第頁第12講3.2.1函數(shù)的單調(diào)性一.增函數(shù)與減函數(shù)1．增函數(shù)與減函數(shù)的定義前提條件設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I條件?x1，x2∈D，x1<x2都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2)圖示結(jié)論f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減特殊情況當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù)（1）定義中x1，x2有三個特征：一是x1，x2同屬于一個單調(diào)區(qū)間；二是x1，x2是任意的兩個實(shí)數(shù)，證明單調(diào)性時不可隨意用兩個特殊值代替；三是x1與x2有大小，通常規(guī)定x1＜x2，但也可規(guī)定x2＜x1.(2)函數(shù)的遞增(或遞減)是針對定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D而言的，顯然D?I.(3)當(dāng)函數(shù)值的改變量與其對應(yīng)的自變量的改變量符號相同時，函數(shù)單調(diào)遞增；符號相反時，函數(shù)單調(diào)遞減．(4)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域內(nèi)的某一個區(qū)間，故討論函數(shù)的單調(diào)性時，必須先確定函數(shù)的定義域.(5)若函數(shù)在兩個區(qū)間上都是單調(diào)遞增(或遞減)的，這兩個單調(diào)區(qū)間不能用并集符號“∪”連接.2．函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)算性質(zhì)若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性，則在區(qū)間I上具有以下性質(zhì)．(1)f(x)與f(x)＋C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性．(2)若a為常數(shù)，則當(dāng)a＞0時，f(x)與af(x)具有相同的單調(diào)性；當(dāng)a＜0時，f(x)與af(x)具有相反的單調(diào)性．Q（3）在f(x)，g(x)的公共單調(diào)區(qū)間上，有如下結(jié)論：f(x)g(x)f(x)＋g(x)f(x)－g(x)增增增不能確定單調(diào)性增減不能確定單調(diào)性增減減減不能確定單調(diào)性減增不能確定單調(diào)性減二．函數(shù)的最大值與最小值最大值最小值條件一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：?x∈I，都有f(x)≤Mf(x)≥M?x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值幾何意義f(x)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)f(x)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)(1)最值首先是一個函數(shù)值，即存在一個自變量x0，使得f(x0)等于最值.(2)對于定義域內(nèi)的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，“任意”兩個字不可省略.(3)使函數(shù)f(x)取得最大(小)值的自變量的值有時可能不止一個.(4)函數(shù)f(x)在其定義域(某個區(qū)間)內(nèi)的最大值的幾何意義是其圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)；最小值的幾何意義是其圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).一．利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：1.取值：設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且x1<x2；2.作差變形：作差f(x1)－f(x2)，并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的關(guān)系式；3.定號：確定f(x1)－f(x2)的符號；4.結(jié)論：根據(jù)f(x1)－f(x2)的符號與定義確定單調(diào)性.二．常見函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)a＞0時，在R上單調(diào)遞增；a＜0時，在R上單調(diào)遞減反比例函數(shù)y＝eq\f(a,x)(a≠0)a＞0時，減區(qū)間是(－∞，0)和(0，＋∞)；a＜0時，增區(qū)間是(－∞，0)和(0，＋∞)二次函數(shù)y＝a(x－m)2＋n(a≠0)a＞0時，減區(qū)間是(－∞，m]，增區(qū)間是[m，＋∞)；a＜0時，減區(qū)間是[m，＋∞)，增區(qū)間是(－∞，m]三．利用函數(shù)的單調(diào)性求最值的常用結(jié)論1.若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最小值ymin＝f(a)，最大值ymax＝f(b)．2.若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最小值ymin＝f(b)，最大值ymax＝f(a)．3.若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，在區(qū)間[b，c]上是減函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b處有最大值f(b)，最小值為f(a)與f(c)中的較小者．4.若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)，在區(qū)間[b，c]上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b處有最小值f(b)，最大值為f(a)與f(c)中的較大者．四．求二次函數(shù)最值的常見類型及解法1、類型一：是函數(shù)定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R法一：根據(jù)開口方向，用配方法即可求出最大(小)值法二：根據(jù)開口和對稱軸求出最值2.類型二：定義域?yàn)槟骋粎^(qū)間開口方向和對稱軸的位置來決定對于含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題，一般有如下幾種類型：(1)區(qū)間固定，對稱軸變動(含參數(shù))，求最值；(2)對稱軸固定，區(qū)間變動(含參數(shù))，求最值；(3)區(qū)間固定，最值也固定，對稱軸變動，求參數(shù).通常都是根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)和對稱軸的相對位置進(jìn)行分類討論.求二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在區(qū)間[m，n]上的最值一般分為以下幾種情況：①若x＝－eq\f(b,2a)在區(qū)間[m，n]內(nèi)，則最小值為f(－eq\f(b,2a))，最大值為f(m)，f(n)中較大者(或區(qū)間端點(diǎn)m，n中與x＝－eq\f(b,2a)距離較遠(yuǎn)的一個對應(yīng)的函數(shù)值為最大值)；②若x＝－eq\f(b,2a)＜m，則f(x)在區(qū)間[m，n]上單調(diào)遞增，最大值為f(n)，最小值為f(m)；③若x＝－eq\f(b,2a)＞n，則f(x)在區(qū)間[m，n]上單調(diào)遞減，最大值為f(m)，最小值為f(n)．五．函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用1.由函數(shù)解析式求參數(shù)若為二次函數(shù)——判斷開口方向與對稱軸——利用單調(diào)性確定參數(shù)滿足的條件．若為一次函數(shù)——由一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定單調(diào)性．若為復(fù)合函數(shù)y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——數(shù)形結(jié)合，探求參數(shù)滿足的條件．2.解不等式當(dāng)函數(shù)f(x)的解析式未知時，欲求解不等式，可以依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)，將符號“f”去掉，列出關(guān)于自變量的不等式(組)，然后求解，此時注意函數(shù)的定義域．3.比較大小利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小，在解決比較函數(shù)值大小的問題時，需要自變量在同一個單調(diào)區(qū)間上，然后利用單調(diào)性比較大小考點(diǎn)一判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【例1】已知函數(shù)，判斷并證明在上的單調(diào)性.【一隅三反】1．求證：函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．考點(diǎn)二函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2-1】（1）函數(shù)，的單調(diào)減區(qū)間為（

）B．C．D．（2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，0），（0，+∞）（3）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A．B．C．D．，（4）已知的圖象如圖所示，則該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A．B．和C．D．和（5）函數(shù)的單增區(qū)間為（

）A．B．C．D．【一隅三反】1．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.2．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為___________.考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【例3-1】（1）設(shè)函數(shù)是上的減函數(shù)，則有（

）A．B．C．D．（2）（2023·全國·高一專題練習(xí)）“”是“函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件（3）已知函數(shù)滿足對任意的實(shí)數(shù)都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C．D．【例3-2】函數(shù)的定義域?yàn)?，且在定義域內(nèi)是增函數(shù)，若，則m的取值范圍是（

）A．B．C．D．【一隅三反】1．若函數(shù)在上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是(

)A．B．C．D．2．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．B．C．D．考點(diǎn)四函數(shù)的最值【例4-1】函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最大值與最小值分別是（）A．B．2，5C．1，2D．【例4-2】當(dāng)時，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A．B．C．D．【一隅三反】1．函數(shù)的最小值為（

）A．2B．C．3D．以上都不對2．若函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．考點(diǎn)五二次函數(shù)的最值【例5】已知函數(shù).(1)求的最小值;(2)求的最大值.【一隅三反】1．已知函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)，且的最大值為8，求實(shí)數(shù)的值.2．已知二次函數(shù)，非空集合.(1)當(dāng)時，二次函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)__________時，求二次函數(shù)的最值以及取到最值時的取值.在①，②，③，這三個條件中任選一個補(bǔ)充在（2）問中的橫線上，并求解.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.）考點(diǎn)六抽象函數(shù)【例6】已知函數(shù)的定義域?yàn)?且對任意的正實(shí)數(shù)都有,且當(dāng)時,,.(1)求;(2)求證:為上的增函數(shù);(3)解不等式.【一隅三反】1．已知函數(shù)對任意的，都有，且當(dāng)時，．(1)求證：是上的增函數(shù)；(2)若，解不等式．

3.2.1函數(shù)的單調(diào)性（精練）1．已知為增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．2．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．3．已知是上的增函數(shù)，是其圖象上兩點(diǎn)，則不等式的解集為（

）A．B．C．D．4．已知函數(shù)在上是遞減函數(shù)，且，則有（

）A．B．C．D．5．定義在R上函數(shù)滿足以下條件：①函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，②對任意，當(dāng)時都有，則，，的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．6．若函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．B．C．D．7．已知函數(shù)，若對任意，不等式恒成立，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C．D．8.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是______.9．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．10．函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為__________．11．函數(shù)在上為增函數(shù)，則的取值范圍是__________．12．已知在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則的取值范圍是______．13．若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______14．已知函數(shù)與在區(qū)間上都是減函數(shù)，那么__________.15．若，則函數(shù)在上的值域是______________．16．若“，”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.17．規(guī)定表示取、中的較大者，例如，，則函數(shù)的最小值為______.18．已知(1)根據(jù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)(2)若函數(shù)（）的最大值與最小值之差為1，求實(shí)數(shù)的值1．已知，則“”是“函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．定義在的函數(shù)滿足：對，，且，成立，且，則不等式的解集為（

）A．B．C．D．3．已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.4．已知二次函數(shù)滿足，對任意，都有恒成立．(1)求的值；(2)求函數(shù)的解析式；(3)若，對于實(shí)數(shù)，，記函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

第12講3.2.1函數(shù)的單調(diào)性隨堂檢測1.己知是函數(shù)的增區(qū)間，則下列結(jié)論成立的是（

）A．B．C．D．2.下列命題正確的是（

）A．函數(shù)在上是增函數(shù)B．函數(shù)在上是減函數(shù)C．函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性相同D．函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性相同3.已知函數(shù)是區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)，則與的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．不確定4.已知函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)k