《定積分在幾何中的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)年級(jí)：高二教學(xué)版本：人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2授課時(shí)間：45分鐘一、教材分析定積分在幾何中的應(yīng)用是安排在學(xué)生學(xué)習(xí)了定積分的概念、定積分的計(jì)算、定積分的幾何意義之后，對(duì)定積分知識(shí)的總結(jié)和升華，通過用定積分解決一些簡單曲邊多邊形的面積問題，初步感受定積分在解決數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題中的作用，進(jìn)一步體會(huì)導(dǎo)數(shù)與定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系.二、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能會(huì)應(yīng)用定積分解決較復(fù)雜的求平面圖形面積的問題，加深對(duì)定積分幾何意義的理解，初步掌握應(yīng)用定積分解決實(shí)際問題的基本思想和方法.2.過程與方法結(jié)合具體問題通過數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，明確利用定積分求平面圖形面積的基本步驟.3.情感態(tài)度與價(jià)值觀由淺入深，由易到難，在解決問題的過程中體驗(yàn)定積分的價(jià)值，在合作交流與探究的過程中獲得成功的體驗(yàn).三、教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)應(yīng)用定積分求解平面圖形的面積，不規(guī)則圖形的分割，在解決問題的過程中體會(huì)定積分的價(jià)值.2.難點(diǎn)適當(dāng)?shù)胤指顖D形，恰當(dāng)?shù)剡x擇積分變量、確定積分區(qū)間和被積函數(shù).四、教學(xué)流程設(shè)計(jì)情境引入，激發(fā)興趣理解定義，知識(shí)遷移學(xué)以致用，鞏固提高課堂小結(jié)，反思升華五、教學(xué)情境設(shè)計(jì)師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖情境引入，激發(fā)興趣展示學(xué)校目前綠化建設(shè)中花壇的照片，提問：如果要在花壇中鋪設(shè)磚塊或種植某種植物，需要了解花壇的面積，那么要怎樣計(jì)算花壇的面積呢？理解定義，知識(shí)遷移【課前練習(xí)】詳見附錄“《定積分在幾何中的應(yīng)用》導(dǎo)學(xué)案”【教師活動(dòng)】展示學(xué)生完成導(dǎo)學(xué)案的探究成果，并做適當(dāng)點(diǎn)評(píng)，在此過程中，穿插復(fù)習(xí)定積分的概念、定積分的計(jì)算、定積分的幾何意義.例題.計(jì)算由曲線與及軸所圍平面圖形的面積S．【師生活動(dòng)】探究解法的過程：找到圖形----畫圖得到曲邊形（草圖：直線，兩點(diǎn)確定一條直線；拋物線：頂點(diǎn)和一組對(duì)稱點(diǎn)）；曲邊形面積解法----轉(zhuǎn)化為曲邊梯形，做出輔助線；定積分表示曲邊梯形面積----求交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分區(qū)間、被積函數(shù)；計(jì)算定積分.【教師活動(dòng)】展示同學(xué)們課前練習(xí)的成果，并做適當(dāng)點(diǎn)評(píng).說明以下兩點(diǎn)：此題為一題多解，解體的大方向分為選x做積分變量和選y做積分變量；遇到不規(guī)則曲邊多邊形，可以做輔助線，盡量將曲邊形轉(zhuǎn)化成我們熟悉的平面圖形，如三角形、矩形、梯形和曲邊梯形組合的圖形.【抽象歸納】由曲線所圍平面圖形面積的求解步驟：(1).畫出曲線的草圖．(2).借助圖形，確定被積函數(shù)；求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分上下限．(3).將曲邊形面積表示成若干個(gè)定積分的和或差.(4).計(jì)算定積分，求出面積．學(xué)以致用，鞏固提高【課堂練習(xí)】變式.計(jì)算由與所圍圖形的面積S.【學(xué)生活動(dòng)】類比例題進(jìn)行思考并試著解答.【教師活動(dòng)】提出問題：x為積分變量計(jì)算所圍圖形的面積比較麻煩，那換成y為積分變量呢？（若選x為積分變量，則需要把所求圖形的面積分為兩塊，即將分為兩個(gè)積分區(qū)間：和，并且求出當(dāng)和時(shí)的函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系用定積分求出在這兩個(gè)區(qū)間的面積之和，這個(gè)過程就比較復(fù)雜.對(duì)y積分比對(duì)x積分計(jì)算簡潔，但同時(shí)也要注意對(duì)y積分時(shí)，積分函數(shù)應(yīng)是.）強(qiáng)調(diào)面積是一個(gè)非負(fù)數(shù)，而定積分有正有負(fù).對(duì)面積而言，不管選用哪種積分變量去積分，面積是不會(huì)變的，即定積分計(jì)算的最終結(jié)果不會(huì)改變.練習(xí)(1).求由三條曲線，，y=1所圍圖形的面積S.練習(xí)(2).求由，，在第一象限內(nèi)所圍成圖形的面積S.【學(xué)生活動(dòng)】自主思考并獨(dú)立完成.【教師活動(dòng)】分享學(xué)生的練習(xí)成果，并作適當(dāng)點(diǎn)評(píng).練習(xí)(1)：對(duì)稱性的應(yīng)用和積分變量的選取都影響計(jì)算過程的繁簡程度；練習(xí)(2)：適當(dāng)?shù)姆指钍顷P(guān)鍵，求出曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，過交點(diǎn)作x軸的垂線，將圖形分割成兩部分，分別用定積分求解.課堂小結(jié)，反思升華(1).解由曲線所圍的平面圖形面積的解題步驟.（利用定積分計(jì)算平面圖形的面積時(shí)，一般情況下，被積函數(shù)要取絕對(duì)值，且積分下限小于積分上限.通常利用積分區(qū)間的可加性去掉絕對(duì)值.）(2).簡化定積分求面積的三種方法：巧選積分變量，巧用對(duì)稱，巧妙分割.(3).數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想.作業(yè)布置必做題：優(yōu)化設(shè)計(jì)P39/隨堂1-4，課后4-9.(1).已知函數(shù)，求其在點(diǎn)處的切線與函數(shù)圍成的圖形的面積.(2).求由曲線，直線及軸所圍成的圖形的面積.變式：已知由曲線與軸及直線圍成的圖形的面積為，求的值.選做題：(1).求定積分的值.(2).求定積分的值.激發(fā)求知欲和探索欲，為后面的學(xué)習(xí)做開啟性的鋪墊.復(fù)習(xí)定積分的幾何意義：一般情況下，定積分的幾何意義是介于x軸，函數(shù)的圖象以及直線x=a,x=b之間各部分面積的代數(shù)和，在x軸上方的面積取正號(hào)，在x軸下方的面積取負(fù)號(hào).鞏固作圖能力，通過數(shù)形結(jié)合，借助圖形的直觀性確定出被積函數(shù).完成了一般理論和具體問題的有機(jī)結(jié)合，凸顯了教學(xué)重點(diǎn).及時(shí)進(jìn)行抽象歸納，得到解題的一般方法.探索得到的解題過程通過實(shí)踐會(huì)有更深的體會(huì).再次強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想，鞏固利用定積分求由曲線所圍平面圖形面積的解題步驟.體會(huì)應(yīng)用定積分求平面圖形面積時(shí)，選擇恰當(dāng)?shù)姆e分變量有時(shí)可以簡化運(yùn)算.由函數(shù)的奇偶性得出函數(shù)圖象具有對(duì)稱性，巧用對(duì)稱性簡化解題.完成練習(xí)(2)時(shí)，適當(dāng)?shù)姆指钍顷P(guān)鍵，“先分后合”.在小結(jié)與反思中梳理知識(shí)，整合知識(shí).作業(yè)是探究活動(dòng)的一種延續(xù)，分層作業(yè)的設(shè)計(jì)能讓更多的學(xué)生有發(fā)揮的空間.六、板書設(shè)計(jì)1.7.1定積分在幾何中的應(yīng)用主板書和副板書相結(jié)合，更好地幫助學(xué)生梳理和總結(jié)知識(shí)點(diǎn).曲邊圖形的面積等于曲邊圖形上、下邊界所表示的函數(shù)的差的定積分.由曲線所圍平面圖形面積的求解步驟：(1).畫出曲線的草圖．(2).借助圖形，確定被積函數(shù)；求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分上下限．(3).將曲邊形面積表示成若干個(gè)定積分的和或差.(4).計(jì)算定積分，求出面積．簡化方法：巧選積分變量，巧用對(duì)稱，巧妙分割.數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想.變式和練習(xí)《定積分在幾何中的應(yīng)用》導(dǎo)學(xué)案1.用定積分表示下列各圖中陰影部分的面積.寫出你的發(fā)現(xiàn)：曲邊圖形的面積等于___________________________________________________.2.計(jì)算由