計(jì)數(shù)原理原理與概率統(tǒng)計(jì)解答題

—與數(shù)列相結(jié)合的概率綜合問題

1.為有效防控新冠疫情從境外輸入，中國(guó)民航局根據(jù)相關(guān)法律宣布從2020年6月8bl

起實(shí)施航班熔斷機(jī)制，即航空公司同一航線航班，入境后核酸檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的旅客人

數(shù)達(dá)到一定數(shù)量的民航局對(duì)其發(fā)出“熔斷”指令，暫停該公司該航線的運(yùn)行(達(dá)到5個(gè)暫

停運(yùn)行1周，達(dá)到1。個(gè)暫停運(yùn)行4周)，并規(guī)定“熔斷期”的航班最不得調(diào)整用于其他航

線，“熔斷期”結(jié)束后，航空公司方可恢復(fù)每周1班航班計(jì)劃.已知某國(guó)際航空公司4航

線計(jì)劃每周有一次航班入境，該航線第一次航班被熔斷的概率是：，且被熔斷的一次航

班的下?次航班也被熔斷的概率是：，未被熔斷的?次航班的下?次航班也未被熔斷的

概率是*.一條航線處干“熔斷期”的原計(jì)劃航班不記入該航線的航班次數(shù).記該航空公

司A航線的第〃次航班被熔斷的概率為匕.

(1)求I

3]

(2)證明：匕-三為等比數(shù)列；

⑶求數(shù)列｛與｝的前〃項(xiàng)和Tn，并說明的實(shí)際意義.

2.足球運(yùn)動(dòng)被譽(yù)為“世界第一運(yùn)動(dòng)深受青少年的喜愛.

(I)為推廣足球運(yùn)動(dòng)，某學(xué)校成立了足球社團(tuán)，由于報(bào)名人數(shù)較多，需對(duì)報(bào)名者進(jìn)行

“點(diǎn)球測(cè)試”來決定是否錄取，規(guī)則如下：踢點(diǎn)球一次，若踢進(jìn)，則被錄?。蝗魶]踢進(jìn)，

則繼續(xù)踢，直到踢進(jìn)為止，但是每人最多踢點(diǎn)球3次.

下表是某同學(xué)6次的訓(xùn)域數(shù)據(jù)，以這150個(gè)點(diǎn)球中的進(jìn)球頻率代表其單次點(diǎn)球踢進(jìn)的概

率.為加入足球社團(tuán)，該同學(xué)進(jìn)行了“點(diǎn)球測(cè)試”，每次點(diǎn)球是否踢進(jìn)相互獨(dú)立，他在測(cè)

試中所踢的點(diǎn)球次數(shù)記為久求4的分布列及數(shù)學(xué)期望;

點(diǎn)球額203030252025

進(jìn)球數(shù)101720161314

（II）社團(tuán)中的甲、乙、丙三名成員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，從甲開始隨機(jī)地將球傳給其他兩

人中的任意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，

且假定每次傳球都能被接到.記開始傳球的人為第1次觸球者，第〃次觸球者是甲的概

率記為乙，即4=1.

（/）求，A（直接寫H結(jié)果即可）；

（萬）證明：數(shù)列《2-泉為等比數(shù)列，并判斷第19次還是第20次觸球者是甲的概率

大.

3.袋中有大小形狀均柞同的I白球、2黑球，現(xiàn)進(jìn)行摸球游戲，約定摸出白球得2分，

摸出黑球得I分.

（I）現(xiàn)約定有放回地摸球4次，得分為X,求變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（II）當(dāng)游戲得分為〃5WN*）時(shí)，游戲停止，記得〃分的概率為Q〃，^/=|.

（i）求Q：

（ii）若Tn=Qn+]-Qn,求數(shù)列｛。?｝的通項(xiàng)公式.

4.為迎接2020年國(guó)慶節(jié)的到來，某電視臺(tái)舉辦愛國(guó)知識(shí)問答競(jìng)賽，每個(gè)人隨機(jī)抽取五

個(gè)問題依次回答，回答每個(gè)問題相互獨(dú)立.若答對(duì)一題可以上升兩個(gè)等級(jí)，回答錯(cuò)誤可

以上升一個(gè)等級(jí)，最后看哪位選手的等級(jí)高即可獲勝.甲答對(duì)每個(gè)問題的概率為g,答錯(cuò)

的概率為

（1）若甲回答完5個(gè)問題后，甲上的臺(tái)階等級(jí)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;

（2）若甲在回答過程中出現(xiàn)在第i（iN2）個(gè)等級(jí)的概率為4,證明：｛4-匕）為等比數(shù)

列.

5.某種玩具啟動(dòng)后，該玩具上的LED燈會(huì)亮起紅燈或綠燈（紅燈和綠燈不會(huì)同時(shí)亮起），

第1次亮燈時(shí)，亮起紅燈的概率為4,亮起綠燈的概率為1-q.若第〃次亮起的是紅燈，

則第〃+1次亮起紅燈的概率為：，亮起綠燈的概率為:；若第〃次亮起的是綠燈，則第

2I

〃+1次亮起紅燈的概率為亮起綠燈的概率為,.記第〃次亮燈時(shí)，亮起紅燈的概率為

P,、，neN..該玩具啟動(dòng)前可輸入P、,玩具啟動(dòng)后，當(dāng)黑v乙且第〃次亮起紅燈時(shí)，

2。/12

該玩具會(huì)唱一首歌曲.否則不唱歌.

（1）若輸入［=g，記該玩具啟動(dòng)后，前3次亮燈中亮起紅燈的次數(shù)為X,求X的分

布列和期望；

（2）若輸入＜=:，

（i）求數(shù)列化｝的通項(xiàng)公式；

（ii）該玩具啟動(dòng)后，在前20次亮燈中，該玩具最多唱幾次歌？

6.202（）年春天隨著疫情的有效控制，高三學(xué)生開始返校復(fù)課學(xué)習(xí).為了減少學(xué)生就餐時(shí)

的聚集排隊(duì)時(shí)間，學(xué)校食堂從復(fù)課之日起，每天中午都會(huì)提供A、8兩種套餐（每人每

次只能選擇其中一種），經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇A類套餐的概率為:、選

擇6類套餐的概率為:.而前一天選擇了A類套餐第二天選擇A類套餐的概率為:、選

34

擇3套餐的概率為前一天選擇8類套餐第二天選擇A類套餐的概率為;、選擇8類

42

套餐的概率也是如此往復(fù).記某同學(xué)第〃天選擇A類套餐的概率為匕.

（1）證明數(shù)列｛乙-1｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列仍）的通項(xiàng)公式；

（2）記高三某宿舍的3名同學(xué)在復(fù)課第二天選擇A類套餐的人數(shù)為X,求X的分布列

并求E（X）；

（3）為了貫徹五育并舉的教育方針，培養(yǎng)學(xué)生的勞動(dòng)意識(shí)，一個(gè)月后學(xué)校組織學(xué)生利

用課余時(shí)間參加志愿者服務(wù)活動(dòng)，其中有2（）位學(xué)生負(fù)責(zé)為全體同學(xué)分發(fā)套餐.如果你

是組長(zhǎng)，如何安排分發(fā)A、8套餐的同學(xué)的人數(shù)呢，說明理由.

7.某商場(chǎng)擬在周年店慶進(jìn)行促銷活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券”的

活動(dòng)，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（形狀為正方體，六個(gè)直的

點(diǎn)數(shù)分別為1.2,3.4,5.6）,若向卜點(diǎn)數(shù)不超過4點(diǎn).獲得1分,否則獲得2分.

進(jìn)行若干輪游戲，若累計(jì)得分為9分，則游戲結(jié)束，可得到200元禮券，若累計(jì)得分為10

分，則游戲結(jié)束，可得到紀(jì)念品一份，最多進(jìn)行10輪游戲.

（1）當(dāng)進(jìn)行完3輪游戲時(shí)，總分為X,求X的數(shù)學(xué)期望；

（2）若累計(jì)得分為i的概率為化，（初始分?jǐn)?shù)為。分，記P0=l）.

（/）證明數(shù)列仍一幾｝。=1,2,……,9）是等比數(shù)列；

（/7）求活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率.

8.為了避免就餐聚集和減少排隊(duì)時(shí)間，某校開學(xué)后，食堂從開學(xué)第一天起，每餐只推

出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞?已知某同學(xué)每天中午會(huì)在食堂提供的兩種套餐中選

擇，已知他第一天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，而前一天選擇了米飯?zhí)撞秃笠惶炖^續(xù)選擇

米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，前一天選擇面食套餐后一天繼續(xù)選擇面食套餐的概率為:，如此

42

往復(fù).

（1）求該同學(xué)第二天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕?

（2）記該同學(xué)第八天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿樨?

（i）證明：為等比數(shù)列；

（ii）證明：當(dāng)〃22時(shí)，匕41.

9.有一對(duì)夫妻打算購(gòu)房,對(duì)本城市30個(gè)樓盤的均價(jià)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下頻數(shù)分布表:

均價(jià)X（單位：千元）[4,5)[5,6)[6,7)17&他9)[9,10]

頻數(shù)22111041

（1）若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，月樣本平均數(shù)；作為〃的近似值，

用樣本標(biāo)準(zhǔn)差5作為。的估計(jì)值，現(xiàn)任取一個(gè)樓盤的均價(jià)X,假定X?NJ。?），求均

價(jià)恰在8.12千元到9.24千元之間的概率；

（2）經(jīng)過一番比較，這對(duì)夫妻選定了一個(gè)自己滿意的樓盤，恰巧該樓盤推出了趣味蹦

臺(tái)階送優(yōu)惠活動(dòng)，由兩個(gè)客戶配合完成該活動(dòng)，在個(gè)口袋中有大小材質(zhì)均相同的紅球

40個(gè)，黑球20個(gè)，客戶甲可隨機(jī)從口袋中取出一個(gè)球，取后放回，若取出的是紅球，

則客戶乙向上蹦兩個(gè)臺(tái)階，若取出的是黑球，則客戶乙向上蹦一個(gè)臺(tái)階，直到客戶乙蹦

上第5個(gè)臺(tái)階（每平方米優(yōu)惠0.3千元）或第6個(gè)臺(tái)階（每平方米優(yōu)惠3千元）時(shí)（活

動(dòng)開始時(shí)的位置記為第。個(gè)臺(tái)階），游戲結(jié)束.

①設(shè)客戶乙站到第〃（O0?6,〃eN）個(gè)臺(tái)階的概率為小證明：當(dāng)1。工5時(shí)，數(shù)列

化-%｝是等比數(shù)列；

②若不參加蹦臺(tái)階活動(dòng).則直接每平方米優(yōu)惠1.4千元，為了獲得更大的優(yōu)惠幅度，請(qǐng)

問該對(duì)夫妻是否應(yīng)參與崩臺(tái)階活動(dòng).

參考數(shù)據(jù):取而=1.12,住)=0.13.若X~N3b2),則v"〃+b)”0.68,

P(〃一2<T<J+卜0.95,P("-3crW+3cr)=0.997.

10.某情報(bào)站有A、B、C.D、E.五種互不相同的密碼，每周使用其中的一種密碼，

且每周都是從上周末使用的四種密碼中等可能地隨機(jī)選用一種.設(shè)第一周使用A密瑪,

&表示第攵周使用A密碼的概率.

⑴求

(2)求證：｛6-：｝為等比數(shù)列，并求凡的表達(dá)式.

11.近年來，新能源汽車產(chǎn)業(yè)大規(guī)模發(fā)展，某汽車產(chǎn)品自生產(chǎn)并投入市場(chǎng)以來，受到多

位消費(fèi)者質(zhì)疑其電池產(chǎn)品質(zhì)量，汽車廠家提供甲、乙兩家第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)

量檢測(cè)，邀請(qǐng)多位車主進(jìn)行選擇，每位車主只能挑選一家.若選擇甲機(jī)構(gòu)記1分，若選

擇乙機(jī)構(gòu)記2分，每位車主選擇兩個(gè)機(jī)構(gòu)的概率相等，且相互獨(dú)立.

⑴若參加的車主有3人，記總得分為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

⑵對(duì)所有車主選擇的結(jié)果進(jìn)行調(diào)查，記總得分恰好為〃分的概率為七,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)

公式；

⑶在⑵的條件下，汽車廠商決定總得分為99分或100分時(shí)就停止計(jì)分，若總得為99

分就選甲機(jī)構(gòu)，總得分為100分就選乙機(jī)構(gòu)，請(qǐng)分析這種方案是否合理.

12.某景點(diǎn)上山共有999級(jí)臺(tái)階，寓意長(zhǎng)長(zhǎng)久久.甲上臺(tái)階時(shí)，可以一步上一個(gè)臺(tái)階，

也可以一步上兩個(gè)臺(tái)階,若甲每步上一個(gè)臺(tái)階的概率為孑I，每步上兩個(gè)臺(tái)階的概率為2:，

為了簡(jiǎn)便描述問題，我們約定，甲從0級(jí)臺(tái)階開始向上走，一步走一個(gè)臺(tái)階記1分，一

步走兩個(gè)臺(tái)階記2分，記甲登上第〃個(gè)臺(tái)階的概率為巴，其中〃wN"且，區(qū)998.

(1)若甲走3步時(shí)所得分?jǐn)?shù)為X,求X的概率分布；

(2)證明:數(shù)列｛&「瑁是等比數(shù)列;

⑶求甲在登山過程中，恰好登上第99級(jí)臺(tái)階的概率.

13.為有效防控新冠疫帝從境外輸入，中國(guó)民航局根據(jù)相關(guān)法律宣布從2020年6月8

日起實(shí)施航班熔斷機(jī)制，即航空公司同?航線航班，入境后核酸檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的旅客

人數(shù)達(dá)到一定數(shù)量的民航局對(duì)其發(fā)出“熔斷”指令，暫停該公司該航線的運(yùn)行(達(dá)到5個(gè)

暫停運(yùn)行I周.達(dá)到10個(gè)暫停運(yùn)行4周).并規(guī)定“熔新期”的航班量不得調(diào)整用干其他

航線，“熔斷期'’結(jié)束后，航空公司方可恢復(fù)每周1班航班計(jì)劃.已知某國(guó)際航空公司A

航線計(jì)劃每周有一次航班入境，該航線第一次航班被熔斷的概率是且被熔斷的一次

航班的下一次航班也被熔斷的概率是g，未被熔斷的一次航班的下一次航班也未被熔斷

的概率是|?一條航線處于“熔斷期”的原計(jì)劃航班不記入該航線的航班次數(shù)，記該航空公

司A航線的第〃次航班被熔斷的概率為P”.

⑴求P2；

21

(2)證明:卜-什為等比數(shù)列；

⑶求數(shù)列｛〃,,｝的前〃項(xiàng)和】，并說明Tn的實(shí)際意義.

14.籃球誕生美國(guó)馬薩諸塞州的春田學(xué)院.1891年，春田學(xué)院的體育教師加拿大人詹

姆斯奈史密斯博士(JamesNaismith)為了對(duì)付冬季寒冷的氣溫，讓學(xué)生們能夠在室內(nèi)

有限的空間里繼續(xù)進(jìn)行有趣的傳球訓(xùn)練.現(xiàn)有甲、乙、丙3名同學(xué)在某次傳球的訓(xùn)練中，

球從甲開始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳

向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第〃次傳球之前

球在甲手里的概率為P”，第〃次傳球之前球在乙手里的概率為小?，顯然〃尸1,q尸0.

⑴求〃3+2幻的值；

（2）比較P8,小的大小.

15.某幾位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)創(chuàng)辦了一個(gè)服務(wù)公司提供A、8兩種民生消費(fèi)產(chǎn)品（人們購(gòu)

買時(shí)每次只買其中?種）服務(wù)，他們經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：第?次購(gòu)買產(chǎn)品的人購(gòu)買A的

概率為:2、購(gòu)買8的概率為I而前一次購(gòu)買A產(chǎn)品的人下一次來購(gòu)買A產(chǎn)品的概率為

［、購(gòu)買“產(chǎn)品的概率為前一次購(gòu)買/?產(chǎn)品的人下一次來購(gòu)買A產(chǎn)品的概率為:、

442

購(gòu)買9產(chǎn)品的概率也是如此往復(fù).記某人第〃次來購(gòu)買A產(chǎn)品的概率為匕.

（1）求乙，并證明數(shù)列｛勺-：｝是等比數(shù)列；

（2）記第二次來公司購(gòu)買產(chǎn)品的3個(gè)人中有X個(gè)人購(gòu)買A產(chǎn)品，求X的分布列并求

（3）經(jīng)過一?段時(shí)間的經(jīng)營(yíng)每天來購(gòu)買產(chǎn)品的人穩(wěn)定在800人，假定這800人都己購(gòu)買

過很多次該兩款產(chǎn)品，那么公司每天應(yīng)至少準(zhǔn)備A、B產(chǎn)品各多少份.（直接寫結(jié)論、不

必說明理由）.

16.為落實(shí)《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時(shí)代學(xué)校體育工作的意見》，完善學(xué)校體育“健康知

識(shí)+基本運(yùn)動(dòng)技能+專項(xiàng)運(yùn)動(dòng)技能”教學(xué)模式，建立“校內(nèi)競(jìng)賽一校級(jí)聯(lián)賽一選拔性競(jìng)賽

一國(guó)際交流比賽''為一體的競(jìng)賽體系，構(gòu)建校、縣（區(qū)）、地（市）、省、國(guó)家五級(jí)學(xué)校

體育競(jìng)賽制度.某校開展“陽(yáng)光體育節(jié)”活動(dòng)，其中傳統(tǒng)項(xiàng)目“定點(diǎn)踢足球”深受同學(xué)們喜

愛.其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行足球定點(diǎn)踢球比賽（每人各踢一次為一輪），在相同的條

件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人命中，命中者

得1分，未命中者得T分；兩人都命中或都未命中，兩人均得。分，設(shè)甲每次踢球命中

的概率為乙每次踢球命中的概率為:，且各次踢球互不影響.

（1）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為X,求X的數(shù)學(xué)期望；

（2）若經(jīng)過〃輪踢球，用化表示經(jīng)過第i輪踢球累計(jì)得分后甲得分高于乙得分的概率.

①求Pi，Pi,〃3；

②規(guī)定Po=0,且有Pi=Apj+i+8pi，請(qǐng)根據(jù)①中四，%，的值求出A、B,并求

出數(shù)列｛〃.｝的通項(xiàng)公式.

17.某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是不是陽(yáng)性，現(xiàn)有〃份血液樣本，

有以下兩種檢驗(yàn)方式：

方式一：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)〃次.

方式二：混合檢驗(yàn)，將其中/"（且〃?22）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).若

檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這，"份血液樣本全為陰性，因而這〃“分血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了；

若檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這加份血液樣本究竟哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這加份血液樣

本再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這出份血液樣本的檢驗(yàn)次數(shù)總共為〃?+1.

假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的，且每

份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為〃（Ov〃vl）.現(xiàn)取其中MkeN*且k之2）份血液樣本，記采

用逐份檢驗(yàn)方式，需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為。，采用混合檢驗(yàn)方式，需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為統(tǒng).

（1）若石（。）=后低），試求〃關(guān)于攵的函數(shù)關(guān)系式〃=/（9；

（2）若〃與干擾素計(jì)量互相關(guān)，其中補(bǔ)修,…,土（〃？2）是不同的正整數(shù)，且％=1,

V〃N*（心2）都有/?￡；￡=專工成立.

，口七%+1占-%

①求證：數(shù)列｛%｝是等比數(shù)歹U；

,1

②當(dāng)〃時(shí).，采用混合檢驗(yàn)方式可以使樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比采用逐

=1-N7a=

份檢驗(yàn)方式的檢驗(yàn)總次數(shù)的期望值更少，求攵的最大值.

參考數(shù)據(jù)：In4kl.3863,ln5?1.6094.

18.一種擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、L、第100站，共

101站，設(shè)棋子跳到第〃站的概率為耳，一枚棋子開始在第。站，棋手每擲一次骰子，棋

子向前跳動(dòng)一次.若擲出奇數(shù)點(diǎn)，棋子向前跳一站；若擲出偶數(shù)點(diǎn)，棋子向前跳兩拈,

直到棋子跳到第99站（獲勝）或第100站（失敗）時(shí)，游戲結(jié)束（骰子是用一種均勻材

料做成的立方體形狀的游戲玩具，它的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)I、2、3、4、5、6）.

⑴求玲、P、、P2,并根據(jù)棋子跳到第〃站的情況，試用匕_2和Ei表示2：

（2）求證:優(yōu)-匕?,99）為等比數(shù)列；

⑶求玩該游戲獲勝的概率.

19.某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)行了單次最大

續(xù)航里程的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖:

頻率

組距

0.009

0.004

0.002

0.001

（1）估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一-組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)

值代表）；

（2）經(jīng)計(jì)算第（1）問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差S的近似值為50,根據(jù)大量的測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這

款汽車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布N",吟（用樣本平均數(shù)天和標(biāo)準(zhǔn)

差$分別作為從。的近似值），現(xiàn)任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程X4250,400]

的概率；

（參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量XnJq）,則尸（〃一向狄//+0-）?0.6827,

。（〃―2成人〃+2cr）k0.9545,P（〃一3成人//+3<T）?0.9973）

（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng),

客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果,操捽微型遙捽車在方格圖卜（方格圖卜依次標(biāo)有數(shù)字0」

、2、3.....20）移動(dòng)，若遙控車最終停在“勝利大本營(yíng)”（第19格），則可獲得購(gòu)車優(yōu)惠

券3萬元；若遙控車最終停在“微笑大本營(yíng)”（第20格），則沒有任何優(yōu)優(yōu)惠券.已知硬幣

出現(xiàn)正、反面的概率都是g,遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移

動(dòng)一次：若擲出正面，遙控車向前移動(dòng)一格（從攵到人+1）;若擲出反面，遙控車向前

移動(dòng)兩格（從上至心+2）,直到遙控車移到“勝利大本管'或“微笑大本營(yíng)”時(shí)，游戲結(jié)束.

設(shè)遙控車移到第〃（1都？19）格的概率為匕，試證明優(yōu)-2"是等比數(shù)列，并求參與游

戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券全額的期望值（精確到01力元）.

20.2022年2月6日，中國(guó)女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國(guó)女足，

成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國(guó)女足通過點(diǎn)球大戰(zhàn)6:5驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝日本女

足，其中門將朱桂兩度撲出口本隊(duì)員的點(diǎn)球，表現(xiàn)神勇.

（I）撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右

三個(gè)方向射門，門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來?yè)潼c(diǎn)球，而且

門將即使方向判斷正確也有；的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在?次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，

求門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；

(2)好成績(jī)的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙、丁4名女足隊(duì)員在某次傳接球的

訓(xùn)練中，球從中腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等

可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第

〃次傳球之前球在甲腳下的概率為P”，易知巧==0.

①試證明｛凡為等比數(shù)列；

②設(shè)第〃次傳球之前球在乙腳下的概率為點(diǎn)，比較樂與心的大小.

參考答案:

1.(1)-

9

(2)證明見解析

⑶7；=%-[)；實(shí)際意義見解析

525o

【分析】(1)分第1次航班被熔斷和不被熔斷計(jì)算即可;

(2)先列出遞推關(guān)系式，再構(gòu)造等比數(shù)列證明；

(3)按照等比數(shù)列求和公式及常數(shù)列求和計(jì)算即可.

(1)

解：由題意得鳥=:><1+:><：=9

JJ。4y

(2)

又上建二屋上工。,

'53515

所以匕-工3]是以-42為首項(xiàng)，1:為公比的等比數(shù)列;

、“156

(3)

由(2)知，「1=-2乂4廣、所以2二_±XG)I+1

51561565

從而(

由于匕可以理解為第〃次航班平均被熔斷的次數(shù)，所以工,表示前〃次航班一共被熔斷的次數(shù).

2.(I)分布列見解析，E(^)=L56；(II)(/)6=0.6=:；(")證明見解析，第19

次觸球者是甲的概率大.

【解析】（I）求出這150個(gè)點(diǎn)球中的進(jìn)球頻率為0.6,從而該同學(xué)踢一次點(diǎn)球命中的概率為

P=0.6,4的可能取值為1,2,3,分別求出相應(yīng)概率，由此能求出七解）.

（II）（/）由題意g=（）,A=g；

（ii）第〃次觸球者是甲的概率為Pn,當(dāng)?>2時(shí)，第〃-1次觸球者是甲的概率為/〃5第n

-1次觸球者不是甲的概率為1-Pn.lt推導(dǎo)出匕一：=一；（比由此能證明｛e一：｝是

以9:為首項(xiàng)，公比為一a|的等比數(shù)歹U.

10+17+20+16+13+14

【詳解】（I）這150個(gè)點(diǎn)球中的進(jìn)球頻率為=0.6,則該同學(xué)踢一

15()

次點(diǎn)球命中的概率〃=。.6,

由題意，4可能取I，2,3,則P(J=l)=0.6,P(^=2j=0.4x0.6=0.24,

%=3)=0.4X0.4=0.16,

4的分布列為:

123

P0.60.240.16

即E（^）=1x0.6+2x0.24+3x0.16=1.56.

（II）（/）由題意g=（）,R=g.

（萬）第〃次觸球者是甲的概率記為2,則當(dāng)〃22時(shí)，第〃-1次觸球者是甲的概率為匕…

第〃—I次觸球者不是甲的概率為I-KT，則，,=匕/0+。-匕）［=；（1-匕|），從而

匕十一拉廠3

又片一:二弓，是以l為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)歹人

JJ[.5Jc幺

%〉片,故第19次觸球者是甲的概率大.

【點(diǎn)睛】本題考查樣本估計(jì)總體，隨機(jī)變量的期望，考查遞推關(guān)系以及等比數(shù)列的概念，考

查分析問題、解決問題的能力，考查建模能力、數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.

3.(I)分布列見解析，y；(II)(i)I；(ii)

【分析】(I)由題意得X的所有可能取值為4,5,6,7,8,摸一次球，得I分的概率為g,

得2分的概率為:，由此計(jì)算各概率得分布列，并由期望公式計(jì)算期望；

(H)(i)得2分，第一次直接摸一個(gè)2分球，或兩次都摸I分球，由此可計(jì)算出0；

(ii)得〃分分為兩種情形，第一種在得(〃?2)分之后再摸出白球，得2分，第二種在得

21

(〃-1)分之后再摸出黑球得1分，由此可得2,的遞推關(guān)系：佗3時(shí)，Q/t=-Qn_i+-Q,_2f

可得出｛/｝是等比數(shù)列，從而可求得7.

【詳解】解：(I)X的所有可能取值為4,5,6,7,8,得I分的概率為:，得2分的概率

則p(X=4)=f-l=—,

UJ81

P(X=8)=C：。吃

???X的分布列為:

X45678

1632881

P

正正Z7正87

E(X)=4x3+5出+6x總+7二+

81812781813

（ID（/）由題意得。2=21+2（xq2=§7.

（/7）得〃分分為兩種情形，第一種在得（〃?2）分之后再摸出白球，得2分，第二種在得

（?-I）分之后再摸出黑球得1分,

2|

，當(dāng)論3時(shí)，a=-a_^-fi._2,

21I1

+_

則Tn+i=Qn^2-Qn+j=-Qn+ift.~S?+i=(6,+i~Q,)=~~7L?

數(shù)列（加｝是以t為首項(xiàng).為公比的等比數(shù)列,

11\?+i

=-X

93J

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查隨機(jī)變量的概率分布列與數(shù)學(xué)期望，考杳等比數(shù)列的應(yīng)月.確

定隨機(jī)變量的取值是地寫出隨機(jī)變量概率分布列的關(guān)系，求出｛Q,』的遞推關(guān)系是求刀,的關(guān)

鍵.主要是確定怎么得到〃分，即由得”-2后攜一2分球,得1分后摸一I分球，由此

可得遞推公式.

4.（1）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：-y;（2）證明見解析.

【分析】（1）首先確定X的所有可能取值x=5,6,7,8,9,10,根據(jù)概率公式分別求出對(duì)應(yīng)發(fā)

生的概率，列出分布列，即可求出數(shù)學(xué)期望;

21

(2)根據(jù)已知的關(guān)系，求出匕?與R,心I的關(guān)系式匕匕再通過化簡(jiǎn)和等比數(shù)

列的定義求解即可.

【詳解】解:(1)依題意可得,X=5,6,7,8,9,10,

(22丫324

P(X=5)=C；Ammpr180

,p(x=6)=C；-=5xX—=

3；2433243

翳叱8)=需陷40

P(X=7)=C；

243)

P(X=9)=C；郎?嗡,P(X=10)V*擊,

則X的分布列如表所示.

X5678910

32808040101

rn

243243243243243243

鳳X)=5』+6x—7x2+8x-1?！?衛(wèi)

2432432432432432433

(2)處于第iI1個(gè)等級(jí)有兩種情況:

2

由第i等級(jí)到第i+1等級(jí)，其概率為§2；

由第"1等級(jí)到第i+1等級(jí)，其概率為:？T；

711,

所以匕I=3匕+3匕1，所以匕「匕=-§(4-匕1)，

即"'3-

所以數(shù)列｛匕-九｝為等比數(shù)列.

【點(diǎn)睛】本題考查概率公式、隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能

力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng).其中第二問解題的關(guān)鍵在于尋找匕?與2,匕1的關(guān)系

21

式，即：心1=:々+：匕仃之2)，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的定義證明.

JJ

5.(1)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：:3；(2)(i)2==1+]r?丫,；(ii)最多唱7次

2"2213)

歌.

【分析】(1)由題意得X的所有取值為0,1,2,3,然后分別求得其概率，列出分布列，

再求期望；

]912I\(IA

(2)(i)由題意得巳尸/＞:+(1-切＞彳=—：2+彳，轉(zhuǎn)化為B+「不=—鼻2-不求解?：

(ii)由(i)得到匕=:+〈x(—口”，再結(jié)合甥＜匕＜；求解；

【詳解】(1)由題意，得X的所有取值為0,1,2,3,

因?yàn)閄=0表示前3次亮燈的顏色為“綠綠綠”，

所以「。=0)=〈'葭!=!.

2331o

因?yàn)閄=1表示前3次亮燈的顏色為“紅綠綠”或“綠紅綠”或“綠綠紅”，

…”1211221124

所以P(X=1)=—x—x—+—x—x—+—x—x—=—.

2332332339

因?yàn)閄=2表示前3次亮燈的顏色為“紅紅綠”或“紅綠紅”或“綠紅紅”，

因?yàn)閄=3表示前3次亮燈的顏色為“紅紅紅”,

所以P(X=3)=4x：xJ=!.

2331o

所以X的分布列為

X0I23

1441

P

189918

14413

所以E(X)=()x」+lx:+2X：+3XL=2.

1899182

(2)(i)由題意，得K“=2X；+(1-匕)=

JJJJ

所以匕

因?yàn)椋?!，所以［一:=一：工0，

32o

所以｛匕一3｝是首項(xiàng)為一3,公比為一;的等比數(shù)列，

所以*=-卜信)，

所以與

11f1\,r11(1\a

(ii)由2=—+、x-二<-,得二x--<0,又〃EN所以〃為正奇數(shù),

22V3j22{3)

11f1Vloio得＞一焉

22I3)2021

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，《＜擊,3"＞2021,所以幾.7,

所以該玩具啟動(dòng)后，在前20次亮燈中，當(dāng)〃=7,9,11,13,15,17,19時(shí)，該玩具可能

唱歌，所以該玩具啟動(dòng)后，在前20次亮燈中，該玩具最多唱7次歌.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛；(1)求解離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟：①理解X的意義，寫出X

可能取的全部值；②求X取每個(gè)值的概率；③寫出X的分布列.(2)求離散型隨機(jī)變量的分

布列的美鍵是求隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概率,在求解時(shí),要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、古典概型等

知識(shí).

6.(1)證明見解析，f-11；(2)分布列見解析，1；(3)A套餐的8人，4套

"515I4J

餐的12人；理由見解析.

【分析】(1)依題意得匕■|=匕'：1+(1-匕)x［1,根據(jù)遞推關(guān)系即可證明忱-三2是等比數(shù)

4ZI，

列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得］匕-弓｝的通項(xiàng)，即可求得｛勺｝的通項(xiàng)公式；

（2）依題意求得第二天選擇A、B類套餐的概率，列出X的可能取值，結(jié)合二項(xiàng)分布求得

分布列與數(shù)學(xué)期望；

（3）由｛8｝的通項(xiàng)公式得勺。不根據(jù)總?cè)藬?shù)即可求得分發(fā)A、6套餐的同學(xué)的人數(shù).

【詳解】（1）依題意，匕“=2x；+（l-e）x；,

21（2、

則2.「￡=一：仍一三（心m

5415）

24

當(dāng)〃=1時(shí)，可得6行=后，

工數(shù)列［匕-功是首項(xiàng)為之公比為的等比數(shù)列.

5J154

"515L4）

（2）第二天選擇A類套餐的概率P\=：x：+:x；=；；

JIJ/fJ

2311，

第二天選擇0類套餐的概率+=

???3人在第二天的有X個(gè)人選擇A套餐，

X的所有可能取值為0、I、2、3,

有p（X=k）=C；6）6）（&=0,1,2,3）,

???X的分布列為

X0123

8421

P

279927

fe￡：(X)=0x—+lx-+2x-+3x—=1.

279927

（3）由（I）知：P=——--一一，

"515I4）

???勺即第30次以后購(gòu)買A套餐的概率約為

JJ

2

則20x-=8,20-8=12

5

???負(fù)責(zé)A套餐的8人，負(fù)責(zé)Z?套餐的12人.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：

求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：

（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值：

（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列；

（3）根據(jù)期望的概念，給合分布列，即可得出期望（在計(jì)算時(shí)，要注意隨機(jī)變量是否服從

特殊的分布，如超幾何分布或二項(xiàng)分布等，可結(jié)合其對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式,

簡(jiǎn)化計(jì)算）

7.（1）4；（2）（/）證明見解析；（"）1+lxfl）.

44⑴

【分析】（1）由題意求出X的可能取值，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而列出分布列，并根據(jù)

我期望的概念求出期望即可：

（2）（/）若累計(jì)得分為iH勺概率為化，分兩種情況討論得分情況，從而得到遞推公式

1O、

PiPi-21=2.3,……,9）,再結(jié)合構(gòu)造法即可得證；

3）根據(jù)⑴求出化_乩_=（一，］（，=2,3,……,9）,再結(jié)合累加法即可求出〃

\3y44\3

（i=2,3,……,9）,進(jìn)而可以求得結(jié)果.

【詳解】解：（I）由題意得每輪游戲獲得1分的概率為：0，獲得2分的概率為:|，X可能取

???X的分布列:

X3456

8421

p

279927

E(X)=3x—+4xi+5x—+6x—=4；

')279927

2

(II)(1)(證明：i=l,即累計(jì)得分為1分，是第1次擲骰子，向上點(diǎn)數(shù)不超過4點(diǎn)的概率4=1,

則P,-Po=~，累計(jì)得分為i分的情況有兩種：

(1)/=(/-2)+2,即前一輪累計(jì)得i-2分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)超過4點(diǎn)其概率為gp,r，

(2)前一輪累計(jì)得分為＞1分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)沒超過4點(diǎn)得1分其概率為

12

???〃,=-PT+-Pi.\('=23……,9),

JJ

-'P.~Pi-i=_|(A-i_PT)(J=23,......,9),

,數(shù)列出-/｝，。=1，2、……⑼是首項(xiàng)為-；，公比為T的等比數(shù)列.

5)數(shù)列仍-RJ,(，=1,2,……⑼是首項(xiàng)為-g,公比為的等比數(shù)列.

._1(n2(1

,?Pi-Po=-§，p-p=[^-3J，.......P>~Pi-\=^-3

2]

,if(IYI

各式相加，得：p,---,

43)

.?/Z=:+(U，(1=12..⑼，

二?活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率為：〃10=：/4=!、=Dx(?】?

33|_44\37J44^37

8.(1)I；(2)(i)證明見解析；(ii)證明見解析.

【分析】(1)設(shè)4=”第1天選擇米飯?zhí)撞汀埃?="第2天選擇米飯?zhí)撞?，入="第I天不選

擇米飯?zhí)撞汀?由全概率公式有P(A2)=P(A)P(A/A)+P(A)P(4同，計(jì)算可得；

(2)(i)設(shè)4=”第〃天選擇米飯?zhí)撞?，則匕=P(A),依照(1)可得以?與月的關(guān)系，

然后根據(jù)等比數(shù)列定義證明：

(ii)求出通項(xiàng)公式匕，然后分類討論證明結(jié)論.

【詳解】解：(1)設(shè)4="第1天選擇米飯?zhí)撞汀保?="第2天選擇米飯?zhí)撞汀保?/p>

則兄=”第1天不選擇米飯?zhí)撞?/p>

根據(jù)題意P(A)=；,尸(不)=；，*&⑷4，尸(4同=1

JJI44

由全概率公式，得P(AJ=P(A)P(A[A)+P(A)P(4|A)=5X；+；X；=；.

(2)⑴設(shè)4=”第〃天選擇米飯?zhí)撞?，則K=p(A),。(4)=1-2，

根據(jù)題意.(*%)=；，網(wǎng)%囚)=1-；=?

由全概率公式，得

治=0(4,I)二夕(4)。(4+/4)+。(4)。(4/4)=",+；(1—幻

■(■乙

21(2、

因此“

24

因?yàn)?不工0，

2)4I

所以乙一￡是以77為首項(xiàng)，-二為公比的等比數(shù)列.

5)154

74I

(ii)由(i)可得§=3+上-1

"51514

當(dāng)〃為大于I的奇數(shù)時(shí)，鴻+稅：遍目4?

o4(IV?5

當(dāng)〃為正偶數(shù)時(shí)，Ptl=----<-<--

“51514yl512

因此讓2當(dāng)時(shí)，

9.(1)0.135；(2)①證明見解析;②應(yīng)參與.

【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算均值與方差，得X?N（7,1.25）,然后由對(duì)稱性和特定區(qū)

間的概率得出結(jié)論；

（2）①由已知《二1,I；：,而〃N2時(shí)，即客戶到第〃人臺(tái)階分為兩種情況：一是從第〃-1

個(gè)臺(tái)階跳--級(jí)過來，另一個(gè)是從第九-2個(gè)臺(tái)階跳2級(jí)過來，由此可得匕遞推關(guān)系，變形后

可證題設(shè)結(jié)論；

②利用①求得乙，計(jì)算參加活動(dòng)的期望值。.3己+32與1.4比較可得.

【詳解】(1)x=4.5x--F5.5X—+6.5XH+7.5X—+8.5x—+9.5x—=7,

303030303030

22I1i()

52=(4.5-7)2x—+(5.5-7)2x—+(6.5-7)2x—+(7.5-7)2x—

3030303()

,4,1

+(8.5-7yx—+(9.5-7)2x—=1.25.

3030

因?yàn)椤?x=7,s2=1.25,cr=5=1.12,所以X~N(7,L25).

所以P(8.I2<XK9.24)B箜心里=0.135.

2

(2)①證明：客戶開始游戲時(shí)在第0個(gè)臺(tái)階為必然事件，故《=1,客戶中第一次摸得黑球,

客戶乙邁上第一個(gè)臺(tái)階，其概率為:，故

JJ

客戶乙邁入第〃（2<〃<5）個(gè)臺(tái)階的情況為下列兩種，而且也只有兩種.

一是客戶乙先到第〃-2格，客戶甲又摸出紅球，其概率為:2匕_2；

二是客戶乙先到第〃-I格，客戶甲又摸出黑球，其概率為：心|,

127

所以巴=§R-i+§2.2，則匕一加=一§（2-1-匕J

97

所以當(dāng)1M〃M5時(shí)，數(shù)列花-4J是首項(xiàng)為勺-兄=-半公比為的等比數(shù)列.

②由①知，當(dāng)1K”工5時(shí)，Pn-P?_{=^-|，

所以另一寫=仍一4）+（月一耳）+…+（匕—嘮）

32，所以E=|+]

整理得Pn=-+=0.548,

553J3>

2?

=0.452.

3;

設(shè)這對(duì)夫妻參與游戲獲得優(yōu)惠的期望為每平方米y千元,

貝iJE(y)=0.3?心十3=0.3x0.548+3x0.452=1.5204(千元).

因?yàn)?.5204>1.4,所以參與游戲比較劃算.

|3

10.(1)^=1,6=0,/?=-,P=-

4410

⑵證明見解析，Pk=(+(1)]—'

【分析】（1）根據(jù)題意可得第一周使用A密碼，第二周使用4密碼的概率為0,第三周使用A

密碼的概率為;，以此類推；

Q）根據(jù)題意可知第"I周從剩下的四種密碼中隨機(jī)選用一種，恰好選到A密碼的概率為I

進(jìn)而可得47-1=-;(冗-1)，結(jié)合等比數(shù)列的定義可知｛冗-1｝為等比數(shù)列，利用等比數(shù)

列的通項(xiàng)公式即可求出結(jié)果.

(I)

"1，6=。，4=：，=[

44lo

(2)

第A+1周使用A密碼，則第k周必不使用A密碼(概率為'A),然后第A+1周從剩下的四

種密碼中隨機(jī)選用一種，恰好選到A密碼的概率為1

故《+1=：(1-4)，即比

故]巴—為等比數(shù)列且片―!=公比夕二一：

IJJ3，*T

O

11.⑴分布列答案見解析，^(X)=|；

(3)這方案不合理，分析答案見解析.

【分析】(1)由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有3,4,5,6.分別求得隨機(jī)變量取每一值

時(shí)的概率得其分布列，由數(shù)學(xué)期望公式可求得答案；

⑵依題意，點(diǎn)、得分恰好為〃分時(shí)，得不到〃分的情況是先得(〃-1)分，再得，概率為：。一，

即有1-%二；41，由此可求得答案；

(3)由(2)求得陽(yáng)，“l(fā)oo，比較可得結(jié)論.

【詳解】解：(1)由題意可知，隨機(jī)變顯X的可能取值有3,4,5,6.

(1\1(i、3(1>_3

P-3)七)獲尸(X=4)=C；--P(X=5)=C；--=-，

\2>8I8

(1Y1