高三數(shù)學(xué)立體幾何空間想象訓(xùn)練試卷及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為\(a\)，則其外接球的半徑為（）A.\(\frac{\sqrt{2}}{2}a\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}a\)C.\(\sqrt{2}a\)D.\(\sqrt{3}a\)2.已知圓錐的底面半徑為\(1\)，母線長(zhǎng)為\(3\)，則該圓錐的側(cè)面積為（）A.\(3\pi\)B.\(4\pi\)C.\(6\pi\)D.\(8\pi\)3.若直線\(l\)與平面\(\alpha\)內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則直線\(l\)與平面\(\alpha\)的位置關(guān)系是（）A.平行B.垂直C.斜交D.\(l\subset\alpha\)4.三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，\(AA_{1}\perp\)平面\(ABC\)，\(\angleBAC=90^{\circ}\)，\(AB=AC=AA_{1}=1\)，則異面直線\(BC_{1}\)與\(AC\)所成角的余弦值為（）A.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{4}\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{4}\)5.一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為\(3\)、\(2\)、\(1\)，其頂點(diǎn)都在球\(O\)的球面上，則球\(O\)的表面積為（）A.\(12\pi\)B.\(14\pi\)C.\(16\pi\)D.\(18\pi\)6.已知圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則圓柱與球的體積之比為（）A.\(1:2\)B.\(2:1\)C.\(3:2\)D.\(2:3\)7.若平面\(\alpha\parallel\)平面\(\beta\)，直線\(a\subset\alpha\)，直線\(b\subset\beta\)，則直線\(a\)與直線\(b\)的位置關(guān)系是（）A.平行B.異面C.相交D.平行或異面8.已知三棱錐\(P-ABC\)的三條側(cè)棱\(PA\)、\(PB\)、\(PC\)兩兩垂直，且\(PA=PB=PC=1\)，則該三棱錐的外接球體積為（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\pi\)B.\(\sqrt{3}\pi\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{4}\pi\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{6}\pi\)9.正方體\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(E\)為\(A_{1}D_{1}\)的中點(diǎn)，則直線\(AE\)與平面\(ABCD\)所成角的正切值為（）A.\(2\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\sqrt{2}\)D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)10.已知一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為\(2\)，側(cè)棱長(zhǎng)為\(\sqrt{5}\)，則該正四棱錐的高為（）A.\(1\)B.\(\sqrt{2}\)C.\(\sqrt{3}\)D.\(2\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.以下關(guān)于空間幾何體的說法正確的是（）A.棱柱的側(cè)面都是平行四邊形B.棱錐的側(cè)面都是三角形C.圓柱的母線垂直于底面D.圓錐的軸截面是等腰三角形2.已知\(m\)，\(n\)是兩條不同直線，\(\alpha\)，\(\beta\)是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是（）A.若\(m\parallel\alpha\)，\(n\parallel\alpha\)，則\(m\paralleln\)B.若\(m\perp\alpha\)，\(n\perp\alpha\)，則\(m\paralleln\)C.若\(m\parallel\alpha\)，\(m\parallel\beta\)，則\(\alpha\parallel\beta\)D.若\(\alpha\perp\beta\)，\(m\subset\alpha\)，\(\alpha\cap\beta=n\)，\(m\perpn\)，則\(m\perp\beta\)3.正方體\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，下列說法正確的是（）A.\(A_{1}C_{1}\parallel\)平面\(ABCD\)B.\(A_{1}D\parallel\)平面\(BC_{1}D_{1}\)C.\(AC_{1}\perp\)平面\(BC_{1}D\)D.平面\(A_{1}BD\parallel\)平面\(CB_{1}D_{1}\)4.以下哪些條件能確定一個(gè)平面（）A.不共線的三點(diǎn)B.一條直線和直線外一點(diǎn)C.兩條平行直線D.兩條垂直直線5.三棱錐\(P-ABC\)中，下列說法正確的是（）A.若三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)\(P\)在底面\(ABC\)的射影是\(\triangleABC\)的垂心B.若三條側(cè)棱與底面所成角相等，則頂點(diǎn)\(P\)在底面\(ABC\)的射影是\(\triangleABC\)的外心C.若三個(gè)側(cè)面與底面所成二面角相等，則頂點(diǎn)\(P\)在底面\(ABC\)的射影是\(\triangleABC\)的內(nèi)心D.若\(PA=PB=PC\)，則頂點(diǎn)\(P\)在底面\(ABC\)的射影是\(\triangleABC\)的重心6.關(guān)于球的說法正確的是（）A.球的任意截面都是圓B.球心與截面圓心的連線垂直于截面C.半徑為\(R\)的球的表面積為\(4\piR^{2}\)D.半徑為\(R\)的球的體積為\(\frac{4}{3}\piR^{3}\)7.已知圓錐的底面半徑為\(r\)，高為\(h\)，母線長(zhǎng)為\(l\)，則（）A.\(l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}\)B.圓錐的側(cè)面積為\(\pirl\)C.圓錐的體積為\(\frac{1}{3}\pir^{2}h\)D.圓錐的軸截面面積為\(rh\)8.若直線\(l\)與平面\(\alpha\)所成角為\(\theta\)，則（）A.\(0^{\circ}\leq\theta\leq90^{\circ}\)B.當(dāng)\(l\perp\alpha\)時(shí)，\(\theta=90^{\circ}\)C.當(dāng)\(l\parallel\alpha\)時(shí)，\(\theta=0^{\circ}\)D.直線\(l\)與平面\(\alpha\)內(nèi)所有直線所成角中，\(\theta\)是最小角9.正方體\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的棱長(zhǎng)為\(a\)，則（）A.異面直線\(AB\)與\(A_{1}C_{1}\)所成角為\(45^{\circ}\)B.異面直線\(AD\)與\(BC_{1}\)所成角為\(60^{\circ}\)C.直線\(A_{1}C\)與平面\(ABCD\)所成角的正切值為\(\sqrt{2}\)D.平面\(A_{1}BD\)與平面\(CB_{1}D_{1}\)間的距離為\(\frac{\sqrt{3}}{3}a\)10.以下關(guān)于棱臺(tái)的說法正確的是（）A.兩底面相似B.側(cè)面都是梯形C.側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)D.棱臺(tái)的高就是兩底面間的距離三、判斷題（每題2分，共20分）1.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱。（）2.垂直于同一條直線的兩條直線互相平行。（）3.若直線\(l\)平行于平面\(\alpha\)內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則\(l\parallel\alpha\)。（）4.兩個(gè)平面垂直，一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。（）5.球的體積與表面積之比為\(\frac{R}{3}\)（\(R\)為球半徑）。（）6.正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，側(cè)面都是全等的等腰三角形。（）7.若一條直線與一個(gè)平面所成角為\(0^{\circ}\)，則這條直線在這個(gè)平面內(nèi)。（）8.兩個(gè)平行平面間的距離處處相等。（）9.圓柱的軸截面是經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面。（）10.棱錐的體積等于底面積乘以高。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述判斷直線與平面垂直的判定定理。答：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直。2.求棱長(zhǎng)為\(a\)的正四面體的高。答：先求底面三角形的高\(yùn)(h_{底}=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)，底面中心到底面頂點(diǎn)距離為\(\frac{2}{3}h_{底}=\frac{\sqrt{3}}{3}a\)。根據(jù)勾股定理可得正四面體高\(yùn)(h=\sqrt{a^{2}-(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}a\)。3.說明圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式推導(dǎo)思路。答：圓柱側(cè)面展開是矩形，長(zhǎng)為底面圓周長(zhǎng)，寬為母線長(zhǎng)，得側(cè)面積公式；圓錐側(cè)面展開是扇形，弧長(zhǎng)為底面圓周長(zhǎng)，半徑為母線長(zhǎng)，推出側(cè)面積公式；圓臺(tái)可看作大圓錐截去小圓錐得到，通過大、小圓錐側(cè)面積相減得圓臺(tái)側(cè)面積公式。4.如何確定異面直線所成角？答：先通過平移直線，使其相交，相交后所成的銳角或直角就是異面直線所成角。通常在已知的幾何體中找平行線進(jìn)行平移，再在三角形中求解角度。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論在立體幾何中，如何培養(yǎng)空間想象力。答：可以通過觀察生活中的實(shí)物模型，如建筑、家具等；多做一些手工模型，直觀感受空間結(jié)構(gòu)；利用計(jì)算機(jī)軟件繪制立體圖形并進(jìn)行動(dòng)態(tài)觀察；加強(qiáng)對(duì)立體幾何定理和概念的理解，借助圖形輔助思考等方法培養(yǎng)空間想象力。2.探討立體幾何中向量法與傳統(tǒng)幾何法的優(yōu)缺點(diǎn)。答：向量法優(yōu)點(diǎn)是思路較固定，可將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，減少空間想象難度；缺點(diǎn)是計(jì)算量可能較大。傳統(tǒng)幾何法優(yōu)點(diǎn)是能深入理解幾何本質(zhì)，證明過程簡(jiǎn)潔直觀；缺點(diǎn)是對(duì)空間想象力和邏輯推理能力要求高，找輔助線等較困難。3.分析在求解立體幾何體積問題時(shí)，常見的方法有哪些。答：常見方法有公式法，直接用對(duì)應(yīng)幾何體體積公式；分割法，將復(fù)雜幾何體分割成簡(jiǎn)單易求體積的部分；補(bǔ)形法，把不規(guī)則幾何體補(bǔ)成規(guī)則易求體積的幾何體；等體積法，根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換來求解，如換底換高。4.說說如何在立體幾何中尋找二面角的平面角。答：定義法，在棱上取一點(diǎn)，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線；垂面法，找一個(gè)與棱垂直的平面，該平面與二面角兩個(gè)半平面的交線所成角就是平面角；三垂線法，利用三垂線定