第1頁/共1頁2024-2025學年高一上學期1月期末高一數(shù)學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合直接求并集即可．【詳解】解：因為集合，，所以．故選：A.2.函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，列出不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，，解得且，即函數(shù)的定義域為.故選：A3.下列命題中，是真命題的是（）A.如果，那么 B.如果，那么C.如果，那么 D.如果，，那么【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)和特殊值法，逐項驗證可得出答案.【詳解】對于A，如果，那么，故錯誤；對于B，如果，那么，故錯誤；對于C，如果，那么，故錯誤；對于D，如果，那么，由，則，故正確.故選：D.4.下列函數(shù)中，與函數(shù)是相等函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依次判斷各個選項的解析式和定義域是否和相同，二者皆相同即為同一函數(shù)，由此得到結(jié)果.【詳解】的定義域為；對于A，定義域為，與定義域不同，不是同一函數(shù)，A錯誤；對于B，，與定義域相同，解析式相同，同一函數(shù)，B正確；對于C，定義域為，與定義域不同，不是同一函數(shù)，C錯誤；對于D，，與解析式不同，不是同一函數(shù)，D錯誤.故選：B.5.已知冪函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞減，則a的取值是（）A.1 B. C.1或 D.0【答案】A【解析】【分析】利用冪函數(shù)的定義和單調(diào)性列式計算即得.【詳解】由冪函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞減，得，所以.故選：A.6.若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的知識來求得正確答案.【詳解】依題意，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以，所以，所以，所以，故.故選：D7.已知函數(shù)的圖象如圖1所示，則圖2對應的函數(shù)有可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對于ABD，可得到當時，，，，從而ABD錯誤，C滿足要求.【詳解】對于A，由圖1可得，當時，，所以當時，，故錯誤；對于B，由圖1可得當時，，所以當時，，故錯誤；對于C，由圖1可得當時，，當時，，所以當時，；當時，，選項C正確；對于D，由圖1可得當時，，則當時，，，選項D錯誤.故選：C.8.若存在，使不等式成立，則實數(shù)a的（）A.最大值是－2 B.最小值是6 C.最小值是－2 D.最大值是6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)x范圍，求解不等式能成立問題，轉(zhuǎn)化為，求出實數(shù)a的最大值.【詳解】因為存在，使不等式，所以，其中為的最大值，時，，所以，而，當且僅當時取等號，所以所以故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.函數(shù)是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增B.函數(shù)的最小值為C.“”是“”的充要條件D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，基本不等式，算術平方根的性質(zhì)，取特值，即可得出結(jié)論.【詳解】，因為，當時，，當時，，所以不是偶函數(shù)，選項錯誤；令根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可得，在是增函數(shù)，的最小值為，即的最小值為，選項錯誤；因為，，，所以，即，選項正確；當時，成立，故選項正確.故選：CD10.已知是定義在上的增函數(shù)，則下列結(jié)論中錯誤的有A.是增函數(shù) B.是減函數(shù)C.是減函數(shù) D.是增函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】構造具體函數(shù)，判斷出錯誤結(jié)論，利用復合函數(shù)單調(diào)性同增異減證明正確結(jié)論.【詳解】設，在上遞增.對于A選項，在遞減，故A選項結(jié)論錯誤.對于B選項，在和上遞減，但不能說是減函數(shù)，故B選項結(jié)論錯誤.對于C選項，是減函數(shù).下證明一般性：由于是定義在上的增函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知是上的減函數(shù).故C選項結(jié)論正確.對于D選項，在遞減，故D選項結(jié)論錯誤.故選ABD.【點睛】本小題主要考查復合函數(shù)單調(diào)性，屬于基礎題.11.定義為不超過最大整數(shù)，對于函數(shù)有下列四個結(jié)論，其中正確的有（）A. B.C.方程有無數(shù)個根 D.當時，【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)定義分別計算出函數(shù)值即可判斷A正確，B錯誤；易知當取等數(shù)時都滿足方程，可知C正確；當時，可得D正確.【詳解】對于A，根據(jù)定義可知，所以，A正確；對于B，，所以，B錯誤；對于C，方程可知，即，令，可得，即可取，即方程有無數(shù)個根，C正確；對于D，當時，可得，所以，即D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.命題“，都有”的否定為________．【答案】，使得【解析】【分析】根據(jù)含有一個量詞的命題的否定即可得答案.【詳解】由題意知命題“，都有”為全稱命題，故其否定為：，使得，故答案為：，使得13.已知，則________.【答案】【解析】【分析】利用換元法求函數(shù)解析式即可.【詳解】令t＝x-1，則x＝t+1，f(t)＝(t+1)2+1＝t2+2t+2，即f(x)＝x2+2x+2．故答案為：14.已知函數(shù)若在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為________；若在)上的值域為，則實數(shù)的取值范圍為________.【答案】①.②.【解析】【分析】由已知結(jié)合二次函數(shù)及分段函數(shù)的單調(diào)性可求a的范圍；由二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值與函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的關系對對稱軸分類討論可求.【詳解】由題意可得，，解得，當時，由在上的值域為可得，，解得，（舍），又，所以，當時，在單調(diào)遞減，此時時取得最大值，不符合題意，故，故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)集合并集的定義進行求解即可；（2）根據(jù)集合交集運算性質(zhì)進行求解即可.【小問1詳解】因為，所以，而，所以；【小問2詳解】因為，所以，或，由，顯然滿足；由，而，所以不存在這種情況，綜上所述：實數(shù)a的取值范圍16.已知二次函數(shù)的值域為，且不等式的解集為.（1）求的解析式；（2）若對于任意的，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）運用待定系數(shù)法，設，由題意建立方程組，解之可得函數(shù)的解析式；（2）由（1）將問題轉(zhuǎn)化為對恒成立，令，運用二次函數(shù)的性質(zhì)求得其最值，再由不等式恒成立的思想可求得m的取值范圍.【詳解】（1）設，由題意可知：，解得，即；（2）由（1）得對恒成立，令，當，，故.【點睛】常用的不等式恒成立的思想：對一切恒成立，等價于；對一切恒成立，等價于.17.已知函數(shù)．（1）判斷的奇偶性，并用定義證明；（2）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明．【答案】（1）是偶函數(shù)，證明見解析（2）在區(qū)間在上單調(diào)遞減，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用函數(shù)奇偶性的定義和判定方法，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用函數(shù)單調(diào)性的定義和判定方法，即可求解.【小問1詳解】函數(shù)是偶函數(shù).證明如下：由函數(shù)，可得其定義域為，關于原點對稱，且，即，所以是定義域上的偶函數(shù).【小問2詳解】函數(shù)在區(qū)間在上單調(diào)遞減.證明如下：設，則．因為，可得，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減函數(shù).18.設某商品的利潤只由生產(chǎn)成本和銷售收入決定．生產(chǎn)成本C（單位：萬元）與產(chǎn)量x（單位：百件）的函數(shù)關系是；銷售收入S（單位：萬元）與產(chǎn)量x的函數(shù)關系式為（1）求該商品的利潤關于產(chǎn)量x的函數(shù)解析式；（利潤＝銷售收入－生產(chǎn)成本）（2）為使該商品的利潤最大化，應如何安排產(chǎn)量？【答案】（1）（2）為使該商品的利潤最大化，產(chǎn)量為百件.【解析】【分析】（1）利用求出利潤函數(shù)即可；（2）先求出在上的最大值，由一次函數(shù)單調(diào)性求上的最大值，比較大小，即可確定利潤最大時的生產(chǎn)量.【小問1詳解】由題意，利潤，所以.【小問2詳解】由（1）知，當時，，上單調(diào)遞增，所以，當時，在上單調(diào)遞減，所以.綜上，為使該商品的利潤最大化，產(chǎn)量為百件.19.已知是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，且.（1）解不等式；（2）若對和恒成立，求實數(shù)取值范圍.【答案】（1）解集為（2）【解析】【分析】（1