高中數(shù)學(xué)人教B版必修四1.2.3《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式》賽課聽評(píng)課記錄一.基本信息

2023年10月26日，上午第二節(jié)課，授課教師張華，學(xué)科/課程名稱為高中數(shù)學(xué)，班級(jí)/年級(jí)為高一（8）班，教學(xué)主題或章節(jié)為《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式》。聽課人姓名為王敏，聽課人職務(wù)為教研組長，聽課目的為教學(xué)研究。本節(jié)課聚焦于同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的探究與應(yīng)用，通過引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)平方關(guān)系式及商數(shù)關(guān)系式，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，同時(shí)為后續(xù)學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)圖象與性質(zhì)奠定基礎(chǔ)。教學(xué)設(shè)計(jì)圍繞“從特殊到一般”的認(rèn)知規(guī)律展開，注重知識(shí)的生成過程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的滲透。

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備

教師的教學(xué)計(jì)劃清晰，圍繞“平方關(guān)系式→商數(shù)關(guān)系式→應(yīng)用”的邏輯順序展開，每個(gè)環(huán)節(jié)的目標(biāo)明確。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，教材中相關(guān)例題和習(xí)題作為主要素材，輔以幾何畫板制作的動(dòng)態(tài)演示課件，幫助學(xué)生直觀理解關(guān)系式的幾何意義。教具方面準(zhǔn)備了單位圓模型，用于演示三角函數(shù)線在推導(dǎo)過程中的作用。多媒體設(shè)備運(yùn)行正常，播放的動(dòng)畫效果流暢，有效輔助了概念的理解。

2.教學(xué)過程

開始階段，教師通過復(fù)習(xí)特殊角的三角函數(shù)值，設(shè)置問題“若已知sinα=，如何求cosα和tanα？”引發(fā)學(xué)生思考，導(dǎo)入新課。通過計(jì)算驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)矛盾，自然引出平方關(guān)系式sin2α+cos2α=1的探究，效果顯著。展開階段采用“啟發(fā)式講授+小組討論”相結(jié)合的方法。在推導(dǎo)平方關(guān)系式時(shí)，教師先引導(dǎo)學(xué)生利用單位圓面積分割法推導(dǎo)sin2α+cos2α=1，再類比平方根性質(zhì)得到|sinα|=|cosα|，過渡自然。商數(shù)關(guān)系式的推導(dǎo)中，教師設(shè)計(jì)小組合作任務(wù)，讓學(xué)生通過計(jì)算sinα/cosα的值，歸納出tanα=sinα/cosα，多數(shù)小組完成較好。結(jié)束階段，教師通過對(duì)比兩個(gè)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，總結(jié)為“一平方，一直除”，并布置分層作業(yè)：基礎(chǔ)題鞏固公式，拓展題探究關(guān)系式的逆向應(yīng)用。

3.師生互動(dòng)

師生交流頻率較高，教師通過提問和追問引導(dǎo)學(xué)生思考。例如，在推導(dǎo)商數(shù)關(guān)系式時(shí)，教師問“如果cosα=0是否成立？”引導(dǎo)學(xué)生思考定義域限制，有效突破難點(diǎn)。學(xué)生參與度整體較高，約80%的學(xué)生在推導(dǎo)過程中發(fā)言或展示解題步驟。部分學(xué)生在討論中提出“sinα/cosα與tanα是否等同”的疑問，教師通過類比分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系予以解答，體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)

學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性較高，尤其在動(dòng)態(tài)演示環(huán)節(jié)，學(xué)生專注觀察單位圓上三角函數(shù)線的長度變化。合作學(xué)習(xí)方面，小組討論時(shí)分工明確，組長負(fù)責(zé)記錄，成員輪流發(fā)言，但個(gè)別小組因討論過熱出現(xiàn)爭執(zhí)，教師及時(shí)介入?yún)f(xié)調(diào)。在推導(dǎo)應(yīng)用題時(shí)，約60%的學(xué)生能獨(dú)立完成，剩余學(xué)生通過同伴幫助解決困難，體現(xiàn)差異化教學(xué)效果。

5.課堂管理

課堂紀(jì)律良好，學(xué)生能遵守發(fā)言規(guī)則，教師通過“眼神提示”和“點(diǎn)頭鼓勵(lì)”等方式維持秩序。時(shí)間分配合理，導(dǎo)入環(huán)節(jié)5分鐘，展開階段20分鐘，結(jié)束階段5分鐘，作業(yè)布置2分鐘，符合認(rèn)知規(guī)律。課堂節(jié)奏控制得當(dāng)，在難點(diǎn)突破時(shí)適當(dāng)放慢語速，動(dòng)態(tài)演示環(huán)節(jié)適當(dāng)延長，確保學(xué)生充分理解。

6.教學(xué)技術(shù)使用

現(xiàn)代教育技術(shù)使用有效，幾何畫板動(dòng)畫直觀展示了sin2α+cos2α=1的幾何背景，學(xué)生通過觀察動(dòng)畫生成結(jié)論的接受度更高。動(dòng)態(tài)三角函數(shù)線的變化過程，幫助學(xué)生理解關(guān)系式的內(nèi)在聯(lián)系。技術(shù)支持作用明顯，但教師對(duì)課件操作不夠熟練，出現(xiàn)兩次暫停調(diào)整畫面，影響課堂流暢度。建議加強(qiáng)技術(shù)培訓(xùn)，優(yōu)化課件交互設(shè)計(jì)。

三.教學(xué)效果評(píng)價(jià)

1.目標(biāo)達(dá)成

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)明確且適切，圍繞“理解并掌握同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式（平方關(guān)系式和商數(shù)關(guān)系式），能運(yùn)用關(guān)系式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)求值、化簡和恒等變形”設(shè)定。目標(biāo)分解合理，從認(rèn)知、技能到情感層次均有體現(xiàn)，符合高一學(xué)生的認(rèn)知水平。通過課堂觀察和隨堂練習(xí)反饋，大部分學(xué)生達(dá)到了預(yù)期目標(biāo)。在平方關(guān)系式的理解上，約85%的學(xué)生能正確表述其推導(dǎo)過程并解釋幾何意義；在商數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用上，約70%的學(xué)生能獨(dú)立完成基礎(chǔ)題型的化簡和求值。目標(biāo)達(dá)成度的達(dá)成率較高，但仍有部分學(xué)生在符號(hào)運(yùn)算和分母有理化方面存在困難，這與他們初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有關(guān)，需要在后續(xù)教學(xué)中加強(qiáng)針對(duì)性輔導(dǎo)。

2.知識(shí)掌握

學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解程度整體較好，但對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的把握尚有不足。具體表現(xiàn)為：

（1）概念理解方面，通過動(dòng)態(tài)演示和幾何畫板輔助，學(xué)生能直觀理解平方關(guān)系式的幾何背景（單位圓面積分割），但部分學(xué)生仍將其與勾股定理混淆，需要教師強(qiáng)調(diào)“任意角α”的普遍性。商數(shù)關(guān)系式的理解相對(duì)直接，但約15%的學(xué)生在類比分?jǐn)?shù)與除法時(shí)出現(xiàn)邏輯錯(cuò)誤，如認(rèn)為tanα=1/sinα，反映出對(duì)數(shù)學(xué)類比思想掌握不牢固。

（2）記憶情況方面，平方關(guān)系式因具有直觀性被多數(shù)學(xué)生記憶，但商數(shù)關(guān)系式的記憶效果不均衡，部分學(xué)生依賴死記硬背，導(dǎo)致應(yīng)用時(shí)出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤（如tanα=sinα/cosα?xí)r忽略絕對(duì)值）。教師通過“一平方，一直除”的口訣幫助學(xué)生記憶，效果較好，但需關(guān)注長期記憶效果。

（3）技能掌握方面，基礎(chǔ)運(yùn)算能力較好，如化簡sin2α+2cosα+1為1+2cosα，錯(cuò)誤率低于10%；但在逆向應(yīng)用時(shí)，約30%的學(xué)生無法靈活變形，如將1-sin2α轉(zhuǎn)化為cos2α，反映出對(duì)公式變形的理解停留在表面。教師通過變式練習(xí)（如sin2α/(1+cosα)）強(qiáng)化技能，但分層設(shè)計(jì)需進(jìn)一步優(yōu)化，建議增加基礎(chǔ)題和拓展題的梯度。

3.情感態(tài)度價(jià)值觀

本節(jié)課在促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展方面取得一定成效，具體表現(xiàn)在：

（1）數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)方面，教師通過“從特殊到一般”“數(shù)形結(jié)合”的推導(dǎo)方式，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，部分學(xué)生表現(xiàn)出探究興趣，如小組討論中提出“平方關(guān)系式是否可推廣到三維空間”的猜想，體現(xiàn)初步的創(chuàng)造性思維。但在邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性方面仍有不足，部分學(xué)生在論證時(shí)依賴直覺而非推理，需加強(qiáng)數(shù)學(xué)證明意識(shí)的培養(yǎng)。

（2）學(xué)習(xí)態(tài)度方面，動(dòng)態(tài)演示環(huán)節(jié)激發(fā)了學(xué)生的好奇心，約75%的學(xué)生能主動(dòng)觀察和記錄，但個(gè)別學(xué)生因操作幾何畫板不熟練而情緒低落，教師通過“先看再動(dòng)”的引導(dǎo)緩解了挫敗感，體現(xiàn)人文關(guān)懷。作業(yè)布置中，基礎(chǔ)題覆蓋全體，拓展題滿足尖子生需求，分層設(shè)計(jì)得到學(xué)生認(rèn)可，但需關(guān)注作業(yè)完成質(zhì)量，避免“題海戰(zhàn)術(shù)”。

（3）價(jià)值觀滲透方面，教師通過對(duì)比平方根與商數(shù)關(guān)系式的差異，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)性，部分學(xué)生在糾錯(cuò)時(shí)表現(xiàn)出對(duì)精確性的追求，如糾正“tan45°=2”的錯(cuò)誤，體現(xiàn)科學(xué)精神。但課堂討論中，小組間因競爭發(fā)言機(jī)會(huì)出現(xiàn)不合作現(xiàn)象，反映出團(tuán)隊(duì)意識(shí)培養(yǎng)不足，建議增加合作性任務(wù)，如“設(shè)計(jì)同角三角函數(shù)關(guān)系式的記憶口訣”，促進(jìn)共同進(jìn)步。

總體而言，本節(jié)課教學(xué)效果良好，但需關(guān)注技能的深度應(yīng)用和思維品質(zhì)的長期培養(yǎng)，建議后續(xù)結(jié)合三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的教學(xué)，強(qiáng)化知識(shí)間的聯(lián)系，提升綜合運(yùn)用能力。

四、總結(jié)與建議

1.總體評(píng)價(jià)

本節(jié)課整體印象優(yōu)秀，是一節(jié)體現(xiàn)新課改理念、注重學(xué)生主體參與的優(yōu)質(zhì)課。最突出的優(yōu)點(diǎn)是教學(xué)設(shè)計(jì)符合認(rèn)知規(guī)律，以問題驅(qū)動(dòng)貫穿始終，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的思維積極性。具體表現(xiàn)在：

（1）情境創(chuàng)設(shè)自然，導(dǎo)入環(huán)節(jié)通過特殊角計(jì)算引發(fā)認(rèn)知沖突，有效激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，體現(xiàn)了“以學(xué)生為中心”的教學(xué)思想。

（2）探究過程深入，平方關(guān)系式的推導(dǎo)采用“幾何畫板演示→小組驗(yàn)證→歸納結(jié)論”的層次化設(shè)計(jì)，將抽象公式轉(zhuǎn)化為直觀體驗(yàn)，突破了教學(xué)難點(diǎn)。商數(shù)關(guān)系式的探究則通過小組合作完成，培養(yǎng)了學(xué)生的協(xié)作能力和表達(dá)能力。

（3）技術(shù)應(yīng)用恰當(dāng)，動(dòng)態(tài)演示不僅幫助理解了關(guān)系式的幾何背景，還通過參數(shù)調(diào)節(jié)展示了關(guān)系式的動(dòng)態(tài)變化，提升了課堂的吸引力。分層作業(yè)的設(shè)計(jì)兼顧了基礎(chǔ)鞏固和拓展提升，體現(xiàn)了因材施教的原則。

不足之處在于部分環(huán)節(jié)時(shí)間控制略顯倉促，如動(dòng)態(tài)演示環(huán)節(jié)因?qū)W生討論過熱導(dǎo)致后續(xù)推導(dǎo)時(shí)間減少；個(gè)別學(xué)生在技能應(yīng)用時(shí)暴露出初中代數(shù)基礎(chǔ)薄弱的問題，教師雖進(jìn)行了補(bǔ)救但未能系統(tǒng)解決。總體而言，本節(jié)課成功達(dá)成了教學(xué)目標(biāo)，為后續(xù)三角函數(shù)學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

2.改進(jìn)建議

針對(duì)存在的問題，提出以下改進(jìn)措施：

（1）優(yōu)化時(shí)間管理，建議將動(dòng)態(tài)演示環(huán)節(jié)提前，并在課前預(yù)設(shè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)，通過手勢(shì)或口令提醒控制討論時(shí)長?？蓪⒉糠滞茖?dǎo)過程設(shè)計(jì)為課前預(yù)習(xí)任務(wù)，課堂聚焦于難點(diǎn)突破和互動(dòng)交流，確保核心知識(shí)的教學(xué)時(shí)間。

（2）加強(qiáng)分層輔導(dǎo)，針對(duì)技能掌握不足的學(xué)生，建議增加“腳手架式”指導(dǎo)，如提供化簡題的解題模板（“觀察角、看關(guān)系、用公式”），并通過“兵教兵”機(jī)制強(qiáng)化練習(xí)。對(duì)拓展題可設(shè)計(jì)為“挑戰(zhàn)性任務(wù)”，允許學(xué)生選擇性完成，避免增加負(fù)擔(dān)。

（3）強(qiáng)化基礎(chǔ)補(bǔ)差，可利用課后10分鐘開設(shè)“微輔導(dǎo)”環(huán)節(jié)，對(duì)初中代數(shù)薄弱的學(xué)生進(jìn)行專項(xiàng)練習(xí)，如負(fù)指數(shù)運(yùn)算、分母有理化等，確保后續(xù)學(xué)習(xí)不因基礎(chǔ)問題受阻。教師可制作“錯(cuò)題本”資源，供學(xué)生針對(duì)性復(fù)習(xí)。

（4）提升技術(shù)素養(yǎng)，建議教師參加幾何畫板高級(jí)培訓(xùn)，學(xué)習(xí)參數(shù)化動(dòng)畫制作、交互式課件設(shè)計(jì)等技巧，增強(qiáng)技術(shù)支持教學(xué)的深度?？晒膭?lì)教師開發(fā)校本微課資源，如“同角三角函數(shù)關(guān)系式幾何記憶法”，豐富教學(xué)手段。

（5）深化思維培養(yǎng)，在推導(dǎo)過程中增加“為什么這樣推導(dǎo)”的元認(rèn)知提問，如“為何單位圓面積分割能推導(dǎo)平方關(guān)系式？類比矩形面積是否成立？”，引導(dǎo)學(xué)生反思數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)?？梢搿耙活}多解”訓(xùn)練，如“求tan45°+tan30°+tan45°·tan30°”的多種解法，促進(jìn)思維靈活性。

3.后續(xù)跟蹤

建議進(jìn)行后續(xù)聽課跟進(jìn)，以檢驗(yàn)改進(jìn)效果。具體計(jì)劃如下：

（1）跟蹤聽課安排：計(jì)劃在下學(xué)期安排二次聽課，重點(diǎn)觀察改進(jìn)后的時(shí)間管理、分層輔導(dǎo)措施落實(shí)情況，以及學(xué)生技能掌握的改善程度。

（2）支持措施：

*提供專業(yè)指導(dǎo)：安排高級(jí)教師進(jìn)行一對(duì)一磨課，針對(duì)技術(shù)應(yīng)用和思維培養(yǎng)環(huán)節(jié)提供優(yōu)化建議。

*資源共享平臺(tái)：建立教研組資源庫，收集同課異構(gòu)案例和微課資源，供教師參考借鑒。

*同伴互助機(jī)制：“師徒結(jié)對(duì)”活動(dòng)，由經(jīng)驗(yàn)豐富的教師指導(dǎo)年輕教師設(shè)計(jì)分層作業(yè)和微輔導(dǎo)方案。

*教學(xué)反思強(qiáng)化：要求教師撰寫改進(jìn)后的教學(xué)設(shè)計(jì)，并在教研組會(huì)上分享實(shí)施效果，通過同伴評(píng)議持續(xù)優(yōu)化。

（3）成長目標(biāo)：通過跟蹤指導(dǎo)，