第二章Z變換2.1引言

2.2Z變換2.3Z反變換2.4Z變換的部分定理和基本性質(zhì)2.5系統(tǒng)函數(shù)

2.1引

言

在時間連續(xù)系統(tǒng)理論中，拉普拉斯變換經(jīng)常被視為傅里葉變換的一種十分有意義的推廣。同樣，在時間離散信號及系統(tǒng)中，也可按類似的方法將傅里葉變換適當推廣，得到相應的Z變換運算。Z變換在分析與計算時間離散線性移不變系統(tǒng)時起著十分重要的作用。這一章我們先定義序列的Z變換表達式，再討論序列與其Z變換特性間的一系列關系。在用到復變函數(shù)理論的部分結(jié)論時，

我們主要是應用，

不再作過多的嚴格求證。

2.2Z

變

換2.2.1Z變換定義序列x(n)的Z變換定義為

（2-1）

式中z為復變量。有時也將序列x(n)的Z變換記作Z［x(n)］。式（2-1）所示的Z變換常被稱作雙邊Z變換，而將定義為單邊Z變換。十分明顯，如果n<0時，x(n)=0，則其單邊和雙邊Z變換等效,否則就不等。有些教材只講單邊Z變換,而我們主要討論雙邊Z變換。當復變量z以極坐標形式z=rejω表示時，就可按第一章討論的傅里葉變換來考慮，這時式（2-1）可表示成或改寫為

（2-2）

于是，x(n)的Z變換可理解為x(n)乘一個指數(shù)序列r-n后的傅里葉變換。r=1，即|z|=1時，序列的Z變換與其傅里葉變換相等。就像傅里葉變換的冪級數(shù)并不對所有序列都收斂一樣，Z變換也不對所有序列或在所有z值都收斂。對任意給定序列，使Z變換收斂的z值的集合，則被稱作該變換的收斂域。在1.6節(jié)中曾經(jīng)討論過傅里葉變換一致收斂的條件是序列絕對可和,把這個條件用于式（2-2），那就相當于要求

（2-3）

上式表明，由于x(n)乘上實指數(shù)r-n，即使序列的傅里葉變換不收斂，其Z變換也仍有收斂的可能。例如我們熟悉的單位階躍序列u(n)，它不是絕對可和的，因而其傅里葉變換并不收斂，但是只要|r|>1，則u(n)r-n絕對可和，因而單位階躍序列的Z變換在1<|z|<∞的范圍內(nèi)將是收斂的，這個范圍被稱作u(n)的Z變換之收斂域。有一類重要的Z變換，其X(z)能以一個有理函數(shù)(即以兩個Z的多項式之比)的形式表示，如：（2-4）

此時分子多項式P(z)=0的z值(它們也使X(z)為零)稱為X(z)的零點，而分母多項式Q(z)=0的值(它們使X(z)為無限大)稱為X(z)的極點。顯然，Z變換的收斂域內(nèi)將不含極點。后面還將證明，所謂收斂域，實際上就是以極點作為分界的某個區(qū)域。2.2.2常用序列Z變換的收斂域我們知道，一個序列的Z變換有無意義，首先要看它是否收斂，而收斂與否的判斷又取決于該變換收斂域的具體界定，所以，討論Z變換，就必然要考慮其收斂域的確切情形。Z變換的零、極點圖可以使Z變換的表示顯得更加直觀和具體。例如序列x(n)=anu(n)的Z變換當|z|>a時，級數(shù)收斂， 。該多項式之比表明，X(z)在z=0處有一個零點，在z=1處有一個極點。我們把此時的零、極點分布情況畫于圖2.1中，而且以表示零點，以×表示極點。圖中打斜線的區(qū)域就是收斂域,它包括了Z平面上|z|>a的整個區(qū)域。序列的性質(zhì)決定了Z變換的收斂域。為了進一步搞清這種關系，我們專門討論幾種特殊序列的情景。

圖2.1序列anu(n)的Z平面上的零、極點與收斂域

1．有限長序列

假設該序列只有有限多個序列值不為零，

因而

（2-5）

對這個Z變換而言，z=0及z=∞有可能是它的極點，這要視n的具體取值而定。首先，如果n1≥0，x(n)為因果序列,此時z=∞將不再是極點，因而其收斂域應該是0<|z|≤∞，即z=∞

也在其收斂域內(nèi)。其次，如果n2<0（即n<0），這時z=0已不是極點，收斂域?qū)⑹?≤|z|<∞，Z平面的原點也處于其收斂域內(nèi)。最一般的情況可能是n1<0和n2>0，這時z=0與z=∞都是極點，都不在其收斂域之內(nèi)，因而Z變換的收斂域為0<|z|<∞。2．右邊序列

右邊序列是n小于某一個數(shù)值（如n1）時,x(n)=0的序列,其Z變換

（2-6）

此級數(shù)的收斂域是一個圓的外部。為了正確確定該收斂域的具體范圍，我們假設它在z=z1

處絕對收斂，即

（2-7）

于是我們不難看到，如果n1≥0，即x(n)為因果序列，當|z|>|z1|時，中的每一項都比式（2-7）中與之對應的項要小，所以有|z|>|z1|為此，我們專門將其寫成X(z)在Rx-<|z|≤∞的范圍內(nèi)收斂。這里的Rx-實際上是代表最外面一個極點到Z平面原點的距離，z=∞也在其收斂域內(nèi)。這時級數(shù)的收斂域?qū)⑹荶平面的以Rx-作半徑的圓的整個外部。Rx-的下標以x-表示的原因是因為級數(shù)中z-n的冪始終為負冪之故。如果n1<0，我們可將級數(shù)改寫成

（2-8）

z取有限值（0≤|z|<∞）時，上式中等式右邊的第一項將是有限的，而第二項在Rx-<|z|≤∞時是收斂的。綜合考慮兩個級數(shù)后不難得出右邊序列的Z變換的收斂域應該是以Rx-為半徑的一個圓的外部，至于z=∞在不在其收斂域內(nèi)則要看該右邊序列的起點n1是否小于零而定。如果n1>0，則x(n)為因果序列,Z變換在z=∞處收斂；如果n1<0，序列的Z變換將如式（2-8）所示，z=∞將不再包括在收斂域內(nèi)，因而總的收斂域?qū)⒉辉偈荝x-<|z|≤∞,而是Rx-<|z|<∞。反過來也一樣，如果一個序列Z變換的收斂域是一個圓的外部，那它應該是一個右邊序列；而且，當其收斂域還包括z=∞時，它將是一個因果序列。

3.左邊序列

左邊序列是n

大于某一個數(shù)值（如n2）時，x(n)=0的序列。其Z變換（2-9）

假設X(z)在z=z2處絕對收斂，即

我們先看n2<0的情況，此時對于所有|z|<|z2|的z值，將有

所以此左邊序列的收斂域為0≤|z|<Rx+，也即處于以Rx+為半徑的一個圓的里邊。Rx+是Z平面上最里邊的極點到原點的距離。因為此時級數(shù)中z-n的冪為正冪，所以Rx+的下標以x+表示。如果n2≥0，同樣可以將級數(shù)表示成等式右邊第一項的收斂域為0≤|z|<Rx+，第二項的收斂域為0<|z|≤∞，所以X(z)的收斂域為0<|z|<Rx+，同樣處于以Rx+為半徑的一個圓的里邊，但Z平面的原點已不包括在收斂域之內(nèi)。

4.雙邊序列

雙邊序列是從n=-∞

延伸到n=∞的序列，

通?？蓪懗?/p>

（2-10）

等式右邊第一個級數(shù)的收斂域為0≤|z|<Rx+，第二個級數(shù)的收斂域為Rx-<|z|≤∞，因而X(z)的收斂域?qū)⑹且粋€環(huán)狀帶，其范圍是（2-11）

當然，如果Rx+<Rx-，則沒有公共的收斂域，式（1-10）將不收斂。如果Rx-<1<Rx+,則X(z)的收斂域包括單位圓，序列既有傅里葉變換也有Z變換。2.3Z

反

變

換

所謂Z反變換，就是由給定的Z變換表達式X(z)還原出原序列x(n)。從式（2-1）的Z變換定義式不難看出，它實際上就是反過來確定X(z)這個冪級數(shù)的展開式。求Z反變換的方法很多，常用的有圍線積分法（留數(shù)法），部分分式展開法及長除法三種，我們分別作簡要介紹。2.3.1圍線積分法（留數(shù)法）

Z反變換關系式可以從柯西（Cauchy）積分定理推得。這個定理為

（2-12）

式中C為圍繞原點的反時鐘方向旋轉(zhuǎn)的一條封閉圍線。根據(jù)Z變換定義

（2-13）

將式（2-13）兩邊乘以zk-1，繼而在X(z)的收斂域內(nèi)選一條圍繞原點的積分圍線，

并作圍線積分，

得

（2-14）

當級數(shù)收斂時，可以變換積分與求和的次序。于是上式可以寫成

（2-15）

考慮式（2-12），

式（2-15）將為

（2-16）

因此，Z變換可由如下的圍線積分描述：

（2-17）

式中的C就是前面所說的，在X(z)收斂域內(nèi)反時針方向旋轉(zhuǎn)的一條封閉圍線。另外，還要強調(diào)的是，在推導式（2-17）的過程中，我們并未限定式（2-14）中的k或式（2－17）中的n是正是負，因此式（2-17）對n是正或是負均成立。對于有理Z變換而言，圍線積分用留數(shù)定理求值較方便。此時

（2-18)一般說來，當X(z)zn-1是z的有理函數(shù)時，它可以表示為

（2-19）

這里的X(z)在z=z0處有s階重極點，Ψ(z)在z=z0處沒有極點。此時X(z)zn-1在z=z0處的留數(shù)（2-20）

特別是，如果s=1，即在z=z0處只有一個一階極點，則

（2-21）

例如，在前面討論的例題中，

已知其

|z|>|a|利用式（2-18），我們不難確定它的Z反變換

特別是，當n≥0時，只有z=a一個極點，此時x(n)=anu(n),若n<0，在z=0處將有一個多階極點，其階數(shù)取決于n。而在z=a處則仍有一個極點。于是，當n=-1時，z=0處的極點為一階極點，其另外還有一個z=a處的極點，并有

因此，兩者之和為零，

即

x(-1)=0n=-2時，

而

因而x(-2)=0，依此類推，可得此例在n<0時的x(n)=0。當然具體運算時，隨著n變得相當負后，對z=0處的留數(shù)計算將越來越不便。此時，通?？勺髯兞刻鎿Q，從而使式（2-17）在n<0時的留數(shù)計算較為簡便。為此，令z=p-1，這樣，原來Z平面上圍線C內(nèi)的極點將被轉(zhuǎn)換成P平面上圍線C′之外的極點；而圍線C外的極點將被轉(zhuǎn)換成圍線C′之內(nèi)的極點。如果C是Z平面上半徑為r的圓，則C′將是P平面上半徑為1/r的圓。于是式（2-17）將被替換成（2-22）

我們知道，式（2-17）中的圍線是反時針方向的，而這里的圍線方向是順時針的。將式（2-22）的右邊乘上-1，并將圍線方向顛倒過來，可得（2-23）

再看所舉之例，其

當n<0時，

將有

所以此時的

（2-24）

現(xiàn)在的收斂域為 ，而積分圍線C′則為半徑小于1/|a|的圓。由于n<0時，圍線C′之內(nèi)沒有極點，因此可以方便地推得此時的x(n)=0。當然利用此時的式（2-24）來計算n≥0時的x(n)同樣會十分麻煩（雖然該式仍然成立），因為在原點會出現(xiàn)多階極點。這跟式（2-17）在計算n<0時的x(n)很不方便一樣（盡管公式也同樣成立）。

2.3.2列表法

表2.1幾種序列的Z變換與收斂域

2.3.3冪級數(shù)法如果所得的Z變換本身就像Z變換定義所示的z的冪級數(shù)形式：

那就可以直接看出，序列x(n)就是冪級數(shù)中z-n項的系數(shù)。假如所給的X(z)是一種函數(shù)形式，通?？梢酝茖С鏊膬缂墧?shù)展開式或者直接借用已知的冪級數(shù)展開式。對于有理Z變換，此時可利用長除法得到相應的冪級數(shù)展開式。如仍以為例。由于其收斂域為某個圓的外部，因此它對應的應該是右邊序列，且因其收斂域包括z=∞，x(n)還應是因果序列。這時的長除法為

于是可得此時的

因此

作為另一個例子，如果此時的 不變，其收斂域改為|z|<a，則根據(jù)收斂域條件，可知其反變換x(n)將是左邊序列。而且由于X(z)在z=0處是有限的，因此n>0時此序列為零。為此，我們可作如下除法：因此

2.3.4部分分式展開法對有理Z變換，常用的另一種方法是先將其作部分分式展開，進而識別出這些相對簡單的分式的Z反變換，然后按線性疊加原理相加，即可獲得欲求的Z反變換序列。例如求解下列Z變換所對應的右邊序列，其|z|>max(|a|,|b|)此時，可將該Z變換表示成

由于我們假定了它對應的是右邊序列，因此式中的兩項都對應于右邊序列。根據(jù)前面討論的有關例題，可以看出它們都是一階Z變換的形式，可得其

2.4Z變換的部分定理和基本性質(zhì)

1.線性對于Z變換分別為X(z)與Y(z)的序列x(n)與y(n)，即則

R－<|z|<R+

（2-25）

這時的收斂域至少是各個收斂域的重疊部分。這樣，R-將是Rx-和Ry-中的較大者，R+則是Rx+和Ry+中的較小者。如果線性組合中有的零點將某些極點消掉的話，收斂域也有可能擴大。例如序列x(n)=anu(n)和y(n)=anu(n-1)的Z變換為|z|>|a||z|>|a|這時

收斂域為|z|>|a|。而其收斂域已是整個Z平面。

2.序列的位移序列x(n)的Z變換Rx-<|z|<Rx+

這是因為

則對于序列x(n-n0)，將有

Rx-<|z|<Rx+

（2-26）

如作n-n0=m的變量替換，即可得

一般情況下，x(n-n0)的Z變換之收斂域與X(z)的收斂域相同，但在z=0或z=∞處也有可能出現(xiàn)例外。例如Z

［δ(n)］在整個Z平面收斂，而δ(n-1)的Z變換在z=0處就不收斂，而δ(n+1)的Z變換又在z=∞處不收斂。

3.乘以指數(shù)序列

設Z［x(n)］=X(z)，Rx-<|z|<Rx+，如果x(n)乘以指數(shù)序列an（a不限定為實數(shù)），則（2-27）

這是因為

又因Rx-<|a|-1|z|<Rx+，所以有|a|Rx-<|z|<|a|Rx+。4.序列乘以n

設Z［x(n)］=X(z)，Rx-<|z|<Rx+，則（2-28）

因為

所以

5.復序列的共軛

（2-29）

因為

6.初值定理

設x(n)是因果序列，

即n<0時，x(n)=0，

則

（2-30）

這是因為

7.序列的卷積如果w(n)是序列x(n)與y(n)的卷積，則w(n)的Z變換是x(n)與y(n)的Z變換之乘積。即當存在時，其

因為

變換求和次序

收斂域則為兩者的重疊部分，

但有零、

極點相消時，

也會使收斂域有所擴大。

8.復卷積定理

上面我們證明了序列卷積的Z變換為各序列Z變換的乘積。在1.6節(jié)中曾經(jīng)論述過，序列乘積的傅里葉變換為各序列的傅里葉變換的卷積，事實上，序列乘積的Z變換也有與之形式上十分類似的卷積結(jié)果。為此，我們設于是有

因為

式中C1為Y(v)收斂域內(nèi)反時針方向旋轉(zhuǎn)的圍線，所以

(2-31a)利用同樣的方法，也可得到W(z)的另一種表示式，即

（2-31b）

式中的C2則是X(v)與兩者收斂域重疊部分內(nèi)的封閉圍線。為了確定W(z)的收斂域，我們先看X(z)與Y(z)的收斂域，它們是于是式（2-31a）中的與Y(v)的收斂域?qū)?/p>

及

合并這兩個表示式，可得

在某些特別情況下，收斂域可能會大于此重疊區(qū)域，但總是包含了這個區(qū)域，并向內(nèi)或向外擴大到與之最近的極點為止。為了說明式（2-31b）確實具有卷積的形式，我們設積分圍線C2是一個圓，而且v=ρejθ和z=rej,于是式（2-31b）可表示為（2-32）

這顯然是一種卷積積分形式。

9.帕斯維爾（Parsval）定理對于序列x(n)與y(n)，其帕斯維爾關系式為

（2-33）

式中的積分圍線處于X(v)和的收斂域的重疊部分。根據(jù)復卷積定理，如果w(n)=x(n)y(n)，

則其

（2-34）

收斂域為Rx-Ry-<|z|<Rx+Ry+。

考慮到Z［y*(n)］=Y*(z*)，所以對于

其Z變換將滿足

（2-35）

的關系式。于是可得出

這就是帕斯維爾關系式。

特別是，如果式（2-36）中的序列y(n)也是x(n)的話，則可構(gòu)成信號能量與頻譜能量的關系式，這是因為(2-37)如果X(v)在單位圓上收斂，則當選擇v=ejω時，dv=jejωdω，即可在單位圓上積分，從而得到(2-38)10.Z變換的定理及性質(zhì)小結(jié)以上我們討論了Z變換的部分定理和性質(zhì)，有些在計算及分析Z變換時十分有用。為此，我們將上面討論過的以及其它一些比較有用的性質(zhì)一并列于表2.2中。表內(nèi)所列區(qū)域為Z變換的收斂域。需要說明的是，有的時候，即在某些特殊情況下，收斂域可以大于所示收斂區(qū)域。表2.2Z變換的一些基本性質(zhì)

2.5系統(tǒng)函數(shù)

在第一章里我們研究過用系統(tǒng)的單位采樣響應的傅里葉變換來表示線性移不變系統(tǒng)的途徑。事實上，單位采樣響應的傅里葉變換也就是系統(tǒng)的頻率響應。我們進而也知道，在頻域中，系統(tǒng)的輸出就等于輸入的傅里葉變換與該系統(tǒng)的頻率響應的乘積。如果再推廣一步，我們更可以用單位采樣響應的Z變換來描述線性移不變系統(tǒng)，因為從2.4節(jié)的討論中我們不難得出以下的關系：

由于

因此

（2-39）

同傅里葉變換相似，線性移不變系統(tǒng)輸出的Z變換也等于輸入及單位采樣響應的Z變換之積。系統(tǒng)的單位采樣響應的Z變換通常被稱作該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。而在單位圓（|z|=1）上表征的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應。在第一章中我們也曾討論過，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是單位采樣響應h(n)絕對可和?？梢韵胂瘢琙變換的收斂域?qū)嶋H上將由使h(n)z-n絕對可和的所有z值來定義。而且其收斂條件也有可能比h(n)絕對可和更寬。綜上所述，我們可以清楚地看到，一個穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的收斂域應該包括單位圓?？紤]到一個因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的收斂域為Rx-<|z|≤∞，所以對于實踐中廣泛用到的穩(wěn)定的因果系統(tǒng)，其收斂域?qū)⑹前▎挝粓A和單位圓之外的整個平面，也包括z=∞?；蛘咭部梢赃@么說，即一個穩(wěn)定因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的所有極點都處于單位圓之內(nèi)。當系統(tǒng)可以用一個線性常系數(shù)差分方程描述時，其系統(tǒng)函數(shù)通常為兩個多項式之比，而以延遲單元、加法器及乘法器等元件構(gòu)成的線性移不變系統(tǒng)通常都易于用常系數(shù)差分方程表示。

為此，我們研究一個輸入和輸出滿足N階差分方程的系統(tǒng)：

（2-40）

對上式兩邊求Z變換：

從而可得

（2-41）

式（2-41）將系統(tǒng)函數(shù)表示為有理函數(shù)的形式，分子分母的系數(shù)則對應于式（2－40）中等號右邊及左邊的相關系數(shù)。由于式（2-41）是z-1的多項式之比，因此它可作因式分解，并得（2-42）

上式表示，此時的系統(tǒng)函數(shù)也可在表度因子A的表征下，以其在Z平面中的零、極點來描述。于是，利用零、極點不僅可以像前面所述那樣確定Z變換的收斂域