培優(yōu)點05三角函數中有關ω的范圍問題（4種核心題型+基礎保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）【考試提醒】在三角函數的圖象與性質中，ω的求解是近幾年高考的一個熱點內容，但因其求法復雜，涉及的知識點多，歷來是我們復習中的難點．【核心題型】題型一三角函數的單調性與ω的關系確定函數的單調區(qū)間，根據區(qū)間之間的包含關系，建立不等式，即可求ω的取值范圍．【例題1】（2024·廣東湛江·一模）已知函數在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由的范圍可求得的范圍，結合正弦函數單調性，采用整體代換的方式即可構造不等式組求得結果.【詳解】當時，，在上單調遞增，，解得：，又，，解得：，又，，，即的取值范圍為.故選：D.【變式1】（多選）（23-24高三上·遼寧葫蘆島·期末）已知函數在區(qū)間上單調，且滿足，下列結論正確的有（

）A．B．若，則函數的最小正周期為C．關于方程在區(qū)間上最多有4個不相等的實數解D．若函數在區(qū)間上恰有5個零點，則的取值范圍為【答案】ABD【分析】對A：利用對稱性直接求得；對B：根據對稱中心與對稱軸可得周期表達式，結合區(qū)間上單調求出函數的最小正周期，即可判斷；對C：先判斷出周期，結合周期越大，的根的個數越少，解出在區(qū)間上最多有3個不相等的實數根，即可判斷.對D：由題意分析，建立關于的不等式組，求出的取值范圍.【詳解】函數滿足.對A：因為，所以，故A正確；對B：由于，所以函數的一條對稱軸方程為.又為一個對稱中心，由正弦圖像和性質可知，所以函數的最小正周期滿足，即.又區(qū)間上單調，故，即，故，故B正確；對C：函數在區(qū)間上單調，且滿足，可得：，所以周期，又周期越大，的根的個數越少.當時，，又，，得.所以在區(qū)間上有3個不相等的實數根：，或，故至多3個不同的實數解，故C錯誤.對D：函數在區(qū)間上恰有5個零點，所以，所以，解得：，且滿足，即，即，故.故D正確.故選：ABD【變式2】（2024·福建南平·二模）函數在區(qū)間上單調遞增，且在區(qū)間上恰有兩個極值點，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用正弦型函數的單調性可得，利用正弦型函數的極值點可得.【詳解】由在區(qū)間上單調遞增，可得，，，即，，，即，又在區(qū)間上恰有兩個極值點，可得，即.綜上，.故答案為：.【變式3】（23-24高三下·甘肅·階段練習）已知函數．(1)當時，求函數在點處的切線方程；(2)若函數的導函數為，且在上為減函數，求ω的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）代入，依次求得，即可得解；（2）原題等價于在上恒成立，進一步結合復合函數單調性、值域即可列出不等式組求解.【詳解】（1）因為，所以，故，且，從而，此時函數在點處的切線方程，即.（2），，因為在上為減函數，所以在上恒成立，即在上恒成立，也就是在上恒成立，注意到，且當時，有，所以當且僅當滿足題意，解得，也就是說ω的取值范圍為.題型二三角函數的對稱性與ω的關系三角函數兩條相鄰對稱軸或兩個相鄰對稱中心之間的“水平間隔”為eq\f(T,2)，相鄰的對稱軸和對稱中心之間的“水平間隔”為eq\f(T,4)，這就說明，我們可根據三角函數的對稱性來研究其周期性，解決問題的關鍵在于運用整體代換的思想，建立關于ω的不等式組，進而可以研究“ω”的取值范圍．【例題2】（2023·內蒙古赤峰·三模）已知函數的一條對稱軸是，若存在使直線與函數的圖像相切，則當取最小正數時，實數m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用輔助角公式化簡函數解析式，結合正弦函數的對稱性求，再由導數的幾何意義求m的取值范圍.【詳解】，∵是的一條對稱軸，∴，，∴，又，∴的最小正整數值為2．∴，∴，若使與相切，則，且，解得或故選：D.【變式1】（2023·四川成都·模擬預測）已知函數的圖象在上恰有一條對稱軸和一個對稱中心，則實數的取值范圍為.【答案】【分析】根據兩角和的正弦公式和二倍角公式化簡，再根據正弦函數的對稱軸和對稱中心可求出結果.【詳解】,當時，為常數，不合題意，當，時，，要使在上恰有一條對稱軸和一個對稱中心，則，即，當，時，，要使在上恰有一條對稱軸和一個對稱中心，則，即.故答案為：【變式2】（2024·全國·模擬預測）已知函數，若的圖象在上有且僅有兩條對稱軸，則的取值范圍是．【答案】【分析】運用正余弦二倍角公式及輔助角公式化簡，由已知條件結合正弦函數性質可得結果.【詳解】因為，因為的圖象在上有且僅有兩條對稱軸，所以，解得，所以的取值范圍是．故答案為：.【變式3】（2023·上海普陀·三模）設函數，其中.(1)若的最小正周期為，求的單調增區(qū)間；(2)若函數圖象在上存在對稱軸，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據三角恒等變換化簡函數表達式，然后根據最小正周期公式算出，然后利用正弦函數的單調性求解；（2）利用正弦函數的對稱軸公式求參數的范圍.【詳解】（1）由題意，，又，于是，則，則，根據正弦函數的單調遞增區(qū)間，令，解得，,即為的單調遞增區(qū)間.（2）當，，注意到題干，則，根據正弦函數的對稱軸，顯然只有時一條對稱軸，于是，解得，結合可得題型三三角函數的最值與ω的關系利用三角函數的最值與對稱軸或周期的關系，可以列出關于ω的不等式(組)，進而求出ω的值或取值范圍．【例題3】（23-24高三上·廣東·階段練習）已知函數在區(qū)間內有最大值，但無最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據正弦型函數的單調性，結合數形結合思想進行求解即可.【詳解】因為，所以當時，則有，因為在區(qū)間內有最大值，但無最小值，結合函數圖象，得，解得，故選：A【變式1】（2024·全國·模擬預測）已知函數滿足，且在區(qū)間上恰有兩個最值，則實數的取值范圍為．【答案】【分析】先根據是函數的最小值求出與間的等量關系，進行消元，再結合在給定區(qū)間上恰有兩個最值的條件建立不等關系，建立不等關系時，要注意結合三角函數的圖像，特別注意端點值的取舍．【詳解】因為，所以，所以，，即，，所以．當時，．因為在區(qū)間上恰有兩個最值，且，所以，解得．故答案為：．【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于根據已知條件建立不等關系，特別注意端點值的取舍【變式2】（23-24高三下·廣東·階段練習）已知函數的圖象關于原點對稱，其中，，且在區(qū)間上有且只有一個最大值和一個最小值，則的取值范圍為．【答案】【分析】先根據余弦函數的對稱性求出，再根據正弦函數的圖象和性質求解即可.【詳解】因為函數的圖象關于原點對稱，所以，又因，所以，所以，由且，得，有且只有一個最大值和一個最小值，由正弦函數的圖象與性質可得，解得，所以的取值范圍為.故答案為：.【變式3】（23-24高三上·遼寧沈陽·階段練習）已知函數的定義域為，若存在實數，使得對于任意都存在滿足，則稱函數為“自均值函數”.(1)判斷函數是否為“自均值函數”，并說明理由；(2)若函數，為“自均值函數”，求的取值范圍.【答案】(1)不是，理由見解析(2)【分析】（1）假設滿足條件得到，分別計算函數，的值域，不滿足條件，得到答案.（2）變換得到，的值域是，根據值域關系排除的情況，得到，計算函數最值得到，解得答案.【詳解】（1），，若是“自均值函數”，則存在實數，使得對于任意都存在滿足，即，即，函數的值域為，的值域為，不滿足條件，故函數不是為“自均值函數”.（2）存在，對于，存在，有，即，當時，的值域是，在值域包含，當時，，則，若，則，，此時值域的區(qū)間長度不超過，而區(qū)間長度為，不符合題意，于是得，，要使在的值域包含，則在的最小值小于等于，又時，遞減且，而有，解得，此時取，的值域是，而，，故在的值域包含，所以的取值范圍是.【點睛】關鍵點睛：本題考查了函數的新定義，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中將題目的新定義問題，轉化為函數的值域的包含問題，再求解是解題的關鍵，這種轉化思想是常用的思想，需要熟練掌握.題型四三角函數的零點與ω的關系三角函數兩個零點之間的“水平間隔”為eq\f(T,2)，根據三角函數的零點個數，可以研究“ω”的取值．【例題4】（2023·河南開封·模擬預測）將函數的圖象向右平移個單位長度后，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，得到函數的圖象，若在區(qū)間內有5個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據三角函數圖象的平移變換可得，再根據余弦函數的圖象可得，求解即可.【詳解】將函數的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，得到函數的圖象.時，，在軸右方的零點為因為函數的圖象在區(qū)間內有5個零點，所以，解得.故選:D.【變式1】（2023·全國·三模）將函數的圖像先向右平移個單位長度，再把所得函數圖像的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變，得到函數的圖像，若函數在上沒有零點，則的取值范圍是.【答案】【分析】先根據平移伸縮得到函數的解析式，再根據無零點列出不等式組，解出取值范圍即可.【詳解】將函數的圖像先向右平移個單位長度，得到函數的圖像，再把所得函數圖像的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得到函數的圖像，當時，.由在上沒有零點，得，即，解得或.故答案為：.【變式2】（22-23高三上·寧夏銀川·階段練習）已知函數，將的圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖像.已知在上恰有5個零點，則的取值范圍是.【答案】【分析】求得，換元轉化為在上恰有5個不相等的實根，結合的性質列出不等式求解.【詳解】，令，由題意在上恰有5個零點，即在上恰有5個不相等的實根，由的性質可得，解得．故答案為：．【變式3】（21-22高三上·福建龍巖·階段練習）已知函數.(1)當時，函數的圖象關于直線對稱，求在上的單調遞增區(qū)間；(2)若的圖像向右平移個單位得到的函數在上僅有一個零點，求ω的取值范圍．【答案】(1)和(2)【分析】（1）化簡函數，得到，結合三角函數的性質，求得，得到，得出，進而求得的單調增區(qū)間.

（2）令，求得，根據在上僅有一個零點，列出不等式組，即可求解.【詳解】（1）解：因為，所以，由的圖象關于直線對稱，可得，所以解得，又因為，所以當時，.所以，令，解得，又由，所以，或，即在上的單調遞增區(qū)間為和.（2）解：由已知得，令得，即，因為在上僅有一個零點，所以，由于，所以得，解得因為，所以，所以【課后強化】【基礎保分練】一、單選題1．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知函數在區(qū)間上有且僅有兩條對稱軸，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由的取值范圍求出，再結合題意及正弦函數的性質得到，解得即可.【詳解】當，則，，依題意可得，解得，故選：A2．（2023·浙江杭州·一模）已知函數（ω＞0），若f（x）在區(qū)間上有且僅有3個零點和2條對稱軸，則ω的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根據三角函數恒等變換將三角函數化簡成余弦型函數，根據自變量的取值范圍求解出的取值范圍，進而根據已知條件結合三角函數圖像求得的取值范圍【詳解】函數，因為，所以，由于函數在區(qū)間上有且僅有3個零點和2條對稱軸，根據函數的圖像：

所以，整理得：．故選：D．3．（2024·河南鄭州·一模）已知函數在上的值域為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意可得，再利用值域可限定，解得的取值范圍為.【詳解】由及可得，根據其值域為，且，由正弦函數圖象性質可得，即可得，解得.故選：B4．（2024·全國·模擬預測）已知函數在區(qū)間上單調，且在區(qū)間上有5個零點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據復合型三角函數最小正周期的計算公式，結合其單調性和零點，可得答案.【詳解】因為，所以函數的最小正周期．因為在區(qū)間上單調，所以，可得；因為在區(qū)間上有5個零點，所以，即，可得；綜上，．故選：D．二、多選題5．（2024·全國·模擬預測）已知函數的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．B．若，則函數的對稱中心為C．若函數在內單調遞增，則的取值范圍為D．若函數在內沒有最值，則的取值范圍為【答案】ACD【分析】借助圖象可得的值，再結合正弦型函數的性質逐項判斷即可得.【詳解】對A：由題意可知，，由，可得，因為，所以，故選項A正確；對B：若，則，令，則，所以函數的對稱中心為，故選項B不正確；對C：因為，令，得，根據的部分圖象可知，所以，即，因為，所以，故選項C正確；對D：由選項C可知，，在上單調遞增．因為在內沒有最值，所以,又，可得，故選項D正確.故選：ACD．6．（23-24高三下·江蘇揚州·開學考試）已知，函數，下列選項正確的有（

）A．若的最小正周期，則；B．當時，函數的圖象向右平移后得到的圖象；C．若在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是；D．若在區(qū)間上有兩個零點，則的取值范圍是；【答案】AC【分析】利用周期公式可判斷A正確；由平移規(guī)則可求判斷B錯誤；由余弦函數圖像性質可得，解不等式可判斷C正確；根據零點個數可求得，即可得的取值范圍是，可得D錯誤.【詳解】對于A，若的最小正周期，可得，可得，即A正確；對于B，當時，可得，的圖象向右平移后得到，即B錯誤；對于C，由可知若在區(qū)間上單調遞增，可得，因此需滿足，解得；顯然當時符合題意，即可得，所以C正確；對于D，當時，，若在區(qū)間上有兩個零點，可得，解得；即的取值范圍是，所以D錯誤；故選：AC三、填空題7．（2023·全國·模擬預測）已知函數在區(qū)間有且僅有1個零點，則的取值范圍為．【答案】【分析】先由周期與所給區(qū)間長度關系得出，據此可得的范圍，根據原題可轉化為討論在區(qū)間內，在區(qū)間內兩種情況得出的取值范圍.【詳解】在有且僅有1個零點，即方程在上有且只有1個根，由，可得，因為，所以，由知，當時，即時，方程在上有且只有1個根，則需，解得，所以；當時，即時，方程在上有且只有1個根，則需，解得，所以，滿足，綜上，的取值范圍為.故答案為：8．（2024·全國·模擬預測）已知函數在區(qū)間上不單調，且在區(qū)間上單調，則的取值范圍是．【答案】【分析】由函數在區(qū)間上不單調，可得，解得；由函數在區(qū)間上單調，可得，列出不等式組求解即可.【詳解】解：因為，所以當時，．因為函數在區(qū)間上不單調，所以，解得．當時，．因為函數在區(qū)間上單調，所以，（易錯：在區(qū)間上單調需要考慮單調遞增或單調遞減兩種情況），所以，其中，解得．由，得，又因為，所以．當時，；當時，；當時，．又因為，所以的取值范圍是．故答案為：9．（2024·山西晉城·一模）若函數在上至少有兩個極大值點和兩個零點，則的取值范圍為．【答案】【分析】先求出極大值點表達式，利用題干條件列不等式賦值求解.【詳解】令，，得的極大值點為，，則存在整數，使得，解得．因為函數在兩個相鄰的極大值點之間有兩個零點，所以．當時，．當時，．當時，．又，所以的取值范圍為．故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題考查三角函數的圖象及其性質，求出并賦值計算是解決問題關鍵.四、解答題10．（2024·全國·模擬預測）已知函數.(1)若的圖象經過點，，且點恰好是的圖象中距離點最近的最高點，試求的解析式；(2)若，且在上單調，在上恰有兩個零點，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意可得函數的周期求出，又過點B取最值求；（2）根據求，由已知條件及正弦函數的性質求的取值范圍.【詳解】（1）依題意可知：，即，所以，又過點，所以,即，又，所以，即.（2）因為，且，所以，即，又當時恰有兩個零點，，依題意：，即，又在上單調，所以，依題意;若，即，所以，因，故不合題意；若，即，所以，因，故；若，即，顯然不等式組無解；綜上的取值范圍為.11．（2023·河北承德·模擬預測）已知，函數.(1)當時，求的單調遞增區(qū)間；(2)若在區(qū)間上單調，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）令求的范圍，即可得增區(qū)間；（2）由題意在上單調，討論分別為遞減區(qū)間、遞增區(qū)間求的取值范圍.【詳解】（1）由題設，令，所以，故的單調遞增區(qū)間為.（2）由，則，所以在上單調，又，若，，則，，所以，，故時，滿足題設；若，，則，，所以，，此時沒有滿足題設的k值；綜上，【綜合提升練】一、單選題1．（2023·河南·模擬預測）若函數在上恰有兩個零點，且在上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】有函數在區(qū)間上有兩個零點可知，由在上單調遞增可求出的取值范圍，然后聯立即可求出答案.【詳解】解：由題意得：函數在上恰有兩個零點，，解得：①，又在上單調遞增，，解得：②，由①②式聯立可知的取值范圍是.故選：B2．（2023·貴州黔東南·三模）已知函數在有且僅有兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據余弦函數的性質結合整體思想即可得解.【詳解】因為，且在僅有兩個零點，，故，所以，解得.故選：C.3．（2022·湖南長沙·模擬預測）已知函數，若在區(qū)間內單調遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】轉化為在區(qū)間內單調遞增，根據正切函數的單調區(qū)間求出的單調遞增區(qū)間，再根據區(qū)間是的單調遞增區(qū)間的子集列式可求出結果.【詳解】因為在區(qū)間內單調遞減，所以，在區(qū)間內單調遞增，由，，得，，所以的單調遞增區(qū)間為，，依題意得，，所以，，所以，，由得，由得，所以且，所以或，當時，，又，所以，當時，.綜上所述：.故選：C.4．（23-24高三上·河北·期末）函數的部分圖象如下圖所示，若在區(qū)間恰有一條對稱軸和一個對稱中心，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據函數圖象求出，由的取值范圍求出的取值范圍，再結合正弦函數圖象得到不等式組，解得即可.【詳解】由圖可知函數過點，所以，即，又，所以或，依題意可得，若則靠近軸的最大值的橫坐標不可能為負數，故舍去；所以，即，因為，所以．又，的圖象如下所示：要使函數在區(qū)間恰有一條對稱軸和一個對稱中心，則，解得，即的取值范圍是.故選：C．5．（2023·吉林長春·一模）將函數圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標不變，所得圖象在區(qū)間上恰有兩個零點，且在上單調遞減，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據題目的要求伸縮變換得到解析式，然后結合函數在上恰有兩個零點以及在上單調遞減，列出不等式組，即可求得本題答案.【詳解】依題意可得，因為，所以，因為在恰有2個零點，且，，所以，解得，令，，得，，令，得在上單調遞減，所以，所以，又，解得．綜上所述，，故的取值范圍是．故選：C.6．（2024·貴州貴陽·一模）將函數的圖像先向右平移個單位長度，再把所得函數圖像上的每個點的縱坐標不變，橫坐標都變?yōu)樵瓉淼谋叮玫胶瘮档膱D像.若函數在上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求函數的解析式，再根據，代入函數的解析式，結合正弦導函數的圖像和性質，即可求解.【詳解】由三角函數的圖像變換規(guī)律可知，，，，因為函數在上單調遞增，所以，且，得.故選：B7．（2024·四川雅安·三模）已知函數，則下列說法中正確的個數是（

）①當時，函數有且只有一個零點；②當時，函數為奇函數，則正數的最小值為；③若函數在上單調遞增，則的最小值為；④若函數在上恰有兩個極值點，則的取值范圍為.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用輔助角公式化簡函數，由圖象分析判斷①；由正弦函數的性質判斷②③；由極大值的意義結合正弦函數的性質判斷④.【詳解】依題意，，函數，對于①：，令，即，作出函數和函數的圖象，如圖，

觀察圖象知，兩個函數在上只有一個零點，，當時，，當時，，因此函數與函數的圖象有且只有一個交點，①正確；對于②：為奇函數，則，，即正數的最小值為，②正確；對于③：當時，，由在上單調遞增，得，解得，正數有最大值，③錯誤；對于④：當時，，而在上恰有兩個極值點，由正弦函數的性質得，解得，因此的取值范圍是，④錯誤.綜上，共2個正確，故選：B.8．（2024·全國·模擬預測）已知函數在上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據函數結構特征利用三角恒等變換公式將函數解析式化為一角一函數形式，再結合三角函數的圖象與性質進行求解即可.【詳解】法一:由題，令，，因為，所以，，因為在上單調遞增，所以且，得．由，得，又且，所以，.故選:C.法二:由題，由，得，設的最小正周期為T，則由題意得，所以，從而，結合函數在上單調遞增，在上單調遞增，得，且，解得.故選:C.二、多選題9．（2023·吉林·模擬預測）已知函數，則（

）A．若函數的圖象關于直線對稱，則的值可能為3B．若關于x的方程在上恰有四個實根，則的取值范圍為C．若函數的圖象向右平移個單位長度，再向下平移B個單位長度，得到的函數為奇函數，則的最小值是1D．若函數在區(qū)間上單調，則【答案】BC【分析】根據函數的對稱軸代入得出判斷A，由根的個數可確定，據此判斷B，平移后由函數為奇函數可得，可判斷C，特殊值檢驗可判斷D.【詳解】對于A，因為函數的圖象關于直線對稱，所以，則，因為，則的值不可能為3，故A錯誤；對于B，當時，，若在上恰有四個實根，則，解得，故B正確；對于C，由已知得，因為函數為奇函數，所以，即，因為，所以的最小值是1，故C正確；對于D，當時，，因為，所以，所以函數在區(qū)間上不單調，故D錯誤．故選：BC．10．（23-24高三上·山東濱州·期末）已知函數，下列選項中正確的有（

）A．若的最小正周期，則B．當時，函數的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象C．若在區(qū)間上單調遞減，則的取值范圍是D．若在區(qū)間上只有一個零點，則的取值范圍是【答案】ACD【分析】利用最小正周期公式可得，可判斷A；利用三角函數圖象的平移可得，可判斷B；利用余弦函數的減區(qū)間列不等式組求的取值范圍，可判斷C；結合在區(qū)間上只有一個零點，列不等式組可求的取值范圍，可判斷D.【詳解】對于A：由的最小正周期可得，又，解得，故A正確；對于B：當時，，將其圖象向右平移個單位長度后，得的圖象，故B錯誤；對于C：由得，令，則在區(qū)間上單調遞減，于是，解得，即，故C正確；對于D：因為在區(qū)間上只有一個零點，所以在區(qū)間只有一個零點，于是，解得，即，故D正確.故選：ACD.11．（2023·安徽·模擬預測）已知函數，下列說法正確的是（

）A．函數的值域為B．若存在，使得對都有，則的最小值為C．若函數在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍為D．若函數在區(qū)間上恰有3個極值點和2個零點，則的取值范圍為【答案】ACD【分析】化簡的解析式，根據三角函數的值域、最值、周期、單調性、極值點等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】已知函數，可知其值域為，故選項A正確；若存在，使得對都有，所以的最小值為，故選項B錯誤；函數的單調遞增區(qū)間為，，所以，令，則的取值范圍為，故選項C正確；若函數在區(qū)間上恰有3個極值點和2個零點，，由如圖可得：，

的取值范圍為，故選項D正確；故選：ACD三、填空題12．（2023·山東·模擬預測）已知函數在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是．【答案】【分析】將變形，求出單調遞增區(qū)間，將包含于單調遞增區(qū)間列式即可.【詳解】解：，令，，所以，．即單調遞增區(qū)間為，，所以只需，，解得，，則，解得，又，所以，所以，即的取值范圍是．故答案為：.13．（2024·廣西賀州·一模）已知函數，且，將的圖象向右平移個單位長度后，與函數的圖象相鄰的三個交點依次為A，B，C，且，則的取值范圍是．【答案】【分析】求出函數的值域，由給定不等式求出，求出的圖象平移后的函數解析式，作出圖形，數形結合求解即得.【詳解】依題意，函數的值域為，的值域為，由，得，且，解得，，將的圖象向右平移個單位長度后，得，在同一坐標系內作出函數的圖象，觀察圖象知，，取中點，連接，由對稱性知，，由，得，即，，由，得，則，解得，于是，則，因此，解得，所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：解決兩個正余弦型函數圖象交點問題，利用誘導公式化成同名函數，作出對應圖象是解題的關鍵.14．（2024·浙江·模擬預測）設函數，若存在使成立，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據題意確定時，，結合正弦函數的圖象和性質找到當時，離最近且使得的x值，由此列出不等式，即可求得答案.【詳解】由于函數，當時，，根據正弦函數的性質可知當時，離最近且使得的x值為,故存在，使成立，需滿足，即的取值范圍為，故答案為：四、解答題15．（22-23高三上·安徽阜陽·期中）已知向量，，，函數．(1)若，求在上的單調遞減區(qū)間；(2)若關于的方程在上有3個解，求的取值范圍．【答案】(1)(2)．【分析】(1)化簡得，由正弦函數的性質可得函數的單調遞減區(qū)間為，進而可得在上的單調遞減區(qū)間；(2)由題意可得，從而可得，結合題意可得，求解即可.【詳解】（1）解：依題意，，當時，．令，得，當時，，故在上的單調遞減區(qū)間為；（2）解：依題意，，則或，則或．則，則，解得，即的取值范圍為．16．（2023·湖南長沙·模擬預測）在中，內角的對邊分別為，已知邊，且．(1)求面積的最大值；(2)設當的面積取最大值時的內角C為，已知函數在區(qū)間上恰有三個零點和兩個極值點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）法一：由正弦定理可得，推出頂點C的軌跡是以為焦點的橢圓，利用橢圓的幾何性質結合三角形面積可求得答案；法二：由正弦定理可得，利用余弦定理求得，進而求出，利用三角形面積公式結合基本不等式可求得答案；（2）由條件可確定，根據函數的零點個數以及極值點個數列出相應不等式可求得答案.【詳解】（1）法一：由題意知，由得：，即，則頂點C的軌跡是以為焦點的橢圓（除去長軸的兩個端點），當頂點C為橢圓的短軸的端點時的面積最大，此時，是等邊三角形，，所以．法二：由得：，，，所以，當且僅當時取等號，此時是等邊三角形，，的面積的最大值為.（2）由（1）有，當時，，函數在區(qū)間上恰有三個零點和兩個極值點，則，解得．17．（2023·江蘇鹽城·三模）已知函數的值域為.(1)求的單調遞增區(qū)間；(2)若在上恰有一個零點，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數的解析式，利用函數的值域可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，可得出函數的解析式，，利用正弦型函數的單調性可求得函數的遞增區(qū)間；（2）由（1）可得出的表達式，由，則，根據已知條件可得出關于的不等式，解之即可.【詳解】（1）解：，因為，且函數的值域為，則，解得，所以，，由可得，因此，函數的增區(qū)間為.（2）解：因為，由于，則，由可得，因為在上恰有一個零點，則，解得.因此，的取值范圍是.18．（23-24高三上·山東濟寧·階段練習）已知函數．(1)化簡函數；(2)已知常數，若函數在區(qū)間上是增函數，求的取值范圍【答案】(1)(2)．【分析】（1）由二倍角公式、誘導公式、平方關系化簡可得；（2）利用正弦函數性質求得函數的單調增區(qū)間，然后利用集合的包含關系得出不等關系后可得參數范圍．【詳解】（1）；（2）∵，由得：，∴的遞增區(qū)間為，∵在上是增函數，∴當時，，∴解得的取值范圍是19．（2023高三·全國·專題練習）已知函數.(1)若點是函數圖像的一個對稱中心，且，求函數在上的值域；(2)若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用整體代入法求，從而得到，進而利用正弦函數的性質，結合的取值范圍即可得解；（2）利用整體代入法求得的單調性，從而利用數軸法得到關于的不等式，結合正弦函數的周期性先確定的值，再得到的取值范圍，由此得解.【詳解】（1）由題意得:，，故函數在上的值域為.（2）令，解得，函數在上單調遞增，，即又，，所以的取值范圍為.【拓展沖刺練】一、單選題1．（2023·廣西·模擬預測）已知函數在區(qū)間上單調遞減，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先由周期大于等于單調區(qū)間的長度的2倍，求得的初步范圍，然后結合余弦函數的單調性進一步確定的范圍，得到答案.【詳解】由題意有，可得，又由，必有，可得.故選：A2．（2023·陜西商洛·模擬預測）若函數在區(qū)間上單調遞減，則正數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意知，可得的大致范圍，由此可得的取值范圍，再由的單調遞減區(qū)間列出不等式組，即可解出答案.【詳解】根據函數在區(qū)間上單調遞減，得，可得，又由，必有，可得.故選：A3．（2023·四川瀘州·一模）已知函數在上存在最值，且在上單調，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用整體法，結合三角函數圖像性質對進行最值分析，對區(qū)間上進行單調分析；【詳解】當時，因為，則，因為函數在上存在最值，則，解得，當時，，因為函數在上單調，則，所以其中，解得，所以，解得，又因為，則．當時，；當時，；當時，．又因為2，因此的取值范圍是．故選：C．【點睛】關鍵點睛：整體法分析是本題的突破點，結合三角函數圖像分析是本題的核心.4．（2023·河南·二模）已知函數，其中，若函數滿足以下條件：①函數在區(qū)間上是單調函數；②對任意恒成立；③經過點的任意直線與函數恒有交點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據題意得到函數的周期為，由②得到是函數的一條對稱軸，結合①可知，，再結合②和③即可求解.【詳解】由函數可知，函數的周期為，由條件②對任意恒成立，可知是函數的一條對稱軸，結合條件①函數在區(qū)間上是單調函數，則有，又，解得，即，又因為，故，解得，又，從而或.當時，；當時，，由②對任意恒成立，，則，由③經過點的任意直線與函數恒有交點，得，解得，易知，，，此時由，可得，從而，由或，得或，所以或，故選：A.【點睛】根據三角函數的單調性和對稱軸求參數，研究三角函數的性質基本思想將函數看成的形式，根據整體思想來研究相關性質.二、多選題5．（2022·山東聊城·一模）已知函數，則下列結論正確的是（

）A．若對于任意的，都有成立，則B．若對于任意的，都有成立，則C．當時，若在上單調遞增，則的取值范圍為D．當時，若對于任意的，函數在上至少有兩個零點，則的取值范圍為【答案】ACD【分析】由題可得恒成立，利用三角函數的性質可判斷A，利用函數的周期的含義可判斷B，利用正弦函數的單調性可判斷C，由題可得，進而可判斷D.【詳解】對于A，對于任意的，都有成立，所以恒成立，又，，∴，故A正確；對于B，由題可得是函數的周期，但不能推出函數的最小正周期為，故B錯誤；對于C，當時，當時，，則，，故，故C正確；對于D，當時，當時，，由在上至少有兩個零點，則，即，故D正確.故選：ACD.6．（2023·廣東湛江·一模）已知，函數