4.3.1等比數(shù)列的概念重點(diǎn)：1、理解等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式的意義；2、掌握等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用；難點(diǎn)：1、掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用；2、在實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系；一、等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式1、等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示．2、對(duì)等比數(shù)列概念的理解（1）“從第2項(xiàng)起”，是因?yàn)槭醉?xiàng)沒有“前一項(xiàng)”，同時(shí)注意公比是每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比，前后次序不能點(diǎn)到，另外等比數(shù)列中至少含有三項(xiàng)；（2）定義中的“同一常數(shù)”是定義的核心之一，一定不能把“同”字省略，這是因?yàn)槿绻粋€(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，但是如果這些常數(shù)不相同，那么此數(shù)列也不是等比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)這些常數(shù)相同時(shí)，數(shù)列才是等比數(shù)列；（3）若一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)其，而是從第3項(xiàng)起或第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，則此數(shù)列不是等比數(shù)列；（4）由定義可知，等比數(shù)列的任一項(xiàng)都不為0，且公比；（5）不為0的常數(shù)列是特殊的等比數(shù)列，其公比為1。3、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則通項(xiàng)公式為：.（2）通項(xiàng)公式的變形：或二、等比中項(xiàng)1、定義：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，即G是a與b的等比中項(xiàng)a，G，b成等比數(shù)列2、對(duì)等比中項(xiàng)概念的理解（1）G是a與b的等比中項(xiàng)，則a與b的符號(hào)相同，符號(hào)相反的兩個(gè)實(shí)數(shù)不存在等比中項(xiàng)．此時(shí)，，即等比中項(xiàng)有兩個(gè)，且互為相反數(shù)．（2）時(shí)，G不一定是a與b的等比中項(xiàng)．例如02＝5×0，但0，0，5不是等比數(shù)列；（3）在等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)；（4）與等比數(shù)列中的任一項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于該項(xiàng)的平方，即在等比數(shù)列中，3、等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)區(qū)別（1）任意兩數(shù)都存在等差中項(xiàng)，但并不是任意兩數(shù)都存在等比中項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)同號(hào)且均不為0時(shí)才存在等比中項(xiàng)；（2）任意兩數(shù)的等差中項(xiàng)是唯一的，而若兩數(shù)有等比中項(xiàng)，則等比中項(xiàng)有兩個(gè)，且互為相反數(shù)。三、等比數(shù)列的性質(zhì)1、“子數(shù)列”性質(zhì)（1）對(duì)于無窮等比數(shù)列，若將其前項(xiàng)去掉，剩余各項(xiàng)仍為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為；若取出所有的的倍數(shù)項(xiàng)，組成的數(shù)列仍未等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為；（2）相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為2、等比數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)在等比數(shù)列中，若，則；（1）特別地，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（2）若數(shù)列是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的積等于首末兩項(xiàng)的積，即3、兩等比數(shù)列合成數(shù)列的性質(zhì)若數(shù)列，是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，是不等于0的常數(shù)，則數(shù)列、、也是等比數(shù)列；四、等比數(shù)列的判定方法1、定義法：（常數(shù)）為等比數(shù)列；2、中項(xiàng)法：（）為等比數(shù)列；3、通項(xiàng)公式法：（，為常數(shù)）為等比數(shù)列.五、等比數(shù)列常用的兩種解題方法1、基本量法（基本方法）（1）基本步驟：運(yùn)用方程思想列出基本量和的方程組，然后利用通項(xiàng)公式求解；（2）優(yōu)缺點(diǎn)：適應(yīng)面廣，入手簡(jiǎn)單，思路清晰，但有時(shí)運(yùn)算稍繁。2、性質(zhì)法（利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題）（1）基本思想：充分發(fā)揮項(xiàng)的“下標(biāo)”的指導(dǎo)作用，分析等比數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)解題；（2）優(yōu)缺點(diǎn)：簡(jiǎn)單快捷，但是適應(yīng)面窄，有一定的思維含量。題型一等比數(shù)列的定義【例1】（2022·貴州畢節(jié)·高三統(tǒng)考期中）下列三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列的是（）A．1，4，8B．，2，4C．9，6，4D．4，6，8【變式11】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）下面四個(gè)數(shù)列中，一定是等比數(shù)列的是（）A．q，2q，4q，6qB．q，q2，q3，q4C．q，2q，4q，8qD．，，，【變式12】（2023·浙江紹興·高二校考期中）（多選）下列數(shù)列為等比數(shù)列的是（）A．B．C．D．【變式13】（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）將公比為q的等比數(shù)列，，，，…依次取相鄰兩項(xiàng)的乘積組成新的數(shù)列，，，…．此數(shù)列是（）．A．公比為q的等比數(shù)列B．公比為的等比數(shù)列C．公比為的等比數(shù)列D．不一定是等比數(shù)列題型二等比數(shù)列的通項(xiàng)與基本量【例2】（2023·黑龍江綏化·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則（）A．3B．6C．3或D．6或【變式21】（2023·上?！じ叨邔氈袑W(xué)校考期中）已知等比數(shù)列，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（）．A．B．C．D．【變式22】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若，則（）A．B．C．D．【變式23】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列．（1）若，，求；（2）若，，求和q；（3）若，，求.題型三等比中項(xiàng)及其應(yīng)用【例3】（2022·海南·高二統(tǒng)考期末）和的等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)分別為（）A．，B．2，C．，D．1，【變式31】（2023·遼寧·高二東北育才學(xué)校校聯(lián)考期末）“”是“，，成等比數(shù)列”的（）條件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要【變式32】（2022·江蘇南京·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若數(shù)列為等比數(shù)列，且是方程的兩根，則的值等于（）A．B．1C．D．【變式33】（2023·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)?？计谀┑缺葦?shù)列中，若，則（）A．2B．3C．4D．9題型四等比數(shù)列的性質(zhì)【例4】（2023·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，則（）A．B．3C．±3D．【變式41】（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則（）A．B．C．32D．64【變式42】（2023·江蘇淮安·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，數(shù)列滿足.若，則（）A．24B．27C．36D．40【變式43】（2023·北京·高二中央民族大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）在等比數(shù)列中，若，，則.題型五等比數(shù)列的證明【例5】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的首項(xiàng)為3，且滿足.（1）求證：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列.【變式51】（2023·江西南昌·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列中，，且.（1）求，并證明是等比數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式.【變式52】（2023·福建福州·高二?？计谥校┰跀?shù)列中，已知，，記為的前n項(xiàng)和，，．（1）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并寫出其通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【變式53】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列中，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且對(duì)任意，有（為常數(shù)）．（1）當(dāng)時(shí)，求、的值；（2）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列？請(qǐng)說明理由．題型六由等比數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列【例6】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在243和3中間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列．【變式61】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在4與之間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，求插入的3個(gè)數(shù)．【變式62】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）（1）在2和9之間插入兩個(gè)數(shù)，使前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，試寫出這個(gè)數(shù)列；（2）在320與5中間插入5個(gè)數(shù)，使這7個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，求這個(gè)等比數(shù)列．【變式63】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知是一個(gè)無窮等比數(shù)列，公比為q．（1）將數(shù)列中的前k項(xiàng)去掉，剩余項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公比分別是多少？（2）取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公比分別是多少？（3）在數(shù)列中，每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的公比是多少？你能根據(jù)得到的結(jié)論作出關(guān)于等比數(shù)列的一個(gè)猜想嗎？題型七等比數(shù)列的單調(diào)性與最值【例7】（2023·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）A．充分且不必要條件B．必要且不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【變式71】（2023·河南鄭州·高二鄭州市第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若一個(gè)數(shù)列的第m項(xiàng)等于這個(gè)數(shù)列的前m項(xiàng)的乘積，則稱該數(shù)列為“m積數(shù)列”.若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列是一個(gè)“2023積數(shù)列”，且，則當(dāng)其前n項(xiàng)的乘積取最小值時(shí)n的值為（）A．1011B．1012C．2022D．2023【變式72】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）等比數(shù)列公比為，，若（），則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【變式73】（2023·湖南長(zhǎng)沙·高二湖南師大附中?？计谀ǘ噙x）設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，是其前n項(xiàng)的積，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．與均為的最大值題型八等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【例8】（2023·重慶·高二南開中學(xué)?？计谀┮魳放c數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，我國(guó)春秋時(shí)期有個(gè)著名的“三分損益法”：若以“宮”為基本音，“宮”經(jīng)過一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“徵”；“徵”?jīng)過一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“商”；．．．．．依次損益交替變化，獲得了“宮?徵?商?羽?角”五個(gè)音階．據(jù)此可推得（）A．“徵?商?羽”的頻率成等比數(shù)列B．“宮?徵?商”的頻率成等比數(shù)列C．“商?羽?角”的頻率成等比數(shù)列D．“宮?商?角”的頻率成等比數(shù)列【變式81】（2023·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥校?023年10月17～18日，第三屆“一帶一路”高峰論壇在北京舉行，有150個(gè)國(guó)家、92個(gè)國(guó)際組織的外賓參與論壇．從2013年到2022年，中國(guó)與共建“一帶一路”國(guó)家的進(jìn)出口累計(jì)總額年均增長(zhǎng)率為．現(xiàn)已知2013年進(jìn)出口累計(jì)總額為10.9萬億美元，則2022年進(jìn)出口累計(jì)總額（保留1位小數(shù)）約為（）．參考數(shù)據(jù)：A．17.9萬億B．19.1萬億C．20.3萬億D．21.6萬億【變式82】（2023·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）明代朱載堉發(fā)現(xiàn)的十二平均律，又稱“十二等程律”，是世界上通用的一組音（八度）分成十二個(gè)半音音程的律制，各相鄰兩律之間的波長(zhǎng)之比完全相同.已知大呂、夾鐘、仲呂、林鐘、南呂、應(yīng)鐘的波長(zhǎng)成等比數(shù)列，且大呂和林鐘的波長(zhǎng)分別是m，n，則夾鐘和南呂的波長(zhǎng)之積為（）A．B．C．D．【變式83】（2023·安徽黃山·高二統(tǒng)考期末）隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)高速增長(zhǎng)，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式.由于旅游人數(shù)不斷增加，A、B兩地景區(qū)自2001年起采取了