以前，我們通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納得到了很多正確的結(jié)論。觀察、實(shí)驗(yàn)歸納得到的結(jié)論一定正確嗎？我們?cè)俑惺軒讉€(gè)!（1）圖中兩條線段a,b的長(zhǎng)度相等嗎？圖中的四邊形是正方形嗎？請(qǐng)你先觀察，再設(shè)法檢驗(yàn)?zāi)阌^察到的結(jié)論。是正方形相等（2）如圖，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道長(zhǎng)1m的鐵絲將地球赤道圍起來(lái)，鐵絲與地球赤道之間的間隙能有多大？能放進(jìn)一個(gè)拳頭嗎？先憑感覺(jué)想象一下，再具體算一算，看看與你的感覺(jué)是否一致，并與同伴進(jìn)行交流。設(shè)赤道周長(zhǎng)為C，則鐵絲與地球赤道間的間隙為：所以，能放進(jìn)一個(gè)拳頭。眼睛有時(shí)也會(huì)欺騙你喲！

（1）代數(shù)式n2-n+11的值是質(zhì)數(shù)嗎？取n=0，1，2，3，4，5試一試，你能否由此得到結(jié)論“對(duì)于所有自然數(shù)n，n2-n+11的值都是質(zhì)數(shù)”？嘗試?思考舉反例：當(dāng)n=11時(shí)，n2-n+11=112-11+11=112，不是質(zhì)數(shù)。不是對(duì)于所有自然數(shù)n，n2-n+11的值都是質(zhì)數(shù)。

（2）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，連接DE。DE與BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你先猜一猜,再設(shè)法檢驗(yàn)?zāi)愕牟孪?。你能肯定你的結(jié)論對(duì)所有的△ABC都成立嗎？與同伴進(jìn)行交流。嘗試?思考嘗試?思考DE∥BC；DE=BC理由：如圖，延長(zhǎng)DE至F，使得EF=DE，連接CF∵E是AC的中點(diǎn)∴AE=CE在△AED和△CEF中AE=CE，∠AED=∠CEF，DE=EF∴△AED=△CEF(SAS)∴∠A=∠ECF,AD=CF∴AB∥CF∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD=BD∴BD=CF∴四邊形BCFD是平行四邊形∴DF∥BC,DF=BC∴DE∥BC,DE=BC∴這個(gè)結(jié)論對(duì)所有的ABC都成立。

觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納是人們認(rèn)識(shí)事物的重要手段。通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納得到的結(jié)論都正確嗎？在上面的問(wèn)題中，你是怎樣判斷一個(gè)結(jié)論是否正確的？說(shuō)說(shuō)你的經(jīng)驗(yàn)與困惑，并與同伴進(jìn)行交流。思考?交流

觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納得到的結(jié)論可能正確，也可能不正確。因此，要判斷一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確，僅僅依靠觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納是不夠的，必須進(jìn)行有理有據(jù)的證明。思考?交流1.（1）圖（1）中有三條線段a，b，c，哪一條和線段d在同一條直線上？請(qǐng)你先觀察，再用直尺驗(yàn)證一下。（2）圖（2）中兩條線段a與b的長(zhǎng)度相等嗎？線段b相等2.當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，n2+3n+1的值一定是質(zhì)數(shù)嗎？舉反例：當(dāng)n=6時(shí)，n2+3n+1=62-18+1=55，不是質(zhì)數(shù)。當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，n2+3n+1的值不一定是質(zhì)數(shù)。

證明時(shí)，為了交流的方便，必須對(duì)某些名稱(chēng)和術(shù)語(yǔ)形成共同的認(rèn)識(shí)。為此,就要對(duì)名稱(chēng)和術(shù)語(yǔ)的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，也就是給出它的定義。例如：“具有中華人民共和國(guó)國(guó)籍的人，叫作中華人民共和國(guó)公民”是“中華人民共和國(guó)公民”的定義；“兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫作這兩點(diǎn)之間的距離”是“兩點(diǎn)之間的距離”的定義；“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)稱(chēng)為無(wú)理數(shù)”是“無(wú)理數(shù)”的定義；“有兩邊相等的三角形叫作等腰三角形”是“等腰三角形”的定義。

下列語(yǔ)句中，哪些語(yǔ)句對(duì)事情作出了判斷，哪些沒(méi)有？（1）任何一個(gè)三角形一定有一個(gè)角是直角；（2）對(duì)頂角相等；（3）無(wú)論n為怎樣的自然數(shù)，式子n2—11+11的值都是質(zhì)數(shù)；（4）如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；（5）你喜歡數(shù)學(xué)嗎？（6）作線段AB=CD。嘗試?思考

判斷一件事情的句子，叫作命題。例如，上面的語(yǔ)句（1）（2）（3）（4）對(duì)事情進(jìn)行了判斷，都是命題。如果一個(gè)句子沒(méi)有對(duì)某一件事情作出任何判斷,那么它就不是命題。例如,上面的語(yǔ)句（5）（6）都不是命題。嘗試?思考觀察下列命題，你能發(fā)現(xiàn)這些命題有什么共同的結(jié)構(gòu)特征？其他命題是否也有這樣的結(jié)構(gòu)特征呢？與同伴進(jìn)行交流。（1）如果一個(gè)三角形是等腰三角形，那么這個(gè)三角形的兩個(gè)底角相等;（2）如果a=b，那么a2=b2；（3）如果兩個(gè)三角形中有兩邊和一個(gè)角分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等。思考?交流一般地，每個(gè)命題都由條件和結(jié)論兩部分組成。條件是已知的事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng)。命題通常可以寫(xiě)成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結(jié)論。思考?交流指出下列各命題的條件和結(jié)論，其中哪些命題是錯(cuò)誤的？你是如何判斷的？（1）如果兩個(gè)角相等，那么它們是對(duì)頂角；（2）如果a≠b，b≠c，那么a≠c；（3）全等三角形的面積相等；（4）三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°。嘗試?思考錯(cuò)誤錯(cuò)誤正確正確

正確的命題稱(chēng)為真命題,不正確的命題稱(chēng)為假命題。要說(shuō)明一個(gè)命題是假命題，常?？梢耘e出一個(gè)例子，使它具備命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例子稱(chēng)為反例。嘗試?思考1.（1）你能列舉出一些學(xué)過(guò)的定義嗎？（2）分別舉出一些是命題和不是命題的語(yǔ)句。1.解:（1）例如:三角形的定義:由三條線段首尾順次連接所組成的圖形叫做三角形。（2）判斷一件事情的句子，叫做命題例如:“對(duì)頂角相等”就是命題；祈使句、疑問(wèn)句、感嘆句均不是命題，例如:“作線段4B的垂直平分線”就不是命題。2.指出下列各命題的條件和結(jié)論，并通過(guò)反例說(shuō)明其中的假命題。（1）在同一年內(nèi)，如果5月4日是星期一，那么5月11日也是星期一；（2）三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）如果，那么x=4；（4）兩個(gè)銳角之和一定是鈍角；（5）如果x2>0，那么x>0；（6）兩邊分別相等且其中一組等邊的對(duì)角相等的兩個(gè)三角形全等。2.解:(1)條件:在同一年內(nèi),5月4日是星期一；結(jié)論:5月11日也是星期一。（2）條件:一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等；結(jié)論:這個(gè)三角形是等邊三角形。（3）條件：；結(jié)論：x=4。解這個(gè)方程得。所以原命題是假命題。2.解:（4）條件:一個(gè)角是兩個(gè)銳角的和；結(jié)論：這個(gè)角是鈍角。例如:銳角∠1=30°，∠2=40°，∠1+∠2=70°＜90°，仍然是銳角。所以原命題是假命題。（5）條件:：x2>0；結(jié)論：x>0。例如:（-2)2=4,但-2<0。所以原命題是假命題。2.解:（6）條件:兩個(gè)三角形有兩條邊及其中一組等邊的對(duì)角分別相等；結(jié)論:這兩個(gè)三角形全等。例如:可以畫(huà)一個(gè)銳角三角形和一個(gè)鈍角三角形滿足兩條邊及其中一組對(duì)邊的對(duì)角分別相等，但是這兩個(gè)三角形不全等，所以原命題是假命題。

舉一個(gè)反例就可以說(shuō)明—個(gè)命題是假命題，那么如何證實(shí)一個(gè)命題是真命題呢？

其實(shí)，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，數(shù)學(xué)家們也遇到過(guò)類(lèi)似的問(wèn)題。公元前3世紀(jì)，人們已經(jīng)積累了大量的數(shù)學(xué)知識(shí)，在此基礎(chǔ)上，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得編寫(xiě)了一本書(shū),書(shū)名為《原本》。為了說(shuō)明每一結(jié)論的正確性，他在編寫(xiě)這本書(shū)時(shí)進(jìn)行了大膽創(chuàng)造:挑選了一部分?jǐn)?shù)學(xué)名詞和一部分公認(rèn)的真命題作為證實(shí)其他命題的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù)，其中的數(shù)學(xué)名詞稱(chēng)為原名，公認(rèn)的真命題稱(chēng)為公理。

除了公理外，其他命題的真假都需要通過(guò)演繹推理的方法進(jìn)行判斷。演繹推理的過(guò)程稱(chēng)為證明,經(jīng)過(guò)證明的真命題稱(chēng)為定理。每個(gè)定理都只能用公理、定義和已經(jīng)證明為真的命題來(lái)證明。

本套教科書(shū)選用九條基本事實(shí)作為證明的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù),我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了其中的八條:1.兩點(diǎn)確定一條直線。2.兩點(diǎn)之間線段最短。3.同一平面內(nèi),過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。4.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行（簡(jiǎn)述為：同位角相等，兩直線平行）。5.過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行。6.兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等。7.兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。8.三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。另外一條基本事實(shí)我們將在后面的學(xué)習(xí)中認(rèn)識(shí)它。

此外，數(shù)與式的運(yùn)算律和運(yùn)算法則、等式的有關(guān)性質(zhì)，以及反映大小關(guān)系的有關(guān)性質(zhì)都可以作為證明的依據(jù)。例如，如果a=b，b=c，那么a=c,這一性質(zhì)也可以作為證明的依據(jù)，稱(chēng)為“等量代換”。又如，如果a>b，b>c，那么a>c,這一性質(zhì)同樣可以作為證明的依據(jù)。從這些基本事實(shí)出發(fā)，就可以證明已經(jīng)探索過(guò)的結(jié)論了。

例如，我們可以證明下面的定理:定理同角（或等角）的補(bǔ)角相等。定理同角(或等角)的余角相等。定理三角形的任意兩邊之和大于第三邊。

例.已知：如圖，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角。求證：∠AOC=∠BOD。證明：∵直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，∴∠AOB和∠COD都是平角（平角的定義）?！唷螦OC和∠BOD都是∠AOD的補(bǔ)角（補(bǔ)角的定義）?！唷螦OC=∠BOD（同角的補(bǔ)角相等）。

由上面的例題，我們可以得到定理：定理對(duì)頂角相等。1.請(qǐng)你完成定理“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”的證明。1.證明：∵線段AC的兩個(gè)端點(diǎn)為A，C∴AB+BC>AC（兩點(diǎn)之間線段最短)∵線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)為A，B∴AC+