式之積，要得到特定項看有多少種方法從這幾個因式中取因式中的量.eq\o(\s\up7(),\s\do5())對點練3(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x2)＋1))6的展開式中常數(shù)項為()A．－61B．－59C．－57D．－55(2)(2024·遼寧沈陽東北育才學(xué)校檢測)(x－2y＋2z)5的展開式中，xy3z的系數(shù)為()A．－320 B．320C．－240 D．240解析：(1)將原式看成6個相同的因式相乘，按x的選取個數(shù)分類，得展開式中常數(shù)項為Ceq\o\al(0,6)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4)(－2)＋Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(2,2)(－2)2＝－59.(2)因為(x－2y＋2z)5＝[(x－2y)＋2z]5，所以其通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)·(x－2y)5－r·(2z)r，令r＝1，所以T2＝Ceq\o\al(1,5)·(x－2y)4·2z＝10(x－2y)4z，二項式(x－2y)4的通項為T′k＋1＝Ceq\o\al(k,4)·x4－k·(－2y)k，令k＝3，所以T′4＝Ceq\o\al(3,4)·x·(－2y)3＝－32xy3，因此xy3z項的系數(shù)為10×(－32)＝－320.故選A．答案：(1)B(2)A題型展開式的系數(shù)和問題典例4(1)(2024·江蘇南通如皋期末)已知(3x－1)(x＋1)n的展開式中所有項的系數(shù)之和為64，則展開式中含x2的項的系數(shù)為賦值：x＝1得n＝5.()A．25B．3C．5D．33(2)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.令f(x)＝(1－2x)7.求：①a1＋a2＋…＋a7；f(1)－f(0)②a1＋a3＋a5＋a7；eq\f(f1－f－1,2)③a0＋a2＋a4＋a6；eq\f(f1＋f－1,2)④|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.(1)解析：令x＝1，可得展開式中所有項的系數(shù)之和為2n＋1＝64，故n＝5，又(x＋1)n即(x＋1)5的展開式的通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)·x5－r，則展開式中含有x2的項的系數(shù)為3Ceq\o\al(4,5)－Ceq\o\al(3,5)＝5.故選C．即直接湊：3x·Ceq\o\al(1,5)x·14＋(－1)Ceq\o\al(2,5)x2·13.(2)解：令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.(ⅰ)令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.(ⅱ)①∵a0＝Ceq\o\al(0,7)＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.②[(ⅰ)－(ⅱ)]÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝eq\f(－1－37,2)＝－1094.③[(ⅰ)＋(ⅱ)]÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝eq\f(－1＋37,2)＝1093.④∵(1－2x)7的展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|方法二：轉(zhuǎn)化成求(1＋2x)7的系數(shù)和：令x＝1.＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)．∴由②③即可得其值為2187.本題采用的是“賦值法”，它普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，在解有關(guān)問題時，經(jīng)常要用到這種方法．(1)對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可.eq\o(\s\up7(),\s\do5())(2)對(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．(3)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)的展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f1＋f－1,2)，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f1－f－1,2).eq\o(\s\up7(),\s\do5())對點練4(1)在二項式(1－2x)n的展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128，則展開式的中間項的系數(shù)為()A．－960 B．960C．1120 D．1680(2)(多選)(2024·廣東深圳模擬)已知(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，則()A．a(chǎn)0＝28B．a(chǎn)1＋a2＋…＋a8＝1C．|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38D．a(chǎn)1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8(3)已知－Ceq\o\al(1,100)(2－x)＋Ceq\o\al(2,100)(2－x)2－Ceq\o\al(3,100)(2－x)3＋…＋Ceq\o\al(100,100)(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，則a1＋a2＋a3＋…＋a99的值是()A．－1 B．－2C．299－1 D．eq\f(299－1,2)解析：(1)根據(jù)題意，奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和也應(yīng)為128，所以在(1－2x)n的展開式中，二項式系數(shù)之和為256，即2n＝256，解得n＝8，則(1－2x)8的展開式的中間項為第5項，且T5＝Ceq\o\al(4,8)(－2)4x4＝1120x4，即展開式的中間項的系數(shù)為1120.故選C．(2)因為(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝0，則a0＝28，故A正確；令x＝1，則a0＋a1＋a2＋…＋a8＝(2－1)8＝1，所以a1＋a2＋…＋a8＝1－28，故B錯誤；令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38－28，故C錯誤；(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8兩邊對x求導(dǎo)得－8(2－x)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7，再令x＝1得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8，故D正確．故選AD．(3)記f(x)＝1－Ceq\o\al(1,100)(2－x)＋Ceq\o\al(2,100)(2－x)2－Ceq\o\al(3,100)(2－x)3＋…＋Ceq\o\al(100,100)(2－x)100－1＝[1－(2－x)]100－1＝(x－1)100－1，即(x－1)100－1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝－1.令x＝0，得a0＝0，又易知a100＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝－2.答案：(1)C(2)AD(3)B題型展開式系數(shù)最大項問題典例5已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(,x)＋\f(1,2\r(4,x))))n的展開式中前三項的系數(shù)為等差數(shù)列．可求出n＝8.(1)求二項式系數(shù)最大的項；展開共9項，中間一項的二項式系數(shù)最大．(2)求展開式中系數(shù)最大的項．解：∵二項展開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))rxeq\s\up15(eq\f(2n－3r,4))，∴展開式中前三項的系數(shù)為Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(1,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＝eq\f(n,2)，Ceq\o\al(2,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,8)n(n－1)，由題設(shè)可知2·eq\f(n,2)＝1＋eq\f(1,8)n(n－1)，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)．(1)二項式系數(shù)最大的項為T5＝Ceq\o\al(4,8)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4x＝eq\f(35,8)x.(2)設(shè)第r＋1項的系數(shù)Ar＋1最大，顯然Ar＋1>0，故有eq\f(Ar＋1,Ar)≥1且eq\f(Ar＋2,Ar＋1)≤1，∵eq\f(Ar＋1,Ar)＝eq\f(C\o\al(r,8)·2－r,C\o\al(r－1,8)·2－r＋1)＝eq\f(9－r,2r)，由eq\f(9－r,2r)≥1，得r≤3.又∵eq\f(Ar＋2,Ar＋1)＝eq\f(C\o\al(r＋1,8)·2－r＋1,C\o\al(r,8)·2－r)＝eq\f(8－r,2r＋1)，原式＝eq\f(C\o\al(r＋1,8),2C\o\al(r,8))＝eq\f(8！,r＋1！7－r！)×eq\f(r！8－r！,2×8！)＝eq\f(8－r,2r＋1).由eq\f(8－r,2r＋1)≤1，得r≥2.∴r＝2或r＝3，所求項為T3＝7xeq\s\up15(eq\f(5,2))或T4＝7xeq\s\up15(eq\f(7,4)).1．二項式系數(shù)最大項的確定方法(1)若n是偶數(shù)，則中間一項eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1項))的二項式系數(shù)最大．(2)若n是奇數(shù)，則中間兩項eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n＋1,2)項與第\f(n＋1,2)＋1項))的二項式系數(shù)相等且最大．2．二項展開式系數(shù)最大項的求法如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開式中系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式各項系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第r項系數(shù)最大，應(yīng)用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ar≥Ar－1，,Ar≥Ar＋1))解出r.對點練5(1)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(,x))))n的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最小的項的系數(shù)為()A．－126 B．－70C．－56 D．－28(2)已知(eq\r(3,x)＋x2)2n的展開式的二項式系數(shù)和比(3x－1)n的展開式的二項式系數(shù)和大992，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))2n的展開式中：①二項式系數(shù)最大的項；②系數(shù)的絕對值最大的項．(1)解析：∵只有第5項的二項式系數(shù)最大，∴n＝8，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(,x))))n的展開式的通項為Tk＋1＝(－1)kCeq\o\al(k,8)xeq\s\up15(8－eq\f(3,2)k)(k＝0,1,2，…，8)，∴展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)與相應(yīng)奇數(shù)項的系數(shù)相等，偶數(shù)項的二項式系數(shù)與相應(yīng)偶數(shù)項的系數(shù)互為相反數(shù)，而展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，因此展開式中第4項和第6項的系數(shù)相等且最小，為(－1)3Ceq\o\al(3,8)＝－56.答案：C(2)解：由題意，知22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0.∴2n＝32，解得n＝5.①由二項式系數(shù)的性質(zhì)，知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))10的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大，即T6＝Ceq\o\al(5,10)·(2x)5·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))5＝－8064.②設(shè)第r＋1項的系數(shù)的絕對值最大，∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)·(2x)10－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝(－1)rCeq\o\al(r,10)·210－r·x10－2r，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,10)·210－r≥C\o\al(r－1,10)·211－r，,C\o\al(r,10)·210－r≥C\o\al(r＋1,10)·210－r－1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,10)≥2C\o\al(r－1,10)，,2C\o\al(r,10)≥C\o\al(r＋1,10)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11－r≥2r，,2r＋1≥10－r.))解得eq\f(8,3)≤r≤eq\f(11,3).∵r∈Z，∴r＝3，故系數(shù)的絕對值最大的是第4項，T4＝－Ceq\o\al(3,10)·27·x4＝－15360x4.題型二項式定理的綜合應(yīng)用典例6(1)計算1.028.(精確到0.001)(2)1－90Ceq\o\al(1,10)＋902Ceq\o\al(2,10)－903Ceq\o\al(3,10)＋…＋9010Ceq\o\al(10,10)除以88的余數(shù)是多少？(3)求證：當(dāng)n∈N且n≥3時，2n－1≥n＋1.(4)求證：512022＋12能被13整除．(1)解：1.028＝(1＋0.02)8≈Ceq\o\al(0,8)＋Ceq\o\al(1,8)×0.02＋Ceq\o\al(2,8)×0.0