初三數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)專題練習(xí)題匯編一、引言數(shù)與代數(shù)是初三數(shù)學(xué)的核心板塊，涵蓋實(shí)數(shù)運(yùn)算、整式分式、方程不等式、函數(shù)四大模塊，約占中考數(shù)學(xué)分值的60%。本匯編以“基礎(chǔ)鞏固—能力提升—思維拓展”為梯度，精選典型題型，聚焦高頻考點(diǎn)與易錯點(diǎn)，旨在幫助學(xué)生系統(tǒng)梳理知識體系，強(qiáng)化解題能力。建議使用時結(jié)合自身薄弱環(huán)節(jié)，先回顧知識點(diǎn)，再完成對應(yīng)練習(xí)，重點(diǎn)標(biāo)注錯題并總結(jié)規(guī)律。二、實(shí)數(shù)及其運(yùn)算（一）知識點(diǎn)回顧1.平方根與立方根：算術(shù)平方根（非負(fù)）、平方根（正負(fù)）、立方根（符號與被開方數(shù)一致）。2.實(shí)數(shù)分類：有理數(shù)（整數(shù)、分?jǐn)?shù)）與無理數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)，如√2、π）。3.實(shí)數(shù)運(yùn)算：遵循“先乘方開方，再乘除，后加減；有括號先算括號內(nèi)”的順序，注意絕對值、零指數(shù)冪（\(a^0=1,a≠0\)）、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪（\(a^{-n}=1/a^n,a≠0\)）的處理。（二）典型例題與練習(xí)【基礎(chǔ)題】例1：計(jì)算\(\sqrt{25}\)的算術(shù)平方根，\(\sqrt[3]{-8}\)的值。解析：\(\sqrt{25}=5\)，故其算術(shù)平方根為\(\sqrt{5}\)；\(\sqrt[3]{-8}=-2\)（立方根符號與被開方數(shù)一致）。練習(xí)1：（1）\(\sqrt{16}\)的平方根是______；（2）\(\sqrt[3]{0.008}\)的值是______。答案：（1）±2；（2）0.2?！局袡n題】例2：計(jì)算\(|\sqrt{3}-2|+(π-3)^0-(\frac{1}{2})^{-1}\)。解析：\(\sqrt{3}≈1.732<2\)，故\(|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}\)；\((π-3)^0=1\)；\((\frac{1}{2})^{-1}=2\)。原式\(=2-\sqrt{3}+1-2=1-\sqrt{3}\)。練習(xí)2：計(jì)算\((\sqrt{2}-1)^2+\sqrt{12}÷\sqrt{3}\)。答案：\(3-2\sqrt{2}+2=5-2\sqrt{2}\)?！咎岣哳}】例3：已知\(a\)是\(\sqrt{7}\)的整數(shù)部分，\(b\)是其小數(shù)部分，求\(a^2-b\)的值。解析：\(2<\sqrt{7}<3\)，故\(a=2\)，\(b=\sqrt{7}-2\)。原式\(=2^2-(\sqrt{7}-2)=4-\sqrt{7}+2=6-\sqrt{7}\)。練習(xí)3：已知\(x=\sqrt{5}+1\)，求\(x^2-2x+3\)的值。答案：\((x-1)^2+2=(\sqrt{5})^2+2=5+2=7\)（利用完全平方公式化簡）。三、整式與分式（一）知識點(diǎn)回顧1.因式分解：常用方法有提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法、分組分解法，結(jié)果要分解到不能再分解為止。2.整式運(yùn)算：單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式（分配律）、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式（展開后合并同類項(xiàng)）、乘法公式（\((a±b)^2=a2±2ab+b2\)，\((a+b)(a-b)=a2-b2\)）。3.分式：分母不為0；化簡時要約分（分子分母同除以最大公因式）；加減需通分（找最簡公分母）。（二）典型例題與練習(xí)【基礎(chǔ)題】例1：因式分解\(3x2-6xy\)，\(x2-4y2\)。解析：\(3x2-6xy=3x(x-2y)\)（提公因式）；\(x2-4y2=(x+2y)(x-2y)\)（平方差公式）。練習(xí)1：因式分解\(x2+4x+4\)，\(2a3-8a\)。答案：\((x+2)^2\)；\(2a(a2-4)=2a(a+2)(a-2)\)。【中檔題】例2：化簡\(\frac{x2-1}{x2-2x+1}÷\frac{x+1}{x-1}\)。解析：先因式分解：\(x2-1=(x+1)(x-1)\)，\(x2-2x+1=(x-1)^2\)。原式\(=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}×\frac{x-1}{x+1}=1\)（約分后結(jié)果為1，注意分母不為0的條件：\(x≠1\)且\(x≠-1\)）。練習(xí)2：化簡\(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}\)。答案：\(\frac{(x+1)+(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x}{x2-1}\)。【提高題】例3：已知\(a+b=3\)，\(ab=2\)，求\(a2+b2\)，\(a3+b3\)的值。解析：\(a2+b2=(a+b)^2-2ab=32-2×2=5\)；\(a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=3×(5-2)=9\)（利用立方和公式）。練習(xí)3：已知\(x-\frac{1}{x}=2\)，求\(x2+\frac{1}{x2}\)的值。答案：\((x-\frac{1}{x})^2+2=22+2=6\)。四、方程與不等式（一）知識點(diǎn)回顧1.一元二次方程：一般形式\(ax2+bx+c=0(a≠0)\)；解法（因式分解法、配方法、公式法）；根的判別式\(\Delta=b2-4ac\)（\(\Delta>0\)有兩不等實(shí)根，\(\Delta=0\)有兩相等實(shí)根，\(\Delta<0\)無實(shí)根）；韋達(dá)定理（\(x_1+x_2=-\frac{a}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)）。2.分式方程：去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，解后必須檢驗(yàn)（避免增根）。3.不等式組：先解每個不等式，再取解集的交集（借助數(shù)軸）；含參數(shù)的不等式組需分析參數(shù)范圍。（二）典型例題與練習(xí)【基礎(chǔ)題】例1：解一元二次方程\(x2-5x+6=0\)（因式分解法），\(2x2-4x-1=0\)（公式法）。解析：\(x2-5x+6=0\)分解為\((x-2)(x-3)=0\)，解為\(x=2\)或\(x=3\)；\(2x2-4x-1=0\)，\(a=2\)，\(b=-4\)，\(c=-1\)，\(\Delta=16+8=24\)，解為\(x=\frac{4±\sqrt{24}}{4}=\frac{2±\sqrt{6}}{2}\)。練習(xí)1：解分式方程\(\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x}\)。答案：去分母得\(x=2(x-1)\)，解得\(x=2\)，檢驗(yàn)：\(x=2\)時分母不為0，故解為\(x=2\)?！局袡n題】例2：已知方程\(x2+2x+k=0\)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求\(k\)的取值范圍。解析：\(\Delta=22-4×1×k>0\)，即\(4-4k>0\)，解得\(k<1\)。練習(xí)2：不等式組\(\begin{cases}x>2\\x<a\end{cases}\)有解，求\(a\)的取值范圍。答案：\(a>2\)（解集為\(2<x<a\)，故\(a>2\)）?！咎岣哳}】例3：已知一元二次方程\(2x2-3x-1=0\)的兩根為\(x_1,x_2\)，求\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\)的值。解析：由韋達(dá)定理，\(x_1+x_2=\frac{3}{2}\)，\(x_1x_2=-\frac{1}{2}\)。\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}=-3\)。練習(xí)3：某商店銷售某種商品，每件成本為\(a\)元，若按每件\(b\)元出售，每天可售出\(c\)件。經(jīng)市場調(diào)查，若售價每降低1元，每天可多售出\(d\)件。為了每天獲得最大利潤，售價應(yīng)降低多少元？（用二次函數(shù)求最值）提示：設(shè)售價降低\(x\)元，則利潤\(y=(b-x-a)(c+dx)\)，展開后求頂點(diǎn)橫坐標(biāo)。五、函數(shù)及其應(yīng)用（一）知識點(diǎn)回顧1.一次函數(shù)：解析式\(y=kx+b(k≠0)\)；圖像為直線（\(k\)為斜率，\(b\)為截距）；性質(zhì)（\(k>0\)時\(y\)隨\(x\)增大而增大，\(k<0\)時相反）。2.二次函數(shù)：一般式\(y=ax2+bx+c(a≠0)\)；頂點(diǎn)式\(y=a(x-h)^2+k\)（頂點(diǎn)\((h,k)\)，對稱軸\(x=h\)）；性質(zhì)（\(a>0\)時開口向上，有最小值\(k\)；\(a<0\)時相反）。3.反比例函數(shù)：解析式\(y=\frac{k}{x}(k≠0)\)；圖像為雙曲線（\(k>0\)時在一、三象限，\(y\)隨\(x\)增大而減?。籠(k<0\)時相反）。（二）典型例題與練習(xí)【基礎(chǔ)題】例1：求二次函數(shù)\(y=x2-2x+3\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸。解析：配方得\(y=(x-1)^2+2\)，故頂點(diǎn)\((1,2)\)，對稱軸\(x=1\)。練習(xí)1：一次函數(shù)過點(diǎn)\((1,3)\)和\((2,5)\)，求其解析式。答案：設(shè)\(y=kx+b\)，代入得\(\begin{cases}k+b=3\\2k+b=5\end{cases}\)，解得\(k=2\)，\(b=1\)，故\(y=2x+1\)?！局袡n題】例2：將二次函數(shù)\(y=2x2\)的圖像向左平移1個單位，再向上平移3個單位，求平移后的解析式。解析：“左加右減（自變量），上加下減（常數(shù)項(xiàng)）”，平移后為\(y=2(x+1)^2+3\)，展開得\(y=2x2+4x+5\)。練習(xí)2：反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)過點(diǎn)\((2,-3)\)，求\(k\)的值及圖像所在象限。答案：\(k=2×(-3)=-6\)，故圖像在二、四象限?！咎岣哳}】例3：求二次函數(shù)\(y=-x2+2x+3\)在區(qū)間\([0,3]\)上的最大值與最小值。解析：頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,4)\)（\(a=-1<0\)，開口向下）；計(jì)算端點(diǎn)值：\(x=0\)時\(y=3\)，\(x=3\)時\(y=-9+6+3=0\)；故最大值為4（頂點(diǎn)處），最小值為0（\(x=3\)時）。練習(xí)3：一次函數(shù)\(y=kx+b\)與反比例函數(shù)\(y=\frac{8}{x}\)交于點(diǎn)\((2,4)\)和\((-4,-2)\)，求一次函數(shù)解析式，并比較當(dāng)\(x>2\)時，兩個函數(shù)值的大小。答案：代入點(diǎn)\((2,4)\)和\((-4,-2)\)得\(\begin{cases}2k+b=4\\-4k+b=-2\end{cases}\)，解得\(k=1\)，\(b=2\)，故\(y=x+2\)；當(dāng)\(x>2\