PAGE1專題1.1集合的概念教學(xué)目標(biāo)1.了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系，記住常用數(shù)集的表示符號并會(huì)應(yīng)用.2.理解集合中元素的基本屬性，初步掌握集合的兩種表示方法——列舉法、描述法，會(huì)用集合的兩種表示方法表示一些簡單集合.3.感知數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際的能力；教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)元素與集合的“屬于”關(guān)系，用符號語言刻畫集合.2.難點(diǎn)集合中元素的特性及應(yīng)用.知識(shí)點(diǎn)01集合的有關(guān)概念元素與集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母…表示．(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母…表示．【即學(xué)即練】下面給出的四類對象中，構(gòu)成集合的是（

）A．某班視力較好的同學(xué) B．長壽的人 C．的近似值 D．倒數(shù)等于它本身的數(shù)【答案】D【詳解】對于A，視力較好不是一個(gè)明確的定義，故不能構(gòu)成集合；對于B，長壽也不是一個(gè)明確的定義，故不能構(gòu)成集合；對于C，的近似值沒有明確近似到小數(shù)點(diǎn)后面幾位，不是明確的定義，故不能構(gòu)成集合；對于D，倒數(shù)等于自身的數(shù)很明確，只有1和-1，故可以構(gòu)成集合；故選：D.知識(shí)點(diǎn)02集合的元素特征元素的特性(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了．簡記為“確定性”．(2)互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．(3)無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”．【即學(xué)即練】已知集合，，則集合B中元素的個(gè)數(shù)是（

）A．6 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】集合中的元素有，，，共4個(gè)，故選：C.知識(shí)點(diǎn)03元素與集合的關(guān)系元素與集合的關(guān)系(1)屬于：如果是集合的元素，就說屬于集合，記作．(2)不屬于：如果不是集合的元素，就說不屬于集合，記作．【即學(xué)即練】1.已知集合，若，則（

）A．-1 B．0 C．2 D．3【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以或，而無實(shí)數(shù)解，所以.故選：C.2.已知集合，若，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．1 B．1或0 C．0 D．或0【答案】C【詳解】若，即時(shí)，，不符合集合元素的互異性，舍去；若，即（舍去）或時(shí)，，故.故選：C.知識(shí)點(diǎn)04常用集合及其表示常用數(shù)集及其表示非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N正整數(shù)集，記作N*或N+整數(shù)集，記作Z有理數(shù)集，記作Q實(shí)數(shù)集，記作R【即學(xué)即練】1.用符號“”和“”填空：（1）______N；

（2）1______；

（3）______R；（4）______；

（5）______N．【答案】

【詳解】由所表示的集合，由元素與集合的關(guān)系可判斷（1）（2）（3）（4）（5）.故答案為：（1）（2）（3）（4）（5）.2.下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)是（

）①，②，

③，

④A． B． C． D．【答案】B【詳解】①錯(cuò)誤②正確③錯(cuò)誤④正確故選：B知識(shí)點(diǎn)05集合的表示方法1．列舉法把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．注意：(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．(2)集合中的元素必須是明確的．(3)集合中的元素不能重復(fù)．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定義：一般地，設(shè)表示一個(gè)集合，把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法．有時(shí)也用冒號或分號代替豎線．(2)具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征．【即學(xué)即練】1.用列舉法法表示下列集合：（1）B={（x，y）|x+y=4，x∈N*，y∈N*}；（2）不小于1且不大于17的質(zhì)數(shù)組成的集合A；(3)絕對值不大于3的所有整數(shù)組成的集合C；【解析】（1）B={（x，y）|x+y=4，x∈N*，y∈N*}.（2）(3)絕對值不大于3的所有整數(shù)只有，用列舉法表示：；2.直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)?可用集合表示為（

）A．B．或C．D．【答案】C【詳解】直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)、，其余的點(diǎn)全部在集合中，選項(xiàng)中除去的是四條線；選項(xiàng)中除去的是或除去或者同時(shí)除去兩個(gè)點(diǎn)，共有三種情況，不符合題意；選項(xiàng)，則且，即除去兩點(diǎn)?，符合題意；選項(xiàng)，則任意點(diǎn)都不能，即不能同時(shí)排除，兩點(diǎn)．故選：C題型01集合的含義【典例1】以下對象的全體不能構(gòu)成集合的個(gè)數(shù)是（

）（1）高一（1）班的高個(gè)子同學(xué)；

（2）所有的數(shù)學(xué)難題；（3）北京市中考分?jǐn)?shù)580以上的同學(xué)；

（4）中國古代四大發(fā)明；（5）我國的大河流；

（6）大于3的偶數(shù)．A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】由集合元素三要素逐個(gè)判斷即可.【詳解】（1）（2）（5）的元素不確定，不能構(gòu)成集合．（3）（4）（6）符合集合概念，故選：B判斷一組對象能否組成集合的標(biāo)準(zhǔn)判斷一組對象能否組成集合，關(guān)鍵看該組對象是否滿足確定性，如果此組對象滿足確定性，就可以組成集合；否則，不能組成集合．同時(shí)還要注意集合中元素的互異性、無序性．【變式1】下列說法正確的是（）A．我校很喜歡足球的同學(xué)能組成一個(gè)集合B．聯(lián)合國安理會(huì)常任理事國能組成一個(gè)集合C．?dāng)?shù)組成的集合中有7個(gè)元素D．由不大于4的自然數(shù)組成的集合的所有元素為【答案】B【分析】根據(jù)題意，利用集合的定義逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對于A，因?yàn)楹芟矚g足球的同學(xué)沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，不符合集合的確定性，所以不能組成一個(gè)集合，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)槁?lián)合國安理會(huì)常任理事國有明確的標(biāo)準(zhǔn)，符合集合的確定性，所以能組成一個(gè)集合，故B正確；對于C，因?yàn)榇嬖?，所以組成的集合中不可能有7個(gè)元素，故C錯(cuò)誤；對于D，由不大于4的自然數(shù)組成的集合的所有元素為，故D錯(cuò)誤；故選：B.【變式2】給出下列說法：①所有接近于的數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合；②年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ中的選擇題構(gòu)成一個(gè)集合；③高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個(gè)集合；④所有不大于的自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合；⑤，，，組成的集合含有個(gè)元素．其中正確的是（

）A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④【答案】D【分析】根據(jù)集合的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】對于①：接近于的數(shù)不能確定，所以不能構(gòu)成集合，故①錯(cuò)誤；對于②：年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ中的選擇題是確定的，且互不相同，可以構(gòu)成集合，故②正確；對于③：高科技產(chǎn)品不能確定，所以不能構(gòu)成一個(gè)集合，故③錯(cuò)誤；對于④：不大于的自然數(shù)為0，1，2，3，能構(gòu)成集合，故④正確；對于⑤：因?yàn)?，不能?gòu)成一個(gè)集合，故⑤錯(cuò)誤；故選：D.【變式3】已知關(guān)于x，y的方程組，對于它的解的說法，錯(cuò)誤的是（

）A．存在無數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)k，使得方程組的解集是單元素集；B．有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)k，使得方程組的解集為空集；C．至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)k，使得方程組的解集為無限集；D．如果該方程組的解集是有限集，則解集必定為單元素集【答案】C【分析】分析和兩種情況解方程組，結(jié)合選項(xiàng)逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】由方程組可得：，即，若，則，不成立，方程組無解；若，則，可得，即方程組只有一組解.對于A：存在無數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)k（），使得方程組的解集是單元素集，故A正確；對于B：有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得方程組的解集為空集，故B正確；對于C：不存在一個(gè)實(shí)數(shù)k，使得方程組的解集為無限集，故C錯(cuò)誤；對于D：如果該方程組的解集是有限集，則解集必定為單元素集，故D正確；故選：C.題型02元素與集合的關(guān)系【典例1】集合，且，則有（

）A． B． C． D．不屬于中的任意一個(gè)【答案】B【詳解】由題知P表示偶數(shù)集，Q表示奇數(shù)集，R表示所有被4除余1的整數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，則a為偶數(shù)，b為奇數(shù)，則一定為奇數(shù)．判斷元素與集合關(guān)系的兩種方法（1）直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可。（2）推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時(shí)應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征。【變式1】下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)的意義進(jìn)行判斷.【詳解】根據(jù)的意義,,故選：C.【變式2】已知非空數(shù)集M具有如下性質(zhì)：①若，則；②若，則.下列說法中正確的有（

）.A．. B．.C．若，則. D．若，則.【答案】BC【分析】用特殊值代入判斷A，D，C,列舉法根據(jù)性質(zhì)性質(zhì)①②，判斷B.【詳解】對于，若，令，則，令，則，令，不存在，即，矛盾，所以，故錯(cuò)誤，對于，由于集合非空，取任意元素，根據(jù)性質(zhì)①，得，再根據(jù)性質(zhì)②，得，進(jìn)而，故正確，對于，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故正確，對于，若，則，故錯(cuò)誤，故選：.【變式3】若，則，就稱A是伙伴關(guān)系集合．集合的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)伙伴關(guān)系集合的定義，結(jié)合集合子集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)榛锇殛P(guān)系集合滿足與，所以集合的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的是，BCD符合題意，而不是的子集，不符合題意．故選：BCD.題型03集合中元素的特性及應(yīng)用【典例1】已知集合，且，求x的值.【答案】或【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，建立方程，結(jié)合集合元素的互異性，可得答案.【詳解】∵，∴或，∴或.當(dāng)時(shí)，，滿足集合元素的互異性，∴符合題意；當(dāng)時(shí)，，也滿足集合元素的互異性，∴也符合題意.綜上，x的值為或. 根據(jù)集合中元素的特性求解字母取值(范圍)的3個(gè)步驟：【變式1】若，則a的值為（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】由題意得，或，或，分別求解，再由集合元素的互異性驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)椋?，或，或，?dāng)時(shí)，得，此時(shí)集合為，不合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)集合為，當(dāng)時(shí)，得無解，綜上，.故選：A【變式2】設(shè)是實(shí)數(shù)，集合，若，則.【答案】【分析】根據(jù)元素與集合關(guān)系及互異性求參數(shù)即可.【詳解】若，則，不符合集合元素的互異性；若，則（正值舍），此時(shí)，滿足；綜上，.故答案為：【變式3】已知集合若，則的值為（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)或，結(jié)合集合中元素滿足互異性即可求解.【詳解】因?yàn)樗曰?，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，，故舍去：當(dāng)時(shí)，解得或（舍去），綜上．故選：B題型04用列舉法表示集合【典例1】已知集合．(1)若，求集合；(2)若集合中各元素之和等于，求實(shí)數(shù)的值，并用列舉法表示集合．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，直接解出集合即可；（2）解方程，對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，求出集合，根據(jù)集合的元素之和為進(jìn)行檢驗(yàn)或求出的值，即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得或或，故．（2）因?yàn)?，解該方程可得或或．根?jù)集合中元素的互異性知當(dāng)方程有重根時(shí)，重根只能算作集合的一個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，可得，不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，可得，符合題意；當(dāng)且時(shí)，，則，解得，此時(shí)，符合題意．綜上，實(shí)數(shù)的值為或；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．用列舉法表示集合的三個(gè)步驟：1.求出集合的元素；2.把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次；3.用花括號括起來?！咀兪?】下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．集合用列舉法表示為B．實(shí)數(shù)集可以表示為{為所有實(shí)數(shù)}或C．能被4整除余3的所有自然數(shù)組成的集合用描述法可表示為D．集合與是同一個(gè)集合【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，解方程，得到方程的解，故用列舉法表示為，故A正確；B選項(xiàng)，表示實(shí)數(shù)集，實(shí)數(shù)集為錯(cuò)誤表示，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，根據(jù)描述法定義得到C正確；D選項(xiàng)，兩集合一個(gè)為數(shù)集，一個(gè)為點(diǎn)集，D錯(cuò)誤.【詳解】對于A，集合中只含有兩個(gè)元素0和1，所以用列舉法表示為，故A正確；對于B，因?yàn)榛ɡㄌ柋旧砭途哂兴械囊饬x，所以在描述內(nèi)容中不能再出現(xiàn)“所有”這樣的字眼，另外表示實(shí)數(shù)集，實(shí)數(shù)集為錯(cuò)誤表示，故B錯(cuò)誤；對于C，根據(jù)描述法表示集合可得集合為，故C正確；對于D，集合為的取值集合，為數(shù)集，集合表示拋物線上點(diǎn)的集合，為點(diǎn)集，所以兩個(gè)集合不是同一個(gè)集合，故D錯(cuò)誤．故選：BD【變式2】方程組的解集是（

）A．，或 B．C． D．【答案】D【分析】解方程組，用集合表示即可判斷.【詳解】由方程組，解得，所以該方程組的解集為，而.故選：D.【變式3】下面四個(gè)說法中不正確的是（）A．10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合是；B．由2，3組成的集合可表示為或；C．方程的所有解組成的集合是；D．0與表示同一個(gè)集合.【答案】CD【分析】結(jié)合集合元素的特征檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.【詳解】10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合是，故A正確；由集合元素的無序性可知，2，3組成的集合可表示為或，故B正確；根據(jù)集合的互異性可知，的所有解組成的集合是，故C錯(cuò)誤；0是元素，不表示集合，為集合，二者不一樣，故D錯(cuò)誤.故選：CD.題型05用描述法表示集合【典例1】集合的另一種表示法是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合中的限制條件，得到，，利用列舉法表示集合即可做出判定.【詳解】因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以，所以．故選：B.描述法表示集合的2個(gè)步驟：【變式1】已知集合，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，求出集合，利用元素與集合的關(guān)系判斷.【詳解】依題意可得，所以.故選：A.【變式2】下列用描述法表示的集合，正確的是（

）A．奇數(shù)集可以表示為B．“小于10的整數(shù)”構(gòu)成的集合可以表示為C．表示大于2的全體實(shí)數(shù)D．不等式的解集表示為【答案】ACD【分析】根據(jù)描述法的特點(diǎn)逐項(xiàng)分析即可.【詳解】對A，奇數(shù)集可以表示為，故A正確；對B，“小于10的整數(shù)”構(gòu)成的集合可以表示為，故B錯(cuò)誤；對C，表示大于2的全體實(shí)數(shù)，故C正確；對D，不等式的解集表示為，故D正確.故選：ACD.【變式3】一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)組成的集合是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】通過聯(lián)立方程組的方法來求得正確答案.【詳解】解方程組，解得，故一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)組成的集合是：或.故選：BC1．已知集合，則的元素個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【分析】根據(jù)題意求集合，即可判斷元素個(gè)數(shù).【詳解】由題意可得：，可知有3個(gè)元素.故選：B2．已知，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】討論對應(yīng)元素，結(jié)合集合中元素的互異性確定參數(shù)值即可.【詳解】若，顯然時(shí)不符合集合元素的互異性；若，不符合集合元素的互異性；若或，不符合集合元素的互異性；綜上，.故選：C3．已知集合，則A中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．7 B．9 C．11 D．13【答案】C【分析】首先求出x的值，然后代入分別求出y的值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，可得，所以x可能取值為當(dāng)時(shí)：代入得，又，所以，此時(shí)得到元素；當(dāng)時(shí)：代入得，，，此時(shí)得到元素；當(dāng)時(shí)：代入得，.，，此時(shí)得到元素；當(dāng)時(shí)：代入得，，，此時(shí)得到元素；當(dāng)時(shí)：代入得，所以，此時(shí)得到元素；滿足條件的元素分別為：，，，，共11個(gè)，故選：C4．已知集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】分別討論當(dāng)時(shí)的取值，進(jìn)而可得元素個(gè)數(shù).【詳解】當(dāng)時(shí)，可能取值為，當(dāng)時(shí)，可能取值為，當(dāng)時(shí)，可能取值為.故可能取值為，共6個(gè).故選：A5．方程組的解集為.【答案】【分析】解原方程組，可得其解集.【詳解】解方程組得，故原方程組的解集為.故答案為：.6．對于數(shù)集，定義，若集合，求集合中所有元素之和．【答案】【分析】由題意，理解新定義，求得，通過定義，進(jìn)而求得所有元素之和.【詳解】集合，則由定義可得，所以，則可知所有元素的和為.7．已知集合，若，則的值為.【答案】【分析】分類討論和，注意元素的互異性.【詳解】因?yàn)?，所以或，?dāng)，即時(shí)，，此時(shí)集合中有重復(fù)元素3，所以不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，解得或（舍去），此時(shí)當(dāng)時(shí)，符合題意，綜上可知，，故答案為：.8．用描述法表示圖中陰影部分（包括邊界）為．【答案】且．【分析】根據(jù)描述法的定義求解．【詳解】用描述法表示圖中陰影部分（包括邊界）為：且．故答案為：且．9．下列集合中有限集的個(gè)數(shù)為（

）（1）二次方程的實(shí)數(shù)解組成的集合；（2）能被3整除的整數(shù)組成的集合；（3）一年之中四個(gè)季節(jié)的名稱組成的集合；（4）偶數(shù)組成的集合；A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】由集合的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可；【詳解】二次方程的實(shí)數(shù)解組成的集合，有一個(gè)，兩個(gè)或無，所以為有限集；能被3整除的整數(shù)有無窮多個(gè)，所以組成的集合為無限集；一年之中四個(gè)季節(jié)的名稱為春季，夏季，秋季，冬季，所以組成的集合為有限集；偶數(shù)組成的集合為無限集合；所以