人教A版新教材必修第一冊《5.5.1第1課時兩角差的余弦公式》聽評課記錄（定稿）x一.基本信息

聽課日期為2023年10月26日，聽課時間為上午第二節(jié)課，授課教師為李明，學(xué)科/課程名稱為高中數(shù)學(xué)，班級/年級為高一（3）班，教學(xué)主題或章節(jié)為人教A版新教材必修第一冊《5.5.1第1課時兩角差的余弦公式》。聽課人姓名為張華，聽課人職務(wù)為高中數(shù)學(xué)教研組長，聽課目的為教學(xué)研究。本次聽課旨在深入了解高一學(xué)生對于兩角差的余弦公式的初步理解過程，以及教師如何通過引導(dǎo)幫助學(xué)生掌握這一重要公式，同時觀察教師在課堂中的教學(xué)設(shè)計(jì)、師生互動和學(xué)生反應(yīng)情況，為后續(xù)教學(xué)改進(jìn)提供參考。

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備：教師的教學(xué)計(jì)劃清晰，目標(biāo)明確，圍繞兩角差的余弦公式展開，分為引入、推導(dǎo)、應(yīng)用三個主要環(huán)節(jié)。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，教材內(nèi)容突出公式推導(dǎo)過程，教具包括三角板和量角器，多媒體課件展示了公式推導(dǎo)的動態(tài)過程和典型例題，為學(xué)生的直觀理解提供了支持。

2.教學(xué)過程：

開始階段：教師通過復(fù)習(xí)兩角和的余弦公式，引導(dǎo)學(xué)生思考兩角差與兩角和的區(qū)別，采用提問方式激發(fā)學(xué)生興趣，效果較好，約5分鐘進(jìn)入主題。

展開階段：教師采用講授與互動結(jié)合的方式，首先通過幾何圖形講解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程，結(jié)合多媒體動畫演示，幫助學(xué)生理解公式來源。隨后，教師設(shè)計(jì)了兩個例題，分別涉及特殊角和一般角的計(jì)算，引導(dǎo)學(xué)生逐步應(yīng)用公式，期間穿插提問，確保學(xué)生跟上思路。在推導(dǎo)過程中，教師強(qiáng)調(diào)公式中的符號問題，并通過板書詳細(xì)展示不同情況下的計(jì)算方法，約20分鐘完成公式推導(dǎo)和例題講解。

結(jié)束階段：教師學(xué)生回顧公式的關(guān)鍵點(diǎn)和應(yīng)用步驟，通過小組討論總結(jié)公式的記憶方法，并布置兩道基礎(chǔ)題和一道拓展題作為作業(yè)，確保學(xué)生鞏固所學(xué)內(nèi)容，約5分鐘結(jié)束課堂。

3.師生互動：師生交流頻率較高，教師通過提問和追問了解學(xué)生掌握情況，如“為什么這里要取負(fù)號？”等問題引導(dǎo)學(xué)生思考。學(xué)生參與度較好，約70%的學(xué)生能夠積極回答問題，課堂反應(yīng)靈敏，尤其是對公式推導(dǎo)過程中的關(guān)鍵步驟表現(xiàn)出濃厚興趣。部分學(xué)生提出疑問，教師能夠耐心解答，如對“公式是否適用于任意角”的疑問，教師通過反例說明，增強(qiáng)學(xué)生的理解。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)：學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性較高，課堂專注度達(dá)85%以上，尤其在公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)，學(xué)生認(rèn)真記錄并跟隨教師思路。合作學(xué)習(xí)方面，教師安排了小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生能夠圍繞公式應(yīng)用進(jìn)行交流，部分小組能夠自主推導(dǎo)簡單變式，如“cos(α-β)與cos(β-α)的關(guān)系”，體現(xiàn)了學(xué)生的探究能力。但仍有少數(shù)學(xué)生因基礎(chǔ)薄弱，需要教師個別指導(dǎo)。

5.課堂管理：課堂紀(jì)律良好，學(xué)生能夠遵守課堂規(guī)則，教師通過眼神和手勢管理課堂秩序，時間分配合理，各環(huán)節(jié)過渡自然，無拖沓現(xiàn)象。課堂節(jié)奏控制得當(dāng)，公式推導(dǎo)和例題講解時間均衡，留給學(xué)生思考的時間充足。

6.教學(xué)技術(shù)使用：現(xiàn)代教育技術(shù)使用有效，多媒體課件動態(tài)展示了公式推導(dǎo)過程，幫助學(xué)生直觀理解；三角板和量角器的使用增強(qiáng)了學(xué)生的動手體驗(yàn)。技術(shù)手段與教學(xué)內(nèi)容緊密結(jié)合，如通過動畫演示公式符號的變化，減少了學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)。技術(shù)支持了教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，但部分學(xué)生因操作電腦不熟練，需要教師協(xié)助，建議增加備用設(shè)備。

三.教學(xué)效果評價

1.目標(biāo)達(dá)成：本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)明確且適切，聚焦于讓學(xué)生理解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程，掌握公式的表達(dá)式及其初步應(yīng)用。從課堂觀察和學(xué)生反饋來看，教學(xué)目標(biāo)基本達(dá)成。首先，目標(biāo)設(shè)定符合高一學(xué)生的認(rèn)知水平，從已學(xué)的兩角和的余弦公式出發(fā)，逐步過渡到兩角差的情況，邏輯清晰。其次，通過動態(tài)演示和逐步推導(dǎo)，多數(shù)學(xué)生能夠跟隨教師思路理解公式來源，初步掌握了公式的結(jié)構(gòu)。課堂提問和例題講解環(huán)節(jié)，學(xué)生能夠回答關(guān)于公式推導(dǎo)的關(guān)鍵步驟，表明對公式形成過程有了基本認(rèn)識。作業(yè)布置中，基礎(chǔ)題的完成情況較好，說明學(xué)生初步具備了應(yīng)用公式解決問題的能力。然而，部分學(xué)生在符號判斷和應(yīng)用變式方面仍有困難，表明對公式的理解深度不足，需要后續(xù)加強(qiáng)?？傮w而言，教學(xué)目標(biāo)基本實(shí)現(xiàn)，但需關(guān)注差異，分層推進(jìn)。

2.知識掌握：學(xué)生對兩角差的余弦公式的理解和記憶情況良好，但對公式的靈活應(yīng)用仍需提升。在知識理解方面，通過幾何直觀和多媒體動態(tài)展示，學(xué)生能夠建立起公式與圖形的聯(lián)系，如通過單位圓上的向量關(guān)系理解公式的來源，約80%的學(xué)生能夠復(fù)述公式推導(dǎo)的關(guān)鍵步驟。記憶方面，教師通過對比兩角和與差的余弦公式，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)記憶方法，多數(shù)學(xué)生能夠記住公式的基本形式，但在符號選擇上存在普遍困難，如易混淆cos(α-β)與cos(β-α)的符號。技能掌握方面，例題講解后，學(xué)生能夠完成簡單的代入計(jì)算，但對涉及角的變形或恒等變換的題目仍感吃力。例如，在計(jì)算cos(75°)時，部分學(xué)生無法將75°轉(zhuǎn)化為45°+30°或60°-15°的形式，反映出對角的轉(zhuǎn)化技能掌握不足。此外，小組討論中，部分學(xué)生能夠自主推導(dǎo)簡單變式，如cos(α+β)與cos(α-β)的關(guān)系，但難以推廣到更復(fù)雜的情況，說明技能的遷移能力有待提高。教師通過巡視和個別指導(dǎo)，幫助學(xué)生糾正錯誤，但時間有限，部分學(xué)生的疑問未能及時解決。總體來看，學(xué)生對公式的記憶和簡單應(yīng)用能力較好，但對符號判斷和角的轉(zhuǎn)化等技能仍需加強(qiáng)訓(xùn)練。

3.情感態(tài)度價值觀：本節(jié)課在促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展方面取得了一定成效，主要體現(xiàn)在激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)探究意識和增強(qiáng)合作精神。首先，教師通過幾何直觀和動態(tài)演示，將抽象的公式變得生動形象，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。部分學(xué)生表示，通過觀察動畫演示，對公式的來源有了直觀感受，減輕了記憶負(fù)擔(dān)，提高了學(xué)習(xí)積極性。其次，教師鼓勵學(xué)生自主探究，如提出“cos(α-β)與cos(β-α)的關(guān)系”供小組討論，部分學(xué)生能夠通過公式推導(dǎo)得出結(jié)論，培養(yǎng)了學(xué)生的探究意識和自主學(xué)習(xí)能力。在合作學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，學(xué)生能夠圍繞問題交流想法，部分小組能夠自主解決簡單變式，體現(xiàn)了合作學(xué)習(xí)的有效性。此外，教師對學(xué)生的鼓勵和肯定，如對正確回答問題的學(xué)生給予表揚(yáng)，增強(qiáng)了學(xué)生的自信心。然而，部分學(xué)生在面對困難時容易產(chǎn)生挫敗感，如因符號判斷錯誤反復(fù)修改答案，反映出對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心不足。教師雖通過耐心指導(dǎo)幫助學(xué)生克服困難，但個體差異較大，需進(jìn)一步關(guān)注學(xué)生的情感需求?？傮w而言，本節(jié)課在激發(fā)興趣、培養(yǎng)探究意識和合作精神方面成效顯著，但對增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)信心和克服畏難情緒仍需持續(xù)努力。

四、總結(jié)與建議

1.總體評價：本節(jié)課整體印象良好，教學(xué)設(shè)計(jì)科學(xué)合理，目標(biāo)明確，內(nèi)容銜接自然，能夠較好地引導(dǎo)學(xué)生理解并初步應(yīng)用兩角差的余弦公式。最突出的優(yōu)點(diǎn)在于教師能夠?qū)⒊橄蟮墓脚c直觀的幾何圖形、動態(tài)的多媒體演示相結(jié)合，有效降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，激發(fā)了學(xué)生的探究興趣。具體表現(xiàn)為：首先，教師從學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)出發(fā)，通過復(fù)習(xí)兩角和的余弦公式自然過渡到兩角差的情況，邏輯清晰，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。其次，多媒體課件的運(yùn)用恰到好處，特別是動態(tài)演示公式推導(dǎo)過程和符號變化的部分，直觀性強(qiáng)，幫助學(xué)生建立了清晰的思維路徑。此外，教師注重師生互動，通過提問、追問和小組討論等方式，調(diào)動了學(xué)生的積極性，課堂氛圍活躍。在公式的初步應(yīng)用方面，教師選擇的例題具有代表性，由易到難，幫助學(xué)生逐步掌握公式的應(yīng)用方法。總體而言，本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)達(dá)成度較高，教學(xué)效果顯著，體現(xiàn)了教師良好的專業(yè)素養(yǎng)和教學(xué)能力。

2.改進(jìn)建議：盡管本節(jié)課取得了較好的教學(xué)效果，但仍存在一些可以改進(jìn)之處，以進(jìn)一步提升教學(xué)質(zhì)量。針對存在的問題，提出以下具體改進(jìn)措施：

（1）加強(qiáng)符號教學(xué)的深度和廣度。本節(jié)課中，學(xué)生普遍反映在符號判斷方面存在困難，如易混淆cos(α-β)與cos(β-α)的符號。為解決這一問題，教師可以在公式推導(dǎo)后，專門設(shè)置符號判斷的練習(xí)環(huán)節(jié)，通過對比不同角的取值范圍，幫助學(xué)生理解符號變化的規(guī)律。例如，可以列舉不同象限的角，讓學(xué)生判斷cos(α-β)的符號，并通過具體計(jì)算驗(yàn)證結(jié)論。此外，可以設(shè)計(jì)一些變式題，如已知cos(α-β)的值，求cos(β-α)的值，強(qiáng)化學(xué)生對符號關(guān)系的理解。

（2）強(qiáng)化角的轉(zhuǎn)化技能的訓(xùn)練。部分學(xué)生在應(yīng)用公式時，難以將角進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化，如無法將75°轉(zhuǎn)化為45°+30°或60°-15°的形式。為提升這一技能，教師可以在課前或課后補(bǔ)充角的和差互化的練習(xí)，幫助學(xué)生熟悉常見角的組合關(guān)系。例如，可以引導(dǎo)學(xué)生記憶一些常用角的和差值，如30°+45°=75°，60°-45°=15°等，并通過練習(xí)鞏固這些關(guān)系。此外，可以設(shè)計(jì)一些含有角的和差公式的復(fù)合問題，如cos(α+β-γ)，引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握角的拆分和組合方法。

（3）關(guān)注個體差異，實(shí)施分層教學(xué)。本節(jié)課中，部分學(xué)生因基礎(chǔ)薄弱，在公式推導(dǎo)和技能應(yīng)用方面存在困難。為解決這一問題，教師可以采用分層教學(xué)的方法，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，設(shè)計(jì)不同難度的練習(xí)題。例如，對于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，可以布置一些涉及角的變形和恒等變換的拓展題；對于基礎(chǔ)較弱的學(xué)生，可以提供一些輔助性的學(xué)習(xí)資料，如公式推導(dǎo)的詳細(xì)步驟和角的轉(zhuǎn)化技巧，幫助他們逐步跟上進(jìn)度。此外，教師可以在課后進(jìn)行個別輔導(dǎo)，幫助學(xué)生解決遺留的問題，增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)信心。

（4）豐富教學(xué)手段，增強(qiáng)課堂的趣味性。雖然多媒體演示已經(jīng)起到了一定的作用，但課堂的趣味性仍有提升空間。教師可以嘗試引入一些互動式的教學(xué)工具，如數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)軟件或在線答題平臺，讓學(xué)生通過動手操作或?qū)崟r答題的方式參與課堂，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的趣味性和參與度。例如，可以利用幾何畫板動態(tài)展示角的和差變化，讓學(xué)生直觀感受公式的應(yīng)用；或通過在線答題平臺進(jìn)行即時反饋，讓學(xué)生了解自己的學(xué)習(xí)情況，及時調(diào)整學(xué)習(xí)策略。

如何進(jìn)一步提升教學(xué)質(zhì)量？除了上述具體改進(jìn)措施外，教師還可以從以下幾個方面進(jìn)一步提升教學(xué)質(zhì)量：

首先，加強(qiáng)教材的研究和挖掘。教師應(yīng)深入研讀教材，不僅關(guān)注公式本身的推導(dǎo)和應(yīng)用，還要挖掘教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，如數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等，并通過教學(xué)設(shè)計(jì)將這些思想方法滲透到課堂中，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

其次，注重知識的聯(lián)系和拓展。兩角差的余弦公式是三角函數(shù)的重要內(nèi)容，與兩角和的余弦公式、正弦公式、余弦定理等知識密切相關(guān)。教師可以在教學(xué)中注重知識的聯(lián)系和拓展，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系，如通過對比不同公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，幫助學(xué)生記憶和理解；或通過綜合應(yīng)用不同公式解決復(fù)雜問題，提升學(xué)生的綜合能力。

再次，加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的滲透。數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)教育的重要組成部分，能夠增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和人文素養(yǎng)。教師可以在教學(xué)中適當(dāng)引入數(shù)學(xué)史或數(shù)學(xué)家的故事，如介紹余弦公式的發(fā)現(xiàn)過程或應(yīng)用實(shí)例，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)同感。

最后，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程和評價。教學(xué)質(zhì)量不僅體現(xiàn)在學(xué)生的知識掌握上，還體現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程和評價中。教師應(yīng)注重學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，如觀察學(xué)生的課堂表現(xiàn)、收集學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋等，并根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況調(diào)整教學(xué)策略。此外，教師可以采用多元化的評價方式，如形成性評價和總結(jié)性評價相結(jié)合，全面評價學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

3.后續(xù)跟蹤：建議進(jìn)行后續(xù)聽課跟進(jìn)，以評估改進(jìn)措施的實(shí)施效果。計(jì)劃采取以下支持措施幫助教師成長：

首先，安排二次聽課，重點(diǎn)觀察教師在符號教學(xué)、角的轉(zhuǎn)化技能訓(xùn)練、分層教學(xué)等方面的改進(jìn)情況。聽課結(jié)束后，及時與教師進(jìn)行交流，反饋聽課意見，并共同探討改進(jìn)策略。

其次，提供教學(xué)資源支持，如分享相關(guān)的教學(xué)案例、習(xí)題集或教學(xué)軟件等，幫助教師豐富教學(xué)手段，提升教學(xué)能