§2.12函數(shù)模型的應(yīng)用01數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異.2.理解“指數(shù)爆炸”“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”等術(shù)語(yǔ)的含義.3.能選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用.課標(biāo)要求第一部分落實(shí)主干知識(shí)第二部分探究核心題型01內(nèi)容索引02課時(shí)精練目錄落實(shí)主干知識(shí)02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題

函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xα(α>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與

平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與

平行隨α值的變化而各有不同y軸x軸1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0)2.常見(jiàn)的函數(shù)模型1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大.(

)(2)A公司員工甲購(gòu)買了某公司的股票，第一天漲了10%，第二天跌了10%，則員工甲不賺不賠.(

)(3)已知a>1，在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax的增長(zhǎng)速度會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xa和y＝logax的增長(zhǎng)速度.(

)(4)在選擇函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型.(

)××√×

√

x0.240.5112.023.988.02y－2.0－1.001.02.03.0

√3.在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，某同學(xué)運(yùn)用圖形計(jì)算器采集到如下一組數(shù)據(jù)：作出散點(diǎn)圖如圖所示，由散點(diǎn)圖可知，散點(diǎn)圖和對(duì)數(shù)函數(shù)圖象接近，可選擇y＝a＋logbx反映x，y函數(shù)關(guān)系.4.我國(guó)的煙花名目繁多，其中“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂.如果煙花距地面的高度h(單位：米)與時(shí)間t(單位：秒)之間的關(guān)系為h(t)＝－5t2＋15t＋20，那么煙花沖出后在爆裂的最佳時(shí)刻距地面高度約為A.26米

B.28米

C.31米

D.33米√

1.理解三個(gè)術(shù)語(yǔ)：“直線上升”是勻速增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)量固定不變；“指數(shù)增長(zhǎng)”先慢后快，其增長(zhǎng)量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來(lái)形容；“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”先快后慢，其增長(zhǎng)速度緩慢.2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見(jiàn)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.解題時(shí)，易忽視實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問(wèn)題的合理性.返回微點(diǎn)提醒探究核心題型03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題例1設(shè)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，對(duì)這三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度進(jìn)行比較，下列結(jié)論正確的是A.f(x)的增長(zhǎng)速度最快，h(x)的增長(zhǎng)速度最慢B.g(x)的增長(zhǎng)速度最快，h(x)的增長(zhǎng)速度最慢C.g(x)的增長(zhǎng)速度最快，f(x)的增長(zhǎng)速度最慢D.f(x)的增長(zhǎng)速度最快，g(x)的增長(zhǎng)速度最慢√題型一命題點(diǎn)1函數(shù)的增長(zhǎng)差異用函數(shù)圖象刻畫變化過(guò)程當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，函數(shù)g(x)＝2x增長(zhǎng)速度最快，h(x)＝log2x增長(zhǎng)速度最慢.所以選項(xiàng)B正確.畫出函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象，可得三個(gè)函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x中，例2

(多選)血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度.藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時(shí)，該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示：根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人服用該藥物的說(shuō)法中，正確的是A.首次服用1單位該藥物，約10分鐘后藥物

發(fā)揮治療作用B.每次服用1單位該藥物，兩次服藥間隔小于2小時(shí)時(shí)，一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒C.首次服用1單位該藥物，約5.5小時(shí)后第二次服用1單位該藥物，可使藥物持續(xù)

發(fā)揮治療作用D.首次服用1單位該藥物，3小時(shí)后再次服用1單位該藥物，不會(huì)發(fā)生藥物中毒√√√命題點(diǎn)2用函數(shù)圖象刻畫變化過(guò)程從圖象中可以看出，首次服用1單位該藥物，約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用，A正確；根據(jù)圖象可知，首次服用1單位該藥物，約1小時(shí)后血藥濃度達(dá)到最大值，由圖象可知，當(dāng)兩次服藥間隔小于2小時(shí)時(shí)，一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒，B正確；服藥5.5小時(shí)時(shí)，血藥濃度等于最低有效濃度，此時(shí)再服藥，血藥濃度增加，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用，C正確；首次服用1單位該藥物4小時(shí)后與再次服用1單位該藥物1小時(shí)后，血藥濃度之和大于最低中毒濃度，因此一定會(huì)發(fā)生藥物中毒，D錯(cuò)誤.判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇函數(shù)圖象.(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案.思維升華跟蹤訓(xùn)練1為了能在規(guī)定時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)期的運(yùn)輸量Q0，某運(yùn)輸公司提出了四種運(yùn)輸方案，每種方案的運(yùn)輸量Q與時(shí)間t的關(guān)系如圖(四個(gè)選項(xiàng))所示，其中運(yùn)輸效率(單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸量)逐步提高的選項(xiàng)是由題意，運(yùn)輸效率逐步提高，即函數(shù)增長(zhǎng)速率逐漸加快，選項(xiàng)B滿足.√例3

(1)2024年1月5日，第40屆中國(guó)·哈爾濱國(guó)際冰雪節(jié)在哈爾濱冰雪大世界園區(qū)開(kāi)幕，現(xiàn)場(chǎng)流光溢彩，游客如潮，充滿熱情與活力.該園區(qū)為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，配備了先進(jìn)的污水、雨水過(guò)濾系統(tǒng).已知過(guò)濾過(guò)程中廢水的污染物數(shù)量N(mg/L)與時(shí)間t(小時(shí))的關(guān)系為N＝N0e－kt(N0為最初污染物數(shù)量).如果前2個(gè)小時(shí)消除了20%的污染物，那么前6個(gè)小時(shí)消除了污染物的A.51.2% B.48.8%

C.52% D.48%題型二√已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題

√

已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)行檢驗(yàn).思維升華跟蹤訓(xùn)練2冬季是流感高發(fā)期，其中甲型流感病毒傳染性非常強(qiáng).基本再生數(shù)R0與世代間隔T是流行病學(xué)基本參考數(shù)據(jù).某市疾控中心數(shù)據(jù)庫(kù)統(tǒng)計(jì)分析，可以用函數(shù)模型W(t)＝2rt來(lái)描述累計(jì)感染甲型流感病毒的人數(shù)W(t)隨時(shí)間t(t∈Z，單位：天)的變化規(guī)律，其中指數(shù)增長(zhǎng)率r與基本再生數(shù)R0和世代間隔T之間的關(guān)系近似滿足R0＝1＋rT，根據(jù)已有數(shù)據(jù)估計(jì)出當(dāng)R0＝4時(shí)，T＝12.據(jù)此回答，累計(jì)感染甲型流感病毒的人數(shù)增加至W(0)的3倍至少需要(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477)A.6天

B.7天

C.8天

D.9天√

例4汽車智能輔助駕駛已開(kāi)始得到應(yīng)用，其自動(dòng)剎車的工作原理是用雷達(dá)測(cè)出車輛與前方障礙物之間的距離，當(dāng)此距離等于報(bào)警距離時(shí)就開(kāi)啟報(bào)警提醒，等于危險(xiǎn)距離時(shí)就自動(dòng)剎車.某種算法將報(bào)警時(shí)間分為4段(如圖所示)，分別為準(zhǔn)備時(shí)間t0、人的反應(yīng)時(shí)間t1、系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間t2、制動(dòng)時(shí)間t3，相應(yīng)的距離分別為d0，d1，d2，d3，當(dāng)車速為v(單位：m/s)，且0≤v≤33.3時(shí)，通過(guò)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到下表(其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路面情況而變化，且0.5≤k≤0.9).題型三階段準(zhǔn)備人的反應(yīng)系統(tǒng)反應(yīng)制動(dòng)時(shí)間t0t1＝0.8st2＝0.2st3距離d0＝30md1d2構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題(1)請(qǐng)寫出報(bào)警距離d(單位：m)與車速v(單位：m/s)之間的表達(dá)式；

階段準(zhǔn)備人的反應(yīng)系統(tǒng)反應(yīng)制動(dòng)時(shí)間t0t1＝0.8st2＝0.2st3距離d0＝30md1d2(2)若要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報(bào)警距離均小于90m，則汽車的行駛速度應(yīng)限制在多少以下？階段準(zhǔn)備人的反應(yīng)系統(tǒng)反應(yīng)制動(dòng)時(shí)間t0t1＝0.8st2＝0.2st3距離d0＝30md1d2

所以0<v<20.綜上，0≤v<20.所以汽車的行駛速度應(yīng)限制在20m/s以下.構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟(1)建模：抽象出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.(2)推理、演算：對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到問(wèn)題在數(shù)學(xué)意義上的解.(3)評(píng)價(jià)、解釋：對(duì)求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評(píng)價(jià)、解釋，然后返回到原來(lái)的實(shí)際問(wèn)題中去，得到實(shí)際問(wèn)題的解.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

“打水漂”是一種游戲，通過(guò)一定方式投擲石片，使石片在水面上實(shí)現(xiàn)多次彈跳，彈跳次數(shù)越多越好.小趙同學(xué)在玩“打水漂”游戲時(shí)，將一石片按一定方式投擲出去，石片第一次接觸水面時(shí)的速度為20m/s，然后石片在水面上繼續(xù)進(jìn)行多次彈跳.不考慮其他因素，假設(shè)石片每一次接觸水面時(shí)的速度均為上一次的85%，若石片接觸水面時(shí)的速度低于6m/s，石片就不再?gòu)椞?，沉入水底，則小趙同學(xué)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3，lg3≈0.48，lg17≈1.23)A.6 B.7

C.8

D.9√

返回課時(shí)精練04單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題答案123456789101112題號(hào)12345678答案DCDBBDACD112019題號(hào)1112答案ACD8400對(duì)一對(duì)答案123456789101112

9.答案123456789101112

9.答案123456789101112

10.答案123456789101112

10.

√123456789101112知識(shí)過(guò)關(guān)答案123456789101112答案

123456789101112答案2.一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及對(duì)應(yīng)散點(diǎn)圖如圖所示，則體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系的最佳函數(shù)模型是x10202941505870y123.87.4111521.8A.y＝Alogax＋p B.y＝A·ax＋pC.y＝ax2＋bx＋c D.y＝kx＋b√123456789101112答案由散點(diǎn)圖中各點(diǎn)的變化趨勢(shì)：非線性、且在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，對(duì)于Δxi＝xi＋1－xi，Δyi＝y(tǒng)i＋1－yi，i∈{1，2，3，4，5，6}，由題意可得

x1020294150580.10.20.30.40.50.573.(2024·西安模擬)某病毒檢測(cè)分析是用熒光定量PCR法，通過(guò)化學(xué)物質(zhì)的熒光信號(hào)，對(duì)在PCR擴(kuò)增進(jìn)程中成指數(shù)級(jí)增加的靶標(biāo)DNA實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，在PCR擴(kuò)增的指數(shù)時(shí)期，熒光信號(hào)強(qiáng)度達(dá)到閥初始數(shù)值時(shí)，DNA的數(shù)量Xn與擴(kuò)增次數(shù)n滿足lgXn＝nlg(1＋p)＋lgX0，其中X0為DNA的初始數(shù)量，p為擴(kuò)增效率.已知某被測(cè)標(biāo)本DNA擴(kuò)增16次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉?lái)的10000倍，則擴(kuò)增效率p約為(參考數(shù)據(jù)：100.25≈1.778，10－0.25≈0.562)A.22.2% B.43.8% C.56.2% D.77.8%√123456789101112答案123456789101112

答案

√123456789101112答案123456789101112

答案二、多項(xiàng)選擇題5.已知函數(shù)y1＝x2，y2＝2x，y3＝x，則下列關(guān)于這三個(gè)函數(shù)的描述中，正確的是A.在[0，＋∞)上，隨著x的逐漸增大，y1的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快于y2B.在[0，＋∞)上，隨著x的逐漸增大，y2的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快于y1C.當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，y1的增長(zhǎng)速度一直快于y3D.當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，y1的增長(zhǎng)速度有時(shí)快于y2√123456789101112答案√123456789101112答案在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y1＝x2，y2＝2x，y3＝x的圖象，如圖所示.對(duì)于A，B，在[0，＋∞)上，隨著x的逐漸增大，y2的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快于y1，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，y1的增長(zhǎng)速度不是一直快于y3的，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，y1的增長(zhǎng)速度有時(shí)快于y2，故D正確.

√123456789101112答案√√123456789101112

答案三、填空題7.某建材商場(chǎng)國(guó)慶期間搞促銷活動(dòng)，規(guī)定：如果顧客選購(gòu)物品的總金額不超過(guò)600元，則不享受任何折扣優(yōu)惠；如果顧客選購(gòu)物品的總金額超過(guò)600元，則超過(guò)600元的部分享受一定的折扣優(yōu)惠，折扣優(yōu)惠按下表累計(jì)計(jì)算.123456789101112答案可以享受折扣優(yōu)惠金額折扣優(yōu)惠率不超過(guò)500元的部分5%超過(guò)500元的部分10%某人在此商場(chǎng)購(gòu)物獲得的折扣優(yōu)惠金額為30元，則他實(shí)際所付金額為

元.1120123456789101112答案設(shè)顧客選購(gòu)物品的總金額為x元，獲得的折扣優(yōu)惠金額為y元，則當(dāng)x＝1100時(shí)，y＝(1100－600)×5%＝25<30，所以x>1100，y＝500×0.05＋(x－1100)×0.1＝25＋0.1x－110＝0.1x－85＝30，解得x＝1150，所以他實(shí)際所付金額為1150－30＝1120(元).可以享受折扣優(yōu)惠金額折扣優(yōu)惠率不超過(guò)500元的部分5%超過(guò)500元的部分10%8.已知某物種t年后的種群數(shù)量y近似滿足函數(shù)模型y＝k0·e1.4e－0.125t(k0>0，當(dāng)t＝0時(shí)表示2023年年初的種群數(shù)量).自2023年年初起，經(jīng)過(guò)n年后(n∈N*)，當(dāng)該物種的種群數(shù)量不足2023年年初的10%時(shí)，n的最小值為

.(參考數(shù)據(jù)：ln10≈2.3)

123456789101112答案19123456789101112

答案

123456789101112答案123456789101112答案

123456789101112答案