/2024-2025學(xué)年湖南省婁底市漣源市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知平面向量，，，則實(shí)數(shù)（）A． B．1 C． D．22．已知為虛數(shù)單位，，則（

）A．1 B．2 C． D．3．已知集合且，，則的子集的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．8 D．164．若命題，，則命題的否定為（

）A．， B．，C．， D．，5．函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．6．函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象.若對(duì)任意的都有，則圖中的值為（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，在其相鄰兩項(xiàng)，之間插入個(gè)，得到新的數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，則使成立的的最小值為（）A．28 B．29 C．30 D．318．已知點(diǎn)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓B上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的角平分線的對(duì)稱點(diǎn)N也在橢圓B上，若，則橢圓B的離心率為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．某超市在兩周內(nèi)的藍(lán)莓每日促銷(xiāo)量如圖所示，根據(jù)此折線圖，下面結(jié)論正確的是（）A．這14天日促銷(xiāo)量的眾數(shù)是214B．這14天日促銷(xiāo)量的中位數(shù)是196C．這14天日促銷(xiāo)量的極差為195D．這14天日促銷(xiāo)量的第80百分位數(shù)是24310．已知直線和圓相交于M，N兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線過(guò)定點(diǎn)B．的最小值為3C．的最小值為D．圓上到直線的距離為的點(diǎn)恰好有三個(gè)，則11．如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)，P是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若平面CEF，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為B．若，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C．若P是正方形的中心，Q在線段EF上，則的最小值為D．若P是棱的中點(diǎn)，三棱錐的外接球球心為O，則平面截球O所得截面的面積為三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則的最大值為．13．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為．14．已知數(shù)列，等可能取，0或1，數(shù)列滿足，且，則的概率為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，且．(1)求角；(2)若，，求的面積．16．如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，為等邊三角形，平面平面，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．17．已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程：(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)，若的面積為，求直線的斜率.18．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，（ⅰ）求的極值；（ⅱ）若的極小值小于0，求的取值范圍．19．已知數(shù)列滿足，且對(duì)任意正整數(shù)都有.(1)寫(xiě)出，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在正整數(shù)，使得，求的值；(3)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，求證.

答案1．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?，，，所以，解得，故選：A2．【正確答案】C【詳解】依題意，，而，則，所以.故選：C3．【正確答案】B【詳解】由題意可知，，則，所以的子集的個(gè)數(shù)為.故選：B4．【正確答案】D【詳解】命題，為存在量詞命題，則該命題的否定為，，故選：D．5．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)椋?，所以是奇函?shù)，從而ACD錯(cuò)誤，B正確.故選：B.6．【正確答案】A【詳解】解：由，得.的圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得的圖象，由題意知為奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn).設(shè)的最小正周期為，則，所以，故.又，，且，可得，所以，.故選：A.7．【正確答案】B【詳解】由題意，數(shù)列元素依次為，，在到之間3的個(gè)數(shù)為，故到處共有35個(gè)元素，所以前30項(xiàng)中含，，及26個(gè)3，故，而，故成立的最小的為29.故選：B8．【正確答案】B【詳解】由題意可知，，且，，所以，

因?yàn)?，所以，所以即，又，所以，所以由余弦定理得，整理得，所以?故選：B.9．【正確答案】AC【詳解】根據(jù)題意得藍(lán)莓每日促銷(xiāo)量從小到大排列得到數(shù)據(jù)為：，對(duì)于A，則這14天藍(lán)莓每日促銷(xiāo)量的眾數(shù)是214，故A正確；對(duì)于B，這14天藍(lán)莓每日促銷(xiāo)量的中位數(shù)是第7和8個(gè)數(shù)據(jù)的平均值，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，這14天藍(lán)莓每日促銷(xiāo)量的極差是，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋赃@14天藍(lán)莓每日促銷(xiāo)量的第80百分位數(shù)為第12個(gè)數(shù)據(jù)，即260，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．【正確答案】AC【詳解】對(duì)于A，直線，即，由解得，所以定點(diǎn)坐標(biāo)為，A正確，對(duì)于B，圓的圓心為，半徑為，點(diǎn)與圓心的距離為，所以的最小值為，此時(shí)直線垂直于軸，故此時(shí)無(wú)最小值，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，設(shè)，則，當(dāng)，即直線方程為時(shí)，取得最小值為，所以C正確，對(duì)于D，若圓上到直線的距離為的點(diǎn)恰好有三個(gè)，則圓心到直線的距離為，所以，整理得，所以D錯(cuò)誤.故選：AC11．【正確答案】ACD【詳解】如圖，取的中點(diǎn)為N，M，連接MN，DN，BD，BM，NE，，所以，又E，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)，所以，所以，平面CEF，平面CEF，∴平面CEF，因?yàn)镹，E分別是棱的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形CDNE為平行四邊形，所以，又平面CEF，平面CEF，∴平面CEF，又，MN，平面BDNM，所以平面平面CEF，點(diǎn)P是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面CEF，所以點(diǎn)P的軌跡為線段MN，由勾股定理得，故A正確；如圖，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得A0,0,0，設(shè)，，所以，所以點(diǎn)P的軌跡為為圓心，半徑為1的個(gè)圓，所以點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為，故B錯(cuò)誤：如圖，將平面CEF翻折到與平面共面，連接PC，與EF交于點(diǎn)Q，此時(shí)取到最小值，∵，且，所以點(diǎn)Q為EF的中點(diǎn)，所以，所以，即的最小值為，故C正確：如圖，連接PF，交于點(diǎn)，連接PE，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，若P是棱的中點(diǎn)，則，所以FP是外接圓的一條直徑，所以是外接圓的圓心，過(guò)點(diǎn)作平面ABCD的垂線，則三棱錐的外接球的球心O一定在該垂線上，連接OP，設(shè)，則，連接OC，，所以，所以，解得，所以，點(diǎn)到平面的距離為，則球心到平面的距離為，則截面圓的半徑為，所以截面的面積為，故D正確；故選：ACD．12．【正確答案】【詳解】因?yàn)椋?，?又因?yàn)?，故，從而，這就得到.而當(dāng)，時(shí)，有，且.所以的最大值為.故答案為.13．【正確答案】224【詳解】因?yàn)橥?xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，所以的系數(shù)為224.故22414．【正確答案】【詳解】由題意可得：，，，，若，則，從各隨機(jī)從中選一個(gè)，共有種情況；若，可分為三類：都取0，一種情況；中兩個(gè)取0，一個(gè)取1，一個(gè)取，共有，中兩個(gè)取1，兩個(gè)取，共有，共計(jì)19種情況，所以的概率為：．故15．【正確答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析.【詳解】（1）在中，，又，所以，由余弦定理得，又，則.（2）在中，，，由余弦定理，得，即，解得或．當(dāng)，，時(shí)，可構(gòu)成三角形，此時(shí)的面積為；當(dāng)，，時(shí)，可構(gòu)成三角形，此時(shí)的面積為．16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【詳解】（1）因?yàn)闉榈冗吶切危瑸榈闹悬c(diǎn)，所以．過(guò)作，垂足為，因?yàn)榈酌鏋橹苯翘菪?，，，，，所以，則，由得，所以因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．又，平面，所以平面．?）由（1）可知，，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，過(guò)且平行于的直線為軸，，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，令，則，由（1）可知，軸⊥平面，不妨取平面的法向量為，則，故平面與平面夾角的余弦值為．17．【正確答案】(1)；(2)【詳解】（1）由橢圓的離心率為，得，解得，由橢圓過(guò)點(diǎn)，得，聯(lián)立解得，所以橢圓的方程為.（2）依題意，直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，，則，由消去得，顯然，則，的面積，解得，所以直線的斜率.

18．【正確答案】(1)(2)（?。O小值，無(wú)極大值；（ⅱ）【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即；（2）（?。┮?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，令，解得；?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無(wú)極大值；（ⅱ）由題意可得：，因?yàn)?，所以，?gòu)建，，因?yàn)?，所以在?nèi)單調(diào)遞增，因?yàn)椋坏仁降葍r(jià)于，解得，所以的取值范圍為.解法二：由題意可得：，即，構(gòu)建，，因?yàn)?，在?nèi)均單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價(jià)于，解得，所以的取值范圍為.19．【正確答案】(1)，，(2)2(3)證明見(jiàn)解析【分析】(1)分別討論當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式.分別討論當(dāng)為偶數(shù)和奇數(shù)時(shí)，前項(xiàng)和為.先化簡(jiǎn)，得，再證明時(shí)，，利用結(jié)論，對(duì)數(shù)列進(jìn)行放縮，得到.【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)都有，故，，令，可得，所以.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符