PAGE1第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（高效培優(yōu)單元測試·強化卷）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列選項中，是函數(shù)在上有零點的充分不必要條件的是（

）A． B．C． D．或【答案】B【詳解】在上有零點的充要條件為，可得或，函數(shù)在上有零點的充分不必要條件為或的真子集.故選：B2．若點關(guān)于y軸的對稱點仍然在函數(shù)的圖象上，稱點是函數(shù)的“好點”.函數(shù)的“好點”有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【詳解】解：因為的圖象與的圖象關(guān)于y軸對稱，所以“好點”的個數(shù)即方程解的個數(shù)，在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)、的圖象，由圖知有兩個交點，所以函數(shù)有兩個“好點”.故選：C3．已知函數(shù)且，那么下列命題中的假命題是（

）A．若，則或B．若，且，則C．存在正數(shù)，使得函數(shù)恰有個零點D．不存在實數(shù)，使得函數(shù)恰有個零點【答案】D【詳解】對于A，且，所以或，故A正確；對于B，因為函數(shù)，且，為單調(diào)函數(shù)，，且，所以，故B正確；對于C，當(dāng)時，作出函數(shù)以及函數(shù)在點處的切線和函數(shù)圖象如圖所示，

由圖可知存在正數(shù)，使得函數(shù)恰有個零點；故C正確；對于D，因為與圖象關(guān)于直線對稱，如圖：

由圖可知當(dāng)與圖象均與直線相交于兩點時，圖象與函數(shù)圖象相交于3個點，所以存在實數(shù)，使得函數(shù)恰有個零點，故D錯誤.故選：D.4．“函數(shù)滿足”是“函數(shù)在區(qū)間上有零點”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【詳解】若函數(shù)滿足，根據(jù)零點存在定理，如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點.但是這里并沒有說明函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的，比如函數(shù)，當(dāng)，時，，但在上沒有零點.所以“函數(shù)滿足”不能推出“函數(shù)在區(qū)間上有零點”，充分性不成立.若函數(shù)在區(qū)間上有零點，比如函數(shù)在區(qū)間上有零點，此時.這說明“函數(shù)在區(qū)間上有零點”不能推出“函數(shù)滿足”，必要性不成立.“函數(shù)滿足”是“函數(shù)在區(qū)間上有零點”的既不充分也不必要條件.故選：D.5．教室通風(fēng)的目的是通過空氣的流動，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣.按照國家標(biāo)準，教室內(nèi)空氣中二氧化碳最高容許濃度為0.15%.經(jīng)測定，剛下課時，空氣中含有0.35%的二氧化碳，若開窗通風(fēng)后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為，且隨時間（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，又測定，當(dāng)時，教室內(nèi)空氣中含有0.2%的二氧化碳，則該教室內(nèi)從剛下課時的二氧化碳濃度達到國家標(biāo)準，所需要時間（單位：分鐘）的最小整數(shù)值為（參考數(shù)據(jù)，）（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【詳解】由題意可知當(dāng)時，，所以，得，所以，當(dāng)時，，則，所以，得，所以，，得，所以，當(dāng)時，，得，所以，，得，所以所求時間的最小整數(shù)值為8.故選：C6．已知函數(shù)，，若，則的零點個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【詳解】由題設(shè)，函數(shù)大致圖象如下，其中當(dāng)趨近于時，；當(dāng)趨近于時，，判斷的圖象與直線的交點個數(shù)：由圖知，時它們有3個不同的交點，所以函數(shù)的零點個數(shù)為3.故選：B7．已知點在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為點在冪函數(shù)的圖象上，則，解得，所以，可得，故，因為，，，且函數(shù)在上為增函數(shù)，又因為，則，故.故選：C.8．定義在上的函數(shù)單調(diào)遞增，，若對任意存在，使得成立，則稱是在上的“追逐函數(shù)”已知，下列四個函數(shù)：①；②；③；④．其中是在上的“追逐函數(shù)”的個數(shù)是（

）個．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】在上的值域為．若對任意，存在，使得成立，則與在上的值域相同，又在上單調(diào)遞增，則，則對任意，有．對于①：在上單調(diào)遞增且值域為，且恒成立．即在上恒成立，符合題意；對于②，當(dāng)時，，即函數(shù)在上的值域為，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，的增長速度顯然快于函數(shù)的增長速度，則對任意的，，符合題意；

對于③，函數(shù)在上遞增，且值域為，且，不符合題意；對于④，對于函數(shù)，該函數(shù)在上為增函數(shù)，且當(dāng)時，，則，不符合題意．所以，①②是“追逐函數(shù)”．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．若函數(shù)有個零點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】依題意可得，令，即或，即或或或，解得，，，，所以，故A正確；，故B正確；（，等號不成立），故C正確；當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因為，故D錯誤.故選：ABC10．下列說法正確的有（

）A．函數(shù)關(guān)于點對稱B．函數(shù)的圖象過定點C．方程在區(qū)間上有且只有1個實數(shù)解D．若，則在時取到最小值【答案】ACD【詳解】對于A選項：，該函數(shù)可由反比例函數(shù)先向左平移1個單位，再向上平移1個單位，故的圖象關(guān)于對稱，故選項A正確；對于B選項：由，令，即，則，故函數(shù)的圖象過定點，故選項B錯誤；對于C選項：由，得，令，易知在上單調(diào)遞增且圖象連續(xù)不斷，因為，，所以，所以方程在區(qū)間上有且只有1個實數(shù)解，故選項C正確；對于D選項：因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，有最小值為.故選項D正確；故選：ACD.11．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．B．在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的零點從小到大依次記為，若，則的取值范圍為D．若函數(shù)在上恰有4個零點，則的取值范圍為【答案】ABC【詳解】A，因為，，所以，當(dāng)時，，則，所以，對；B，由，則，故，其開口向下且對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，對；C，因為，函數(shù)的零點從小到大依次記為，若，則是與在對稱軸為對應(yīng)區(qū)間上的交點橫坐標(biāo)，在上，則，則，在上，如下圖示，根據(jù)與的交點情況，可得，對；D，同C分析，若在上有4個零點，由圖知，錯．故選：ABC第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知函數(shù)，若存在兩個零點，且，則實數(shù).【答案】【詳解】畫出函數(shù)的圖象，再畫出直線，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線過點時，直線與函數(shù)圖象有兩個交點，并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，即方程有兩個解，也就是函數(shù)有兩個零點，此時滿足，即.不妨設(shè)，則，從而即設(shè)，函數(shù)單調(diào)遞增，且所以，又，解得，所以.

故答案為：.13．已知函數(shù)若，且，則的取值范圍是．【答案】【詳解】作出的圖象，如圖所示．由，得，，則，，則，，令，，則，當(dāng)時，函數(shù)的取值范圍是．故答案為：．

14．設(shè)函數(shù)，，若函數(shù)有六個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】令，即，解得或，易知，可得，可得，當(dāng)時，設(shè)，且，點關(guān)于直線的對稱點為，；當(dāng)時，設(shè)，且，點關(guān)于直線的對稱點為，；綜上所述，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.當(dāng)時，由單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，由單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，由，，則；當(dāng)時，由，則.可得下圖：由函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象平移個單位，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．已知函數(shù)的圖象過點，其中.(1)求及的值；(2)求證：，都有；(3)記函數(shù)在上的最大值為，當(dāng)最小時，求的值.【答案】(1)，;(2)證明見解析(3).【詳解】（1）由圖象過點，可得：，解得：，;（2）由（1），當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，∴，綜上，，都有.（3）設(shè)，則，∵在單調(diào)遞增，且在處取最大值1，在單調(diào)遞增，且在處取最小值1，∴在單調(diào)遞增，值域為，故,∴當(dāng)時，此時，故，當(dāng)時，此時不存在，∴當(dāng)最小時，.16．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，且．(1)求函數(shù)的解析式；(2)是否存在正實數(shù)，使得當(dāng)時，函數(shù)的值域為．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在滿足題意【詳解】（1）因為是偶函數(shù)，所以，解得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，可得，則，所以函數(shù)的解析式為；（2）存在．假設(shè)存在正實數(shù)，使得當(dāng)時，函數(shù)的值域為，因為當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以為方程的兩個根，即的兩個根，即的兩根，整理得或，解得或，又，所以，所以存在，使得當(dāng)時，函數(shù)的值域為．17．已知為奇函數(shù)，且定義域為，.(1)求的值，判斷的單調(diào)性，并用定義法證明；(2)若，求的取值范圍；(3)若存在兩個不相等的實數(shù)，，使，且.求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，增函數(shù)，證明見解析；(2)；(3).【詳解】（1）因為為奇函數(shù)，定義域為，所以，得，經(jīng)驗證滿足題設(shè)，在定義域上為增函數(shù)，證明如下：任取，，且，，，所以，在定義域上為增函數(shù)；（2）由（1）得，解得；（3），，，即，，，，令，，，，，則存在一個實數(shù)，使成立，只需或，解得或，綜上：.18．婁底四中校內(nèi)有塊空地，為美化校園環(huán)境，學(xué)校決定將空地建成一個小花園，市園林公司中標(biāo)該項目后須購買一批機器投入施工，據(jù)分析，這批機器可獲得的利潤（單位：萬元）與運轉(zhuǎn)的時間（單位：年）的函數(shù)關(guān)系為.(1)當(dāng)這批機器運轉(zhuǎn)第幾年時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？(2)當(dāng)運轉(zhuǎn)多少年時，這批機器的年平均利潤最大？【答案】(1)第7年時，可獲得最大利潤45萬元(2)【詳解】（1）故當(dāng)時，取得最大值，最大值為45，所以這批機器運轉(zhuǎn)第7年時，可獲得最大利潤45萬元；（2）記年平均利潤為，則14當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.19．近年來，＂國潮＂不斷涌現(xiàn)，涉及影視劇，文藝演出，音樂，美術(shù)，建筑，家具，服裝等各個方面.百度與人民網(wǎng)研究院聯(lián)合發(fā)布的報告顯示，近十年來＂國潮＂關(guān)注度增長了＂國潮＂的興起，體現(xiàn)了國人審美的變化，也體現(xiàn)了年輕人正視世界的信心和更強的文化自信.若預(yù)計年利潤低于時，則該廠就要考慮轉(zhuǎn)型，下表顯示的是該廠近幾年來年利潤（百萬元）與年投資成本（百萬元）變化的一組數(shù)據(jù)：（年利潤率）年份2019202020212022…年投資成本461018…年利潤1234…給出以下3個函數(shù)模型：①；②③(