人教版八年級(jí)上冊(cè)【六大考點(diǎn)+能力提升+核心素養(yǎng)】第13章軸對(duì)稱軸對(duì)稱等腰三角形軸對(duì)稱圖形垂直平分線等腰三角形等邊三角形軸對(duì)稱的性質(zhì)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)軸對(duì)稱作圖性質(zhì)和判定性質(zhì)判定性質(zhì)判定含30°角的直角三角形的性質(zhì)軸對(duì)稱思維導(dǎo)圖如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.這時(shí)，我們也說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱.考點(diǎn)一、軸對(duì)稱相關(guān)定義和性質(zhì)【例1】下列“禁止行人通行、注意危險(xiǎn)、禁止非機(jī)動(dòng)車通行、限速60km/h”四個(gè)交通標(biāo)志圖中，為軸對(duì)稱圖形的是（）ABCDB【變式1】在等腰三角形、圓、長(zhǎng)方形、正方形、直角三角形中，一定是軸對(duì)稱圖形的有（）個(gè)A.1B.2C.3

D.4D【變式2】如圖，∠3=30°，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時(shí)，必須保證∠1的度數(shù)為______.60°像這樣，把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能與另一個(gè)圖形重合,那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).AA’圖形軸對(duì)稱的性質(zhì):如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.類似地，軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.如下圖中，l垂直平分AA′，l垂直平分BB′.垂直平分線的定義經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.l⊥AB，垂足為O，且AO=BO，則l是線段AB的垂直平分線.線段的垂直平分線的性質(zhì)：

線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵

PC⊥AB，PC平分AB∴

PA=PB與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.線段的垂直平分線的判定：幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵

PA=PB∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上【例2】在△ABC中，AD是高，在線段DC上取一點(diǎn)E，使BD=DE，已知AB+BD=DC.求證：點(diǎn)E在線段AC的垂直平分線上．解析：要證明點(diǎn)E在線段AC的垂直平分線上，即要證明AE=EC.根據(jù)題意及線段垂直平分線的定義，得出AB=AE.而后根據(jù)AB+BD=DC，進(jìn)行等量變換，可到AE=EC.證明：∵AD是高，∴AD⊥BC.又∵BD=DE，∴AD所在的直線是線段BE的垂直平分線，∴AB=AE，∴AB+BD=AE+DE.又∵AB+BD=DC，∴DC=AE+DE，∴DE+EC=AE+DE,∴EC=AE，∴點(diǎn)E在線段AC的垂直平分線上．ABCMN【變式】如圖：△ABC中，MN是AC的垂直平分線，若CM=3cm，△ABC的周長(zhǎng)是22cm，則△ABN的周長(zhǎng)是

.16cm在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于

x

軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)_____，縱坐標(biāo)___________；關(guān)于

y

軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)___________，縱坐標(biāo)_____.點(diǎn)(

x

，y

)關(guān)于

x

軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(___，___)點(diǎn)(

x

，y

)關(guān)于

y

軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(___，___)相等互為相反數(shù)互為相反數(shù)相等x

-y

-x

y

考點(diǎn)三、用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱【例3】按要求完成作圖：(1)作△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1；(2)在x軸上找出點(diǎn)P，使PA+PC最小，并直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)：xyOABC解析：(1)先找出點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，再依次連線即可；(2)找出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'C，A'C與x軸的交點(diǎn)即是點(diǎn)P的位置.A1B1C1A'P(-3,0)11【變式】在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(a,2)與點(diǎn)A(-3,m)關(guān)于y軸對(duì)稱，則a,m的值分別為（）A.3，-2B.-3，-2C.3，2

D.-3，2C性質(zhì)1:等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”)性質(zhì)2:等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡(jiǎn)寫成“三線合一”)考點(diǎn)四、等腰三角形的性質(zhì)及判定等腰三角形判定定理：

如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”).【例4】如圖，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求證：∠BAC=2∠DBC.ABCD))12E解析：根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可作頂角∠BAC的平分線，來(lái)獲取角的數(shù)量關(guān)系.ABCD))12E證明：作∠BAC的平分線AE,交BC于點(diǎn)E,如圖所示，則∵AB=AC,∴AE⊥BC.∴∠2+∠ACB=90°.∵BD⊥AC,∴∠DBC+∠ACB=90°.∴∠2=∠DBC.∴∠BAC=2∠DBC.【變式】等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，求該等腰三角形的頂角的度數(shù).解：設(shè)該等腰三角形中，小角的度數(shù)為x,則大角的度數(shù)為2x.當(dāng)x為底角時(shí)，x

+x+2x=180°，

解得x=45°，則2x=90°.當(dāng)x為頂角時(shí)，x

+2x+2x=180°，

解得x

=36°.故該等腰三角形頂角的度數(shù)為90°或36°.等邊三角形的性質(zhì)：1.等邊三角形的三邊相等.2.等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并每一個(gè)角都等于60°.3.等邊三角形的三條高線，三條中線，三條角平分線，分別互相重合.4.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有三條對(duì)稱軸.考點(diǎn)五、等邊三角形的性質(zhì)及判定等邊三角形的判定方法：1.三邊相等的三角形是等邊三角形.2.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.3.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.【例5】如圖，已知△ABC，△BDE都是等邊三角形．求證：AE＝CD.∴△ABE≌△CBD.∴AE＝CD.證明：∵△ABC和△BDE都是等邊三角形，∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°.在△ABE與△CBD中，

AB＝CB，∵∠ABE＝∠CBD，

BE＝BD，【變式】如圖,△ABC和△ADE都是等邊三角形,AD是BC邊上的中線.求證:BE=BD. 證明:∵△ABC和△ADE都是等邊三角形,∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE=60°.∵AB=AC,AD為BC邊上的中線,∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°,∴∠BAE=∠BAD=30°.在△ABE和△ABD中,

AE=AD,∵∠BAE=∠BAD,

AB=AB,∴△ABE≌△ABD(S.A.S.),∴BE=BD.含30°角的直角三角形的性質(zhì)：

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.考點(diǎn)六、含30°角的直角三角形的性質(zhì)【例6】如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．求證：BF=2CF．證明：如圖，連接AF.∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°.∵AC的垂直平分線是EF，∴CF=AF，∴∠FAC=∠C=30°，∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=120°-30°=90°.在Rt△ABF中，∠B=30°，∴BF=2AF，∴BF=2CF．【變式】如圖，點(diǎn)D在線段BC上，連接AD，BD=CD，CA⊥AD，∠1=30°，AB=4，求AC的長(zhǎng)．

1．如圖，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，則∠CDE的度數(shù)為(

)A．50° B．51°C．51.5° D．52.5°D

29【能力提升】2．【寧夏中考】如圖，在△ABC中，AC＝BC，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別在AB和AC上，且AD＝AE.連結(jié)DE，過點(diǎn)A的直線GH與DE平行，若∠C＝40°，則∠GAD的度數(shù)為(

)A．40° B．45°C．55° D．70°3．【易錯(cuò)題】若實(shí)數(shù)m、n滿足等式|m－2|＋(n－4)2＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長(zhǎng)，則△ABC的周長(zhǎng)是(

)A．12 B．10C．8 D．6C

B

304．【易錯(cuò)題】如圖所示，在3×3的網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知圖中A、B為兩個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中再尋找另一個(gè)格點(diǎn)C，使△ABC成為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為(

)A．10B．8C．6 D．4B

315．如圖，AD是等邊三角形ABC的中線，AE＝AD，則∠EDC＝(

)A．30°B．20°C．25D．15°D

6．【黑龍江綏化中考】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD，則∠A＝_____度．36

327．如圖，在等邊三角形ABC中，邊長(zhǎng)為2，CD平分∠ACB，交AB于點(diǎn)D，DE∥BC，則△ADE的周長(zhǎng)為____.3

36

50°或80°

3310．直線上依次有A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，AD＝7，AB＝2，若AB、BC、CD可構(gòu)成以BC為腰的等腰三角形，則BC的長(zhǎng)為_________.11．已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為4、4、6，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫____條．2或2.5

4

3412．如圖，△ABC是等邊三角形，D、E、F分別是AB、BC、AC上一點(diǎn)，且∠DEF＝60°.(1)若∠1＝50°，求∠2；(2)連結(jié)DF，若DF∥BC，求證：∠1＝∠3.(1)解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠A＝∠C＝60°.∵∠B＋∠1＋∠DEB＝180°，∠DEB＋∠DEF＋∠2＝180°，且∠DEF＝60°，∴∠1＋∠DEB＝∠2＋∠DEB，∴∠2＝∠1＝50°.

(2)證明：∵DF∥BC，∴∠FDE＝∠DEB.∵∠B＋∠1＋∠DEB＝180°，∠FDE＋∠3＋∠DEF＝180°，且∠B＝60°，∠DEF＝60°，∴∠1＝∠3.3513．如圖，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD與CE相交于點(diǎn)O.(1)求證：OB＝OC；(2)若∠ABC＝50°，求∠BOC的度數(shù)．3614．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試說(shuō)明理由．3715．【核心素養(yǎng)題】如圖，∠MON＝30°，點(diǎn)A1、A2、A3、…在射線ON上，點(diǎn)B1、B2、B3、…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均為等邊三角形，從左起第1個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)記為a1，第2個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)記為a2，以此類推．若OA1＝1，則a20