20222023學年小學三年級思維拓展舉一反三精編講義專題19用假設法解題（雞兔同籠）知識精講知識精講專題簡析：假設是數學中思考問題的一常見的方法，有些應用題乍看很難求出答案，但是如果我們合理地進行假設，往往會使問題得到解決。所謂假設法就是依照已知條件進行推算，根據數量上出現的矛盾，作適當的調整，從而找到正確答案。我國古代趣題“雞兔同籠”就是運用假設法解決問題的一個范例。解答“雞兔同籠”問題的基本關系式是：兔數=（總腳數－每只雞腳數×雞兔總數）÷（每只兔子腳數－每只雞腳數）用假設法解答類似“雞兔同籠”的問題時，可以根據題意假設幾個量相同，然后進行推算，所得結果與題中對應的數量不符合時，要能夠正確地運用別的量加以調整，從而找到正確的答案。典例分析典例分析【典例分析01】雞、兔共30只，共有腳84只。雞、兔各有多少只？【思路引導】假設全是雞，共有腳：30×2=60只；比實際少：84－60=24只；這是因為把4只腳的兔子都按2只腳的雞計算了。每把一只兔子算作一只雞，少算：4－2=2只腳，現在共少算了24只腳，說明把：24÷2=12只兔子按雞算了。所以，共有兔子12只，有雞30－12=18只?！镜淅治?2】雞、兔共籠，雞比兔多30只，一共有腳168只，雞、兔各多少只？【思路引導】因為雞比兔多30只，則可以把30只雞的腳從總數中去掉，剩下的雞兔就同樣多了。每一對雞和兔共4＋2=6只腳，用6去除剩下的雞兔總腳數，就可求出兔的只數。兔的只數：（168－2×30）÷（4＋2）=18只；雞的只數：18＋30=48只?！镜淅治?3】某學校舉行數學競賽，每做對一題得9分，做錯一題倒扣3分。共有12道題，王剛得了84分。王剛做錯了幾題？【思路引導】這類題實與雞兔同籠同類，還用假設法進行思考。若全做對，應得9×12=108分，現在少了108－84=24分。為什么會少24分，因為做錯一題，不但得不到9分，反而需要倒扣3分，里外少了12分，所以錯了24÷12=2題?！镜淅治?4】水果糖的塊數是巧克力糖的3倍，如果小紅每天吃2塊水果糖，1塊巧克力糖，若干天后，水果糖還剩下7塊，巧克力糖正好吃完。原來水果糖有幾塊？【思路引導】水果糖的塊數是巧克力糖的3倍，如果小紅每天吃1塊巧克力糖，3塊水果糖，那若干天后，兩種糖正好同時吃完?，F在小紅每天吃2塊水果糖，少吃3－2=1塊，結果若干天后水果糖還剩下7塊。所以共吃了7÷1=7天，水果糖有2×7＋7=21塊?！镜淅治?5】學校買來8張辦公桌和6把椅子，共花去1650元。每張辦公桌的價錢是每把椅子的2倍，每張辦公桌和每把椅子各多少元？【思路引導】假設學校買的全部是辦公桌，根據“每張辦公桌的價錢是每把椅子的2倍”，則買6把椅子的價錢只能買6÷2=3張辦公桌，那么1650元就相當于8＋3=11張辦公桌的價錢。所以，每張辦公桌：1650÷11=150元每把椅子：150÷2=75元。真題演練真題演練一．選擇題（共5小題，滿分10分，每小題2分）1．（2分）有2名老師帶領22名學生去游船，大船限坐6人，小船限坐4人，不能恰好坐滿的是（）A．3條大船和2條小船 B．6條小船 C．2條大船和3條小船【思路引導】分別把每個選項的結果總人數算出來，然后再進行選擇即可。【規(guī)范解答】解：總人數：2+22＝24（人）A．3條大船和2條小船：3×6+2×4＝26（人），不能恰好坐滿；B．6條小船：6×4＝24（人），能恰好坐滿；C．2條大船和3條小船：2×6+3×4＝24（人），能恰好坐滿；故選：A?！究键c評析】此題考查雞兔同籠的應用。注意總人數是24人。2．（2分）在新型冠狀病毒泛濫期間，每出門采購一次口罩，消耗家里庫存1只，每次只買3只；買到了，賺2只；買不到，虧1只。老張家里原有庫存10只，出門10次之后，家里現有12只。他有（）次出門是買到口罩的。A．3 B．4 C．5【思路引導】根據題意，設有x次買到了口罩，則有（10﹣x）次沒買到，根據口罩個數列方程為：2x﹣（10﹣x）×1+10＝12，解方程即可?！疽?guī)范解答】解：設有x次買到了口罩，則有（10﹣x）次沒買到，2x﹣（10﹣x）×1+10＝122x﹣10+x+10＝123x＝12x＝4答：他有4次出門是買到口罩的。故選：B?！究键c評析】本題主要考查盈虧問題，關鍵根據題意設未知數，利用口罩個數的變化列方程求解。3．（2分）有10元人民幣和5元人民幣共15張，合計120元，其中10元的人民幣有（）張．A．12 B．10 C．9 D．8【思路引導】此題可以用假設法來解答，假設都是5元的，那么一共有5×15＝75（元），因為一共是120元，少了120﹣75＝45（元），就是因為把10元的也看作5元的了，所以10元的有45÷（10﹣5）＝9（張），據此解答．【規(guī)范解答】解：假設全是5元的，則10元的有：（120﹣5×15）÷（10﹣5）＝（120﹣75）÷5＝45÷5＝9（張）答：其中10元的人民幣有9張．故選：C?！究键c評析】此題考查了用假設法來解答問題的能力，本題也可以假設都是10元的，同樣得出結論．4．（2分）小麗家雞、兔同籠．上有10只頭，下有28只腳，雞有（）只．A．6 B．4 C．10【思路引導】假設全是雞，則腳有10×2＝20只腳，則比已知少了28﹣20＝8只腳，因為1只雞比1只兔少2只腳，所以兔有8÷2＝4只，進而求出雞的只數，由此即可解答．【規(guī)范解答】解：（28﹣20）÷（4﹣2）＝8÷2＝4（只）10﹣4＝6（只）答：雞有6只．故選：A．【考點評析】此題屬于雞兔同籠問題，解這類題的關鍵是用假設法進行分析，進而得出結論；也可以用方程進行解答．5．（2分）學校組織秋游，到目的地后，有48位同學要坐電瓶車去游樂園游玩，每輛小車坐6人，每輛大車坐10人。那么需要____輛小車和____輛大車，就能一次性剛好坐滿。（）A．6，1 B．4，2 C．3，3【思路引導】把48拆分成6×3+10×3即可求解?！疽?guī)范解答】解：48＝6×3+10×3答：需要3輛小車和3輛大車，就能一次性剛好坐滿。故選：C。【考點評析】解題的關鍵是把48正確拆分成6×3+10×3。二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）6．（2分）李老師帶了43個同學去西湖劃船，共租了9條船，每條大船坐6人，每條小船坐4人，大船有4條，小船有5條．【思路引導】假設全是租的大船，則可以座滿9×6＝54人，這比已知的43+1＝44人多了54﹣44＝10人，因為一只大船比一只小船多坐6﹣4＝2人，則小船有10÷2＝5只，據此即可得出大船有9﹣5＝4只．【規(guī)范解答】解：小船有：（9×6﹣43﹣1）÷（6﹣4），＝10÷2，＝5（條），則大船有：9﹣5＝4（條），答：大船有4條，小船有5條．故答案為：4；5．【考點評析】此題屬于雞兔同籠問題，采用假設法即可解答．7．（2分）足球比賽贏一場得3分，平一場得1分，輸一場得0分。星星足球隊一共得了15分，平了3場，贏了4場?！舅悸芬龑А科揭粓龅?分，輸一場得0分，星星足球隊一共得了15分，平了3場，可得贏的得分是15﹣1×3＝12（分），由于贏一場得3分，所以贏的場次就是12÷3＝4；據此解答?！疽?guī)范解答】解：15﹣1×3＝12（分）12÷3＝4（場）答：贏了4場。故答案為：4。【考點評析】解答此題關鍵是明確總得分中包括贏的場次得分和平的場次得分。8．（2分）一次數學競賽共10題，規(guī)定做對一題得10分，做錯一題倒扣3分，小明都做了，但只得到分61分，那么小明做錯3題．【思路引導】假設10道題全做對，則得10×10＝100分，這樣就少出100﹣61＝39分；做錯一題比做對一題少10+3＝13分，也就是做錯39÷13＝3道題，進而得出做對題的數量．【規(guī)范解答】解：（10×10﹣61）÷（10+3）＝39÷13＝3（道）答：小明做錯3題．故答案為：3．【考點評析】此題屬于雞兔同籠問題，解這類題的關鍵是用假設法進行分析，進而得出結論；也可以用方程進行解答．9．（2分）籠里有雞和兔的頭共9只，腿24條．雞有6只，兔有3只．【思路引導】假設籠子里都是雞，那么就有9×2＝18條腿，這樣就多出24﹣18＝6條腿；因為一只兔比一只雞多4﹣2＝2條腿，也就是有6÷2＝3只兔；進而求得雞的只數．【規(guī)范解答】解：兔：（24﹣9×2）÷（4﹣2）＝6÷2＝3（只）；雞：9﹣3＝6（只）；答：雞有6只，兔有3只．故答案為：6；3．【考點評析】此題屬于典型的雞兔同籠問題，解答此類題的關鍵是用假設法進行分析比較，進而得出結論；也可以用方程，設其中的一個數為未知數，另一個數也用未知數表示，列出方程解答即可．10．（2分）20只猴子一共吃了38個桃，每只大猴吃3個，每只小猴吃1個，請你算一算，大猴有9只．【思路引導】假設都是小猴，那么就吃20×1＝20個桃子，這樣就少吃38﹣20＝18個桃子；因為一只小猴比一只大猴少吃（3﹣1）＝2個桃子，也就是有18÷2＝9只大猴；據此解答．【規(guī)范解答】解：（38﹣20×1）÷（3﹣1），＝18÷2，＝9（只）；答：大猴有9只．故答案為：9．【考點評析】此題屬于典型的雞兔同籠問題，解答此類題的關鍵是用假設法，也可以用方程進行解答．11．（2分）一堆香蕉供3頭象吃1天，結果還差10根，這三頭象中，有1頭大象和2頭小象。【思路引導】根據題意，這堆香蕉的數量加上10根（即210根）就可以供3頭象吃一天的了，假設全是小象，那么需要吃60×3＝180根，比210根少了30根，這是因為每頭大象比每頭小象每天多吃90﹣60＝30（根），所以只需要把一頭小象替換成一頭大象即可?！疽?guī)范解答】解：200+10＝210（根）假設全是小象：（210﹣60×3）÷（90﹣60）＝30÷30＝1（頭）3﹣1＝2（頭）答：這三頭象中，有1頭大象和2頭小象。故答案為：1，2?！究键c評析】此題屬于雞兔同籠問題，解這類題的關鍵是用假設法進行分析，也可以用列表等方法解決問題。12．（2分）有30位同學去秋游，小車限乘4人，大車限乘9人，租3輛小車和2輛大車能正好坐滿。【思路引導】根據大車和小車每輛車坐的人數，嘗試代入大車的輛數從0到3，再確定小車的輛數，找到正好坐滿的租車方案即可?！疽?guī)范解答】解：9×2+4×3＝18+12＝30（人）答：租3輛小車和2輛大車能正好坐滿。故答案為：3；2?！究键c評析】本題解題的關鍵是根據大車和小車每輛車坐的人數，找到正好坐滿的租車方案。13．（2分）笑笑養(yǎng)了一些雞和兔子，到了晚上每只雞都會收起一條腿，變成“金雞獨立”，笑笑數了數，白天的時候他們一共有36條腿，晚上的時候一共有30條腿，那么笑笑養(yǎng)了6只小兔子．【思路引導】雞白天有兩條腿，晚上有1條腿，兔子有4條腿，它們一共有36條腿，晚上的時候一共有30條腿，則白天比晚上多了6條腿，由于一只雞會收起一條腿，所以有6只雞，利用晚上有30條腿，除去雞的6條腿，還剩30﹣6＝24條腿，用24÷4即可求出兔子的只數．【規(guī)范解答】解：36﹣30＝6（只）30﹣6＝24（條）24÷4＝6（只）答：笑笑養(yǎng)了6只小兔子．故答案為：6．【考點評析】解答此題的關鍵是明白白天比晚上多了6條腿，所以有6只雞．三．解答題（共14小題，滿分74分）14．（5分）籠子里有若干只雞和兔子．從籠子上面看有30個頭，從籠子下面看有82條腿，雞和兔子各多少只？【思路引導】假設全部為兔子，共有腿4×30＝120條，比實際的82條多：120﹣82＝38條，因為我們把雞當成了兔子，每只多算了4﹣2＝2條腿，所以可以算出雞的只數，列式為：38÷2＝19（只），那么兔子就有：30﹣19＝11（只）；據此解答．【規(guī)范解答】解：假設全是兔，雞：（4×30﹣82）÷（4﹣2）＝38÷2＝19（只）兔：30﹣19＝11（只）答：雞有19只，兔有11只．【考點評析】解決雞兔同籠問題往往用假設法解答，有些應用題中有兩個或兩個以上的未知量，思考問題時，可以假設要求的兩個或兩個以上的未知量相等，或假設它們?yōu)橥环N量，然后按照題中的已知條件進行推算，如果數量上出現矛盾，可適當調整，以求出正確的結果．15．（5分）玲玲在郵電局買面值為40分和80分的紀念郵票共9張，付錢6元，她買的兩種面值的郵票各是多少張？【思路引導】6元是600分，假設全是80分的郵票，一共需要付錢80×9＝720分，這比實際多720﹣600＝120分，是因為每張80分的比每張40分的多花80﹣40＝40分，用多的總錢數除以每張多的錢數，即可求出40分的郵票有多少張，進而求出80分的郵票有多少張．【規(guī)范解答】解：6元＝600分（80×9﹣600）÷（80﹣40）＝120÷40＝3（張）9﹣3＝6（張）答：她買的80分的郵票有6張，40分的郵票有3張．【考點評析】此題屬于典型的雞兔同籠題，解答此題的關鍵是先進行假設，然后根據假設后的情況進行計算，即可得出答案；也可以用方程解答，設其中的一個量為未知數，另一個數也用未知數表示，根據題意，列出方程，解答即可．16．（5分）某小學32名師生去某景區(qū)旅游，買門票共花了2600元，已知成人票每張100元，兒童票每張50元，有多少名老師？多少名學生？【思路引導】假設全是老師，那么一共需要花32×100＝3200元，比實際多花了3200﹣2600＝600元，而成人票比兒童片每張多100﹣50＝50元，用多的總錢數除以每張多的錢數，即可求出兒童票的張數，進而求出成人票的張數，也就可以得出老師和學生的人數．【規(guī)范解答】解：假設全是老師，那么學生有：（32×100﹣2600）÷（100﹣50）＝600÷50＝12（名）老師：32﹣12＝20（名）答：有20名老師，12名學生．【考點評析】本題屬于雞兔同籠問題，也可以用方程的方法求解，設出一種票的數量，表示出另一種票的張數，再分別表示出兩張票的價錢，然后根據總價列出方程求解．17．（5分）50名同學去劃船，共乘坐11只船且都坐滿，其中每只大船坐6人，每只小船坐4人．大船和小船各有幾只？【思路引導】根據題干，設大船有x只，則小船就是11﹣x只，根據等量關系：大船只數×6+小船只數×4＝總人數50，列出方程解決問題．【規(guī)范解答】解：設大船有x只，則小船就是11﹣x只，根據題意可得方程6x+4（11﹣x）＝506x+44﹣4x＝502x＝6x＝311﹣3＝8（只）答：大船有3只，小船有8只．【考點評析】此題屬于含有兩個未知數的應用題，這類題用方程解答比較容易，關鍵是找準數量間的相等關系，設一個未知數為x，另一個未知數用含x的式子來表示，進而列并解方程即可．18．（5分）四年級數學競賽試卷共有15小題，做對一題得10分，做錯題扣4分，陳莉得了80分，她有多少題做對？【思路引導】假設15道題全做對，則得15×10＝150分，這樣就少得150﹣80＝70分；做錯一題比做對一題少10+4＝14分，也就是做錯70÷14＝5道題，進而得出做對題的數量．【規(guī)范解答】解：答錯：（15×10﹣80）÷（10+4）＝70÷14＝5（道）答對：15﹣5＝10（道）答：她做對了10道題．【考點評析】此題屬于雞兔同籠問題，解這類題的關鍵是用假設法進行分析，進而得出結論；也可以用方程進行解答．19．（5分）個體戶王小二承接了建筑公司一項運輸1200塊玻璃的業(yè)務，并簽了合同．合同上規(guī)定：每塊玻璃運費2元，如果運輸過程中有損壞，每損壞一塊，除了扣除一塊的運費外，還要賠償25元．王小二把這1200塊玻璃運送到指定地點后，建筑公司按合同付給他2076元．運輸過程中損壞了多少塊？【思路引導】根據題意，每塊運輸費是2元，假如沒有損壞應得運費：1200×2＝2400元；如損壞一塊要賠償25元，意思是損壞一塊不但得不到2元的運費，還要賠償25元，也就是損壞一塊要從運費中扣除（25+2）元，用原價2400減去現在的價格2076元就是損壞的總價格，除以27就是運輸過程中損壞的數量，由此解答即可．【規(guī)范解答】解：假如沒有損壞應得運費：1200×2＝2400（元）損失一塊跟完好相比相差：25+2＝27（元）；所以損壞了：（2400﹣2076）÷27＝324÷27＝12（塊）；答：運輸過程中損壞了12塊．【考點評析】此題的解答關鍵是理解損壞一塊不但得不到2元的運費，還要賠償25元，也就是損壞一塊要從運費中扣除（2+25）元，由此列式解答即可．20．（5分）100個和尚100個面包，大和尚一人吃3個面包，小和尚3人吃一個面包，問大小和尚各有多少個？【思路引導】根據“雞兔同籠”問題，九個小和尚吃的個數相當于一個大和尚吃的個數，假設每人都吃3個，100×3﹣100＝200個，還差200個．這200個就相當于（9﹣1）個大和尚吃的個數，由此可以求出大和尚是積人，用100減大和尚的人數，問題就得到解決．【規(guī)范解答】解：九個小和尚吃的個數相當于一個大和尚吃的個數，100×3﹣100＝200（個），100個大和尚要吃300個面包，還差200個，200÷（9﹣1）＝25（人），100﹣25＝75（人）；答：25個大和尚，75個小和尚．【考點評析】此題根據“雞兔同籠”問題，利用假設法來解決問題比較簡便．21．（5分）松鼠媽媽采松子，晴天每天可采20個，雨天每天可采12個，它一連幾天共采了112個松子，平均每天采14個，問這幾天當中有幾天有雨天？【思路引導】根據題意，可以求出它一共采的天數是112÷14＝8（天），由題意，晴天每天可采20個，雨天每天可采12個，它一連8天共采了112個松子；根據雞兔同籠問題中的公式，就可以求出雨天有幾天．【規(guī)范解答】解：根據題意可得，它一共采的天數是112÷14＝8（天），根據雞兔同籠問題中的公式可知，雨天的天數：（20×8﹣112）÷（20﹣12），＝48÷8，＝6（天）；答：這幾天當中有6天有雨．【考點評析】根據題意，可以把此次轉化為雞兔同籠的問題進行解決．22．（5分）52名學生去公園劃船，一共乘坐12條船，期中大船坐6人，小船坐4人，大船、小船各幾條？【思路引導】假設全部是大船，因為每條大船坐6人，那么12條船共坐72人，與原有人數進行比較，多出20人，變化的原因是原來每條小船只坐4人，現在假設坐了6人，每條小船多坐了2人，很顯然，小船數就是20÷2＝10條．據此即可解答問題．【規(guī)范解答】解：假設全部是大船，則小船有：（12×6﹣52）÷（6﹣4）＝20÷2＝10（條）所以大船有12﹣10＝2（條）答：大船有2條，小船有10條．【考點評析】此題屬于雞兔同籠問題，解這類題的關鍵是用假設法進行分析，進而得出結論；也可以用方程進行解答．23．（5分）公園門票出售5元、8元、10元共100張，收入748元，其中5元和8元的張數相等．各種票售出多少張？【思路引導】假設全部為10元的，共收入10×100＝1000元，比實際的748元多：1000﹣748＝252元，因為我們把5元、8元的都當成了10元的，每張一共多算了10﹣5+10﹣8＝7元，所以可以算出5元和8元的張數，列式為：252÷7＝36（張），那么10元的就有：100﹣36×2＝28（張）；據此解答．【規(guī)范解答】解：假設全是10元的，5和8元的張數：（10×100﹣748）÷（10﹣5+10﹣8）＝252÷7＝36（張）；10元的張數：100﹣36×2＝28（張）；答：5元的票售出36張，8元的票售出36張，10元的票售出28張．【考點評析】此題關鍵是找清題中的等量關系，再利用數量間的關系即可列式作答．24．（6分）育才小學舉行數學競賽，共20道試題，做對一道題得5分，做錯一道題倒扣3分，小華得了84分，他做對了幾道題？【思路引導】根據“每做對一道得5分，做錯一道題扣3分，”可知：做錯一題比做對一題少得3+5＝8分；全部做對20道題共得20×5＝100（分）；假設小華全部做對得分是100分，比84分多得100﹣84＝16（分），那么他做錯了：16÷8＝2（道）；所以小華做對：20﹣2＝18道題．【規(guī)范解答】解：（5×20﹣84）÷（3+5），＝16÷8，＝2（道）；20﹣