五年級(jí)奧數(shù)解方程專項(xiàng)訓(xùn)練題集一、引言方程是數(shù)學(xué)中的“橋梁工具”，它將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，通過求解未知數(shù)連接已知與未知。在五年級(jí)奧數(shù)中，方程的應(yīng)用貫穿和差倍、盈虧、行程、雞兔同籠等經(jīng)典題型，是提升邏輯思維與問題解決能力的核心模塊。本訓(xùn)練題集圍繞“一元一次方程”（五年級(jí)核心）與“簡(jiǎn)單二元思維”（奧數(shù)拓展）展開，從基礎(chǔ)解法到實(shí)際應(yīng)用，層層遞進(jìn)，注重技巧總結(jié)與易錯(cuò)點(diǎn)規(guī)避，幫助學(xué)生扎實(shí)掌握方程的本質(zhì)，提升解題效率。二、方程基礎(chǔ)：一元一次方程的解法（一）知識(shí)點(diǎn)梳理1.等式性質(zhì)：等式兩邊加/減同一個(gè)數(shù)，等式仍成立（如\(x+3=5\)，兩邊減3得\(x=2\)）；等式兩邊乘/除以同一個(gè)非零數(shù)，等式仍成立（如\(2x=6\)，兩邊除以2得\(x=3\)）。2.移項(xiàng)法則：把方程中的某一項(xiàng)從一邊移到另一邊，符號(hào)要改變（關(guān)鍵口訣：左移右，加變減；右移左，減變加）。3.基本形式：一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為\(ax+b=c\)（\(a\neq0\)），求解步驟：移項(xiàng)→合并同類項(xiàng)→系數(shù)化為1。（二）典型例題1.整數(shù)系數(shù)方程例1：解方程\(3x+5=14\)解：移項(xiàng)（5移到右邊，變減）：\(3x=14-5\)合并同類項(xiàng)：\(3x=9\)系數(shù)化為1（兩邊除以3）：\(x=3\)檢驗(yàn)：代入左邊\(3×3+5=14\)，等于右邊，解正確。2.小數(shù)系數(shù)方程例2：解方程\(0.6x-1.2=2.4\)解：移項(xiàng)（1.2移到右邊，變加）：\(0.6x=2.4+1.2\)合并同類項(xiàng)：\(0.6x=3.6\)系數(shù)化為1（兩邊除以0.6）：\(x=6\)3.分?jǐn)?shù)系數(shù)方程例3：解方程\(\frac{1}{3}x+2=5\)解：移項(xiàng)（2移到右邊，變減）：\(\frac{1}{3}x=5-2\)合并同類項(xiàng)：\(\frac{1}{3}x=3\)系數(shù)化為1（兩邊乘3）：\(x=9\)（三）基礎(chǔ)訓(xùn)練題（10題）1.\(4x+7=19\)2.\(5x-8=12\)3.\(0.3x+1.5=2.4\)4.\(0.7x-2.1=0\)5.\(\frac{1}{2}x+4=7\)6.\(\frac{1}{4}x-1=2\)7.\(2x+3=x+5\)（提示：移項(xiàng)時(shí)將含\(x\)的項(xiàng)移到左邊）8.\(3x-4=2x+1\)9.\(x+7=2x-3\)10.\(4x=3x+6\)三、稍復(fù)雜的一元一次方程（一）知識(shí)點(diǎn)梳理1.含括號(hào)的方程：用分配律去括號(hào)（括號(hào)前是“+”，括號(hào)內(nèi)不變號(hào)；括號(hào)前是“-”，括號(hào)內(nèi)全變號(hào)），如\(2(x+3)=2x+6\)，\(-3(x-2)=-3x+6\)。2.含分母的方程：兩邊乘分母的最小公倍數(shù)（LCM）去分母，注意不要漏乘常數(shù)項(xiàng)，如\(\frac{x}{2}+1=\frac{x}{3}\)，乘6得\(3x+6=2x\)。（二）典型例題1.含括號(hào)的方程例1：解方程\(3(x-2)+5=14\)解：去括號(hào)：\(3x-6+5=14\)（合并常數(shù)項(xiàng)：\(-6+5=-1\)）簡(jiǎn)化得：\(3x-1=14\)移項(xiàng)：\(3x=14+1=15\)系數(shù)化為1：\(x=5\)2.含分母的方程例2：解方程\(\frac{x+1}{2}=\frac{2x-1}{3}\)解：分母LCM是6，兩邊乘6：\(3(x+1)=2(2x-1)\)去括號(hào)：\(3x+3=4x-2\)移項(xiàng)（含\(x\)的項(xiàng)移到右邊，常數(shù)項(xiàng)移到左邊）：\(3+2=4x-3x\)合并得：\(5=x\)，即\(x=5\)3.多重括號(hào)（奧數(shù)拓展）例3：解方程\(2[3(x-1)+4]=14\)解：從內(nèi)到外去括號(hào)：先算小括號(hào)：\(2[3x-3+4]=14\)（合并常數(shù)項(xiàng)：\(-3+4=1\)）再算中括號(hào)：\(2(3x+1)=14\)去中括號(hào)：\(6x+2=14\)移項(xiàng)：\(6x=12\)系數(shù)化為1：\(x=2\)（三）提升訓(xùn)練題（8題）1.\(4(x+1)-3=13\)2.\(5(2x-3)+7=22\)3.\(2(3x+4)=5(x+3)\)（提示：兩邊都有括號(hào)，先去括號(hào)再移項(xiàng)）4.\(3(2x-1)-2(x+2)=7\)5.\(\frac{x-3}{4}=\frac{2x+1}{5}\)6.\(\frac{2x+5}{3}=x-1\)（提示：右邊\(x\)可以看作\(\frac{3x}{3}\)）7.\(2[\frac{x}{3}+1]=4\)（提示：先去中括號(hào)，或先算括號(hào)內(nèi)）8.\(3[2(x-1)-1]=9\)四、方程與實(shí)際問題：奧數(shù)常見題型（一）知識(shí)點(diǎn)梳理核心技巧：找等量關(guān)系（題目中不變的量）。常見方法：關(guān)鍵詞法（“和、差、倍、比……多/少”）；線段圖法（表示數(shù)量關(guān)系，如和倍、差倍）；表格法（整理已知條件，如行程問題中的“速度×?xí)r間=路程”）。（二）典型例題1.和倍問題例1：甲、乙兩數(shù)之和是36，甲數(shù)是乙數(shù)的2倍，求甲、乙兩數(shù)。解：設(shè)較小數(shù)（乙數(shù)）為\(x\)，則甲數(shù)為\(2x\)（根據(jù)“甲數(shù)是乙數(shù)的2倍”）。等量關(guān)系：甲數(shù)+乙數(shù)=36列方程：\(2x+x=36\)合并得：\(3x=36\)解得：\(x=12\)（乙數(shù)），甲數(shù)=\(2×12=24\)檢驗(yàn)：24+12=36，符合條件。2.盈虧問題例2：小朋友分糖果，每人分5顆，多10顆；每人分7顆，少8顆。問有多少個(gè)小朋友？多少顆糖果？解：設(shè)小朋友數(shù)量為\(x\)個(gè)。等量關(guān)系：糖果總數(shù)不變（兩種分法的糖果數(shù)相等）。列方程：\(5x+10=7x-8\)移項(xiàng)：\(10+8=7x-5x\)合并得：\(18=2x\)解得：\(x=9\)（小朋友數(shù)量）糖果數(shù)：\(5×9+10=55\)（顆）檢驗(yàn)：7×9-8=55，符合條件。3.行程問題（相遇）例3：甲、乙兩人從相距45千米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。甲每小時(shí)走5千米，乙每小時(shí)走4千米，幾小時(shí)后兩人相遇？解：設(shè)\(t\)小時(shí)后相遇。等量關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程=總路程。列方程：\(5t+4t=45\)合并得：\(9t=45\)解得：\(t=5\)（小時(shí)）檢驗(yàn)：5×5+4×5=25+20=45，符合條件。4.雞兔同籠問題例4：籠子里有雞和兔共15只，腳共有44只，求雞、兔各多少只？解：設(shè)雞有\(zhòng)(x\)只，則兔有\(zhòng)((15-x)\)只（總只數(shù)-雞的數(shù)量=兔的數(shù)量）。等量關(guān)系：雞腳數(shù)+兔腳數(shù)=總腳數(shù)（雞2只腳，兔4只腳）。列方程：\(2x+4(15-x)=44\)去括號(hào)：\(2x+60-4x=44\)合并得：\(-2x+60=44\)移項(xiàng)：\(-2x=44-60=-16\)系數(shù)化為1：\(x=8\)（雞的數(shù)量）兔的數(shù)量：\(15-8=7\)（只）檢驗(yàn)：2×8+4×7=16+28=44，符合條件。（三）拓展訓(xùn)練題（6題）1.和倍問題：果園里桃樹和梨樹共48棵，桃樹是梨樹的3倍，求桃樹、梨樹各多少棵？2.差倍問題：甲數(shù)比乙數(shù)大18，甲數(shù)是乙數(shù)的3倍，求甲、乙兩數(shù)？（提示：設(shè)乙數(shù)為\(x\)，甲數(shù)為\(3x\)，等量關(guān)系：\(3x-x=18\)）3.盈虧問題：學(xué)校分配宿舍，每間住3人，多16人；每間住5人，少4人。問有多少間宿舍？多少名學(xué)生？4.行程問題（追及）：甲每分鐘走60米，乙每分鐘走50米，乙先走10分鐘后，甲從同一地點(diǎn)出發(fā)追乙，幾分鐘能追上？（提示：追及路程=乙先走的路程，等量關(guān)系：甲走的路程=乙走的總路程）5.雞兔同籠：有頭20個(gè)，腳56只，雞、兔各多少只？6.年齡問題：今年爸爸的年齡是兒子的4倍，再過10年，爸爸的年齡是兒子的3倍，今年兒子多少歲？（提示：設(shè)兒子今年\(x\)歲，爸爸\(4x\)歲；10年后，兒子\(x+10\)歲，爸爸\(4x+10\)歲，等量關(guān)系：\(4x+10=3(x+10)\)）五、含兩個(gè)未知數(shù)的方程：初步接觸二元思維（一）知識(shí)點(diǎn)梳理五年級(jí)奧數(shù)中，若題目有兩個(gè)未知數(shù)，通常用一個(gè)字母表示另一個(gè)未知數(shù)（通過題目中的數(shù)量關(guān)系），轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解。例如：“甲比乙多5”，設(shè)乙為\(x\)，則甲為\(x+5\)；“甲是乙的\(\frac{1}{3}\)”，設(shè)乙為\(x\)，則甲為\(\frac{1}{3}x\)。（二）典型例題例1：甲、乙兩數(shù)之和是28，甲數(shù)比乙數(shù)多6，求甲、乙兩數(shù)。解：設(shè)乙數(shù)為\(x\)，則甲數(shù)為\(x+6\)（根據(jù)“甲數(shù)比乙數(shù)多6”）。等量關(guān)系：甲數(shù)+乙數(shù)=28列方程：\((x+6)+x=28\)合并得：\(2x+6=28\)移項(xiàng)：\(2x=22\)解得：\(x=11\)（乙數(shù)），甲數(shù)=\(11+6=17\)例2：買3支鋼筆和2支鉛筆共花20元，鋼筆的單價(jià)是鉛筆的4倍，求鋼筆和鉛筆的單價(jià)。解：設(shè)鉛筆單價(jià)為\(x\)元，則鋼筆單價(jià)為\(4x\)元（根據(jù)“鋼筆是鉛筆的4倍”）。等量關(guān)系：3支鋼筆總價(jià)+2支鉛筆總價(jià)=20元列方程：\(3×4x+2×x=20\)計(jì)算得：\(12x+2x=20\)合并得：\(14x=20\)解得：\(x=\frac{20}{14}=\frac{10}{7}\approx1.43\)（鉛筆單價(jià)，保留兩位小數(shù)）鋼筆單價(jià)：\(4×\frac{10}{7}=\frac{40}{7}\approx5.71\)（元）注：五年級(jí)學(xué)生若遇到分?jǐn)?shù)結(jié)果，可保留分?jǐn)?shù)形式（如\(\frac{10}{7}\)元），或根據(jù)題目要求取整數(shù)（如“單價(jià)為整數(shù)”則調(diào)整思路）。（三）綜合訓(xùn)練題（4題）1.甲、乙兩數(shù)之和是50，甲數(shù)比乙數(shù)少10，求甲、乙兩數(shù)。2.買2本筆記本和3支鋼筆共花30元，鋼筆的單價(jià)是筆記本的2倍，求筆記本和鋼筆的單價(jià)。3.長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是24厘米，長(zhǎng)比寬多2厘米，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。（提示：周長(zhǎng)=2×(長(zhǎng)+寬)，設(shè)寬為\(x\)，長(zhǎng)為\(x+2\)）4.學(xué)校買了籃球和足球共10個(gè)，籃球每個(gè)40元，足球每個(gè)30元，共花360元，求籃球和足球各買了多少個(gè)？（提示：設(shè)籃球買了\(x\)個(gè)，足球買了\(10-x\)個(gè)，等量關(guān)系：40x+30(10-x)=360）六、答案與解析（一）基礎(chǔ)訓(xùn)練題答案1.\(x=3\)（解析：\(4x=12\)）2.\(x=4\)（解析：\(5x=20\)）3.\(x=3\)（解析：\(0.3x=0.9\)）4.\(x=3\)（解析：\(0.7x=2.1\)）5.\(x=6\)（解析：\(\frac{1}{2}x=3\)）6.\(x=12\)（解析：\(\frac{1}{4}x=3\)）7.\(x=2\)（解析：\(2x-x=5-3\)）8.\(x=5\)（解析：\(3x-2x=1+4\)）9.\(x=10\)（解析：\(7+3=2x-x\)）10.\(x=6\)（解析：\(4x-3x=6\)）（二）提升訓(xùn)練題答案1.\(x=3\)（解析：\(4x+4-3=13\)→\(4x=12\)）2.\(x=2\)（解析：\(10x-15+7=22\)→\(10x=30\)）3.\(x=7\)（解析：\(6x+8=5x+15\)→\(x=7\)）4.\(x=3\)（解析：\(6x-3-2x-4=7\)→\(4x=14\)？不，正確步驟：\(3(2x-1)=6x-3\)，\(-2(x+2)=-2x-4\)，合并得\(6x-3-2x-4=7\)→\(4x-7=7\)→\(4x=14\)→\(x=3.5\)？哦，剛才算錯(cuò)了，正確答案是\(x=3.5\)（或\(\frac{7}{2}\)），注意去括號(hào)時(shí)的符號(hào)?。?.\(x=-19\)（解析：\(5(x-3)=4(2x+1)\)→\(5x-15=8x+4\)→\(-3x=19\)→\(x=-\frac{19}{3}\)？等一下，原題是\(\frac{x-3}{4}=\frac{2x+1}{5}\)，交叉相乘得\(5(x-3)=4(2x+1)\)→\(5x-15=8x+4\)→\(5x-8x=4+15\)→\(-3x=19\)→\(x=-\frac{19}{3}\)，對(duì)，五年級(jí)學(xué)生可能會(huì)遇到負(fù)數(shù)解，正常。）6.\(x=8\)（解析：\(2x+5=3(x-1)\)→\(2x+5=3x-3\)→\(x=8\)）7.\(x=3\)（解析：\(\frac{2x}{3}+2=4\)→\(\frac{2x}{3}=2\)→\(x=3\)）8.\(x=2\)（解析：\(3[2x-2-1]=9\)→\(3(2x-3)=9\)→\(2x-3=3\)→\(x=3\)？不，正確步驟：\(2(x-1)-1=2x-2-1=2x-3\)，乘以3得\(6x-9=9\)→\(6x=18\)→\(x=3\)，對(duì)，剛才的中括號(hào)步驟沒錯(cuò)，答案是\(x=3\)。）（三）拓展訓(xùn)練題答案（選講）1.和倍問題：梨樹12棵，桃樹36棵（解析：\(x+3x=48\)→\(x=12\)）2.差倍問題：乙數(shù)9，甲數(shù)27（解析：\(3x-x=18\)→\(x=9\)）3.盈虧問題：宿舍10間，學(xué)生46名（解析：\(3x+16=5x-4\)→\(2x=20\)→\(x=10\)，學(xué)生=3×10+16=46）4.追及問題：50分鐘（解析：乙先走10分鐘的路程=50×10=500米，甲每分鐘比乙多走10米，追及時(shí)間=500÷10=50分鐘；方程：\(60t=50(t+10)\)→\(60t=50t+500\)→\(t=50\)）5.雞兔同籠：雞12只，兔8只（解析：\(2x+4(20-x)=56\)→\(2x+80-4x=56\)→\(-2x=-24\)→\(x=12\)）6.年齡問題：兒子10歲（解析：\(4x+10=3(x+10)\)→\(4x+10=3x+30\)→\(x=20\)？不，等一下，\(4x+10=3(x+10)\)→\(4x+10=3x+30\)→\(4x-3x=30-10\)→\(x=20\)？哦，對(duì)，兒子今年20歲？不對(duì)，等一下，再過10年，爸爸是\(4x+10\)，兒子是\(x+10\)，爸爸是兒子的3倍，所以\(4x+10=3(x+10)\)→\(4x+10=3x+30\