北師大版高中數(shù)學(xué)必修四教聽(tīng)評(píng)課記錄：第一章§7第1課時(shí)正切函數(shù)的定義正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)版含答案一.基本信息

聽(tīng)課日期為2023年10月26日，聽(tīng)課時(shí)間為上午第二節(jié)課，授課教師姓名為張明，學(xué)科/課程名稱為高中數(shù)學(xué)，班級(jí)/年級(jí)為高一（5）班，教學(xué)主題或章節(jié)為北師大版高中數(shù)學(xué)必修四第一章§7第1課時(shí)，正切函數(shù)的定義、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)。聽(tīng)課人姓名為王華，聽(tīng)課人職務(wù)為高中數(shù)學(xué)教研組長(zhǎng)，聽(tīng)課目的為教學(xué)研究，通過(guò)觀摩課堂教學(xué)，探討新課程理念下的教學(xué)方法與學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)策略，重點(diǎn)關(guān)注正切函數(shù)定義的理解以及圖象性質(zhì)的探究過(guò)程。

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備

教師的教學(xué)計(jì)劃清晰，圍繞正切函數(shù)的定義、圖象繪制和性質(zhì)分析展開(kāi)，教學(xué)目標(biāo)明確，包括理解正切函數(shù)的周期性、奇偶性以及單調(diào)性。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，教材內(nèi)容與多媒體課件相結(jié)合，教材中提供了正切函數(shù)定義的幾何推導(dǎo)過(guò)程，多媒體課件則動(dòng)態(tài)展示了正切函數(shù)圖象的繪制過(guò)程，并利用動(dòng)畫(huà)效果突出函數(shù)的周期性和單調(diào)區(qū)間。教具方面，教師準(zhǔn)備了直角三角形模型，用于輔助講解正切值的幾何意義，但未實(shí)際使用，可能由于課堂時(shí)間限制。

2.教學(xué)過(guò)程

開(kāi)始階段，教師通過(guò)復(fù)習(xí)誘導(dǎo)公式引入正切函數(shù)的定義，以“單位圓上角的終邊位置與正切值的關(guān)系”為切入點(diǎn)，通過(guò)提問(wèn)“當(dāng)角α的終邊在第一象限時(shí)，正切值如何表示？”引發(fā)學(xué)生思考，導(dǎo)入效果較好，約3分鐘完成。展開(kāi)階段，教師采用講授與討論相結(jié)合的方式，首先講解正切函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠kπ+π/2，k∈Z}，并利用多媒體動(dòng)態(tài)演示正切值的幾何意義，隨后組織學(xué)生分組討論正切函數(shù)的周期性，部分小組提出“正切函數(shù)的周期是否為π”的疑問(wèn)，教師通過(guò)反例（如tan(π/2)不存在）引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論。在圖象繪制環(huán)節(jié)，教師利用幾何畫(huà)板軟件逐步繪制正切函數(shù)圖象，并引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象的對(duì)稱性和周期性，但對(duì)學(xué)生提出“為什么正切函數(shù)圖象在x=π/2處存在間斷點(diǎn)”的追問(wèn)未做深入解釋，僅以“定義域限制”一帶而過(guò)。結(jié)束階段，教師通過(guò)板書(shū)總結(jié)正切函數(shù)的性質(zhì)，并布置作業(yè)，包括繪制正切函數(shù)圖象、探究正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，時(shí)間分配合理，約5分鐘總結(jié)，3分鐘布置作業(yè)。

3.師生互動(dòng)

師生交流頻率較高，教師通過(guò)提問(wèn)和追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生思考，如“正切函數(shù)的圖象是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱？”、“如何確定正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？”等，學(xué)生參與度較高，約60%的學(xué)生能積極回答問(wèn)題，但部分學(xué)生回答較為機(jī)械，缺乏深度思考。教師對(duì)學(xué)生的回答給予及時(shí)反饋，如對(duì)錯(cuò)誤回答進(jìn)行糾正，對(duì)正確回答給予肯定，但互動(dòng)過(guò)程中，教師更傾向于獨(dú)立講解，小組討論時(shí)間較短，未能充分體現(xiàn)合作學(xué)習(xí)的優(yōu)勢(shì)。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)

學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性較高，尤其在多媒體演示環(huán)節(jié)，學(xué)生注意力集中，對(duì)正切函數(shù)的圖象變化表現(xiàn)出興趣，但部分學(xué)生在推導(dǎo)正切函數(shù)性質(zhì)時(shí)出現(xiàn)困惑，如對(duì)“正切函數(shù)的奇偶性如何通過(guò)定義域判斷”的理解不足。學(xué)生之間的合作學(xué)習(xí)情況一般，小組討論時(shí)多數(shù)學(xué)生依賴組長(zhǎng)發(fā)言，個(gè)別學(xué)生未參與討論，課堂巡視發(fā)現(xiàn)約20%的學(xué)生在繪制圖象時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，如忽略定義域的間斷點(diǎn)。

5.課堂管理

課堂紀(jì)律良好，學(xué)生能夠遵守課堂規(guī)則，教師通過(guò)語(yǔ)言提示和眼神交流維持課堂秩序，時(shí)間分配合理，各環(huán)節(jié)過(guò)渡自然，但課堂節(jié)奏略顯緊湊，尤其在圖象繪制環(huán)節(jié)，教師為完成教學(xué)任務(wù)加快了講解速度，導(dǎo)致部分學(xué)生未能充分理解圖象的繪制方法。

6.教學(xué)技術(shù)使用

教師有效利用了現(xiàn)代教育技術(shù)和工具，如幾何畫(huà)板軟件動(dòng)態(tài)展示正切函數(shù)圖象，提高了學(xué)生的直觀感受，但技術(shù)使用存在局限性，如對(duì)正切函數(shù)性質(zhì)的深入探究（如單調(diào)區(qū)間的推導(dǎo)）仍依賴傳統(tǒng)板書(shū)，未能結(jié)合技術(shù)工具進(jìn)行可視化分析，技術(shù)對(duì)教學(xué)效果的支持作用未完全發(fā)揮。

三.教學(xué)效果評(píng)價(jià)

1.目標(biāo)達(dá)成

教學(xué)目標(biāo)明確且適切，符合高一學(xué)生的認(rèn)知水平。預(yù)期目標(biāo)包括：理解正切函數(shù)的定義及其幾何意義；掌握正切函數(shù)的圖象繪制方法；認(rèn)識(shí)正切函數(shù)的主要性質(zhì)（周期性、奇偶性、單調(diào)性）并能夠初步應(yīng)用。從課堂觀察和作業(yè)反饋來(lái)看，大部分學(xué)生達(dá)到了前兩個(gè)目標(biāo)，能夠描述正切函數(shù)的定義，并說(shuō)出其定義域、周期等基本特征。然而，對(duì)于正切函數(shù)性質(zhì)的深入理解和應(yīng)用，達(dá)成度相對(duì)較低。特別是在探究正切函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，部分學(xué)生僅能機(jī)械記憶“在每個(gè)開(kāi)區(qū)間（kπ-π/2,kπ+π/2）上單調(diào)遞增”，而未能結(jié)合定義或圖象進(jìn)行解釋。這表明教學(xué)目標(biāo)中對(duì)“理解”和“應(yīng)用”的深度要求有待進(jìn)一步明確和強(qiáng)化。例如，在講解奇偶性時(shí)，教師雖然通過(guò)圖象演示了對(duì)稱性，但未引導(dǎo)學(xué)生嚴(yán)格根據(jù)奇函數(shù)定義（f(-x)=-f(x)）進(jìn)行驗(yàn)證，導(dǎo)致部分學(xué)生對(duì)該性質(zhì)的掌握停留在感性層面。此外，教學(xué)目標(biāo)的層次性體現(xiàn)不足，對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，未能提供更具挑戰(zhàn)性的任務(wù)，如探究正切函數(shù)與其他三角函數(shù)圖象的關(guān)系，或結(jié)合實(shí)際案例（如斜率問(wèn)題）應(yīng)用正切函數(shù)性質(zhì)，導(dǎo)致課堂目標(biāo)的區(qū)分度不夠。

2.知識(shí)掌握

學(xué)生對(duì)正切函數(shù)定義的掌握較為扎實(shí)，教師通過(guò)單位圓模型和動(dòng)態(tài)演示，使學(xué)生對(duì)正切值的幾何意義（對(duì)邊比鄰邊）有了直觀認(rèn)識(shí)，課堂提問(wèn)顯示約75%的學(xué)生能夠正確回答“當(dāng)角α終邊在第一象限時(shí)，tanα=對(duì)邊/鄰邊”。但在定義域的理解上存在偏差，部分學(xué)生錯(cuò)誤地將定義域描述為“所有實(shí)數(shù)”，未能準(zhǔn)確識(shí)別“kπ+π/2”的形式化表達(dá)。正切函數(shù)圖象的繪制方法掌握程度參差不齊，教師利用幾何畫(huà)板分步演示，但部分學(xué)生仍存在遺漏關(guān)鍵點(diǎn)（如間斷點(diǎn)）或連線不連續(xù)的問(wèn)題。這反映出技能訓(xùn)練的實(shí)踐環(huán)節(jié)不足，課堂時(shí)間主要用于概念講解，學(xué)生動(dòng)手繪制圖象的機(jī)會(huì)有限。對(duì)于正切函數(shù)性質(zhì)的掌握，周期性認(rèn)知較好，約80%的學(xué)生能夠正確寫(xiě)出正切函數(shù)的周期“π”，但奇偶性的判斷錯(cuò)誤率較高，部分學(xué)生誤認(rèn)為正切函數(shù)是偶函數(shù)，原因在于教師僅通過(guò)圖象對(duì)稱性進(jìn)行直觀說(shuō)明，而未結(jié)合f(-α)=-tanα進(jìn)行邏輯推導(dǎo)。單調(diào)性的掌握最為薄弱，盡管教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象上升下降趨勢(shì)，但僅有約40%的學(xué)生能夠準(zhǔn)確描述單調(diào)區(qū)間（kπ-π/2,kπ+π/2），且多數(shù)學(xué)生無(wú)法解釋為何在間斷點(diǎn)處函數(shù)不單調(diào)。技能的掌握主要體現(xiàn)在記憶層面，如背誦性質(zhì)內(nèi)容，但應(yīng)用能力較弱，例如在判斷“tan(π/4)”與“tan(π/4+π)”大小關(guān)系時(shí)，部分學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為兩者相等，未能運(yùn)用單調(diào)性進(jìn)行判斷。這表明教學(xué)過(guò)程中，知識(shí)點(diǎn)的深度挖掘和技能的遷移訓(xùn)練不足，學(xué)生未能將理論知識(shí)轉(zhuǎn)化為實(shí)際解決問(wèn)題的能力。

3.情感態(tài)度價(jià)值觀

課堂教學(xué)在一定程度上促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展。通過(guò)多媒體動(dòng)態(tài)演示和師生互動(dòng)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，約70%的學(xué)生在課堂中表現(xiàn)出積極探索的態(tài)度，尤其在圖象繪制和性質(zhì)探究環(huán)節(jié)，學(xué)生能夠主動(dòng)提出問(wèn)題，如“為什么正切函數(shù)圖象是無(wú)限重復(fù)的？”、“tan(π/2)不存在的原因是什么？”。教師對(duì)學(xué)生的積極反饋給予了肯定，營(yíng)造了較為寬松的學(xué)習(xí)氛圍，有助于培養(yǎng)學(xué)生的自信心。然而，情感態(tài)度的培育存在局限性，部分學(xué)生在遇到困難時(shí)表現(xiàn)出焦慮情緒，如在推導(dǎo)單調(diào)性時(shí)，面對(duì)邏輯推理的挑戰(zhàn)，部分學(xué)生選擇放棄思考，依賴同伴或教師給出答案。這反映出教師對(duì)學(xué)生情感變化的關(guān)注不足，未能提供有效的心理支持。合作學(xué)習(xí)的價(jià)值體現(xiàn)不充分，小組討論時(shí)存在“優(yōu)生主導(dǎo)”現(xiàn)象，部分學(xué)困生未能獲得充分的表達(dá)機(jī)會(huì)，可能導(dǎo)致學(xué)習(xí)積極性下降。價(jià)值觀方面，教師雖未明確強(qiáng)調(diào)，但通過(guò)正切函數(shù)在斜率、振動(dòng)等實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用鋪墊，間接培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，但未能進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)學(xué)的抽象美和邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性，導(dǎo)致部分學(xué)生認(rèn)為三角函數(shù)僅是孤立的知識(shí)點(diǎn)，缺乏整體數(shù)學(xué)觀的構(gòu)建。此外，課堂評(píng)價(jià)方式單一，主要依賴教師的主觀判斷，未能采用多元評(píng)價(jià)手段（如學(xué)生自評(píng)、互評(píng)），限制了學(xué)生自我反思能力的培養(yǎng)?？傮w而言，課堂教學(xué)在激發(fā)興趣和培養(yǎng)自信方面有一定成效，但在情感支持、合作精神和數(shù)學(xué)價(jià)值觀的引導(dǎo)上仍有提升空間。

四、總結(jié)與建議

1.總體評(píng)價(jià)

本節(jié)課整體印象較好，教師能夠圍繞正切函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)展開(kāi)教學(xué)，教學(xué)流程較為清晰，體現(xiàn)了新課程理念下對(duì)概念形成過(guò)程和學(xué)生思維參與的關(guān)注。最突出的優(yōu)點(diǎn)在于教學(xué)資源的準(zhǔn)備較為充分，特別是多媒體課件的運(yùn)用，通過(guò)動(dòng)態(tài)演示正切函數(shù)的定義幾何意義、圖象繪制過(guò)程以及性質(zhì)（周期性、奇偶性）的直觀呈現(xiàn)，有效降低了抽象概念的理解難度，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例如，利用幾何畫(huà)板展示單位圓上正切值的變化，以及圖象的周期性重復(fù)，使得數(shù)學(xué)概念變得生動(dòng)形象，符合高一學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。此外，教師的教學(xué)語(yǔ)言較為規(guī)范，對(duì)關(guān)鍵概念的表述準(zhǔn)確，如正切函數(shù)定義域的表述、周期性“T=π”的強(qiáng)調(diào)，體現(xiàn)了教師扎實(shí)的專業(yè)功底。課堂氛圍較為活躍，教師通過(guò)提問(wèn)、追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生思考，部分學(xué)生能夠積極參與討論，展現(xiàn)了較好的師生互動(dòng)效果?？傮w而言，本節(jié)課在概念教學(xué)和直觀演示方面表現(xiàn)出色，為理解正切函數(shù)這一抽象內(nèi)容奠定了較好的基礎(chǔ)。

2.改進(jìn)建議

針對(duì)存在的問(wèn)題，提出以下具體改進(jìn)措施以進(jìn)一步提升教學(xué)質(zhì)量：

（1）深化概念理解，加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系。當(dāng)前教學(xué)中，學(xué)生對(duì)正切函數(shù)定義的理解較為表面，未能深入到其與余弦、正弦函數(shù)的關(guān)系上。建議在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，可以設(shè)置“已知cosα和sinα的值，如何確定tanα的值？”的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從三角函數(shù)基本關(guān)系式出發(fā)推導(dǎo)正切函數(shù)的定義，強(qiáng)化概念的生成過(guò)程。在性質(zhì)探究環(huán)節(jié)，可以加強(qiáng)正切函數(shù)與余切函數(shù)（cotα=tan(α-π/2)）的對(duì)比教學(xué)，通過(guò)圖象的左右平移關(guān)系，幫助學(xué)生理解周期性和奇偶性的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。例如，在講解奇偶性時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生利用誘導(dǎo)公式f(-α)=-tanα進(jìn)行邏輯驗(yàn)證，而非僅依賴圖象觀察，通過(guò)邏輯推理加深對(duì)性質(zhì)本質(zhì)的理解。

（2）優(yōu)化教學(xué)方法，增加學(xué)生實(shí)踐環(huán)節(jié)。當(dāng)前教學(xué)中，教師講授占比過(guò)高，學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐機(jī)會(huì)不足，特別是在圖象繪制和性質(zhì)應(yīng)用方面。建議增加小組合作探究的比重，如將學(xué)生分成小組，分別負(fù)責(zé)繪制正切函數(shù)圖象的不同部分（如一個(gè)周期），并標(biāo)注關(guān)鍵點(diǎn)和性質(zhì)，隨后進(jìn)行組間展示和互評(píng)，通過(guò)合作學(xué)習(xí)提升學(xué)生的參與度和責(zé)任感。在技能訓(xùn)練方面，可以設(shè)計(jì)分層作業(yè)，基礎(chǔ)層要求學(xué)生能夠準(zhǔn)確繪制圖象并描述性質(zhì)，提高層要求學(xué)生能夠運(yùn)用性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題（如判斷單調(diào)性、求值），挑戰(zhàn)層則可以引導(dǎo)學(xué)生探究正切函數(shù)圖象變換（如伸縮、平移）后的性質(zhì)變化，滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。此外，在單調(diào)性教學(xué)中，可以引入幾何直觀與代數(shù)推理相結(jié)合的方法，如結(jié)合單位圓中角的旋轉(zhuǎn)方向與正切值變化的關(guān)系進(jìn)行直觀分析，再通過(guò)具體例子（如tan(π/6)與tan(π/3)）進(jìn)行驗(yàn)證，提升學(xué)生的思維深度。

（3）關(guān)注情感態(tài)度，實(shí)施多元評(píng)價(jià)。當(dāng)前課堂中，部分學(xué)生在面對(duì)挑戰(zhàn)時(shí)表現(xiàn)出焦慮，且評(píng)價(jià)方式單一。建議教師在教學(xué)過(guò)程中增加鼓勵(lì)性語(yǔ)言，對(duì)學(xué)生的每一次嘗試給予積極反饋，特別是對(duì)學(xué)困生的微小進(jìn)步要予以肯定，幫助他們建立自信心?？梢砸雽W(xué)生自評(píng)和互評(píng)機(jī)制，如在小組討論后，要求學(xué)生匿名填寫(xiě)對(duì)自身和同伴貢獻(xiàn)的評(píng)價(jià)，教師根據(jù)評(píng)價(jià)結(jié)果進(jìn)行針對(duì)性指導(dǎo)。此外，可以設(shè)計(jì)情感態(tài)度評(píng)價(jià)量表，從“課堂參與度”、“問(wèn)題提出次數(shù)”、“合作積極性”等方面記錄學(xué)生表現(xiàn)，作為學(xué)期評(píng)價(jià)的參考，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)，注重學(xué)習(xí)習(xí)慣和態(tài)度的培養(yǎng)。例如，在探究單調(diào)性時(shí)，對(duì)于提出“tan(π/2)為何不存在”的學(xué)生，教師可以給予額外加分或口頭表?yè)P(yáng)，強(qiáng)化探究精神。

（4）合理利用技術(shù)，提升工具輔助效果。當(dāng)前多媒體技術(shù)的使用較為停留在“展示”層面，未能充分發(fā)揮其交互性和探究性。建議在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，考慮利用技術(shù)工具支持學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。例如，在探究正切函數(shù)圖象時(shí)，可以利用幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)測(cè)量功能，實(shí)時(shí)顯示角度α變化時(shí)tanα的值，以及圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，幫助學(xué)生直觀理解定義域間斷點(diǎn)的由來(lái)。在性質(zhì)探究中，可以設(shè)計(jì)交互式問(wèn)題，如“拖動(dòng)圖象上的點(diǎn)，觀察正切值的變化規(guī)律”，或“調(diào)整周期參數(shù)，觀察圖象變化”，讓學(xué)生通過(guò)操作發(fā)現(xiàn)規(guī)律，而非被動(dòng)接受結(jié)論。同時(shí)，教師應(yīng)提升自身的技術(shù)應(yīng)用能力，學(xué)會(huì)利用技術(shù)工具進(jìn)行差異化教學(xué)和個(gè)性化反饋，如通過(guò)在線平臺(tái)發(fā)布針對(duì)性練習(xí)，實(shí)時(shí)監(jiān)控學(xué)生練習(xí)情況，及時(shí)提供幫助。

3.后續(xù)跟蹤

建議進(jìn)行后續(xù)聽(tīng)課跟進(jìn)，以評(píng)估改進(jìn)措施的實(shí)施效果。計(jì)劃采取以下支持措施幫助教師成長(zhǎng)：

（1）安排二次聽(tīng)課，重點(diǎn)觀察改進(jìn)措施的落實(shí)情況。第二次聽(tīng)課可以聚焦于教師如何通過(guò)增加學(xué)生實(shí)踐環(huán)節(jié)（如小組合作探究、分層作業(yè)設(shè)計(jì)）提升課堂參與度和知識(shí)掌握度，以及如何運(yùn)用多元評(píng)價(jià)方式促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。聽(tīng)課結(jié)束后，進(jìn)行深入評(píng)課，針對(duì)改進(jìn)效果進(jìn)行具體分析，如學(xué)生討論的深度、作業(yè)設(shè)計(jì)的層次性、評(píng)價(jià)方式的科學(xué)性等，并提供針對(duì)性的反饋意見(jiàn)。

（2）組織專題研討，深化對(duì)正切函數(shù)教學(xué)的認(rèn)知?？梢試@“三角函數(shù)概念教學(xué)中的直觀與抽象”、“數(shù)學(xué)性質(zhì)探究的教學(xué)設(shè)計(jì)”等主題，開(kāi)展集體備課或教學(xué)沙龍，分享優(yōu)秀教學(xué)案例，探討教學(xué)難點(diǎn)。例如，可以邀請(qǐng)經(jīng)驗(yàn)豐富的教師分享如何通過(guò)幾何直觀幫助學(xué)生理解抽象的三角函數(shù)定義，或邀請(qǐng)教研員進(jìn)行專題講座，介紹三角函數(shù)教學(xué)的研究進(jìn)展和前沿理念，提升教師的理論素養(yǎng)。

（3）提供專業(yè)指導(dǎo)，助力教師教學(xué)技能提升。針對(duì)教師在技術(shù)應(yīng)用、課堂管理等方面存在的不足，可以安排專家或骨干教師