第第頁第17講橢圓及其標準方程1.了解橢圓的實際背景．2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，掌握橢圓的定義及標準方程.知識點1橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．注：在橢圓的定義中必須要注意以下兩個問題(1)定義中到兩定點的距離之和是常數(shù)，而不能是變量．(2)常數(shù)(2a)必須大于兩定點間的距離，否則軌跡不是橢圓．①若，M的軌跡為線段；②若，M的軌跡無圖形知識點2橢圓的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形焦點坐標(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2注：（1）橢圓標準方程的推導以經(jīng)過橢圓兩焦點F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系Oxy，如圖所示，此時，橢圓的焦點分別為F1(－c,0)和F2(c,0)．根據(jù)橢圓的定義，設(shè)M與焦點F1，F(xiàn)2的距離的和等于2a.由橢圓的定義可知，橢圓可看作點集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．因為|MF1|＝eq\r(x＋c2＋y2)，|MF2|＝eq\r(x－c2＋y2)，所以eq\r(x＋c2＋y2)＋eq\r(x－c2＋y2)＝2a.①為了化簡方程①，我們將其左邊一個根式移到右邊，得eq\r(x＋c2＋y2)＝2a－eq\r(x－c2＋y2).②對方程②兩邊平方，得(x＋c)2＋y2＝4a2－4aeq\r(x－c2＋y2)＋(x－c)2＋y2，整理，得a2－cx＝aeq\r(x－c2＋y2)，③對方程③兩邊平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④將方程④兩邊同除以a2(a2－c2)，得eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－c2)＝1，⑤由橢圓的定義可知2a>2c>0，即a>c>0，所以a2－c2>0.令b＝eq\r(a2－c2)，那么方程⑤就是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．⑥我們將方程⑥稱為焦點在x軸上的橢圓方程．如圖，如果焦點F1，F(xiàn)2在y軸上，且F1，F(xiàn)2的坐標分別是(0，－c)，(0，c)，a，b的意義同上，那么橢圓的方程是什么？答：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．（2）橢圓的標準方程的特征①幾何特征：橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸或y軸上．②代數(shù)特征：方程右邊為1，左邊是關(guān)于eq\f(x,a)與eq\f(y,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,a)與\f(x,b)))的平方和，并且分母為不相等的正值．③給出橢圓方程(，,),判斷該方程所表示的橢圓的焦點位置的方法是:橢圓的焦點在軸上?標準方程中項的分母較大;橢圓的焦點在軸上?標準方程中項的分母較大,這是判斷橢圓焦點所在坐標軸的重要方法.可簡記作:焦點位置看大小,焦點跟著大的跑.（x2項和y2項誰的分母大，焦點就在誰的軸上．）知識點3橢圓的焦點三角形橢圓上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形稱為焦點三角形．解決焦點三角形問題常利用橢圓的定義和正弦定理、余弦定理．以橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點P(x0，y0)(y0≠0)和焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為頂點的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則(1)橢圓的定義：|PF1|＋|PF2|＝2a.(2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(3)面積公式：S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ，當|y0|＝b，即P為短軸端點時，S△PF1F2取最大值，為bc.重要結(jié)論：S△PF1F2=推導過程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ得由三角形的面積公式可得S△PF1F2==注：S△PF1F2===（是三角形內(nèi)切圓的半徑）(4)焦點三角形的周長為2(a＋c)．(5)在橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中,F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上任意的一點，當點P在短軸端點時，最大.1、確定橢圓的方程包括“定位”和“定量”兩個方面(1)“定位”是指確定與坐標系的相對位置，在中心為原點的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以判斷方程的形式；(2)“定量”是指確定a2，b2的具體數(shù)值，常根據(jù)條件列方程求解．2、橢圓定義的應用技巧(1)橢圓的定義具有雙向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，則點M的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點M到兩焦點的距離之和必為2a.(2)直線過左焦點與橢圓相交于A、B兩點，則的周長為4a，即（直線過右焦點亦同）.（3）涉及焦點三角形面積時，可把|PF1|·|PF2|看作一個整體，運用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而無需單獨求解．3、解決與橢圓有關(guān)的軌跡問題的三種方法(1)直接法：直接法是求軌跡方程的最基本的方法，根據(jù)所滿足的幾何條件，將幾何條件{M|p(M)}直接翻譯成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后進行等價變換，化簡為f(x，y)＝0.(2)定義法：用定義法求橢圓方程的思路是：先觀察、分析已知條件，看所求動點軌跡是否符合橢圓的定義．若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可．(3)相關(guān)點法：有些問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規(guī)律運動而形成的，只要把所求動點的坐標“轉(zhuǎn)移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去，即可解決問題，這種方法稱為相關(guān)點法．考點一：橢圓定義及辨析例1．平面內(nèi)有一個動點M及兩定點A，B．設(shè)p：為定值，q：點M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓．那么（）A．p是q的充分不必要條件B．p是q的必要不充分條件C．p是q的充要條件D．p既不是q的充分條件，又不是q的必要條件變式1．已知動點滿足（為大于零的常數(shù)）﹐則動點的軌跡是（

）A．線段B．圓C．橢圓D．直線考點二：橢圓定義的應用例2．設(shè)表示的是橢圓；，則p是成立的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件變式1．已知條件：，條件：表示一個橢圓，則是的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件變式2．方程表示橢圓的充要條件是__________．考點三：求橢圓的標準方程例3．若橢圓過點，則橢圓方程為（

）A．B．C．D．變式1．過點且與有相同焦點的橢圓方程為（

）A．B．C．D．變式2．已知橢圓的左、右焦點分別為，M為C上一點，若的中點為，且的周長為，則C的標準方程為（

）A．B．C．D．考點四：根據(jù)橢圓方程求相關(guān)量例4．橢圓的焦距為4，則的值為（

）A．或B．或C．D．變式1．曲線與的關(guān)系是（

）A．有相等的焦距，相同的焦點B．有不等的焦距，相同的焦點C．有不等的焦距，不同的焦點D．有相等的焦距，不同的焦點考點五：求橢圓上點的坐標例5．已知，是橢圓的兩個焦點，那么在C上滿足的點有________個．變式1．已知橢圓的焦點為F1，F(xiàn)2，第一象限的點為橢圓上的動點，當為直角三角形時，點的橫坐標是_________.考點六：橢圓的焦點三角形問題求焦點三角形的內(nèi)角或邊長例6．已知橢圓的左，右兩焦點為和，P為橢圓上一點，且，則（

）A．8B．12C．16D．64變式1．已知橢圓的兩焦點為，，為橢圓上一點且，則（

）A．B．C．D．變式2．已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，若，則（

）A．B．C．D．求焦點三角形的周長例7．已知點為橢圓上一點，橢圓的兩個焦點分別為，，則的周長是（

）A．20B．36C．64D．100變式1．已知的頂點在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊上，則的周長是（

）A．12B．C．16D．10變式2.橢圓的一個焦點是F，過原點O作直線(不經(jīng)過焦點)與橢圓相交于A，B兩點，則的周長的最小值是（

）A．14B．15C．18D．20求焦點三角形的面積例8．已知橢圓的左右焦點分別為，，點是橢圓上一點，且是直角三角形，的面積等于（

）A．3B．C．3或D．3或變式1．已知橢圓的方程為，若點在第二象限，且，則的面積（

）．A．B．C．D．焦點三角形的內(nèi)切圓問題例9．已知，是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，且，則的內(nèi)切圓的半徑（

）A．1B．C．D．2變式1．設(shè)橢圓的左右焦點分別為，直線l過且與C交于A，B兩點，則內(nèi)切圓半徑的最大值為(

)A．B．C．D．1與焦點三角形有關(guān)的最值問題例10．已知橢圓上的動點到右焦點距離的最大值為，則（

）A．1B．C．D．變式1．已知點P為橢圓上動點，分別是橢圓C的焦點，則的最大值為（

）A．2B．3C．D．4考點七：與橢圓有關(guān)的軌跡問題例11．點M與定點的距離和它到定直線的距離的比為，則點M的軌跡方程為（

）A．B．C．D．變式1．在平面直角坐標系中，已知定點、，直線與直線的斜率之積為，則動點P的軌跡方程為（

）A．B．C．D．例12．已知的周長為20，且頂點，則頂點的軌跡方程是（）B．C．D．變式1．已知P是圓上任一點，，線段PA的垂直平分線l和半徑CP交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡方程為___________.變式2.在中，已知，若，且滿足，則頂點的軌跡方程是（

）A．B．C．D．一、單選題1．已知橢圓的焦點在軸上，若橢圓的焦距為，則的值為（

）A．B．C．3D．42．若已知橢圓，長軸在軸上，若焦距為4，則等于（

）A．4B．5C．7D．83．“是“方程表示焦點在y軸上的橢圓”的（

）A．充要條件B．必要不充分條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件4．已知點，是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，，分別是橢圓的左、右焦點，若，則（

）A．1B．2C．4D．55．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，A是C上一點，，則的最大值為（

）A．7B．8C．9D．116．如果橢圓上一點到此橢圓一個焦點的距離為2，是的中點，是坐標原點，則的長為（

）A．6B．10C．8D．127．已知分別為橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，則的最大值為（

）A．64B．16C．8D．48．已知點F1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點，點P是該橢圓上的一個動點，那么的最小值是（

）A．0B．1C．2D．2二、填空題9．已知圓的圓心為，點是圓上的動點，點，線段的垂直平分線交于點.則點的軌跡的方程為_______；10．已知為橢圓上一動點，記原點為，若，則點的軌跡方程為______．11．已知分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓在第一象限內(nèi)的一點，若，則______．12．已知橢圓與x軸正半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，點F是橢圓的一個焦點，若△ABF是等腰三角形，則的值為________.三、解答題13．P是橢圓上一點，，是橢圓的左、右兩個焦點，且．(1)求的最大值和最小值；(2)求的面積．橢圓及其標準方程隨堂檢測1.設(shè)