2025年高考數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計知識點(diǎn)梳理與習(xí)題試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)事件A與事件B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.5，則P(A∪B)等于（）A.0.2B.0.5C.0.8D.0.152.某班級有30名男生和20名女生，現(xiàn)隨機(jī)選取3名學(xué)生參加活動，則恰好選取1名女生的概率為（）A.C(20,1)/C(50,3)B.P(20,1)/P(50,3)C.C(30,2)×C(20,1)/C(50,3)D.P(30,2)×P(20,1)/P(50,3)3.在一次隨機(jī)試驗中，事件A發(fā)生的概率為P(A)=1/3，則事件A在3次獨(dú)立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生1次的概率為（）A.(1/3)3B.C(3,1)*(1/3)*(2/3)2C.(2/3)3D.1-(1/3)34.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X-101P1/2k1/4則k的值為（）A.1/4B.1/2C.1/3D.15.若離散型隨機(jī)變量X的期望E(X)=2，方差D(X)=1/4，則E(3X+5)等于（）A.6B.8.5C.9D.3.256.設(shè)X~N(μ,σ2)，且P(X≤μ)=0.5，則P(μ-σ<X<μ+σ)等于（）A.0.6826B.0.5C.0.3174D.17.從一副完整的撲克牌（52張）中不放回地抽取兩張牌，則兩張牌均為紅桃的概率為（）A.13/52B.12/51C.(13/52)×(12/51)D.1/48.在某次考試中，學(xué)生的成績X服從正態(tài)分布N(70,82)，若成績在60分至80分之間的學(xué)生占比為0.6826，則P(X>80)等于（）A.0.1587B.0.3174C.0.5D.0.84139.已知一組樣本數(shù)據(jù)(1,x),(2,y),(3,6)的均值均為2，則x+y的值為（）A.3B.4C.5D.610.對于一組樣本數(shù)據(jù)，其5個數(shù)分別為a,a+2,a+4,a+6,a+8，則這組數(shù)據(jù)的方差為（）A.4B.8C.10D.16二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。11.某射手每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.8，則他連續(xù)射擊3次，恰好命中2次的概率為________。12.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為：X012Pp2p3p則p的值為________。13.已知一組樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為2，則這組數(shù)據(jù)的方差為________。14.為了解某校學(xué)生的身高情況，隨機(jī)抽取了50名學(xué)生進(jìn)行測量，這個抽樣方法是________（填“簡單隨機(jī)抽樣”、“系統(tǒng)抽樣”或“分層抽樣”）。15.若線性回歸方程為?=3x+5，當(dāng)x=4時，預(yù)測的?值為________。三、解答題：本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16.（本小題滿分15分）一個袋子中有5個紅球和3個白球，這些球除了顏色外完全相同。從中隨機(jī)取出2個球，求：（1）取出的2個球都是紅球的概率；（2）取出的2個球中至少有一個白球的概率。17.（本小題滿分15分）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為-1,0,1,2，且E(X)=1,D(X)=2。（1）求P(X=0)；（2）求P(X≥1)。18.（本小題滿分15分）為了解某城市居民每周的運(yùn)動時間，隨機(jī)抽取了100名居民進(jìn)行調(diào)查，得到如下頻率分布表：每周運(yùn)動時間（小時）[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,+∞)頻數(shù)2030251510（1）估計該城市居民每周運(yùn)動時間在4小時及以上的概率；（2）計算這100名居民每周運(yùn)動時間的樣本均值（同一組數(shù)據(jù)用組中值代表）。19.（本小題滿分15分）設(shè)X~N(μ,σ2)，且已知P(X≤μ-1)=0.2，P(X≥μ+1)=0.8。（1）求P(μ-2<X<μ+2)；（2）若σ=2，求P(X<μ-3)。20.（本小題滿分15分）為了解某地初中生課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了60名學(xué)生，記錄他們每周課外閱讀的時間（單位：小時），得到如下樣本數(shù)據(jù)（部分）：1.5,0.5,2.0,1.0,3.5,2.5,1.5,0.0,2.0,1.5,3.0,2.0,1.0,2.5,0.5,1.5,2.0,3.0,1.0,2.5,0.0,1.5,2.0,3.5,2.5,1.0,1.5,0.5,2.0,1.5,3.0,2.5,1.0,2.0,0.5,1.5,2.5,3.0,1.0,2.0,1.5,0.5,2.0,1.0,3.5,2.5,1.5,0.0,2.0,1.5,3.0,2.0（1）根據(jù)數(shù)據(jù)繪制頻率分布直方圖（提示：可以分成5組，組距為0.5）；（2）計算這組樣本數(shù)據(jù)的樣本均值和樣本方差；（3）若根據(jù)這組樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程為?=0.3x+0.8，當(dāng)某學(xué)生每周課外閱讀時間x=4小時時，預(yù)測他的閱讀時間?的值，并解釋其意義。---試卷答案一、選擇題：1.B2.A3.B4.A5.B6.A7.C8.A9.B10.A二、填空題：11.0.38412.1/613.414.系統(tǒng)抽樣15.17三、解答題：16.解：（1）設(shè)“取出的2個球都是紅球”為事件A。從8個球中隨機(jī)取出2個球的總?cè)》〝?shù)為C(8,2)=28種。取出的2個球都是紅球的取法數(shù)為C(5,2)=10種。根據(jù)古典概型概率公式，P(A)=10/28=5/14。（2）設(shè)“取出的2個球中至少有一個白球”為事件B。事件B包含以下兩種情況：①取出1個紅球和1個白球，取法數(shù)為C(5,1)×C(3,1)=15種。②取出的2個球都是白球，取法數(shù)為C(3,2)=3種。事件B包含的取法數(shù)為15+3=18種。或者，利用補(bǔ)事件，P(B)=1-P(取出的2個球都是紅球)=1-5/14=9/14。故P(B)=9/14。17.解：（1）設(shè)P(X=0)=p。根據(jù)分布列性質(zhì)，E(X)=(-1)*P(X=-1)+0*p+1*P(X=1)+2*P(X=2)=-P(X=-1)+P(X=1)+2P(X=2)=1。又P(X=-1)+p+P(X=1)+P(X=2)=1。令P(X=-1)=a,P(X=1)=b,P(X=2)=c。則a+p+b+c=1且-a+b+2c=1。方差D(X)=E(X2)-[E(X)]2=(-1)2*a+02*p+12*b+22*c-12=a+4c-1=2。由a+b+c+p=1，得b+c=1-a-p。代入-a+(1-a-p)+2c=1，得-2a-p+2c=1。由a+4c-1=2，得a+4c=3。聯(lián)立-2a-p+2c=1和a+4c=3。將a+4c=3代入第一個方程，得-2a-p+2*(3-a)=1，即-2a-p+6-2a=1，得-4a-p=-5，即4a+p=5。聯(lián)立4a+p=5和a+4c=3。由4a+p=5，得p=5-4a。由a+4c=3，得c=(3-a)/4。代入分布列性質(zhì)a+p+b+c=1，得a+(5-4a)+b+(3-a)/4=1。整理得4a+4*(5-4a)+4b+(3-a)=4，即4a+20-16a+4b+3-a=4，即-13a+4b+23=4，即-13a+4b=-19。又b=1-a-p=1-a-(5-4a)=3a-4。代入-13a+4*(3a-4)=-19，得-13a+12a-16=-19，即-a=-3，得a=3。代入p=5-4a=5-4*3=5-12=-7。a和p為概率，不能為負(fù)。重新檢查方程推導(dǎo)：由a+4c=3和-2a-p+2c=1得-2a-p+2*(3-a)/4=1，即-2a-p+(6-2a)/2=1，即-2a-p+3-a=1，即-3a-p=-2，即3a+p=2。聯(lián)立4a+p=5和3a+p=2。兩式相減得(4a+p)-(3a+p)=5-2，即a=3。代入3a+p=2，得3*3+p=2，即9+p=2，即p=-7。仍然不合理。重新審視E(X)公式應(yīng)用：E(X)=(-1)*P(X=-1)+0*p+1*P(X=1)+2*P(X=2)=1。令P(X=-1)=a,P(X=1)=b,P(X=2)=c。則-a+b+2c=1。(1)又a+p+b+c=1。(2)方差D(X)=E(X2)-[E(X)]2=(-1)2*a+02*p+12*b+22*c-12=a+4c-1=2。即a+4c=3。(3)由(2)得p=1-a-b-c。代入(1)得-a+b+2c=1。代入(3)得a+4c=3。聯(lián)立-a+b+2c=1和a+4c=3。將a+4c=3代入第一個方程，得-a+b+2*(3-a)=1，即-a+b+6-2a=1，即-3a+b=-5，即b=3a-5。代入分布列性質(zhì)a+b+c+p=1，即a+(3a-5)+c+(1-a-b-c)=1。整理得a+3a-5+c+1-a-(3a-5)-c=1，即a+3a-5+c+1-a-3a+5-c=1，即a-a+3a-3a-5+5+1=1，即1=1。此方程對a,b,c無約束。需要利用(1)和(3)求解。(1)-(3)得(-a+b+2c)-(a+4c)=1-3，即-2a+b-2c=-2，即b-2c=2a-2。代入b=3a-5，得(3a-5)-2c=2a-2，即3a-5-2c=2a-2，即a-2c=3。聯(lián)立a+4c=3和a-2c=3。兩式相減得(a+4c)-(a-2c)=3-3，即6c=0，得c=0。代入a+4c=3，得a+4*0=3，即a=3。代入b=3a-5，得b=3*3-5=9-5=4。代入a+b+c+p=1，得3+4+0+p=1，即7+p=1，得p=-6。仍然不合理。發(fā)現(xiàn)錯誤：在推導(dǎo)b的表達(dá)式時，應(yīng)該是b=1-a-p-c。重新計算：由a+b+c+p=1，得b=1-a-p-c。代入-a+b+2c=1，得-a+(1-a-p-c)+2c=1，即-a+1-a-p-c+2c=1，即-2a-p+c+1=1，即-2a-p+c=0，即c=2a+p。代入a+4c=3，得a+4*(2a+p)=3，即a+8a+4p=3，即9a+4p=3。聯(lián)立9a+4p=3和a+p+b+c=1。由9a+4p=3，得p=(3-9a)/4。由a+p+b+c=1，得a+(3-9a)/4+b+(2a+p)=1。代入p=(3-9a)/4，得a+(3-9a)/4+b+2a+(3-9a)/4=1。整理得a+2a+b+(3-9a+3-9a)/4=1，即3a+b+(6-18a)/4=1，即3a+b+3/2-9a/2=1。整理得(6a+2b+3-9a)/2=1，即(6a-9a+2b+3)/2=1，即(-3a+2b+3)/2=1。兩邊乘以2，得-3a+2b+3=2，即-3a+2b=-1。聯(lián)立9a+4p=3和-3a+2b=-1。將p=(3-9a)/4代入-3a+2b=-1，得-3a+2b=-1。我們需要求p，可以消去b。由a+p+b+c=1，得b=1-a-p-c。代入-3a+2b=-1，得-3a+2*(1-a-p-c)=-1。需要c的表達(dá)式。由a+4c=3，得c=(3-a)/4。代入-3a+2*(1-a-p-(3-a)/4)=-1，得-3a+2*(1-a-p-3/4+a/4)=-1。整理括號內(nèi)，1-3/4=1/4，-a+a/4=-3a/4，得-3a+2*(1/4-p-3/4)=-1，即-3a+2*(-p/2)=-1，即-3a-p=-1。聯(lián)立9a+4p=3和-3a-p=-1。將-3a-p=-1變形為p=3a-1。代入9a+4p=3，得9a+4*(3a-1)=3，即9a+12a-4=3，即21a=7，得a=1/3。代入p=3a-1，得p=3*(1/3)-1=1-1=0。P(X=0)=p=0。（2）P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=b+c。由a+p+b+c=1，且p=0,a=1/3，得1/3+0+b+c=1，即b+c=2/3。由a+4c=3，且a=1/3，得1/3+4c=3，即4c=3-1/3=8/3，得c=2/3。所以b+c=2/3。P(X≥1)=2/3。18.解：（1）根據(jù)頻率分布表，每周運(yùn)動時間在4小時及以上（包含4小時和6小時及以上）的頻數(shù)為25+15+10=50。總頻數(shù)為20+30+25+15+10=100。估計該城市居民每周運(yùn)動時間在4小時及以上的概率為50/100=1/2。（2）這100名居民每周運(yùn)動時間的樣本均值（用組中值代表）為：x?=(1.5*20+3.5*30+5.5*25+7.5*15+9.5*10)/100=(30+105+137.5+112.5+95)/100=480/100=4.8。故樣本均值為4.8小時。19.解：（1）由X~N(μ,σ2)，且P(X≤μ)=0.5，可知正態(tài)分布曲線關(guān)于x=μ對稱。因此，P(μ-1<X<μ+1)=P(μ-1≤X≤μ+1)。根據(jù)對稱性，P(μ-1<X<μ+1)=P(μ-1<X≤μ)+P(μ<X<μ+1)=0.5+0.5=1。故P(μ-2<X<μ+2)=1。（2）由P(X≤μ-1)=0.2，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表或計算器，可知P(Z≤(μ-1-μ)/σ)=P(Z≤-1/σ)=0.2。查表得Z=-0.84時，P(Z≤-0.84)≈0.2。所以-1/σ≈-0.84，得σ≈1/0.84≈1.19。由P(X≥μ+1)=0.8，得P(X<μ+1)=0.2。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表或計算器，可知P(Z≤(μ+1-μ)/σ)=P(Z≤1/σ)=0.2。查表得Z=-0.84時，P(Z≤-0.84)≈0.2。所以1/σ≈0.84，得σ≈1/0.84≈1.19。這里P(Z≤-0.84)=0.2和P(Z≤0.84)=0.8不匹配，需要修正。正確的查表：P(Z≤-0.84)≈0.2，則-1/σ≈-0.84，σ≈1.19。P(Z≤(μ+1-μ)/σ)=P(Z≤1/σ)=0.2。查表得Z=-0.84時，P(Z≤-0.84)≈0.2。這里仍有矛盾。重新查表：P(Z≤-0.84)≈0.2005，P(Z≤-0.85)≈0.1977。所以P(Z≤-0.85)<0.2<P(Z≤-0.84)。取σ≈1/0.85≈1.18。或者，P(Z≤0.84)≈0.8023，P(Z≤0.85)≈0.8023。所以P(Z≤0.85)>0.8>P(Z≤0.84)。取σ≈1/0.85≈1.18。我們?nèi)ˇ摇?.18。當(dāng)σ=1.18時，P(X<μ-3)=P((X-μ)/σ<(μ-3-μ)/σ)=P(Z<-3/1.18)=P(Z<-2.54)。查表得P(Z≤-2.54)≈0.0054。故P(X<μ-3)≈0.0054。20.解：（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，可以計算各組的頻數(shù)和頻率：數(shù)據(jù)范圍：[0,0.5),[0.5,1.0),[1.0,1.5),[1.5,2.0),[2.0,2.5),[2.5,3.0),[3.0,3.5),[3.5,+∞)頻數(shù)：3,3,8,10,10,8,5,3組中值：0.25,0.75,1.25,1.75,2.25,2.75,3.25,4.0頻率：3/60,3/60,8/60,10/60,10/60,8/60,5/60,3/60繪制頻率分布直方圖的步驟（文字描述）：①確定橫軸和縱軸。橫軸為每周課外閱讀時間（小時），縱軸為頻率/組距（這里組距為0.5）。②在橫軸上標(biāo)出各組的邊界（0,0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0,3.5,4.0）。③在縱軸上標(biāo)出頻率的最大值（如10/60=1/6）及適當(dāng)刻度。④為每個組（區(qū)間）繪制一個矩形，底邊為該組的組距（0.5），高為該組的頻率。例如，[0,0.5)組的矩形高為3/60，[0.5,1.0)組的矩形高為3/60，依此類推。⑤所有矩形的面積之和應(yīng)為1。（2）計算樣本均值x?：x?=(0.25*3+0.75*3+1.25*8+1.75*10+2.25*10+2.75*8+3.25*5+4.0