復(fù)數(shù)方程題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.方程\(z^2=-1\)的解是（）A.\(z=1\)B.\(z=-1\)C.\(z=i\)或\(z=-i\)D.無解2.復(fù)數(shù)方程\(z+3i=5\)的解\(z\)為（）A.\(5+3i\)B.\(5-3i\)C.\(3i-5\)D.\(-5-3i\)3.若\(z(1+i)=2\)，則\(z\)等于（）A.\(1+i\)B.\(1-i\)C.\(-1+i\)D.\(-1-i\)4.方程\(z^2-2z+2=0\)的根為（）A.\(1+i\)，\(1-i\)B.\(-1+i\)，\(-1-i\)C.\(2+i\)，\(2-i\)D.\(i\)，\(-i\)5.復(fù)數(shù)方程\(2z-\overline{z}=1+6i\)中\(zhòng)(z\)的值為（）A.\(1+2i\)B.\(1-2i\)C.\(2+i\)D.\(2-i\)6.已知方程\(z^2+az+1=0\)（\(a\)為實(shí)數(shù)）有一個(gè)根為\(i\)，則\(a\)的值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(2\)7.方程\(z^3=1\)的復(fù)數(shù)解有（）個(gè)A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)8.若\(z\)滿足\((z-1)^2=-4\)，則\(z\)為（）A.\(1+2i\)，\(1-2i\)B.\(-1+2i\)，\(-1-2i\)C.\(3+2i\)，\(3-2i\)D.\(2+2i\)，\(2-2i\)9.復(fù)數(shù)方程\(z\cdot(1-2i)=5\)的解\(z\)是（）A.\(1+2i\)B.\(-1+2i\)C.\(1-2i\)D.\(-1-2i\)10.方程\(z^2-4z+5=0\)的根是（）A.\(2+i\)，\(2-i\)B.\(-2+i\)，\(-2-i\)C.\(4+i\)，\(4-i\)D.\(i\)，\(-i\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.方程\(z^2-4=0\)的解可以是（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(2i\)D.\(-2i\)2.下列復(fù)數(shù)中，滿足方程\(z^2+2z+2=0\)的有（）A.\(-1+i\)B.\(-1-i\)C.\(1+i\)D.\(1-i\)3.方程\(z(2-i)=4+2i\)的解可能是（）A.\(2\)B.\(2i\)C.\(-2\)D.\(-2i\)4.對于方程\(z^2+4z+13=0\)，其根為（）A.\(-2+3i\)B.\(-2-3i\)C.\(2+3i\)D.\(2-3i\)5.若方程\(z^2-az+1=0\)（\(a\)為實(shí)數(shù)）有復(fù)數(shù)根，則根可能是（）A.\(\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}\)（當(dāng)\(a^2\geq4\)）B.\(\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}\)（當(dāng)\(a^2\geq4\)）C.\(\frac{a+i\sqrt{4-a^2}}{2}\)（當(dāng)\(a^2\lt4\)）D.\(\frac{a-i\sqrt{4-a^2}}{2}\)（當(dāng)\(a^2\lt4\)）6.方程\(z^3-8=0\)的解有（）A.\(2\)B.\(-1+\sqrt{3}i\)C.\(-1-\sqrt{3}i\)D.\(2i\)7.滿足方程\(z^2-2iz-1=0\)的復(fù)數(shù)\(z\)有（）A.\(i\)B.\(-i\)C.\(1+i\)D.\(-1+i\)8.方程\((z+1)^2=-9\)的解為（）A.\(-1+3i\)B.\(-1-3i\)C.\(1+3i\)D.\(1-3i\)9.若\(z\)滿足方程\(z\cdot(1+3i)=3-i\)，則\(z\)可能是（）A.\(i\)B.\(-i\)C.\(0\)D.\(1\)10.方程\(z^2-6z+10=0\)的根是（）A.\(3+i\)B.\(3-i\)C.\(-3+i\)D.\(-3-i\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.方程\(z^2=4\)只有實(shí)數(shù)解。（）2.復(fù)數(shù)方程\(z+2i=0\)的解是\(z=-2i\)。（）3.方程\(z^2+1=0\)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)無解。（）4.若\(z(1-i)=0\)，則\(z=0\)或\(z=i\)。（）5.方程\(z^2-4z+4=0\)的根是\(z=2\)（重根）。（）6.復(fù)數(shù)方程\(z^2-2z+5=0\)的根為\(1+2i\)和\(1-2i\)。（）7.方程\(z^3=-1\)只有一個(gè)復(fù)數(shù)解。（）8.若\(z\)滿足\((z-3)^2=-1\)，則\(z=3+i\)或\(z=3-i\)。（）9.方程\(z^2+8z+16=0\)的根是實(shí)數(shù)。（）10.復(fù)數(shù)方程\(z\cdot(2+i)=1\)的解\(z=\frac{1}{2+i}\)，化簡后為\(\frac{2-i}{5}\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求解方程\(z^2-6z+13=0\)。-答案：根據(jù)求根公式\(z=\frac{6\pm\sqrt{36-52}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{-16}}{2}=3\pm2i\)。2.已知方程\(z^2+az+2=0\)有一個(gè)根為\(1+i\)，求\(a\)的值。-答案：將\(z=1+i\)代入方程得\((1+i)^2+a(1+i)+2=0\)，展開\(2i+a+ai+2=0\)，即\((a+2)+(a+2)i=0\)，所以\(a=-2\)。3.解方程\(z^3=1\)。-答案：\(z^3-1=0\)，因式分解得\((z-1)(z^2+z+1)=0\)，\(z-1=0\)時(shí)\(z=1\)；\(z^2+z+1=0\)，由求根公式得\(z=\frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i\)。4.若\(z\)滿足方程\(z(2-3i)=4+i\)，求\(z\)。-答案：\(z=\frac{4+i}{2-3i}\)，分子分母同乘\(2+3i\)，\(z=\frac{(4+i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}=\frac{8+12i+2i+3i^2}{4-9i^2}=\frac{5+14i}{13}=\frac{5}{13}+\frac{14}{13}i\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論復(fù)數(shù)方程\(z^2+bz+c=0\)（\(b\)，\(c\)為實(shí)數(shù)）的根的情況與判別式\(\Delta=b^2-4c\)的關(guān)系。-答案：當(dāng)\(\Delta\gt0\)，方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根；當(dāng)\(\Delta=0\)，方程有兩個(gè)相同實(shí)數(shù)根；當(dāng)\(\Delta\lt0\)，方程有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根。例如\(\Delta\gt0\)時(shí)如\(z^2-5z+6=0\)有\(zhòng)(z=2\)和\(z=3\)兩個(gè)實(shí)根；\(\Delta=0\)時(shí)\(z^2-4z+4=0\)有重根\(z=2\)；\(\Delta\lt0\)時(shí)\(z^2+1=0\)有\(zhòng)(z=i\)和\(z=-i\)兩個(gè)共軛復(fù)根。2.對于復(fù)數(shù)方程\(z^n=1\)（\(n\)為正整數(shù)），探討其根的性質(zhì)。-答案：\(z^n=1\)的根在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)均勻分布在單位圓上，且這些根的模都為\(1\)。這些根可寫成\(z_k=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}\)，\(k=0,1,\cdots,n-1\)。例如\(n=3\)時(shí)，根為\(1\)，\(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，\(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)。3.舉例說明復(fù)數(shù)方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用。-答案：在交流電中，用復(fù)數(shù)表示電壓、電流等物理量，通過復(fù)數(shù)方程可分析電路中的阻抗、相位關(guān)系等。如在\(RLC\)串聯(lián)電路中，根據(jù)歐姆定律\(U=IZ\)（\(U\)、\(I\)、\(Z\)為復(fù)數(shù)），通過解復(fù)數(shù)方程可計(jì)算電路參