第第頁(yè)第07講隨機(jī)變量及其分布【復(fù)習(xí)目錄】一、條件概率二、全概率公式三、離散型隨機(jī)變均值的性質(zhì)四、離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差五：離散型隨機(jī)變均值與方差的最值分析六、二項(xiàng)分布模型七、超幾何分布模型八、正態(tài)分布九、隨機(jī)變量及其分布的綜合應(yīng)用【知識(shí)梳理】1．條件概率(1)概念：一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱(chēng)P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱(chēng)條件概率．(2)兩個(gè)公式：①利用古典概型，P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)； ②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．2．全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P(B)＝，我們稱(chēng)這個(gè)公式為全概率公式．3．離散型隨機(jī)變量一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)w，都有唯一的實(shí)數(shù)X(w)與之對(duì)應(yīng)，我們稱(chēng)X為隨機(jī)變量；可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量．4．離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱(chēng)X取每一個(gè)值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列．5．離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝16．離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值：稱(chēng)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望．它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平(2)方差：稱(chēng)D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝為隨機(jī)變量X的方差，并稱(chēng)eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X)，它們都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度．7．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù))．8、伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布1．伯努利試驗(yàn)：只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)；將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱(chēng)為n重伯努利試驗(yàn)．2．二項(xiàng)分布：一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2…，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)．3．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．9、超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分布．10、正態(tài)分布1．定義：若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))·，x∈R，其中，μ∈R，σ>0為參數(shù)，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)．2．正態(tài)曲線(xiàn)的特點(diǎn)(1)曲線(xiàn)是單峰的，它關(guān)于直線(xiàn)x＝μ對(duì)稱(chēng)．(2)曲線(xiàn)在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).(3)當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線(xiàn)無(wú)限接近x軸．3．3σ原則(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.4．正態(tài)分布的均值與方差：若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.【題型歸納】題型一、條件概率1．（24-25高二下·甘肅甘南·期末）甲箱中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有5個(gè)紅球，3個(gè)白球和2個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙箱中，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，則從乙箱中取出的是紅球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全概率公式求得正確答案【詳解】令事件A為“從甲箱中取出一個(gè)球是紅球”，事件B為“從甲箱中取出一個(gè)球是白球”，事件C為“從甲箱中取出一個(gè)球是黑球”，事件D為“從乙箱中取出一個(gè)球是紅球”，則，所以，故選；B2．（24-25高二上·遼寧·期末）某高中為了解學(xué)生的肥胖是否與經(jīng)常飲用碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對(duì)400名高二學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，學(xué)生飲用碳酸飲料的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：學(xué)校有的學(xué)生每天飲用碳酸飲料不低于500毫升，這些學(xué)生的肥胖率為，每天飲用碳酸飲料低于500毫升的學(xué)生的肥胖率為.若從該中學(xué)高二的學(xué)生中任意抽取一名學(xué)生，則該學(xué)生肥胖的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)相應(yīng)事件,根據(jù)題意利用全概率公式運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)“學(xué)生每天飲用碳酸飲料不低于500毫升”為事件A，則，，設(shè)“學(xué)生肥胖”為事件B，則，，由全概率公式可得，所以若從該中學(xué)高二的學(xué)生中任意抽取一名學(xué)生，則該學(xué)生肥胖的概率為.故選：A3．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）秋冬季節(jié)是某呼吸道疾病的高發(fā)期，為了解該疾病的發(fā)病情況，疾控部門(mén)對(duì)該地區(qū)居民進(jìn)行普查化驗(yàn)，化驗(yàn)結(jié)果陽(yáng)性率為，但統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果顯示患病率為，醫(yī)學(xué)研究表明化驗(yàn)結(jié)果是有可能存在誤差的，沒(méi)有患該疾病的居民其化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的概率為，則該地區(qū)患有該疾病的居民化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由全概率公式和條件概率公式計(jì)算即得.【詳解】設(shè)事件為“患有此病”，為“化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性”，由題意，，則該地區(qū)患有該疾病的居民化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的概率為.由全概率公式，，代入數(shù)值可得：解得：故選：C.題型二、全概率公式4．（24-25高二下·天津?yàn)I海新·期中）已知一道解答題共有兩小問(wèn)，某班50個(gè)人中有30個(gè)人能夠解答出第一問(wèn)．在第一問(wèn)解答不出的情況下，解答出第二問(wèn)的概率為0.1，第一問(wèn)解答出來(lái)的情況下，第二問(wèn)解答不出來(lái)的概率為0.7，則解答出第二問(wèn)的概率為（

）A．0.46 B．0.22 C．0.18 D．0.04【答案】B【分析】設(shè)相應(yīng)事件，由題意可得，根據(jù)對(duì)立事件求出所需事件的概率，依據(jù)全概率公式求解.【詳解】設(shè)“解出第一問(wèn)”為事件，“解出第二問(wèn)”為事件，由題意可得：，則，所以.故選：B.5．（24-25高二上·遼寧沈陽(yáng)·期末）此時(shí)此刻你正在做這道選擇題，假設(shè)你會(huì)做的概率是，當(dāng)你會(huì)做的時(shí)候，又能選對(duì)正確答案的概率為100%，而當(dāng)你不會(huì)做這道題時(shí)，你選對(duì)正確答案的概率是0.25，那么這一刻，你答對(duì)題目的概率為（

）A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0.25【答案】A【分析】應(yīng)用全概率公式求答對(duì)題目的概率.【詳解】由題意，令表示會(huì)做，表示選對(duì)，則，且，所以.故選：A6．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）為解決“卡脖子”問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)7nm芯片國(guó)產(chǎn)化，讓中國(guó)制造走向世界，某公司兩個(gè)研發(fā)小組同時(shí)設(shè)計(jì)生產(chǎn)出了相同規(guī)格、相同數(shù)量的芯片，經(jīng)初步鑒定：組生產(chǎn)的芯片合格率為，B組生產(chǎn)的芯片合格率為，現(xiàn)公司決定再將這些產(chǎn)品送專(zhuān)家鑒定后量產(chǎn)，專(zhuān)家從這些芯片中隨機(jī)取一個(gè)，則該芯片合格的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，利用全概率公式即可得解.【詳解】設(shè)事件“從組中抽取芯片”，事件“抽到合格的芯片”，則，，，則.故選：C.題型三、離散型隨機(jī)變均值的性質(zhì)7．（24-25高二上·遼寧·期末）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下，若，則（

）X0a2PbA． B． C． D．【答案】C【分析】由概率之和為可得，再借助期望的性質(zhì)計(jì)算可得，則可得，最后計(jì)算方差即可得.【詳解】由題意知，解得，因?yàn)椋瑒t，則，解得，則.故選：C.8．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）已知隨機(jī)變量的分布列如下:01設(shè)，則的數(shù)學(xué)期望的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)期望公式求出，再根據(jù)期望的性質(zhì)即可得到正確答案.【詳解】，所以.故選：B.9．（22-23高二下·吉林白城·期末）元宵節(jié)廟會(huì)上有一種摸球游戲：布袋中有15個(gè)大小和形狀均相同的小球，其中白球10個(gè)，紅球5個(gè)，每次摸出2個(gè)球．若摸出的紅球個(gè)數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知的可能取值為0，1，2，然后求出相應(yīng)的概率，從而可求出，再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】的可能取值為0，1，2，則，，，所以，故．故選：A．題型四、離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差10．（23-24高二下·吉林長(zhǎng)春·期末）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01P且，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分布列求出，，再根據(jù)條件得，計(jì)算答案即可.【詳解】由X的分布列得，，因?yàn)?，則故選：D.11．（23-24高二下·陜西榆林·階段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為分別為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)概率分布列性質(zhì)，概率之和為1，求出，再求出，運(yùn)用線(xiàn)性運(yùn)算性質(zhì)，求出即可.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量的分布列為，由分布列的性質(zhì)可知，，解得，，，.故選:C.12．（23-24高二下·河北·期中）已知離散型隨機(jī)變量的分布列為0123若，則（

）A．2 B．3 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)以及數(shù)學(xué)期望求出的值，即可求得，根據(jù)方差的性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】由題意知，由得，解得，故，故，故選：C題型五：離散型隨機(jī)變均值與方差的最值分析13．（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列如表所示：0p其中，若，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)期望和方差的公式代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，，所?所以.故選：A.14．（23-24高二下·貴州黔西·期末）設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下（其中），表示的方差，則當(dāng)從0增大到1時(shí)，（

）012A．有最大值也有最小值 B．無(wú)最大值也無(wú)最小值C．無(wú)最大值但有最小值 D．有最大值但無(wú)最小值【答案】D【分析】根據(jù)給定的分布列求出期望，再由方差定義求出，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)判斷得解.【詳解】由分布列，得隨機(jī)變量的期望，則，由，得當(dāng)時(shí)，取得最大值，無(wú)最小值.故選：D15．（23-24高二下·福建泉州·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列如表，則下列說(shuō)法正確的是（

）xyPyxA．對(duì)任意，，B．對(duì)任意，，C．存在，，D．存在，，【答案】B【分析】對(duì)A、C：根據(jù)期望的計(jì)算公式結(jié)合二次函數(shù)分析運(yùn)算；對(duì)B：先求，利用作差法比較大??；對(duì)D：換元令，結(jié)合二次函數(shù)求的取值范圍.【詳解】由題意可得：，且，即，對(duì)A、C：由題意可得：，∵開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸，，則，故，即，不存在x，，，C錯(cuò)誤；例如，則，即存在x，，，A錯(cuò)誤；對(duì)B：，則，故對(duì)任意x，，則，B正確；對(duì)D：令，則開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸，且，故，即，不存在x，，，D錯(cuò)誤；故選：B．題型六、二項(xiàng)分布模型16．（23-24高二下·廣東廣州·期末）某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)五位二進(jìn)制數(shù)（例如01001），其中出現(xiàn)0的概率為，出現(xiàn)1的概率為，記，則當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．五位二進(jìn)制數(shù)與出現(xiàn)的概率相同【答案】D【分析】依題意可得，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式及期望、方差公式判斷即可.【詳解】由二進(jìn)制數(shù)的特點(diǎn)知，每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字只能為或，且每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不影響，故的可能取值有0，1，2，3，4，5，且的取值表示出現(xiàn)的次數(shù)，由二項(xiàng)分布的定義，可得，故，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤，五位二進(jìn)制數(shù)與出現(xiàn)的概率均為，故D正確．故選：D．17．（2025·河南焦作·二模）甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率是，乙每次擊中目標(biāo)的概率是，假設(shè)兩人是否擊中目標(biāo)相互之間沒(méi)有影響．(1)求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率；(2)設(shè)甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）3次射擊中甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次，分別為甲擊中目標(biāo)2次且乙擊中目標(biāo)0次與甲擊中目標(biāo)3次且乙擊中目標(biāo)1次，分別求出其概率，再相加即可；（2）甲的設(shè)計(jì)過(guò)程可看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以，根據(jù)二項(xiàng)分布即可求解.【詳解】（1）設(shè)甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次為事件，甲擊中目標(biāo)2次且乙擊中目標(biāo)0次為事件，甲擊中目標(biāo)3次且乙擊中目標(biāo)1次為事件，則，所以甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為．（2）由題可知X的所有可能取值為0，1，2，3，且，，所以的分布列為0123所以．18．（23-24高二下·貴州黔南·期末）轉(zhuǎn)盤(pán)游戲的規(guī)則如下：將轉(zhuǎn)盤(pán)進(jìn)行十等分，從1到10依次進(jìn)行標(biāo)注，參與者轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí)，指針指到的數(shù)字記為分?jǐn)?shù)，轉(zhuǎn)盤(pán)游戲可進(jìn)行多輪，每輪轉(zhuǎn)動(dòng)兩次轉(zhuǎn)盤(pán)，進(jìn)行兩次分別計(jì)分，選手甲參加十輪游戲，分?jǐn)?shù)如下表：輪次一二三四五六七八九十第一次分?jǐn)?shù)85971077689第二次分?jǐn)?shù)89877987910若選手在某輪中，兩次分?jǐn)?shù)的平均值不低于8分，且二者之差的絕對(duì)值不超過(guò)1分，則稱(chēng)其在該輪“穩(wěn)定發(fā)揮”．(1)若從以上選手甲的十輪游戲中任選兩輪，求這兩輪均“穩(wěn)定發(fā)揮”的概率；(2)假設(shè)選手甲再參加三輪游戲，每輪得分情況相互獨(dú)立，并對(duì)是否“穩(wěn)定發(fā)揮”以頻率估計(jì)概率．記X為甲在三輪游戲中“穩(wěn)定發(fā)揮”的輪數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，．【分析】（1）由表格數(shù)的數(shù)據(jù)，可得選手甲在第一、三、九、十輪“穩(wěn)定發(fā)揮”，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到甲在每輪游戲中"穩(wěn)定發(fā)揮"的概率為，且，得出變量可能的取值為，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，結(jié)合表格數(shù)的數(shù)據(jù)，可得選手甲在第一、三、九、十輪“穩(wěn)定發(fā)揮”．設(shè)從以上選手甲十輪游戲中任選兩輪，這兩輪均"穩(wěn)定發(fā)揮"為事件，則．（2）解：甲在每輪游戲中"穩(wěn)定發(fā)揮"的概率為，且，其中隨機(jī)變量可能的取值為，則，所以變量的分布列為X0123則變量X的數(shù)學(xué)期望為．題型七、超幾何分布模型19．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）一個(gè)袋子中裝有6個(gè)紅球和4個(gè)白球，假設(shè)每個(gè)球被摸到的可能性是相等的．從袋子中摸出2個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)為X，則X的數(shù)學(xué)期望是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知可取，然后利用超幾何分布公式求出相應(yīng)的概率，從而求解出期望.【詳解】由題意知，則，，．所以．故A正確.故選：A.20．（23-24高二下·北京大興·期末）某種水果按照果徑大小可分為四級(jí)：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果.某采購(gòu)商從采購(gòu)的一批水果中隨機(jī)抽取100個(gè)，利用水果的等級(jí)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果個(gè)數(shù)10304020假設(shè)用頻率估計(jì)概率.(1)從這100個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取4個(gè)，求恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率；(2)采用分層抽樣的方法從這100個(gè)水果中抽取10個(gè)，再?gòu)某槿〉?0個(gè)水果中不放回地隨機(jī)抽取3個(gè)，若表示抽到的精品果的數(shù)量，求的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）首先求出抽一次抽到禮品果的概率，現(xiàn)有放回地隨機(jī)抽取個(gè)，設(shè)抽到禮品果的個(gè)數(shù)為，則，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算可得；（2）依題意的可能的取值為，，，，求出所對(duì)應(yīng)的概率，從而得到分布列與數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）設(shè)從這個(gè)水果中隨機(jī)抽取個(gè)，其為禮品果為事件，則，現(xiàn)有放回地隨機(jī)抽取個(gè)，設(shè)抽到禮品果的個(gè)數(shù)為，則，所以恰好有個(gè)水果是禮品果的概率為.（2）用分層抽樣的方法從這個(gè)水果中抽取個(gè)，其中精品果有個(gè)，非精品果有個(gè)，再?gòu)闹须S機(jī)抽取個(gè)，則精品果的數(shù)量服從超幾何分布，所有可能的取值為，，，，所以，，，；的分布列為：0123則.21．（23-24高二下·天津河北·期末）袋中裝有大小、形狀、材質(zhì)完全相同的小球，其中M個(gè)紅球，N個(gè)黃球．(1)若，，現(xiàn)采用不放回摸球，每次摸1個(gè)小球，求在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到黃球的概率；(2)若，現(xiàn)采用有放回摸球n次，每次摸1個(gè)小球，設(shè)摸到紅球的次數(shù)為隨機(jī)變量X，若，，求n和N的值；(3)若，，現(xiàn)從袋中摸出2個(gè)球，取到紅球記1分，取到黃球記2分，記最后總得分為隨機(jī)變量Y，求Y的分布列以及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)(3)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)條件概率定義可求解；（2）由題意隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式列方程，解方程得解；（3）由題意隨機(jī)變量Y服從超幾何分布，利用超幾何分布知識(shí)求出分布列和期望得解.【詳解】（1）令事件A：第一次摸到紅球；事件B：第二次摸到黃球，則，，所以在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到黃球的概率為，（2）令事件C：摸一次摸到紅球，則，由題意隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，，因?yàn)?，，所以，解得：，?）由題意隨機(jī)變量Y的所有可能取值為2，3，4，，，，所以，Y的分布列為Y234P所以題型八、正態(tài)分布22．（24-25高二下·云南昆明·期中）李明上學(xué)有時(shí)坐公交車(chē)，有時(shí)騎自行車(chē)，他分別記錄了50次坐公交車(chē)和50次騎自行車(chē)所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到，假設(shè)坐公交車(chē)用時(shí)和騎自行車(chē)用時(shí)都服從正態(tài)分布，，．和的正態(tài)曲線(xiàn)如圖所示．則下列結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的正態(tài)分布密度曲線(xiàn)，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性和性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，所以隨機(jī)變量的方差，故錯(cuò)誤；對(duì)于，根據(jù)給定的正態(tài)分布密度曲線(xiàn)圖象，可得，，所以，故正確；對(duì)于，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線(xiàn)圖象，可得時(shí)隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)與軸圍成的面積小于時(shí)隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)與軸圍成的面積，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線(xiàn)圖象，可得，，即，所以D錯(cuò)誤.故選：.23．（24-25高三上·山東青島·期末）“立定跳遠(yuǎn)”是《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》測(cè)試項(xiàng)目中的一項(xiàng)，已知某地區(qū)高中男生的立定跳遠(yuǎn)測(cè)試數(shù)據(jù)（單位：cm）服從正態(tài)分布，且，現(xiàn)從該地區(qū)高中男生中隨機(jī)抽取3人，并記在的人數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布求得特定區(qū)間的概率，在的概率為，則，從而求得期望，方差及概率.【詳解】由，則，則，故A錯(cuò)誤；在的概率為，則，則，故C正確；，故D錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤.故選：C.24．（24-25高二下·云南昆明·期中）某商場(chǎng)在五一假期間開(kāi)展了一項(xiàng)有獎(jiǎng)闖關(guān)活動(dòng)，并對(duì)每一關(guān)根據(jù)難度進(jìn)行賦分，已知甲、乙、丙三人都參加了該項(xiàng)闖關(guān)活動(dòng).每個(gè)人闖關(guān)活動(dòng)累計(jì)得分服從正態(tài)分布，且滿(mǎn)分為450分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共2500名參加者中得分前400名發(fā)放獎(jiǎng)勵(lì).(1)假設(shè)該闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問(wèn)甲能否獲得獎(jiǎng)勵(lì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)丙得知他的分?jǐn)?shù)為430分，而乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為201分，351分以上共有57人”，請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)幫助丙辨別乙所說(shuō)信息的真?zhèn)?附：若隨機(jī)變量，則；；.【答案】(1)甲能夠獲得獎(jiǎng)勵(lì)，理由見(jiàn)詳解(2)乙所說(shuō)為假【分析】（1）由，且，計(jì)算，求出前400名參賽者的最低得分，與甲的得分比較即可；（2）假設(shè)乙所說(shuō)為真，由計(jì)算，求出，利用小概率事件即可得出結(jié)論．【詳解】（1）甲能夠獲得獎(jiǎng)勵(lì)，理由如下：設(shè)此次闖關(guān)活動(dòng)的分?jǐn)?shù)記為.由題意可知，因?yàn)?，且，所以，則；而，且，可知前400名參賽者的最低得分高于，而甲的得分為270分，所以甲能夠獲得獎(jiǎng)勵(lì).（2）假設(shè)乙所說(shuō)為真，則，，而，所以，從而，而，所以為小概率事件，即丙的分?jǐn)?shù)為430分是小概率事件，可認(rèn)為其一般不可能發(fā)生，但卻又發(fā)生了，所以可認(rèn)為乙所說(shuō)為假.題型九、隨機(jī)變量及其分布的綜合應(yīng)用25．（23-24高三下·重慶渝中·階段練習(xí)）某項(xiàng)團(tuán)體比賽分為兩輪，第一輪由團(tuán)隊(duì)隊(duì)員輪流與AI人工智能進(jìn)行比賽，若挑戰(zhàn)成功，則參加第二輪攻擂賽，與上任擂主爭(zhēng)奪此次團(tuán)體賽的擂主．現(xiàn)有甲隊(duì)參加比賽，隊(duì)中共有3名事先排好順序的隊(duì)員．(1)第一輪與AI對(duì)戰(zhàn)，比賽的規(guī)則如下：若某隊(duì)員第一關(guān)闖關(guān)成功，則該隊(duì)員繼續(xù)闖第二關(guān)，否則該隊(duì)員結(jié)束闖關(guān)并由下一位隊(duì)員接力去闖第一關(guān)，若某隊(duì)員第二關(guān)闖關(guān)成功，則該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位隊(duì)員接力去闖第二關(guān)；當(dāng)?shù)诙P(guān)闖關(guān)成功或所有隊(duì)員全部上場(chǎng)參加了闖關(guān)，該隊(duì)挑戰(zhàn)活動(dòng)結(jié)束．已知甲隊(duì)每位成員闖過(guò)第一關(guān)和第二關(guān)的概率分別為，，且每位成員闖關(guān)是否成功互不影響，每關(guān)結(jié)果也互不影響.用表示甲隊(duì)闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束時(shí)上場(chǎng)闖關(guān)的成員人數(shù)，求的分布列和期望．(2)甲隊(duì)已經(jīng)順利進(jìn)入第二輪，現(xiàn)和擂主乙隊(duì)1－3號(hào)隊(duì)員進(jìn)行比賽，規(guī)則為：雙方先由1號(hào)隊(duì)員比賽，負(fù)者被淘汰，勝者再與負(fù)方2號(hào)隊(duì)員比賽……直到有一方隊(duì)員全被淘汰，另一方獲得勝利．已知甲隊(duì)三名隊(duì)員每場(chǎng)比賽的勝率分別為，，，若要求甲隊(duì)獲得擂主的概率大于，問(wèn)是否滿(mǎn)足？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2)滿(mǎn)足，理由見(jiàn)解析【分析】（1）求出的可能取值和對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列，計(jì)算出期望值；（2）分三種情況：①一人參賽全勝獲得擂主，②兩人參賽獲得擂主，③三人參賽獲得擂主，求出相應(yīng)的概率，從而得到，得到不等式，得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意知，的所有可能取值為1，2，3，則，，，所以的分布列為123所以．（2）滿(mǎn)足題意，理由如下：分三種情況：①一人參賽全勝獲得擂主，該事件發(fā)生的概率設(shè)為，則，②兩人參賽獲得擂主，該事件發(fā)生的概率設(shè)為，則，③三人參賽獲得擂主，該事件發(fā)生的概率設(shè)為，若在第一局被淘汰，淘汰掉乙隊(duì)三人，概率為，若在第二局被淘汰，淘汰掉乙隊(duì)兩人，概率為，若在第三局被淘汰，淘汰掉乙隊(duì)一人，概率為，故，因?yàn)椋砸辜钻?duì)獲勝的概率大于，即，則，即，化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，代入可得，滿(mǎn)足題意．26．（24-25高二上·黑龍江·期末）某大公司招聘分為筆試和面試，筆試通過(guò)后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，面試環(huán)節(jié)各部門(mén)從筆試通過(guò)的人員中抽取部分人員進(jìn)行該部門(mén)的面試.2024年應(yīng)聘該公司的學(xué)生的筆試成績(jī)Y近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.已知的近似值為76.5，的近似值為5.5，以樣本估計(jì)總體.(1)假設(shè)有84.135%的學(xué)生的筆試成績(jī)高于該公司預(yù)期的平均成績(jī)，求該公司預(yù)期的平均成績(jī)大約是多少?(2)現(xiàn)有甲、乙、丙三名應(yīng)聘者進(jìn)入了面試，該公司某部門(mén)有意在這3人中隨機(jī)選取2人參加面試.面試分為初試和復(fù)試并且采用積分制，滿(mǎn)分為10分，其中通過(guò)初試考核記6分，通過(guò)復(fù)試考核記4分，初試通過(guò)才能參加復(fù)試，應(yīng)聘者能否正確回答初試與復(fù)試的問(wèn)題相互獨(dú)立.已知甲和乙通過(guò)初試的概率均為，丙通過(guò)初試的概率為，甲和乙通過(guò)復(fù)試的概率均為，丙通過(guò)復(fù)試的概率為.①若從這3人中隨機(jī)選取2人參加面試，求這兩人本次面試的得分之和不低于16分的概率；②若甲和乙兩人一起參加本次該部門(mén)的面試，記他們本次面試的得分之和為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：若，則：；；.【答案】(1)71分(2)①②分布列見(jiàn)解析，13【分析】（1）利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性和正態(tài)曲線(xiàn)的原則，即可求得該校預(yù)期的平均成績(jī)；（2）①選出人的情況分三種：甲乙、甲丙、乙丙參加面試，計(jì)算每種情況下的概率相加即可得到結(jié)果；②分析的取值，分別計(jì)算概率，列出分布列，利用期望公式求解即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由，又的近似值為76.5，的近似值為5.5，所以該公司預(yù)期的平均成績(jī)大約是（分）.（2）①記選出甲、乙參加面試為事件，選出甲、丙參加面試為事件，選出乙、丙參加面試為事件，這兩人本次面試的得分之和不低于分為事件，則，，，②的可能取值為，故，，，，，.故的分布列為：0610121620則.27．（24-25高二上·遼寧·期末）某工廠為了提高精度，采購(gòu)了一批新型機(jī)器，現(xiàn)對(duì)這批機(jī)器的生產(chǎn)效能進(jìn)行測(cè)試，對(duì)其生產(chǎn)的第一批零件的直徑進(jìn)行測(cè)量，質(zhì)檢部門(mén)隨機(jī)抽查了100個(gè)零件的進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理，得到數(shù)據(jù)如下表：零件直徑（單位：厘米）零件個(gè)數(shù)1025302510已知零件的直徑可視為服從正態(tài)分布，，分別為這100個(gè)零件的直徑的平均數(shù)及方差（同一組區(qū)間的直徑尺寸用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）.參考數(shù)據(jù)：；若隨機(jī)變量，則，，.(1)試估計(jì)這批零件直徑在的概率；(2)以頻率估計(jì)概率，若在這批零件中隨機(jī)抽取4個(gè)，記直徑在區(qū)間內(nèi)的零件個(gè)數(shù)為Z，求Z的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)若此工廠有甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)這種零件，且甲機(jī)器的生產(chǎn)效率是乙機(jī)器的生產(chǎn)效率的3倍，甲機(jī)器生產(chǎn)的零件的次品率為0.3，乙機(jī)器生產(chǎn)的零件的次品率為0.2，現(xiàn)從這批零件中隨機(jī)抽取一件.若檢測(cè)出這個(gè)零件是次品，求這個(gè)零件是甲機(jī)器生產(chǎn)的概率.【答案】(1)0.47725(2)分布列見(jiàn)解析，1(3).【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)與方差的計(jì)算公式計(jì)算出，再根據(jù)正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性計(jì)算概率；（2）寫(xiě)出二項(xiàng)分布的分布列，由二項(xiàng)分布的期望公式可得答案；（3）首先利用全概率公式計(jì)算出抽取的零件為次品的概率，再根據(jù)條件概率公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由平均數(shù)與方差的計(jì)算公式分別得..故，.設(shè)表示零件直徑，則，即.則，，即.（2）由題意知，這批零件直徑在的概率為.Z的取值范圍為，則，，，，，因此可得Z的分布列為Z01234P因?yàn)閆服從二項(xiàng)分布，則Z的數(shù)學(xué)期望.（3）設(shè)“抽取的零件為甲機(jī)器生產(chǎn)”記為事件，“抽取的零件為乙機(jī)器生產(chǎn)”記為事件，“抽取的零件為次品”記為事件B，則，，，，則，，所以這個(gè)零件是甲機(jī)器生產(chǎn)的概率為.【專(zhuān)題強(qiáng)化】一、單選題1．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）反復(fù)測(cè)量某一個(gè)物理量，其測(cè)量誤差通常被認(rèn)為服從正態(tài)分布.若某物理量做次測(cè)量，最后結(jié)果的誤差，則為使的概率控制在0.0455以下，至少要測(cè)量的次數(shù)為（

）（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則）A．200 B．400 C．800 D．1000【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性與各區(qū)間的概率求解即可.【詳解】由，而，則，所以.故選：C2．（24-25高一下·福建福州·期中）已知事件，且，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)概率的乘法公式及條件概率公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋裕蔬x：D.3．（24-25高二上·河南焦作·期末）某學(xué)校只有甲、乙兩個(gè)餐廳，某同學(xué)只在學(xué)校用午餐，他第1天隨機(jī)選擇一個(gè)餐廳用餐．如果第1天去甲餐廳，那么第2天去甲餐廳的概率為0.4；如果第1天去乙餐廳，那么第2天去甲餐廳的概率為0.7．該同學(xué)第2天去甲餐廳用餐的概率是（

）A．0.55 B．0.42 C．0.28 D．0.12【答案】A【分析】根據(jù)全概率公式，即可求得答案.【詳解】設(shè)事件“第1天去甲餐廳用餐”，“第1天去乙餐廳用餐”，“第2天去甲餐廳用餐”，與互斥．依題意得，，．由全概率公式，得，故選：A4．（24-25高二上·江西宜春·期末）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）．①?gòu)?0名男生，5名女生中選取4人，則其中至少有一名女生的概率為②若隨機(jī)變量，則方差③若隨機(jī)變量，，則④已如隨機(jī)變量X的分布列為，則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)立事件的概率可判斷①；根據(jù)二項(xiàng)分布的方差以及方差的性質(zhì)即可判斷②，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可判斷③，根據(jù)隨機(jī)變量的分布列即可判④.【詳解】設(shè)至少有一名女生為事件，則，則，①錯(cuò)誤；因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，，②正確；根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，，所以，，③正確；，得，可得，解得，所以，④正確；綜上，正確命題的個(gè)數(shù)為3.故選：C.5．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）若事件，發(fā)生的概率分別為，，，則“”是“”的（

）條件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充分且必要 D．既不充分又不必要【答案】C【分析】轉(zhuǎn)化，，根據(jù)充分性必要性的定義，以及條件概率公式，分析即得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?反之由能推出，所以“”是“”的充分且必要條件.故選：C6．（23-24高二下·甘肅蘭州·期末）乒乓球被稱(chēng)為中國(guó)的“國(guó)球”，是一種世界流行的球類(lèi)體育項(xiàng)目.已知某次乒乓球比賽單局賽制為：每?jī)汕蚪粨Q發(fā)球權(quán)，每贏1球得1分，先得11分者獲勝.當(dāng)某局打成10：10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝.若單局比賽中，甲發(fā)球時(shí)獲勝的概率為，甲接球時(shí)獲勝的概率為.某局打成平后，甲先發(fā)球，則“兩人又打了4個(gè)球且甲獲勝”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析出4個(gè)球贏球的一方為以下情況，甲乙甲甲，乙甲甲甲，求出兩種情況下的概率，相加即可.【詳解】平后，兩人又打了4個(gè)球，甲獲勝，則4個(gè)球贏球的一方為以下情況，甲乙甲甲，乙甲甲甲，若是甲乙甲甲，則概率為，若是乙甲甲甲，則概率為，故兩人又打了4個(gè)球且甲獲勝”的概率為.故選：B7．（23-24高二下·山東煙臺(tái)·期末）某產(chǎn)品只有一等品?二等品，現(xiàn)隨機(jī)裝箱銷(xiāo)售，每箱15件.假定任意一箱含二等品件數(shù)為的概率分別為.一顧客欲購(gòu)一箱該產(chǎn)品，開(kāi)箱隨機(jī)查看其中1件，若該件產(chǎn)品為一等品，則買(mǎi)下這箱產(chǎn)品，否則退回，則該顧客買(mǎi)下這箱產(chǎn)品的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合全概率公式、對(duì)立事件概率公式即可求解.【詳解】由全概率公式可知，抽到二等品的概率為，故所求概率為.故選：C.8．（23-24高二下·甘肅酒泉·期末）質(zhì)數(shù)（primenumber）又稱(chēng)素?cái)?shù)，一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)上把相差為2的兩個(gè)素?cái)?shù)叫做“孿生素?cái)?shù)”．如：3和5，5和7，…，那么，如果我們?cè)诓怀^(guò)32的自然數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，記事件A＝“這兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)”，事件B＝“這兩個(gè)數(shù)不是孿生素?cái)?shù)”，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用條件概率公式，結(jié)合列舉法求解即可.【詳解】不超過(guò)32的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31共11個(gè)，孿生素?cái)?shù)有3和5，5和7，11和13，17和29，29和31，共5種情況，所以，，所以．故選：A.二、多選題9．（2025·貴州黔南·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于隨機(jī)變量的期望與方差，以下說(shuō)法正確的是（

）A．設(shè)為隨機(jī)變量，為常數(shù)，則B．若，則與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)C．若，則D．兩點(diǎn)分布中，時(shí)，方差最大【答案】ABD【分析】對(duì)于A：根據(jù)期望和方差的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于B：根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式直接判斷即可；對(duì)于C：根據(jù)正態(tài)分布的期望和方差公式直接判斷即可；對(duì)于D：根據(jù)兩點(diǎn)分別的方差公式結(jié)合基本不等式即可判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：根據(jù)期望和方差的性質(zhì)可知：，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若，則，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)成功的概率為，則方差，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，方差最大，故D正確；故選：ABD.10．（24-25高二上·江西南昌·期末）下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若隨機(jī)變量，則B．若隨機(jī)變量，則C．若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則D．若隨機(jī)變量滿(mǎn)足，，，，則【答案】BC【分析】A.由隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布求解；B.由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布求解；C.由隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布求解；D.由隨機(jī)變量服從超幾何分布求解；【詳解】A.若隨機(jī)變量，則，故不正確；B.若隨機(jī)變量，則，故正確；C.若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則，故正確；D.由隨機(jī)變量滿(mǎn)足隨機(jī)變量滿(mǎn)足，，，，則，所以，故不正確；故選：BC.11．（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）某高校甲、乙兩個(gè)班級(jí)舉行團(tuán)建活動(dòng)，在活動(dòng)中甲、乙兩個(gè)班各派出由6人組成的一支隊(duì)伍參加一項(xiàng)游戲．甲班的隊(duì)伍由2個(gè)女生和4個(gè)男生組成，乙班的隊(duì)伍由4個(gè)女生和2個(gè)男生組成，為了增加游戲的趣味性，先從甲班的隊(duì)伍中抽取一名同學(xué)加入乙班的隊(duì)伍，以分別表示由甲班隊(duì)伍中抽出的是女生和男生；再?gòu)囊野嗟年?duì)伍中隨機(jī)抽取一名同學(xué)加入甲班的隊(duì)伍，以表示從乙班隊(duì)伍中抽出的是女生，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件與事件互斥 B．事件與事件B相互獨(dú)立C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)條件概率，全概率公式，互斥事件和相互獨(dú)立事件的概念逐一分析判斷即可.【詳解】由題意知，不可能同時(shí)發(fā)生，所以互斥，故A正確；，，故C正確；所以，，所以，則，所以事件與事件B不相互獨(dú)立，故B錯(cuò)誤，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：用定義法求條件概率的步驟：（1）分析題意，弄清概率模型；（2）計(jì)算、；（3）代入公式求.12．（24-25高三上·四川眉山·期中）甲口袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球和5個(gè)黑球，乙口袋中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球和4個(gè)黑球，先從甲口袋中隨機(jī)取出一球放入乙口袋，分別以和表示由甲口袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊铱诖须S機(jī)取出一球，以表示由乙口袋取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．事件與事件相互獨(dú)立C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合互斥事件的概念和條件概率公式，即可求解.【詳解】由題意得可知，，是兩兩互斥的事件，，，，，故A正確；，，故事件與事件B不獨(dú)立，故B錯(cuò)誤，D正確；，故C正確；故選：ACD.13．（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·期末）如圖，某電子實(shí)驗(yàn)貓線(xiàn)路圖上有，兩個(gè)即時(shí)紅綠指示燈，當(dāng)遇到紅燈時(shí)，實(shí)驗(yàn)貓停止前行，恢復(fù)綠燈后，繼續(xù)前行，，兩個(gè)指示燈工作相互獨(dú)立，且出現(xiàn)紅燈的概率分別為，.同學(xué)甲從第一次實(shí)驗(yàn)到第五次實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)貓?jiān)谔幱龅郊t燈的次數(shù)為，在，兩處遇到紅燈的次數(shù)之和為，則（

）A．B．C．一次實(shí)驗(yàn)中，，兩處至少遇到一次紅燈的概率為D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【分析】根據(jù)題意知道，再根據(jù)二項(xiàng)分布得概率公式，方差公式，期望公式逐個(gè)計(jì)算判定即可.【詳解】由題意可知，所以，，故A正確，B錯(cuò)誤；一次實(shí)驗(yàn)中，，兩處至少遇到一次紅燈的概率為，故C正確；當(dāng)時(shí)，一次實(shí)驗(yàn)中沒(méi)有遇到紅燈的概率為，遇到一次紅燈的概率為，遇到兩次紅燈的概率為，故一次實(shí)驗(yàn)中遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題14．（24-25高二下·河南三門(mén)峽·期末）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，若，則.【答案】0.5/【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，即正態(tài)分布曲線(xiàn)關(guān)于均值對(duì)稱(chēng)，結(jié)合已知條件求出的值.【詳解】已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可知，正態(tài)分布曲線(xiàn)關(guān)于均值對(duì)稱(chēng).因?yàn)?，，且，根?jù)正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，3.5與關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng).已知3.5與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，可得：，移項(xiàng)可得：.故答案為：0.5.15．（23-24高二下·北京海淀·期末）某次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，甲、乙兩個(gè)班的同學(xué)共同在一個(gè)社區(qū)進(jìn)行民意調(diào)查，參加活動(dòng)的甲、乙兩班的人數(shù)之比為2：3，其中甲班的女生占，乙班中女生占.則該社區(qū)居民遇到一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率為.【答案】/【分析】由全概率公式求解可得.【詳解】記事件“居民所遇到的一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)是甲班的”，事件“居民所遇到的一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)是乙班的”，“居民所遇到的一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)是女生”，則，且互斥，，由題意可知，，，且，，由全概率公式可知，即該社區(qū)居民遇到一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率為.故答案為：.16．（23-24高二下·黑龍江齊齊哈爾·期末）袋中裝有10個(gè)大小相同的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到一個(gè)白球的概率是.現(xiàn)從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為，則.【答案】2【分析】設(shè)白球的個(gè)數(shù)為，則紅球和黑球的個(gè)數(shù)為，記兩個(gè)都不是白球的事件為，則至少有一個(gè)白球的事件與事件為對(duì)立事件，由此求出白球的個(gè)數(shù)；得出的取值可能為0，1，2，3，求出的分布列和數(shù)學(xué)期望，再由期望性質(zhì)求解．【詳解】設(shè)白球的個(gè)數(shù)為，則黑球和紅球的個(gè)數(shù)為；記兩個(gè)都不是白球的事件為，則至少有一個(gè)白球的事件與事件為對(duì)立事件；所以，解得，所以白球的個(gè)數(shù)為5；從袋中任意摸出3個(gè)球，到白球的個(gè)數(shù)的取值可能為：0，1，2，3；則，，，，所以的分布列為：0123所以的數(shù)學(xué)期望，則．故答案為：217．（23-24高二下·北京海淀·期末）甲乙兩人射擊一架進(jìn)入禁飛區(qū)的無(wú)人機(jī)．已知甲乙兩人擊中無(wú)人機(jī)的概率分別為，且甲乙射擊互不影響，則無(wú)人機(jī)被擊中的概率為．若無(wú)人機(jī)恰好被一人擊中，則被擊落的概率為；若恰好被兩人擊中，則被擊落的概率為，那么無(wú)人機(jī)被擊落的概率為【答案】0.70.22.【分析】設(shè)甲擊中無(wú)人機(jī)為事件，乙擊中無(wú)人機(jī)為事件，無(wú)人機(jī)被擊中為事件，無(wú)人機(jī)被擊落為事件，利用對(duì)立事件的概率公式可求出無(wú)人機(jī)被擊中的概率，利用全概率公式可求出無(wú)人機(jī)被擊落的概率.【詳解】設(shè)甲擊中無(wú)人機(jī)為事件，乙擊中無(wú)人機(jī)為事件，無(wú)人機(jī)被擊中為事件，無(wú)人機(jī)被擊落為事件，則，所以，所以，若無(wú)人機(jī)恰好被一人擊中，即事件，則，若無(wú)人機(jī)被兩人擊中，即事件，則，所以.故答案為：，四、解答題18．（23-24高二下·山東威海·期末）某校開(kāi)設(shè)了科學(xué)、人文、藝體三類(lèi)校本選修課程，每類(lèi)課程開(kāi)設(shè)的課程門(mén)數(shù)與學(xué)分設(shè)定如下表：科學(xué)類(lèi)人文類(lèi)藝體類(lèi)課程門(mén)數(shù)334每門(mén)課程學(xué)分321學(xué)校要求學(xué)生從這門(mén)課程中選修門(mén)，假設(shè)學(xué)生選修每門(mén)課程的機(jī)會(huì)均等.(1)記事件為“學(xué)生甲選修的門(mén)課程中有且僅有門(mén)是科學(xué)類(lèi)課程”，事件為“學(xué)生甲選修的門(mén)課程的總學(xué)分為分”，試判斷與是否獨(dú)立；(2)設(shè)學(xué)生甲選修的門(mén)課程的總學(xué)分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)與不獨(dú)立(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）由古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算出，從而由獨(dú)立乘法公式驗(yàn)算即可；（2）的取值范圍是，算出對(duì)應(yīng)的概率即可得分布列，進(jìn)而得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意知，，，，因?yàn)?，所以與不獨(dú)立.（2）的取值范圍是，，，，，，從而的分布列為.19．（23-24高二下·內(nèi)蒙古興安盟·期末）某汽車(chē)駕駛學(xué)校在學(xué)員學(xué)習(xí)完畢后，對(duì)學(xué)員的駕駛技術(shù)進(jìn)行9選3考試（即共9項(xiàng)測(cè)試，隨機(jī)選取3項(xiàng)）考核，若全部過(guò)關(guān)，則頒發(fā)結(jié)業(yè)證；若不合格，直至合格為止，若學(xué)員小李抽到“移庫(kù)”一項(xiàng)，則第一次合格的概率為，第二次合格的概率為，第三次合格的概率為，其它選項(xiàng)小李均可一次性通過(guò)．(1)求小李第一次考試即通過(guò)的概率P1；(2)求小李參加考核的次數(shù)ξ的分布列及均值．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）分求出小李沒(méi)有抽到“移庫(kù)”和抽到“移庫(kù)”一項(xiàng)且通過(guò)的概率，相加即可；（2）根據(jù)題意可能為1，2，3，4，分別求其概率，即可得其分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可.【詳解】（1）根據(jù)題意小李第一次考試即通過(guò)包括，①小李沒(méi)有抽到“移庫(kù)”一項(xiàng)；②抽到“移庫(kù)”一項(xiàng)且通過(guò)，所以；（2）根據(jù)題意小李參加考核的次數(shù)可能為1，2，3，4，則，，，，分布列為1234.20．（23-24高二下·浙江舟山·期末）某籃球俱樂(lè)部由籃球Ⅰ隊(duì)和Ⅱ隊(duì)組成.Ⅰ隊(duì)球員水平相對(duì)較高，代表俱樂(lè)部參加高級(jí)別賽事；Ⅱ隊(duì)是Ⅰ隊(duì)的儲(chǔ)備隊(duì)，由具有潛力的運(yùn)動(dòng)員組成.為考察Ⅰ隊(duì)的明星隊(duì)員甲對(duì)球隊(duì)的貢獻(xiàn)，教練對(duì)近兩年甲參加過(guò)的60場(chǎng)與俱樂(lè)部外球隊(duì)的比賽進(jìn)行統(tǒng)計(jì)：甲在前鋒位置出場(chǎng)12次，其中球隊(duì)獲勝6次；中鋒位置出場(chǎng)24次，其中球隊(duì)獲勝16次；后衛(wèi)位置出場(chǎng)24次，其中球隊(duì)獲勝18次.用該樣本的頻率估計(jì)概率，則：(1)甲參加比賽時(shí)，求Ⅰ隊(duì)在某場(chǎng)與俱樂(lè)部外球隊(duì)比賽中獲勝的概率；(2)為備戰(zhàn)小組賽，Ⅰ隊(duì)和Ⅱ隊(duì)進(jìn)行10場(chǎng)熱身賽，比賽沒(méi)有平局，獲勝得1分，失敗得0分.已知Ⅰ隊(duì)在每場(chǎng)比賽中獲勝的概率是p（），若比賽最有可能的比分是7∶3，求p的取值范圍；(3)現(xiàn)由Ⅰ隊(duì)代表俱樂(lè)部出戰(zhàn)小組賽，小組共6支球隊(duì)，進(jìn)行單循環(huán)賽（任意兩支隊(duì)伍間均進(jìn)行一場(chǎng)比賽），若每場(chǎng)比賽均派甲上場(chǎng)，在已知Ⅰ隊(duì)至少獲勝3場(chǎng)的條件下，記其獲勝的場(chǎng)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)(3)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）利用全概率公式計(jì)算即可；（2）由二項(xiàng)分布的概率公式，根據(jù)概率最大，即可列式求解p的取值范圍；（3）先分別求出Ⅰ隊(duì)獲勝場(chǎng)的概率，再由條件概率求得X的分布列，進(jìn)而得到X的數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）設(shè)“甲擔(dān)任前鋒”；“甲擔(dān)任中鋒”；“甲擔(dān)任后衛(wèi)”；“某場(chǎng)比賽中該球隊(duì)獲勝”.則：，，，，，，由全概率公式可得：，所以甲參加比賽時(shí)，Ⅰ隊(duì)在某場(chǎng)與俱樂(lè)部外球隊(duì)比賽中獲勝的概率是.（2）設(shè)這10場(chǎng)比賽，Ⅰ隊(duì)獲勝的場(chǎng)數(shù)是k，則P（Ⅰ隊(duì)獲勝k場(chǎng)），由題意，時(shí)，P（Ⅰ隊(duì)獲勝k場(chǎng)）最大，所以有，解得，所以p的取值范圍為.（3）由題意，Ⅰ隊(duì)一共需要打5場(chǎng)比賽，設(shè)“5場(chǎng)比賽中Ⅰ隊(duì)獲勝i場(chǎng)”（，4，5），“5場(chǎng)比賽中Ⅰ隊(duì)至少獲勝3場(chǎng)”，；；，則，，同理可得，，則X的分布列為：X345P.21．（23-24高二下·天津西青·期末）歷史悠久的楊柳青年畫(huà)，全稱(chēng)“楊柳青木版年畫(huà)”，屬木版印繪制品，是我國(guó)著名民間傳統(tǒng)木版年畫(huà)．它起源于明代崇禎年間，距今已有近400年的歷史，是首批國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．楊柳青年畫(huà)制作特別之處是它采用“印畫(huà)結(jié)合”的獨(dú)特工藝，制作程序大致是：創(chuàng)稿、分版、刻版、套印、彩繪、裝裱，前期工序與其他木彼年畫(huà)大致相同，而楊柳青年畫(huà)的后期制作藝術(shù)風(fēng)格迥然不同．一個(gè)優(yōu)秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技術(shù)要求，已知某年工藝畫(huà)師在后期套印、彩繪、裝裱每個(gè)環(huán)節(jié)制作成功的概率分別為，只有當(dāng)每個(gè)環(huán)節(jié)制作都成功才認(rèn)為是一次優(yōu)秀制作．(1)設(shè)事件“制作一件優(yōu)秀作品”，求事件A的概率；(2)若該工藝畫(huà)師進(jìn)行3次制作，事件”恰有一件優(yōu)秀作品”，求事件B的概率；(3)若該工藝畫(huà)師制作3次，其中優(yōu)秀作品數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)(3)分布列見(jiàn)解析；期望為【分析】（1）運(yùn)用獨(dú)立事件概率乘法公式求解即可；（2）運(yùn)用二項(xiàng)分布概率公式求解即可；（3）運(yùn)用二項(xiàng)分布概率公式求解概率分布列，進(jìn)而求出數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）由題