2020-2021學年湖北省武漢市漢陽區(qū)八年級下學期期中數(shù)學試題及答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．二次根式中的x的取值范圍是（）A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣22．下列各組中的三條線段，不能組成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．6，8，10 C．4，5，6 D．5，12，133．下列各式成立的是（）A．÷＝ B．＝2 C．×＝ D．+＝4．菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別為6和8，則這個菱形的面積是（）A．48 B．24 C．20 D．165．如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝8，BC＝10，對角線AC，BD相交于點O，過點O的直線分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，且OE＝3，則四邊形EFCD的周長是（）A．20 B．24 C．28 D．326．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面積分別為6，10，4，6，則最大正方形E的面積是（）A．94 B．26 C．22 D．167．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD平分∠BAC，AD⊥BF于點D，點E為BC的中點，連接DE，則DE的長是（）A．0.5 B．0.75 C．1 D．28．如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC＝AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF，EG分別交BC，DC于點M，N．若正方形ABCD邊長為2，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（）A．4 B．3 C．2 D．19．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點，則PM的最小值為（）A．5 B．2.5 C．4.8 D．2.410．如圖，在正方形ABCD中，E為BC上一點，過點E作EF∥CD，交AD于點F，交對角線BD于點G，取DG的中點H，連接AH，EH，F(xiàn)H．下列結論：①FH∥AE；②AH＝EH且AH⊥EH；③∠BAH＝∠HEC；④△EHF≌△AHD．其中正確的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．計算的結果是．12．如圖，平行四邊形ABCD中，DE平分∠ADC交邊BC于點E，AD＝8，AB＝5，則BE＝．13．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝110°，AB的垂直平分線交AC于點N，點M為垂足，連接DN，則∠CDN的大小是．14．觀察下列各式：＝﹣1，＝﹣，＝﹣，…，從計算結果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算：（+++…）（+1）＝．15．如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長為32cm，在杯內壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內壁B處的最短距離為cm（杯壁厚度不計）．16．如圖，分別以△ABC的邊AB，AC為邊往外作正方形ABEF與正方形ACGD，連接BD，CF，DF，若AB＝1，AC＝2，則BC2+DF2的值為．三、解答題（本大題共8小題，共72分）17計算：（1）2×；（2）﹣6+．18如圖，將?ABCD的對角線BD向兩個方向延長，分別至點E和點F，BE＝DF．求證：四邊形AECF是平行四邊形．19“引葭赴岸”是《九章算術》中的一道題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個邊長為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面BC為1尺．如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B'（如圖）．問水深和蘆葦長各多少？（畫出幾何圖形并解答）20如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，點E是OD的中點，DF∥AC交CE的延長線于點F，連接AF．（1）求證：四邊形AODF是菱形；（2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求CF的長．21如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，僅用無刻度直尺完成下列畫圖，保留作圖痕跡．（1）如圖1，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且AE＝CF，連接EF，請在EF上畫點O，使O為EF的中點；（2）如圖2，若AB＝AD，點E為AD上一點，請在AB上畫點G，使AG＝AE；（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠ABC＝90°，連接BD，點P為BD上的一點，請以AP為邊畫一個菱形．22我國宋代的數(shù)學家秦九韶發(fā)現(xiàn)：若一個三角形的三邊長分別為a，b，c，則這個三角形的面積為s＝，其中p＝（a+b+c）．如圖1，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．（1）求△ABC的面積；（2）如圖2，AD，BE為△ABC的兩條角平分線，它們的交點為點I，求I到邊BC的距離．23如圖1，點E為正方形ABCD內一點，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉90°，得到△CBG．延長AE交CG于點F，連接DE．（1）四邊形BEFG的形狀是．（2）如圖2，若DA＝DE，猜想線段CF與FG的數(shù)量關系并加以證明；（3）如圖1，若AB＝15，CF＝3，則DE的長度為．（請直接寫出答案）24如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，動點E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點B的對應點M始終落在邊AD上（點M不與點A，D重合），點C落在點N處，MN與CD交于點P．（1）當AM＝時，AE的值是；（2）隨著點M在邊AD上位置的變化，△PDM的周長是否發(fā)生變化？如變化，請說明理由；如不變，請求出該定值；（3）設四邊形BEFC的面積為S，求出S的最小值．

參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．二次根式中的x的取值范圍是（）A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2【分析】直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案．【解答】解：二次根式有意義，則x+2≥0，解得：x≥﹣2．故選：D．2．下列各組中的三條線段，不能組成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．6，8，10 C．4，5，6 D．5，12，13【分析】欲求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．【解答】解：A、32+42＝52，故能組成直角三角形，不符合題意；B、62+82＝102，故能組成直角三角形，不符合題意；C、42+52≠62，故不能組成直角三角形，符合題意；D、52+122＝132，故能組成直角三角形，不符合題意．故選：C．3．下列各式成立的是（）A．÷＝ B．＝2 C．×＝ D．+＝【分析】根據(jù)二次根式的除法法則對A進行判斷；利用二次根式的性質對B進行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對C進行判斷；根據(jù)二次根式的加減法對D進行判斷．【解答】解：A、原式＝＝，所以A選項正確；B、原式＝3，所以B選項錯誤；C、原式＝＝，所以C選項錯誤；D、與不能合并，所以D選項錯誤．故選：A．4．菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別為6和8，則這個菱形的面積是（）A．48 B．24 C．20 D．16【分析】根據(jù)菱形的性質得出菱形的面積等于對角線積的一半，再求出答案即可．【解答】解：∵菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別為6和8，∴這個菱形的面積是＝＝24，故選：B．5．如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝8，BC＝10，對角線AC，BD相交于點O，過點O的直線分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，且OE＝3，則四邊形EFCD的周長是（）A．20 B．24 C．28 D．32【分析】根據(jù)平行四邊形的對邊相等得：CD＝AB＝8，AD＝BC＝10．再根據(jù)平行四邊形的性質和對頂角相等可以證明：△AOE≌△COF．根據(jù)全等三角形的性質，得：OF＝OE＝3，CF＝AE，故四邊形EFCD的周長為CD+EF+AD＝24．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OF＝OE＝3，CF＝AE．故四邊形EFCD的周長為CD+EF+AD＝8+6+10＝24．故選：B．6．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面積分別為6，10，4，6，則最大正方形E的面積是（）A．94 B．26 C．22 D．16【分析】根據(jù)正方形的面積公式，結合勾股定理，能夠導出正方形A，B，C，D的面積和即為最大正方形的面積．【解答】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為S1，C、D的面積和為S2，S1+S2＝S3，即S3＝6+10+4+6＝26．故選：B．7．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD平分∠BAC，AD⊥BF于點D，點E為BC的中點，連接DE，則DE的長是（）A．0.5 B．0.75 C．1 D．2【分析】利用等腰三角形的“三線合一”性質推知D點是BF的中點，AB＝AF＝3；由此推知DE是△BFC的中位線，由三角形中位線定理推知：DE＝FC．【解答】解：∵在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BF，AB＝3，∴點D是BF的中點，且AB＝AF＝3．∵AC＝5，∴FC＝AC﹣AF＝5﹣3＝2．又∵點E為BC的中點，∴DE是△BFC的中位線，∴DE＝FC＝＝1．故選：C．8．如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC＝AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF，EG分別交BC，DC于點M，N．若正方形ABCD邊長為2，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】過E作EP⊥BC于點P，EQ⊥CD于點Q，△EPM≌△EQN，利用四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積求解．【解答】解：過E作EP⊥BC于點P，EQ⊥CD于點Q，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∵∠EPM＝∠EQN＝90°，∴∠PEQ＝90°，∴∠PEM+∠MEQ＝90°，∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF＝∠NEQ+∠MEQ＝90°，∴∠PEM＝∠NEQ，∵AC是∠BCD的角平分線，∠EPC＝∠EQC＝90°，∴EP＝EQ，四邊形PCQE是正方形，在△EPM和△EQN中，，∴△EPM≌△EQN（ASA）∴S△EQN＝S△EPM，∴四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積，∵正方形ABCD的邊長為2，∴AC＝2，∵EC＝AE，∴EC＝，∴EP＝PC＝1，∴正方形PCQE的面積＝EP2＝1．故選：D．9．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點，則PM的最小值為（）A．5 B．2.5 C．4.8 D．2.4【分析】先求證四邊形AFPE是矩形，再根據(jù)直線外一點到直線上任一點的距離，垂線段最短，利用三角形面積求得AP最短時的長，然后即可求出PM最短時的長．【解答】解：連接AP，如圖所示：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四邊形AFPE是矩形，∴EF＝AP，EF與AP互相平分，∵M是EF的中點，∴M為AP的中點，∴PM＝AP，根據(jù)直線外一點到直線上任一點的距離，垂線段最短，即AP⊥BC時，AP最短，同樣PM也最短，∴當AP⊥BC時，AP＝＝4.8，∴AP最短時，AP＝4.8，∴當PM最短時，PM＝AP＝2.4．故選：D．10．如圖，在正方形ABCD中，E為BC上一點，過點E作EF∥CD，交AD于點F，交對角線BD于點G，取DG的中點H，連接AH，EH，F(xiàn)H．下列結論：①FH∥AE；②AH＝EH且AH⊥EH；③∠BAH＝∠HEC；④△EHF≌△AHD．其中正確的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】①根據(jù)正方形對角線互相垂直、過一點有且只有一條直線與已知直線垂直即可得結論；②根據(jù)矩形的判定和性質、直角三角形的性質，證明三角形全等即可得結論；③根據(jù)全等三角形性質、矩形的性質進行角的計算即可得結論；④根據(jù)邊邊邊證明三角形全等即可得結論．【解答】解：①在正方形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，∠ADB＝45°，∵EF∥CD，∴∠EFD＝90°，∴四邊形EFDC是矩形．在Rt△FDG中，∠FDG＝45°，∴FD＝FG，∵H是DG中點，∴FH⊥BD，∵正方形對角線互相垂直，過A點只能有一條垂直于BD的直線，∴AE不垂直于BD，∴FH與AE不平行．所以①不正確；②∵四邊形ABEF是矩形，∴AF＝EB，∠BEF＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴BE＝GE，∴AF＝EG．在Rt△FGD中，H是DG的中點，∴FH＝GH，F(xiàn)H⊥BD，∴∠AFH＝∠AFE+∠GFH＝90°+45°＝135°，∠EGH＝180°﹣∠EGB＝180°﹣45°＝135°，∴∠AFH＝∠EGH，在△AFH和△EGH中，，∴△AFH≌△EGH（SAS），∴AH＝EH，∠AHF＝∠EHG，∴∠AHF+AHG＝∠EHG+∠AHG，即∠FHG＝∠AHE＝90°，∴AH⊥EH．所以②正確；③∵△AFH≌△EGH，∴∠FAH＝∠GEH，∵∠BAF＝CEG＝90°，∴∠BAH＝∠HEC．所以③正確；④在△EHF和△AHD中，，∴△EHF≌△AHD（SSS），所以④正確．所以其中正確有②③④，共3個，故選：B．二．填空題（共6小題）11．計算的結果是5．【分析】根據(jù)二次根式的性質解答．【解答】解：＝|﹣5|＝5．12．如圖，平行四邊形ABCD中，DE平分∠ADC交邊BC于點E，AD＝8，AB＝5，則BE＝3．【分析】由平行四邊形對邊平行根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得∠EDA＝∠DEC，而DE平分∠ADC，進一步推出∠EDC＝∠DEC，在同一三角形中，根據(jù)等角對等邊得CE＝CD，則BE可求解．【解答】解：根據(jù)平行四邊形的性質得AD∥BC，∴∠EDA＝∠DEC，又∵DE平分∠ADC，∴∠EDC＝∠ADE，∴∠EDC＝∠DEC，∴CD＝CE＝AB＝5，即BE＝BC﹣EC＝8﹣5＝3．故答案為：3．13．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝110°，AB的垂直平分線交AC于點N，點M為垂足，連接DN，則∠CDN的大小是15°．【分析】根據(jù)菱形的性質得出DC＝BC，∠DCN＝∠BCN，∠CAB＝DAB＝55°，∠ABC＝∠ADC，DC∥AB，求出∠ADC＝∠ABC＝70°，根據(jù)全等三角形的判定得出△DCN≌△BCN，根據(jù)全等三角形的性質得出∠CDN＝∠CBN，根據(jù)線段垂直平分線的性質得出AN＝BN，求出∠NBA＝∠CAB＝55°，再求出答案即可．【解答】解：連接BN，∵四邊形ABCD是菱形，∴DC＝BC，∠DCN＝∠BCN，∠CAB＝DAB＝＝55°，∠ABC＝∠ADC，DC∥AB，∴∠CDA+∠DAB＝180°，∵∠BAD＝110°，∴∠ADC＝180°﹣110°＝70°，∴∠ABC＝70°，在△DCN和△BCN中，，∴△DCN≌△BCN（SAS），∴∠CDN＝∠CBN，∵MN是AB的垂直平分線，∴AN＝BN，∴∠NBA＝∠CAB＝55°，∴∠CDN＝∠CBN＝∠ABC﹣∠NBA＝70°﹣55°＝15°，故答案為：15°．14．觀察下列各式：＝﹣1，＝﹣，＝﹣，…，從計算結果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算：（+++…）（+1）＝2020．【分析】先分母有理化，再把括號內合并，然后利用平方差公式計算．【解答】解：原式＝（﹣1+﹣+﹣+???+﹣）（+1）＝（﹣1）（+1）＝2021﹣1＝2020．故答案為2020．15．如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長為32cm，在杯內壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內壁B處的最短距離為20cm（杯壁厚度不計）．【分析】將杯子側面展開，建立A關于EF的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．【解答】解：如圖：將杯子側面展開，作A關于EF的對稱點A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B＝＝＝20（cm）．故答案為20．16．如圖，分別以△ABC的邊AB，AC為邊往外作正方形ABEF與正方形ACGD，連接BD，CF，DF，若AB＝1，AC＝2，則BC2+DF2的值為10．【分析】連接BF、CD，BD與CF相交于O點，CF交AD于P，如圖，利用正方形的性質得到AB＝AF，AC＝AD，∠BAF＝∠CAD＝90°，BF＝AB＝，CD＝AC＝2，再證明△ABD≌△AFC得到∠ADB＝∠ACF，接著證明∠POD＝∠PAC＝90°，然后利用勾股定理得到BC2+DF2＝CD2+BF2．【解答】解：連接BF、CD，BD與CF相交于O點，CF交AD于P，如圖，∵四邊形ABEF和四邊形ACGD為正方形，∴AB＝AF，AC＝AD，∠BAF＝∠CAD＝90°，BF＝AB＝，CD＝AC＝2，∵∠BAF＝∠CAD，∴∠BAF+∠DAF＝∠CAD+∠DAF，即∠BAD＝∠FAC，在△ABD和△AFC中，，∴△ABD≌△AFC（SAS），∴∠ADB＝∠ACF，∵∠PDO+∠POD+∠DPO＝∠PCA+∠PAC+∠APC，而∠DPO＝∠APC，∴∠POD＝∠PAC＝90°，在Rt△CDO中，OD2+OC2＝CD2，在Rt△BOF中，OB2+OF2＝BF2，在Rt△CBO中，OB2+OC2＝BC2，在Rt△DOF中，OD2+OF2＝DF2，∴BC2+DF2＝CD2+BF2＝（2）2+（）2＝10．故答案為10．三．解答題17計算：（1）2×；（2）﹣6+．【考點】二次根式的混合運算．【專題】二次根式；運算能力．【答案】（1）6；（2）3．【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘除法則運算；（2）先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可．【解答】解：（1）原式＝2＝6；（2）原式＝4﹣6+5＝3．18如圖，將?ABCD的對角線BD向兩個方向延長，分別至點E和點F，BE＝DF．求證：四邊形AECF是平行四邊形．【考點】平行四邊形的判定與性質．【答案】見試題解答內容【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形易知OA＝OC，OC＝OD，再證得OE＝OF，即可得出結論．【解答】證明：連接AC，設AC與BD交于點O．如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，又∵BE＝DF，∴OE＝OF．∴四邊形AECF是平行四邊形．19“引葭赴岸”是《九章算術》中的一道題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個邊長為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面BC為1尺．如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B'（如圖）．問水深和蘆葦長各多少？（畫出幾何圖形并解答）【考點】勾股定理的應用．【答案】見試題解答內容【分析】我們可以將其轉化為數(shù)學幾何圖形，如圖所示，根據(jù)題意，可知EB'的長為10尺，則B'C＝5尺，設出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L和水深．【解答】解：依題意畫出圖形，設蘆葦長AB＝AB′＝x尺，則水深AC＝（x﹣1）尺，因為B'E＝10尺，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即蘆葦長13尺，水深12尺．20如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，點E是OD的中點，DF∥AC交CE的延長線于點F，連接AF．（1）求證：四邊形AODF是菱形；（2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求CF的長．【考點】等邊三角形的判定與性質；菱形的判定與性質；矩形的性質．【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；運算能力；推理能力．【答案】（1）證明過程見解答；（2）2．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質得出AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，求出OA＝OC＝OD＝OB，根據(jù)平行線的性質得出∠FDE＝∠COE，根據(jù)全等三角形的判定推出△FED≌△CEO，根據(jù)全等三角形的性質得出DF＝OC，求出AO＝DF，根據(jù)菱形的判定得出即可；（2）求出△DOC是等邊三角形，求出OC＝DC＝2，求出AF＝OD＝AO＝2，求出AC，求出∠AFC＝90°，根據(jù)勾股定理求出答案即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝OC＝OD＝OB，∵DF∥AC，∴∠FDE＝∠COE，∵點E是OD的中點，∴DE＝OE，在△FED和△CEO中，，∴△FED≌△CEO（ASA），∴DF＝OC，∵OA＝OC，∴DF＝AO，∵DF∥AC，∴四邊形AODF是平行四邊形，∵AO＝OD，∴四邊形AODF是菱形；（2）解：∵∠AOB＝60°，∴∠DOC＝∠AOB＝60°，∵OD＝OC，∴△DOC是等邊三角形，∵AB＝CD＝2，∴AO＝CO＝DC＝2，∵四邊形AODF是菱形，∴AF＝OD＝2，∵E為OD中點，∴∠CEO＝90°，∴∠FCA＝90°﹣∠DOC＝30°，∵DF∥AC，∴∠DFC＝∠FCA＝30°，∵∠DOC＝60°，∴∠AOD＝180°﹣60°＝120°，∵四邊形AODF是菱形，∴∠AFD＝∠AOD＝120°，∴∠AFC＝120°﹣30°＝90°，由勾股定理得：CF＝＝＝2．21如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，僅用無刻度直尺完成下列畫圖，保留作圖痕跡．（1）如圖1，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且AE＝CF，連接EF，請在EF上畫點O，使O為EF的中點；（2）如圖2，若AB＝AD，點E為AD上一點，請在AB上畫點G，使AG＝AE；（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠ABC＝90°，連接BD，點P為BD上的一點，請以AP為邊畫一個菱形．【考點】線段垂直平分線的性質；平行四邊形的性質；菱形的判定；作圖—復雜作圖．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】（1）（2）（3）作圖見解析部分．【分析】（1）如圖1中，連接AC交EF于點O，點O即為所求作．（2）如圖2中，連接BE，AC交于點O，連接DO延長DO交AB于點G，點G即為所求作．（3）連接CP延長CP交AD于點E，連接AC交BD于點O，連接EO，延長EO交BC于F，連接AF交BD于點T，連接CT即可．【解答】解：（1）如圖1中，點O即為所求作．（2）如圖2中，點G即為所求作．（3）如圖3中，如圖，四邊形APCT即為所求作．22我國宋代的數(shù)學家秦九韶發(fā)現(xiàn)：若一個三角形的三邊長分別為a，b，c，則這個三角形的面積為s＝，其中p＝（a+b+c）．如圖1，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．（1）求△ABC的面積；（2）如圖2，AD，BE為△ABC的兩條角平分線，它們的交點為點I，求I到邊BC的距離．【考點】數(shù)學常識；二次根式的應用；角平分線的性質．【專題】線段、角、相交線與平行線；三角形；運算能力；推理能力．【答案】（1）12；（2）．【分析】（1）根據(jù)題干公式將p計算出來，再代入面積計算公式即可；（2）過點I依次作出三角形三邊的高，利用角平分線的性質定理可知三邊的高相等，再表示出三角形的面積結合（1）問即可求出I到BC的距離．【解答】解：（1）由題意得：p＝＝＝12，∴S△ABC＝＝＝12；（2）連接IC，過點I分別作AB、BC、AC邊的垂線交AB、BC、AC于點M、Q、N，由角平分線的性質定理可知：IM＝IQ＝IN，觀察圖形易知：S△ABC＝S△ABI+S△BCI+S△ACI＝＝＝12，∴＝12，解得：IQ＝，故I到邊BC的距離為：．23如圖1，點E為正方形ABCD內一點，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉90°，得到△CBG．延長AE交CG于點F，連接DE．（1）四邊形BEFG的形狀是．（2）如圖2，若DA＝DE，猜想線段CF與FG的數(shù)量關系并加以證明；（3）如圖1，若AB＝15，CF＝3，則DE的長度為．（請直接寫出答案）【考點】四邊形綜合題．【專題】幾何綜合題；矩形菱形正方形；運算能力；推理能力．【答案】（1）正方形；（2）CF＝FG，證明過程見解析；（3）3．【分析】（1）由旋轉的性質可得∠AEB＝∠CGB＝90°，BE＝BG，∠EBG＝90°，由正方形的判定可證四邊形BEFG是正方形；（2）過點D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性質可得AH＝AE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH＝BE＝AE，由旋轉的性質可得AE＝CG，可得結論；（3）利用勾股定理可求BE＝BG＝9，再利用勾股定理可求DE的長．【解答】解：（1）四邊形BEFG是正方形，理由如下：∵將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉90°，∴∠AEB＝∠CGB＝90°，BE＝BG，∠EBG＝90°，又∵∠BEF＝90°，∴四邊形BEFG是矩形，又∵BE＝BG，∴四邊形BEFG是正方形；故答案為正方形；（2）CF＝FG；理由如下：如圖，過點D作DH⊥AE于H，∵DA＝DE，DH⊥AE，∴AH＝AE，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAH+∠EAB＝90°，∴∠ADH＝∠EAB，又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，∴△ADH≌△BAE（AAS），∴AH＝BE＝AE，∵將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉90°，∴AE＝CG，∵四邊形BEFG是正方形，∴BE＝GF，∴GF＝CG，∴CF＝FG；（3）如圖①，過點D作DH⊥AE于H，∵四邊