專題11.29《三角形》全章復(fù)習(xí)與鞏固（培優(yōu)篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．如圖，點(diǎn)D，E分別是△ABC邊BC，AC上一點(diǎn)，BD＝2CD，AE＝CE，連接AD，BE交于點(diǎn)F，若△ABC的面積為18，則△BDF與△AEF的面積之差S△BDF﹣S△AEF等于（

）A．3 B． C． D．62．如圖，直線，點(diǎn)C為直線MN上一點(diǎn)，連接AC、BC，∠CAB＝40°，∠ACB＝90°，∠BAC的角平分線交MN于點(diǎn)D，點(diǎn)E是射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE、BE，∠CED的角平分線交MN于點(diǎn)F．當(dāng)∠BEF＝70°時(shí)，令，用含的式子表示∠EBC為（

）．A． B． C． D．3．如圖，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分別平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，，于點(diǎn)G，則下列結(jié)論①∠CEG=2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=∠A；⑤∠DFE=135°，其中正確的結(jié)論是(

)A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④4．如圖，在第1個(gè)△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個(gè)△A1A2D；在邊A2D上任取一點(diǎn)E，延長(zhǎng)A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3個(gè)△A2A3E，…按此做法繼續(xù)下去，則第2021個(gè)三角形中以A2020為頂點(diǎn)的底角度數(shù)是（）A．（）2020?75° B．（）2020?65°C．（）2021?75 D．（）2021?65°5．如圖，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的關(guān)系為（）A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝360°6．如圖，AD∥BC，∠D＝∠ABC，點(diǎn)E是邊DC上一點(diǎn)，連接AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn)，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分線EG交BH于點(diǎn)G．若∠BEG＝40°，則∠DEH的度數(shù)為（）A．50° B．75° C．100° D．125°7．如圖，小亮同學(xué)用繪畫的方法，設(shè)計(jì)的一個(gè)正三角形的平面鑲嵌圖，其中主要利用的是正三角形和正六邊形．如果整個(gè)鑲嵌圖的面積為75，則圖中陰影部分的面積是（

）A．25 B．26 C．30 D．398．如圖，在中，平分，于點(diǎn)．的角平分線所在直線與射線相交于點(diǎn)，若，且，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．9．如圖，在銳角中，，BD，BE分別是的高和角平分線，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，交BA，BD，BC于點(diǎn)T，G，H，下列結(jié)論：①；②；③；④.其中正確的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④10．如圖，△ABC中，BD、BE分別是高和角平分線，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)H⊥BE，交BD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H．下列結(jié)論：①∠DBE＝∠F；

②2∠BEF＝∠BAF＋∠C；③∠F＝∠BAC－∠C；④∠BGH＝∠ABE＋∠C．其中正確個(gè)數(shù)是()A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)二、填空題11．如圖，在中，，和的平分線交于點(diǎn)，得和的平分線交于點(diǎn)，得和的平分線交于點(diǎn)，得和的平分線交于點(diǎn)，得，則________度．12．如圖，射線AB與射線CD平行，點(diǎn)F為射線AB上的一定點(diǎn)，連接CF，點(diǎn)P是射線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)C），將沿PF折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處．若，當(dāng)點(diǎn)E到點(diǎn)A的距離最大時(shí)，_____．13．（1）如圖1所示，_________；（2）如果把圖1稱為二環(huán)三角形，它的內(nèi)角和為；圖2稱為二環(huán)四邊形，它的內(nèi)角和為，則二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為__________；二環(huán)五邊形的內(nèi)角和為__________；二環(huán)n邊形的內(nèi)角和為_________．14．如圖，在中，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是AC和AB上的點(diǎn)，且滿足，，過點(diǎn)A的直線l平行BC，射線BD交CE于點(diǎn)O，交直線l于點(diǎn)若的面積為12，則四邊形AEOD的面積為____________．15．如圖，在中，，在邊上取點(diǎn)，使得，連接．點(diǎn)、分別為、邊上的點(diǎn)，且，將沿直線翻折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，若，則的度數(shù)為_______．16．若一個(gè)三角形中一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的度數(shù)的3倍，則稱這樣的三角形為“和諧三角形”．例如，三個(gè)內(nèi)角分別為，，的三角形是“和諧三角形”，如圖，直角三角形中，，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)是“和諧三角形”時(shí)，的度數(shù)是______．17．如圖，在中，，、分別平分、，M、N、Q分別在、、的延長(zhǎng)線上，、分別平分、，、分別平分、，則_______．18．如圖，中，點(diǎn)，分別在，上，與交于點(diǎn)，若，，，則的面積______．19．如圖，是的中線，點(diǎn)F在上，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D．若，則______．20．如圖，在正六邊形ABCDEF內(nèi)放入2008個(gè)點(diǎn)，若這2008個(gè)點(diǎn)連同正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)無三點(diǎn)共線，則該正六邊形被這些點(diǎn)分成互不重合的三角形共_____個(gè).21．設(shè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為x，y，z，如果其中一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的度數(shù)的2倍，那么我們稱數(shù)對(duì)(y，z)(y≤z)是x的和諧數(shù)對(duì)．例：當(dāng)x＝150°時(shí)，對(duì)應(yīng)的和諧數(shù)對(duì)有一個(gè)，它為(10，20)；當(dāng)x＝66時(shí)，對(duì)應(yīng)的和諧數(shù)對(duì)有二個(gè)，它們?yōu)?33，81)，(38，76)．當(dāng)對(duì)應(yīng)的和諧數(shù)對(duì)(y，z)有三個(gè)時(shí)，此時(shí)x的取值范圍是____________．三、解答題22．在中，，，于D．（1）如圖①，已知于E，求證：（2）如圖②，P是線段AC上任意一點(diǎn)（P不與A、C重合），過P作于E，于F，求證：（3）在圖②中，若P是AC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，其他條件不變，請(qǐng)畫出圖形并直接寫出PE、PF、CD之間的關(guān)系．23．閱讀下列材料：陽陽同學(xué)遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在中，是的高，是邊上一點(diǎn)，、分別與直線，垂直，垂足分別為點(diǎn)、．求證：．陽陽發(fā)現(xiàn)，連接，有，即．由，可得．他又畫出了當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且上面問題中其他條件不變時(shí)的圖形，如圖2所示，他猜想此時(shí)、、之間的數(shù)量關(guān)系是：．請(qǐng)回答：（1）請(qǐng)補(bǔ)全陽陽同學(xué)證明猜想的過程；證明：連接．________，________________．，．（2）參考陽陽同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：在中，，是的高．是所在平面上一點(diǎn)，、、分別與直線、、垂直，垂足分別為點(diǎn)、、．①如圖3，若點(diǎn)在的內(nèi)部，猜想、、、之間的數(shù)量關(guān)系并寫出推理過程．②若點(diǎn)在如圖4所示的位置，利用圖4探究得此時(shí)、、、之間的數(shù)量關(guān)系是：_______．（直接寫出結(jié)論即可）24．閱讀理解：如圖，中，沿的平分線折疊，剪掉重復(fù)部分：將余下部分沿的平分線折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿的平分線折疊，點(diǎn)與點(diǎn)重合，無論折疊多少次，只要最后一次折疊恰好重合，就被稱為是的好角．探究發(fā)現(xiàn)：小麗和小亮展示了確定是的好角的兩種情形．小麗展示的如圖，沿等腰三角形頂角的平分線折疊，點(diǎn)與點(diǎn)重合；小亮展示的如圖，沿的平分線折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿的平分線折疊，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合．（1）問題解決：圖中與的關(guān)系為______，圖中與的關(guān)系為______．（2）小麗又經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了是的好角，請(qǐng)?zhí)骄颗c（不妨設(shè)）之間的等量關(guān)系為______．根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過次折疊是的好角，則與（不妨設(shè)）之間的等量關(guān)系為______．（3）小麗找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為，，，發(fā)現(xiàn)和的兩個(gè)角都是此三角形的好角．如果以為好角，那么這個(gè)三角形需要經(jīng)過______次折疊，如果以為好角，那么這個(gè)三角形需要經(jīng)過______次折疊．（4）應(yīng)用提升：如果一個(gè)三角形的最小角是，若使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角，則三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)是多少？請(qǐng)以（______，______）的形式寫出所有可能的結(jié)果；25．已知：在中，平分，平分，、交于點(diǎn)．(1)如圖1：若，求的度數(shù)；(2)如圖2：點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接、，，求證：；(3)如圖3：在（2）的條件下，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，連接，若，，，求的度數(shù)．26．如圖，ABCD，垂足為O，點(diǎn)P、Q分別在射線OC、OA上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P、Q都不與點(diǎn)O重合），QE是∠AQP的平分線．(1)如圖1，在點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)過程中，若直線QE交∠DPQ的平分線于點(diǎn)H．①當(dāng)∠PQB＝60°時(shí)，∠PHE＝°；②隨著點(diǎn)P、Q分別在OC、OA的運(yùn)動(dòng)，∠PHE的大小是否是定值？如果是定值，請(qǐng)求出∠PHE的度數(shù)；如果不是定值，請(qǐng)說明理由；(2)如圖2，若QE所在直線交∠QPC的平分線于點(diǎn)E時(shí),將△EFG沿FG折疊，使點(diǎn)E落在四邊形PFGQ內(nèi)點(diǎn)E′的位置，猜測(cè)∠PFE′與∠QGE′之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．27．在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是射線AC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），過點(diǎn)E作EF∥BC交直線BD于點(diǎn)F，∠CEF的角平分線所在直線與射線BD交于點(diǎn)G．(1)如圖1，點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)．①若∠ABC＝40°，∠C＝60°，則∠BGE＝______°；②若∠A＝70°，則∠BGE＝______；③探究∠BGE與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若點(diǎn)E在射線DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BGE與∠A之間的數(shù)量關(guān)系與（1）③中的數(shù)量關(guān)系是否相同？若不同，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．28．已知，點(diǎn)P在直線之間，連接．(1)探究發(fā)現(xiàn)：（填空）如圖1，過P作，______（已知）（____）_______；(2)解決問題：①如圖2，延長(zhǎng)至點(diǎn)分別平分交于點(diǎn)Q，試判斷與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖3，若，分別作分別平分，求的度數(shù)（直接寫出結(jié)果）．參考答案1．A【分析】由△ABC的面積為18，根據(jù)三角形的面積公式和等積代換即可求得．解：∵，∴，∵，，，∴，∴①，同理，∵，，∴，，∴，∴②，由①-②得：．故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形的面積及等積變換，解答此題的關(guān)鍵是等積代換．2．D【分析】先求出∠ABC，再延長(zhǎng)CE，交AB于點(diǎn)G，結(jié)合平行線的性質(zhì)表示出∠BCE，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理表示∠CED，再根據(jù)角平分線得定義表示出∠CEB，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出答案．解：在△ABC中，∠CAB=40°，∠ACB=90°，∴∠ABC=50°．延長(zhǎng)CE，交AB于點(diǎn)G，∵，∴，∠ACM=∠BAC=40°，∴∠ACE=-40°，∴∠BCE=90°-（-40°）=130°-．∵∠CEA=180°-∠CAE-∠ACE，∴∠CED=180°-∠CEA=∠CAE+∠ACE=20°+（-40°）=-20°．∵EF平分∠CED，∴∠CEF=，∴∠CEB=，∴∠EBC=．故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，將待求角轉(zhuǎn)化到適合的三角形是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與角平分線的定義即可判斷①；只需要證明∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，即可判斷③；根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理先推出，即可判斷④⑤；根據(jù)現(xiàn)有條件無法推出②．解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD∵，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正確；∵∠A=90°，CG⊥EG，，∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，∴∠GCD+∠BCD=90°，又∵∠BCD=∠ACD，∴∠ADC=∠GDC，故③正確；∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵BE，CD分別平分∠ABC，∠ACB，∴，∴，∴∠DFB=180°-∠BFC=45°，∴，故④正確；∵∠BFC=135°，∴∠DFE=∠BFC=135°，故⑤正確；根據(jù)現(xiàn)有條件，無法推出CA平分∠BCG，故②錯(cuò)誤；故選C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟知平行線的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．4．A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由∠B=30°，A1B=CB，得∠BA1C=∠C，30°+∠BA1C+∠C=180°，那么∠BA1C=×150°=75°．由A1A2=A1D，得∠DA2A1=∠A1DA2．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，由∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1，得∠DA2A1=∠BA1C=××150°．以此類推，運(yùn)用特殊到一般的思想解決此題．解：∵∠B=30°，A1B=CB，∴∠BA1C=∠C，30°+∠BA1C+∠C=180°．∴2∠BA1C=150°．∴∠BA1C=×150°=75°．∵A1A2=A1D，∴∠DA2A1=∠A1DA2．∴∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1．∴∠DA2A1=∠BA1C=××150°．同理可得：∠EA3A2=∠DA2A1=×××150°．…以此類推，以An為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)是．∴以A2021為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)是．故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)以及特殊到一般的猜想歸納思想是解決本題的關(guān)鍵．5．B【分析】分析題意∠DMA=∠1，∠DNA=∠2，然后利用三角形的內(nèi)角和、等量代換求解即可．解：連接AD，在△DMA中，∠DMA+∠MDA+∠MAD＝180°，在△DNA中，∠DNA+∠NDA+∠NAD＝180°，∴∠DMA+∠MDA+∠MAD+∠DMA+∠NDA+∠NAD＝360°，∵∠MAD+∠NAD＝360°﹣∠BAF，∴∠DMA+∠DNA+∠MDN+360°﹣∠BAF＝360°，∵AB⊥AF，∴∠BAF＝90°，∴∠DMA+∠DNA＝90°﹣∠MDN，∵∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2，∵∠1＝180°﹣∠B﹣∠C，∠2＝180°﹣∠E﹣∠F，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），∴90°﹣∠MDN＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），∴∠B+∠C+∠E+∠F﹣∠MDN＝270°．故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，將圖形中角的關(guān)系利用三角形的內(nèi)角和等于180°進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再運(yùn)用等量代換是解題的關(guān)鍵．6．C【分析】∠BEG=∠FEG-∠FEB=，∠AEF=180°-∠FEG-∠HEG=180°-2β，在△AEF中，，AD∥BC，∠D=∠ABC，得到AB∥CD，由平行線的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角的定義即可求解．解：設(shè)∠FBE=∠FEB=α，則∠AFE=2α，∠FEH的角平分線為EG，設(shè)∠GEH=∠GEF=β，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠D=∠ABC，∴∠D+∠BAD=180°，∴AB∥CD，∵∠BEG=40°，∴∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，∵∠AEF=180°-∠FEG-∠HEG=180°-2β，在△AEF中，180°-2β+2α+∠FAE=180°，∴∠FAE=2β-2α=2（β-α）=80°，∵AB∥CD，∴∠CEH=∠FAE=80°，∴∠DEH=180°-∠CEH=100°．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查的是平行線的性質(zhì)，涉及到角平行線性質(zhì)定理、三角形外角定理，本題關(guān)鍵是用有關(guān)α，β的等式表示出△AEF內(nèi)角和為180°，題目難度較大．7．B【分析】正中有多種圖形，將不規(guī)則圖形拆分后，可歸結(jié)為四種圖形，每種圖形都可劃分為面積最小的正三角形的組合，最后正全部由小正三角形組成，根據(jù)陰影部分小正三角形的個(gè)數(shù)所占全部小正三角形個(gè)數(shù)比例與面積相乘即可得出答案．解：如圖所示，將不規(guī)則部分進(jìn)行拆分，共有四種圖形：正六邊形、較大正三角形、平行四邊形、小正三角形；其中一個(gè)正六邊形可以分成6個(gè)小正三角形，較大正三角形可以分成4個(gè)小正三角形，平行四邊形可以分成6個(gè)小正三角形，由圖可得：正六邊形有13個(gè)，可分成小正三角形個(gè)數(shù)為：（個(gè)）；較大正三角形有26個(gè)，可分成小正三角形個(gè)數(shù)為：（個(gè)）；平行四邊形有5個(gè)，可分成小正三角形個(gè)數(shù)為：（個(gè)）；小正三角形個(gè)數(shù)為13個(gè)；∴一共有小正三角形個(gè)數(shù)為：（個(gè)），∴圖中陰影部分面積為：，故選：B．【點(diǎn)撥】題目主要考查創(chuàng)新思維，將其進(jìn)行分類分解是解題難點(diǎn)．8．C【分析】由角平分線的定義可以得到，，設(shè)，假設(shè)，，通過角的等量代換可得到，代入的值即可．解：∵平分，平分∴，設(shè)∵∴可以假設(shè)，∴∵∴∴設(shè)，則∴∴∵∴故答案選：C【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的定義以及角的等量代換，三角形的內(nèi)角和定理，外角的性質(zhì)，二元一次方程組的應(yīng)用，靈活設(shè)立未知數(shù)代換角是解題的關(guān)鍵．9．A【分析】根據(jù)三角形角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余等知識(shí)，一一判定即可．解：，，，，，，故①正確；∵BE平分，，，，，故②正確；，，，，由①得，，，，故③正確；為銳角，，又，，，，故④錯(cuò)誤，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．10．B解：①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F=90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE=90°，∵∠FGD=∠BGH，∴∠DBE=∠F，①正確，符合題意；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BEF=∠CBE+∠C，∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，∠BAF=∠ABC+∠C，∴2∠BEF=∠BAF+∠C，②正確，符合題意；③∠ABD=90°﹣∠BAC，∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=∠ABE﹣90°+∠BAC=∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD=90°﹣∠C，∴∠DBE=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE=∠F，∴∠F=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，③錯(cuò)誤，不符合題意；④∵∠AEB=∠EBC+∠C，∵∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，F(xiàn)H⊥BE，∴∠FGD=∠FEB，∴∠BGH=∠ABE+∠C，④正確，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，正確運(yùn)用三角形的高、中線和角平分線的概念以及三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．【分析】根據(jù)角平分線的定義，由BA1平方∠ABC，A1C平分∠ACD，得∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠A1=∠A1CD-∠A1BC，那么∠A1=∠ACD?ABC=∠A．再根據(jù)特殊到一般的數(shù)學(xué)思想解決此題．解：∵BA1平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC．∵∠A1=∠A1CD-∠A1BC，∴∠A1=∠ACD?ABC=∠A．同理可證：∠A2=∠A1．∴∠A2=?∠A=()2∠A．以此類推，∠An=()n∠A．當(dāng)n=2022，∠A2021=()2022∠A=()2022?m°=()°．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵．12．##59度【分析】利用三角形三邊關(guān)系可知：當(dāng)E落在AB上時(shí)，AE距離最大，利用且，得到，再根據(jù)折疊性質(zhì)可知：，利用補(bǔ)角可知，進(jìn)一步可求出．解：利用兩邊之和大于第三邊可知：當(dāng)E落在AB上時(shí)，AE距離最大，如圖：∵且，∴，∵折疊得到，∴，∵，∴．故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查三角形的三邊關(guān)系，平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，補(bǔ)角，角平分線，解題的關(guān)鍵是找出：當(dāng)E落在AB上時(shí)，AE距離最大，再解答即可．13．

360°

720°

1080°

【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)對(duì)頂角和三角形內(nèi)角和的知識(shí)，得，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；（2）連接，交于點(diǎn)M，根據(jù)三角形內(nèi)角和和對(duì)頂角的知識(shí)，得；結(jié)合五邊形內(nèi)角和性質(zhì)，得；結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)分析，即可得到答案．解：（1）如圖所示，連接AD，交于點(diǎn)M∵，，∴；故答案為：360°（2）如圖，連接，交于點(diǎn)M∴，∵∴∴∵∴∴∴二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為：∵二環(huán)三角形的內(nèi)角和為：二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為：∴二環(huán)五邊形的內(nèi)角和為：∴二環(huán)n邊形的內(nèi)角和為：故答案為：，，．【點(diǎn)撥】本題考查了多邊形內(nèi)角和、對(duì)頂角、數(shù)字規(guī)律的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和、多邊形內(nèi)角和、數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)，從而完成求解．14．【分析】連接AO，根據(jù)三角形邊之間的關(guān)系得到面積之間的關(guān)系進(jìn)行推理解答．解：如圖，連接AO，∵CD=3AD，∴AD：CD=1：3，∴，，，∵，∴，，∵AF∥BC，∴，∴，∴，，∵AE=2BE，∴BE：AE=1：2，∴，，∴，，∴，即，∴，即，∴，∵，∴，∴S四邊形AEOD．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的邊與面積之間的關(guān)系，平行線之間距離處處相等，能正確把邊之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為面積之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．【分析】根據(jù)題意可得，設(shè)，是的一個(gè)外角，可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，即，聯(lián)立解方程組即可求得．解：折疊，設(shè)，，是的一個(gè)外角即①即即②②-①得即故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，解二元一次方程組，理清角度之間的關(guān)系，設(shè)未知數(shù)列方程組是解題的關(guān)鍵．16．30°或52.5°或80°．【分析】分三種情況討論，①當(dāng)∠CDA＝3∠C時(shí)，②當(dāng)∠C＝3∠CAD時(shí)，③∠CDA＝3∠CAD時(shí)，由“和諧三角形”定義可求解；解：∵，，∴①當(dāng)∠CDA＝3∠C時(shí)，∠CDA＝90°，∴∠CAD＝60°，∴∠BAD＝30°；②當(dāng)∠C＝3∠CAD時(shí)，∴∠CAD＝10°，∴∠DAB＝80°；③∠CDA＝3∠CAD時(shí)，∴∠CAD＝×(180°-30°)=37.5°，∴∠DAB＝52.5°，故答案為：30°或52.5°或80°．【點(diǎn)撥】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理，理解“和諧三角形”定義，并能運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵．17．52°【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義可求出∠E，利用三角形內(nèi)角和求出，得到，從而求出，再次利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和得到∠A．解：、分別平分、，，，，，即，，，、分別平分、，，，，，∴，∴，、分別平分、，，，∴，，故答案為：52°．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．18．7.5．【分析】觀察三角形之間的關(guān)系，利用等高或同高的兩個(gè)三角形的面積之比等于底之比，利用已知比例關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．解：如下圖所示，連接，∵，，，∴,∴,,∴,,設(shè)，，∴，，由，可得，，解得，∴，，．故答案為：7.5．【點(diǎn)撥】本題考查的是等高同高三角形，應(yīng)用等高或同高的兩個(gè)三角形的面積之比等于底之比進(jìn)行求解是本題的關(guān)鍵．19．【分析】連接ED，由是的中線，得到，，由，得到，設(shè)，由面積的等量關(guān)系解得，最后根據(jù)等高三角形的性質(zhì)解得，據(jù)此解題即可．解：連接ED是的中線，，設(shè)，與是等高三角形，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查三角形的中線、三角形的面積等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．20．4020解：∵正六邊形ABCDEF內(nèi)放入2008個(gè)點(diǎn)，這2008個(gè)點(diǎn)連同正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)無三點(diǎn)共線，∴共有2008+6=2014個(gè)點(diǎn)．∵在正六邊形內(nèi)放入1個(gè)點(diǎn)時(shí)，該正六邊形被這個(gè)點(diǎn)分成互不重合的三角形共6個(gè)；即當(dāng)n=1時(shí)，有6個(gè)；然后出現(xiàn)第2個(gè)點(diǎn)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)必然存在于開始的6個(gè)中的某一個(gè)三角形內(nèi)，然后此點(diǎn)將那個(gè)三角形又分成3個(gè)三角形，三角形數(shù)量便增加2個(gè)；又出現(xiàn)第3個(gè)點(diǎn)時(shí)，同理，必然出現(xiàn)在某個(gè)已存在的三角形內(nèi)，然后又將此三角形1分為3，增加2個(gè)…，∴內(nèi)部的點(diǎn)每增加1個(gè)，三角形個(gè)數(shù)便增加2個(gè)．于是我們得到一個(gè)等差數(shù)列：存在n個(gè)點(diǎn)時(shí),三角形數(shù)目an=a1+(n?1)d=6+2(n?1)=2n+4(n?1).由題干知,2008個(gè)點(diǎn)的總數(shù)為a2008=2×2008+4=4020(個(gè)).故答案為4020.【點(diǎn)撥】本題主要考查多邊形的有關(guān)知識(shí)，找到點(diǎn)的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵.21．0°＜x＜60°【分析】根據(jù)題意，通過分情況討論即可求得對(duì)應(yīng)的和諧數(shù)對(duì)（y，z）有三個(gè)時(shí)，x的取值范圍.解：由題意可得，當(dāng)0°＜x＜60°時(shí)，它的和諧數(shù)對(duì)為(2x，180°－3x)，（，180°-），（，），當(dāng)60°≤x＜120°時(shí)，它的和諧數(shù)對(duì)為（，180°-），（，），當(dāng)120°≤x＜180°時(shí)，它的和諧數(shù)對(duì)為（，），∴當(dāng)對(duì)應(yīng)的和諧數(shù)對(duì)(y，z)有三個(gè)時(shí)，x的取值范圍是0°＜x＜60°，故答案為0°＜x＜60°.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解答問題．22．（1）見分析；（2）見分析；（3）畫圖見分析，．【分析】(1)分別以AB、BC邊為底邊，利用△ABC的面積的兩種不同表示列式整理即可得證；(2)連接PB，根據(jù)△ABC的面積等于△ABP和△BCP的面積的和，然后列式整理即可得證；(3)作出圖形，連接PB，然后根據(jù)△ABP的面積等于△ABC的面積和△PBC的面積的和，列式整理即可得解．解：（1）證明：（2）如圖②，連接PB，，（3）如圖③，即為圖像，連接PB，作交BC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，，【點(diǎn)撥】本題綜合考查了三角形的知識(shí)，把同一個(gè)三角形的面積采用不同方法列式表示出來，然后再把已知數(shù)據(jù)代入進(jìn)行計(jì)算求解，所以（2）（3）兩小題作出輔助線把三角形分割成兩個(gè)三角形是解題的關(guān)鍵，面積法也是解三角形問題常用的方法之一，需熟練掌握．23．（1）S△APB；PN；PM；（2）①BD＝PM＋PN＋PQ，證明見分析②BD＝PM＋PQ?PN．【分析】（1）根據(jù)圖形，結(jié)合閱讀材料填寫即可；（2）①連接AP、BP、CP，根據(jù)S△ABC＝S△APC＋S△APB＋S△BPC得出AC?BD＝AC?PN＋AB?PM＋BC?PQ，由AB＝AC＝BC，即可得出BD＝PM＋PN＋PQ；②連接AP、BP、CP，根據(jù)S△ABC＝S△APB＋S△BPC?S△APC，得出AC?BD＝AB?PM＋BC?PQ?AC?PN，由于AB＝AC＝BC，即可證得BD＝PM＋PQ?PN．解：（1）證明：連接AP．∵S△ABC＝S△APC?S△APB，∴AC?BD＝AC?PN?AB?PM．∵AB＝AC，∴BD＝PN?PM．故答案為：S△APB；PN；PM；（2）①BD＝PM＋PN＋PQ；如圖3，連接AP、BP、CP，∵S△ABC＝S△APC＋S△APB＋S△BPC∴AC?BD＝AC?PN＋AB?PM＋BC?PQ，∵AB＝AC＝BC，∴BD＝PM＋PN＋PQ；②BD＝PM＋PQ?PN；如圖4，連接AP、BP、CP，∵S△ABC＝S△APB＋S△BPC?S△APC．∴AC?BD＝AB?PM＋BC?PQ?AC?PN，∵AB＝AC＝BC，∴BD＝PM＋PQ?PN．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的面積等，作出輔助線構(gòu)建三個(gè)三角形是解題的關(guān)鍵．24．（1）；；（2）；；（3）7次，4次；（4）16°，160°或44°，132°或88°，88°或8°，168°或4°，172°．【分析】（1）利用折疊的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)解決問題即可．（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，根據(jù)三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C，根據(jù)四邊形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，可得∠B=3∠C，第二個(gè)問題探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．（3）以60°為好角，105°÷15°=7，需要折疊7次，以105°為好角，60°÷15°=4，需要折疊4次．（4）根據(jù)好角定義，則可設(shè)另兩角分別為4m°，4mn°（其中m，n都是正整數(shù)）．根據(jù)二元方程，求整數(shù)解即可．解：（1）∵折疊后，B，C重合，∴∠B=∠C；∠B=2∠C，小麗展示的情形二中，∵沿∠BAC的平分線AB1折疊，∴∠B=∠AA1B1；又∵將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），∴∠B=2∠C．故答案為：∠B=∠C，∠B=2∠C．（2）在△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分，將余下部分沿∠B2A2C的平分線A2B3折疊，點(diǎn)B2與點(diǎn)C重合，則∠BAC是△ABC的好角．∵根據(jù)折疊的性質(zhì)知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，∴根據(jù)三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根據(jù)四邊形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小麗展示的情形一知，當(dāng)∠B=∠C時(shí)，∠BAC是△ABC的好角；由小麗展示的情形二知，當(dāng)∠B=2∠C時(shí)，∠BAC是△ABC的好角；由小麗展示的情形三知，當(dāng)∠B=3∠C時(shí)，∠BAC是△ABC的好角；故若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系為∠B=n∠C．故答案為：∠B=3∠C，∠B=n∠C．（3）當(dāng)以60°為好角，105°÷15°=7，需要折疊7次，當(dāng)以105°為好角，60°÷15°=4，需要折疊4次．故答案為：7，4．（4）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∵最小角是4°是△ABC的好角，根據(jù)好角定義，則可設(shè)另兩角分別為4m°，4mn°（其中m，n都是正整數(shù)）．由題意，得4m+4mn+4=180，∴m（n+1）=44，∵m，n都是正整數(shù)，∴m與n+1是44的整數(shù)因子，因此有：m=4，n=10或m=11，n=3或m=22，n=1或m=2，n=21或m=1，n=33，；當(dāng)m=4，n=10時(shí)，4m=16°，4mn=160°；當(dāng)m=11，n=3時(shí)，4m=44°，4mn=132°；當(dāng)m=22，n=1時(shí)，4m=88°，4mn=88°；當(dāng)m=2，n=21時(shí)，4m=8°，4mn=168°；當(dāng)m=1，n=43時(shí)，4m=4°，4mn=172°；∴該三角形的另外兩個(gè)角的度數(shù)分別為：16°，160°或44°，132°或88°，88°或8°，168°或4°，172°．【點(diǎn)撥】本題屬于三角形綜合題，考查了翻折變換（折疊問題）．解答此題時(shí)，充分利用了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角定理以及折疊的性質(zhì)．難度較大．25．(1)(2)證明見分析(3)64°【分析】（1）先證明，，再求解，再利用三角形的內(nèi)角和定理可得答案；（2）利用三角形的外角的性質(zhì)證明，從而可得結(jié)論；（3）先證明，設(shè)，，求解，，證明，再列方程求解即可．(1)證明：∵、分別平分與∴，，在中，，∴∴∴(2)證明：∵是得一個(gè)外角，∴，∵，∴，∴．(3)解：

，，∵平分，平分，∴設(shè)，，∴，∵，∴，∵，∴∴，∴∵，，而∴∴∴【點(diǎn)撥】本題考查的是平行線的性質(zhì)，三角形的角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，方程思想的應(yīng)用，熟練的運(yùn)算三角形的內(nèi)角和定理與外角的性質(zhì)建立角與角之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．26．(1)①45°；②∠PHE

是一個(gè)定值，∠PHE

=45°，理由見分析(2)，理由見分析【分析】（1）①先根據(jù)垂直的定義求出∠POQ=90°，即可利用三角形內(nèi)角和定理和鄰補(bǔ)角的定義求出∠QPO=30°，∠AQP=120°，再由角平分線的定義分別求出，，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可；②同①方法求解即可；（2）如圖所示，連接，先求出∠CPQ+∠PQA=270°，再由角平分線的定義求出，則∠PEQ=45°，由折疊的性質(zhì)可知，進(jìn)而推出即可得到答案．(1)解：①∵AB⊥CD，∴∠POQ=90°，∴∠PQO+∠QPO=90°，∵∠PQB=60°，∴∠QPO=30°，∠AQP=120°，∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，∴，，∴，故答案為：45；②∠PHE是一個(gè)定值，∠PHE=45°，理由如下：∵AB⊥CD，∴∠POQ=90°，∴∠PQO+∠QPO=90°，∴∠QPO=90°-∠PQO，∠AQP=180°-∠PQO，∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，∴，，∴；(2)解：，理由如下：如圖所示，連接，∵AB⊥CD，∴∠POQ=90°，∴∠PQO+∠QPO=90°，∵∠CPQ+∠QPO=180°，∠PQA+∠PQO=180°，∴180°-∠CPQ+180°-∠PQA=90°，∴∠CPQ+∠PQA=270°，∵QE，PE分別平分∠PQA，∠CPQ，∴，∴，∴∠PEQ=180°-∠EPQ-∠EQP=45°，由折疊的性質(zhì)可知，∵，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，鄰補(bǔ)角，熟知三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．27．(1)①50°；②55°；③∠BGE=90°-∠A，理由見分析；(2)不同，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上，∠BGE=∠A；當(dāng)點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，∠BGE=90°+∠A，理由見分析．【分析】（1）①先求出∠FBC=20°，再求出∠EFB=∠CBF=20°，∠C=∠CEF=60°，進(jìn)而求出∠FEG=30°，即可求出∠BGE=50°；②如圖，根據(jù)角平分線的定義得到∠1＝∠ABC，∠2=∠CEF，結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)一步得到∠2=∠C，∠3=∠ABC，即可得到∠BGE=∠2+∠3=∠C+∠ABC=（∠180°-∠A）=55°；③如圖，根據(jù)角平分線的定義得到∠1＝∠ABC，∠2=∠CEF，結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)一步得到∠2=∠C，∠3=∠ABC，即可得到∠BGE=∠2+∠3=∠C+∠ABC=（∠180°-∠A）=90°-∠A；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上，畫出圖形，類比（1）即可求出∠BGE=∠A；當(dāng)點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，畫出圖形，∠BGE=