PAGE1專題3.2函數(shù)的基本性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1.理解單調(diào)函數(shù)的定義，理解增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性的定義．2.掌握定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟．3.掌握函數(shù)單調(diào)區(qū)間的寫法.4.理解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義.5.會(huì)借助單調(diào)性求最值.6.掌握求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值．7.了解函數(shù)奇偶性的含義，掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法，了解奇偶性與函數(shù)圖象對(duì)稱性之間的關(guān)系.教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)：利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式，利用函數(shù)的奇偶性解有關(guān)函數(shù)不等式，利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)范圍.2.難點(diǎn)：能解決與函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性有關(guān)的綜合問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)01函數(shù)的單調(diào)性1．增函數(shù)、減函數(shù)的概念一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有____________，那么就說(shuō)在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有____________，那么就說(shuō)在區(qū)間上是減函數(shù)．2．單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間（1）單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上具有______，稱為函數(shù)的____________．函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)．3．證明函數(shù)單調(diào)性的步驟（1）取值．設(shè)是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且______；（2）變形．作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；（3）定號(hào)．判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；（4）得出結(jié)論．4．函數(shù)單調(diào)性的判斷方法（1）定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．（2）圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．（3）直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．（4）記住幾條常用的結(jié)論①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減）函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．【即學(xué)即練】1．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)．若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)02基本初等函數(shù)的單調(diào)性1．正比例函數(shù)當(dāng)______時(shí)，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)______時(shí)，函數(shù)在定義域R是減函數(shù)．2．一次函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在定義域R是減函數(shù)．3．反比例函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是____________，______單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是____________，______單調(diào)減區(qū)間．4．二次函數(shù)若，在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；若，在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)．【即學(xué)即練】1．函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．2．函數(shù)的圖象不可能是（

）A．

B．

C．

D．

知識(shí)點(diǎn)03函數(shù)的最大（?。┲?、最大值：對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)?，如果存在，，使得?duì)于任意的，都有____________，那么，我們稱是函數(shù)的最大值，即當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的最大值，記作．2、最小值：對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)?，如果存在，，使得?duì)于任意的，都有____________，那么，我們稱是函數(shù)的最小值，即當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的最小值，記作．3、幾何意義：一般地，函數(shù)最大值對(duì)應(yīng)圖像中的最高點(diǎn)，最小值對(duì)應(yīng)圖像中的最低點(diǎn)，它們不一定只有一個(gè)．【即學(xué)即練】1．若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．2．已知，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．0知識(shí)點(diǎn)04函數(shù)的奇偶性概念及判斷步驟1．函數(shù)奇偶性的概念偶函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有____________，那么稱為偶函數(shù)．奇函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有____________，那么稱為奇函數(shù)．2．奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以____________為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)．（2）如果一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)，則它的圖象關(guān)于______軸對(duì)稱；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．【即學(xué)即練】1．已知函數(shù)定義域?yàn)闉榕己瘮?shù)，是奇函數(shù)且，則（

）A．2024 B．2025 C．2026 D．20272．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．題型01：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【典例1】“函數(shù)在上單調(diào)遞減”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件1.數(shù)形結(jié)合利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；2.關(guān)于二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間問(wèn)題，單調(diào)性變化的點(diǎn)與對(duì)稱軸相關(guān)．3.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析：先求函數(shù)的定義域；再將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)、外層函數(shù)；利用已知函數(shù)的單調(diào)性解決．關(guān)注：內(nèi)外層函數(shù)同向變化復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)反向變化復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)．【變式1】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式2】已知函數(shù)，則函數(shù)（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減【變式3】若定義在上的函數(shù)滿足，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A．和 B．和C．和 D．和題型02：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍【典例1】已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．1.解答分類問(wèn)題時(shí)，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及討論對(duì)象的范圍；其次要確定分類標(biāo)準(zhǔn)，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重不漏；再對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論．2.分離參數(shù)法，即把分離出來(lái)放到不等式的左邊，不等式的右邊是關(guān)于的函數(shù)，然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問(wèn)題．【變式1】已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【變式2】已知函數(shù)滿足隨增大而減小，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3】若函數(shù)在單增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型03：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)解不等式【典例1】已知是定義在上的減函數(shù)，其圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則使不等式成立的的取值范圍（

）A． B．C． D． 求字母取值范圍的題目，最終一定要變形成的形式，再依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把符號(hào)脫掉得到關(guān)于字母的不等式再求解．【變式1】已知定義在上的函數(shù)滿足：①；②.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式2】已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，，且當(dāng)時(shí)，．(1)求的值；(2)用單調(diào)性定義證明：在定義域上是增函數(shù)；(3)若，求不等式的解集，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【變式3】定義其中表示，中較大的數(shù).對(duì)，設(shè)，，函數(shù).(1)求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型04：求函數(shù)的最值【典例1】設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則（

）A．0 B．1 C．2 D．41.如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．2.如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．若函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．3.若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．4.若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．【變式1】已知函數(shù)，若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2】設(shè)函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求在區(qū)間的最大值和最小值.【變式3】已知是二次函數(shù)，且滿足，，．(1)求函數(shù)的解析式，并證明在上單調(diào)遞增；(2)設(shè)函數(shù)，，，求函數(shù)的最小值．題型05：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)比較函數(shù)值的大小關(guān)系【典例1】已知a，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較，數(shù)形結(jié)合．【變式1】中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與水的溫度有關(guān).一杯的熱紅茶置于的房間里，茶水的溫度（單位：）與時(shí)間（單位：）的函數(shù)的圖象如圖所示.下列說(shuō)法正確的是（

）

A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【變式2】下列說(shuō)法中正確的有（

）A．已知在上是增函數(shù)，若，則B．“”是“”的必要條件C．若命題“”是真命題，則的取值范圍為D．函數(shù)的減區(qū)間是【變式3】畫出二次函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題：(1)比較的大小；(2)若，比較與的大小關(guān)系；(3)求不等式的解集．因?yàn)椴坏仁?，所以?dāng)時(shí)，，由圖可知此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，由圖可知此時(shí)．所以不等式的解集為.題型06：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明【典例1】已知函數(shù)（），下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)锽．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值沒有最大值C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)榕卸ê瘮?shù)奇偶性容易失誤是由于沒有考慮到函數(shù)的定義域．函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件，因此研究函數(shù)的奇偶性必須“堅(jiān)持定義域優(yōu)先”的原則，即優(yōu)先研究函數(shù)的定義域，否則就會(huì)做無(wú)用功．【變式1】已知，則（

）A． B．C． D．【變式2】判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2)，．【變式3】已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的函數(shù)．(1)判斷的奇偶性；(2)證明在區(qū)間上是增函數(shù)，并求不等式的解集．題型07：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式【典例1】已知是定義在R上的奇函數(shù)，且時(shí)，，若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于的方程，從而可得的解析式．【變式1】定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么時(shí)，（

）A． B． C． D．【變式2】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)．其中、且．(1)求的表達(dá)式；(2)若，實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍．【變式3】已知是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求函數(shù)在R上的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.題型08：抽象函數(shù)的奇偶性問(wèn)題【典例1】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)，滿足是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B．C．的一個(gè)周期為4 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱判斷抽象函數(shù)的奇偶性，可用特殊值賦值法來(lái)求解．在這里，由于需要判斷與之間的關(guān)系，因此需要先求出的值才行．【變式1】已知是上的連續(xù)函數(shù)，滿足有，且.則下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B．為奇函數(shù)C．的一個(gè)周期為8 D．是的一個(gè)對(duì)稱中心【變式2】定義在上的函數(shù)滿足：①對(duì)任意都有；②當(dāng)，.(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；(3)若，試求的值.【變式3】已知函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，且.(1)求的值；(2)令，求證:函數(shù)為奇函數(shù)；(3)求的值.題型09：奇偶性與單調(diào)性的綜合運(yùn)用【典例1】已知函數(shù)．(1)判斷的奇偶性并用定義證明；(2)判斷的單調(diào)性并用定義證明；(3)解不等式．函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合問(wèn)題主要有兩類：一類是兩個(gè)性質(zhì)交融在一起（如本例），此時(shí)要充分利用奇偶函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，從而得到其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性；另一類是兩個(gè)性質(zhì)簡(jiǎn)單組合，此時(shí)只需分別利用函數(shù)的這兩個(gè)性質(zhì)解題．【變式1】已知是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)作的圖象；(3)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍．（不必寫出演算過(guò)程）【變式2】已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)為中心對(duì)稱時(shí)，求a的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時(shí)，求a的取值范圍．【變式3】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，有(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷的單調(diào)性，并利用定義證明；(3)若對(duì)，都有對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．題型10：利用函數(shù)奇偶性識(shí)別圖像【典例1】函數(shù)的圖像大致是（

）A． B．C． D．利用奇偶性進(jìn)行排除.【變式1】函數(shù)的圖像大致為（

）A．

B．

C．

D．

【變式2】函數(shù)的圖像大致是（

）A．

B．C．

D．

【變式3】已知偶函數(shù)和奇函數(shù)的定義域都是，它們?cè)谏系膱D像分別是圖1和圖2，則關(guān)于的不等式的解集是．1．定義在上的函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，在單調(diào)遞減，若且，則（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，若對(duì)任意的，，且，都有成立，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．3．已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足：，，且．下列結(jié)論正確的是（

）A．是奇函數(shù) B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．的周期為3 D．4．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，若，則（

）A． B． C．為增函數(shù) D．為奇函數(shù)5．若，函數(shù)為上的奇函數(shù)，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件6．已知函數(shù)滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．8．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．9．是定義在上的奇函數(shù)，下列結(jié)論中，不正確的是（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)若在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于軸對(duì)稱 B．在上單調(diào)遞減C．當(dāng)時(shí)， D．的值域是12．下列函數(shù)是奇函數(shù)，且滿足對(duì)任意，都有的是（

）A． B．C． D．13．已知函數(shù)的定義域?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱