PAGE1第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（高效培優(yōu)單元測試·提升卷）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數(shù)，滿足．若存在零點，則下列選項一定錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】函數(shù)的定義域為，且均為增函數(shù)，故函數(shù)是增函數(shù)．由于，故，滿足，則或．若，則由存在零點知，，A，B正確；若，則由存在零點知，，D正確．2．若函數(shù)的值域是，則a，b的值分別為（

）A． B． C． D．或【答案】D【詳解】由得，得，得或.由得或，故或.當時，由函數(shù)單調(diào)遞增得，故；當時，由函數(shù)單調(diào)遞減得，故.故選：D.3．已知，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，得解得，函數(shù)的定義域為．又，所以函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)．，所以在上單調(diào)遞減．又，所以解得．4．設，某同學用二分法求方程的近似解（精確度為0.5），列出了對應值表如下：0.1250.43750.7520.493.58依據(jù)此表格中的數(shù)據(jù)，得到的方程近似解可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由表格數(shù)據(jù)可知，，又因為函數(shù)在上連續(xù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上存在一個零點.又因為，所以方程的近似解（精確度為0.5）可以是區(qū)間上的任意一個數(shù)，觀察四個選項可知C正確.5．已知函數(shù)，在下列選項中，包含零點的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由函數(shù)為減函數(shù)，也為減函數(shù)，函數(shù)為連續(xù)遞減函數(shù)，，，由零點判斷定理可得函數(shù)的零點所在區(qū)間為，故選：C.6．“”是“函數(shù)存在零點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】函數(shù)存在零點等價于方程有解，等價于有解，而，從而，因此，反之，當時，有解，所以“”是“函數(shù)存在零點”的充要條件.故選：C.7．已知函數(shù)且，若存在，使得，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，得，即，故且所以在上有解，又，故，解得或，又，故．8．已知是函數(shù)的零點，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【詳解】由題意可得，，則，則，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【詳解】對于A，，所以，故A不正確；對于B，由，得，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確.故選：BCD.10．若，，則“”的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】對于，，所以是的充要條件，故錯誤；對于，由可得，即，充分性成立，反之，不一定推出，必要性不成立，所以是的充分不必要條件，故正確；對于，由可得，所以，反之不成立，所以是的充分不必要條件，故正確；對于，因為，所以是的充要條件，故錯誤.故選：.11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．，使得偶函數(shù) B．都不是上的單調(diào)函數(shù)C．，使得有三個零點 D．若的最小值是，則【答案】ABC【詳解】當時，，定義域為，且，此時為偶函數(shù)，故A正確．當時，，開口向上，對稱軸為；當時，開口向上，對稱軸為．所以且，，即在分段處函數(shù)值相等，由于的對稱軸在的對稱軸的左側，故都不是上的單調(diào)函數(shù)，故B正確．當時，若，則，當時，令，解得，當時，令，解得，均符合要求，所以，使得函數(shù)有3個零點，故C正確．由B可知的最小值在或處取到，當時，函數(shù)最小值在處取到，由，解得，滿足題意；當時，函數(shù)最小值在處取到，由，解得，滿足題意，當時，函數(shù)最小值在或處取到，此時恒成立，恒成立，都不滿足題意，舍去．綜上，若的最小值是，則，故D錯誤．第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍．【答案】【詳解】因，則0不是的解.時，.令，依題意函數(shù)的圖象與直線有兩個公共點.時，時，，于是得，由對勾函數(shù)知，在上遞減，在上遞增，且.又在上遞減，在上遞增，且.如圖：直線與的圖象有兩個公共點，；直線與的圖象有兩個公共點，.從而得函數(shù)的圖象與直線有兩個公共點時或.所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：13．如果一個函數(shù)的定義域與值域均為，則稱該函數(shù)為上的同域函數(shù)，稱為同域區(qū)間．已知函數(shù)為區(qū)間上的同域函數(shù)．（1）函數(shù)的解析式是；（2）若函數(shù)在時存在同域區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】1）由，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)是同域函數(shù)，得即解得所以．（2）由（1）得，所以在上單調(diào)遞增，設是函數(shù)的同域區(qū)間，得即得在上的根為和，則滿足即解得．14．設，函數(shù)，給出下列四個結論：①當時，函數(shù)的最大值點為0；②若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是；③當時，方程有兩個不等的實根；④當時，函數(shù)存在最大值．其中所有正確結論的序號是．【答案】①②④【詳解】對①，當時，函數(shù)，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，；函數(shù)在上單調(diào)遞增，恒有.綜上可知：當時，函數(shù)的最大值點為0.故①正確；對②，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以要使在上單調(diào)遞增，須有.故②正確；對③，當時，在上，，方程無解；在上，恒成立，方程無解；在上，函數(shù)，單調(diào)遞增，方程至多有1解.故當時，方程至多有1解.③錯誤；對④，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，；在上，函數(shù)有最大值；在上，恒成立.因為，所以成立，所以此時函數(shù)有最大值，為.故④正確.故答案為：①②④四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．已知函數(shù)（為常數(shù)）是定義在上的奇函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求函數(shù)的值域；(3)若，且函數(shù)滿足對任意，都有成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3).【詳解】（1）因為是定義在上的奇函數(shù)，所以對有，即，整理得，則由的任意性得，所以.此時，的定義域為R，且，所以，.（2），在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減且，函數(shù)在上的值域為.（3）由向左移1個單位，向上移1個單位得到，所以關于對稱，所以令，則，即：，由得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，對任意恒成立，即對任意恒成立，令得：對任意恒成立，令，其對稱軸為，，所以所以實數(shù)的取值范圍是.16．設函數(shù)同時滿足條件和對任意都有成立．(1)求的解析式；(2)求的定義域和值域；(3)若，求使得成立的整數(shù)的取值的集合．【答案】(1)；(2)定義域為，值域為．(3)．【詳解】（1）由得，解得，故，又得，即，上式對任意都成立，故且，所以，故．（2）由解得，故定義域為；當時，，則，則，所以值域為．（3）若，則，所以時或，所以若，則或，所以或即，或即，綜上，整數(shù)的取值集合為．17．已知是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且滿足(1)求與的解析式；(2)設函數(shù)，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1），又是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，，.（2），，設，，在上單調(diào)遞增，，.18．年冬天新冠疫情卷土重來，我國大量城市和地區(qū)遭受了奧密克戎新冠病毒的襲擊.為了控制疫情，某單位購入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內(nèi)，每噴灑個單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度（單位：毫克/立方米）隨著時間（單位：小時）變化的關系如下：當時，；當時，.若多次噴灑，則某一時刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應時刻所釋放的濃度之和.由實驗知，當空氣中消毒劑的濃度不低于毫克立方米時，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用.(1)一次噴灑個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達幾小時？(2)若第一次噴灑個單位的消毒劑，小時后再噴灑個單位的消毒劑，要使接下來的小時中能夠持續(xù)有效消毒，試求的最小值．（精確到，參考數(shù)據(jù)：?。敬鸢浮?1)小時(2)【詳解】（1）因為一次噴灑個單位的消毒劑，所以濃度.則當時，令，解得，故；當時，令，解得，故，綜上，.故若一次噴灑個單位消毒的消毒劑，則有效消毒時間可達小時.（2）設從第一次噴灑起，經(jīng)小時后，濃度，因為，，所以由基本不等式可得，當且僅當，即時，等號成立，有最小值為.令，解得.又，所以，所以的最小值為.19．為推動新質生產(chǎn)力的發(fā)展，我市某高新企業(yè)于2024年年初用98萬元購進一臺生產(chǎn)設備，并立即投入生產(chǎn)使用．已知該設備使用后，每年的總收入為50萬元，使用x年后，其x年來所需維修保養(yǎng)費用的總和為萬元，設該設備產(chǎn)生的盈利總額為y萬元（盈利總額=總收入—總支出）．(1)寫出y與x之間的函數(shù)關系式；(2)該設備從第幾年開始盈利（盈利總額為正值）；(3)使用若干年后，對設備的處理方案有兩種：①當年平均盈利額達到最大值時，以30萬元價格處理該設備（年平均盈利額=盈利總額÷使用年數(shù)）；②當盈利總額達到最大值時，以12萬元價格處理該設備．試問用哪種方案處理較為合理？