安徽省宿州市省、市示范高中2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期7月期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知是空間中的兩條直線，則“”是“無公共點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．設(shè)是平面內(nèi)的兩個單位向量，若⊥，則的值為（

）A． B． C．0 D．14．某校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層隨機抽樣的方法從該校三個年級的學(xué)生中抽取容量為200的樣本，則從高一年級抽取的學(xué)生人數(shù)為（

）A．40 B．60 C．80 D．1005．某袋中有編號為的個小球（小球除編號外完全相同），甲先從袋中摸出一個球，記下編號后放回，乙再從袋中摸出一個球，記下編號，則甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是（

）A． B．C． D．6．已知A、B是單位圓O上的兩點（O為圓心），，點C是線段AB上不與A、B重合的動點.MN是圓O的一條直徑，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．某同學(xué)為測量學(xué)校附近山上信號塔的高度AB（塔底視為點B，塔頂視為點A），在山腳下選取了兩點C，D（其中A，B，C，D四點在同一個鉛垂平面內(nèi)），在點C處測得點A的仰角為，在點D處測得點A、B的仰角分別為，測得米，則按此法測得的塔高為（

）A．67米 B．72米 C．74米 D．76米8．在平行六面體中，點M是上靠近B的三等分點，直線DM交平面于點N，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．設(shè)樣本空間含有等可能樣本點，且，則下列說法正確的是（

）A．事件與為互斥事件 B．事件與為對立事件C．事件兩兩相互獨立 D．10．在中，，若點D滿足：，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C．的面積為3 D．的外接圓半徑為11．在正三棱柱中，，E，F(xiàn)，G，H分別為的中點，動點N在四邊形內(nèi)及其邊界上運動，則下列說法正確的是（

）A．E，F(xiàn)，G，H四點共面B．FH與BC所成角的余弦值為C．正三棱柱的外接球表面積為D．若平面，則動點N的軌跡長度為三、填空題12．已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則.13．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)，方差，若，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差．14．已知一個圓錐的表面積為，則它的體積最大值為.四、解答題15．已知平面向量．(1)求與的夾角余弦值；(2)若，求實數(shù)的值．16．某地區(qū)市政府為了鼓勵居民節(jié)約用電，計劃調(diào)整居民生活用電收費方案，擬確定一個合理的月用電量標(biāo)準(zhǔn)（千瓦時）：月用電量不超過的部分按平價收費，超出的部分按議價收費．為了了解居民用電情況，通過抽樣，獲得了100位居民每人的月均用電量（千瓦時），將數(shù)據(jù)按照分成7組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中的值，并且計算樣本的平均數(shù)；(2)若該市有900萬居民，估計全市居民中月均用電量不低于400千瓦時的人數(shù)；(3)若該地區(qū)市政府希望使的居民每月的用電量不超過標(biāo)準(zhǔn)（千瓦時），估計的值．（結(jié)果保留整數(shù)）17．每年的3月14日為國際數(shù)學(xué)日，也被稱為“日”，某學(xué)校在國際數(shù)學(xué)日舉辦了“數(shù)學(xué)知識競賽”，競賽共分兩輪，即每位參賽選手均須參加兩輪比賽，已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為；在第二輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為p、q．假設(shè)甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響．若甲、乙各有一輪勝出的概率為，甲、乙兩輪都勝出的概率為．(1)求p和q的值；(2)求甲，乙兩人至少有一人兩輪都勝出的概率．18．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，D為邊BC上一點，且．(1)求角A的大??；(2)若，且，求a的值；(3)若AD為角平分線，求的最小值．19．如圖，在四棱錐中，已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，，AC與BD的交點為O，且平面ABCD，是等邊三角形，點E是線段AD上的動點．(1)證明：；(2)求二面角的平面角的正切值；(3)求直線PE與平面PBC所成角的正弦值的最大值，并指出點E此時所在的位置．

題號12345678910答案CADBAABCBCABD題號11答案ACD1．C根據(jù)等式求出復(fù)數(shù)，進而得到共軛復(fù)數(shù)，從而可確定其象限.【詳解】因為復(fù)數(shù)，所以共軛復(fù)數(shù).所以共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限.故選：C.2．A利用異面和平行直線的概念結(jié)合充分必要條件判斷．【詳解】則無公共點，故充分性成立，無公共點可推得或是異面直線，故必要性不成立；所以“”是“無公共點”的充分不必要條件，故選：A．3．D根據(jù)單位向量垂直得到，，進而由向量數(shù)量積運算法則計算出答案.【詳解】因為與是單位向量，且⊥，所以，且，所以．故選：D4．B根據(jù)分層抽樣的抽樣比即可求得結(jié)果.【詳解】因為高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為，所以高一年級學(xué)生人數(shù)占三個年級總?cè)藬?shù)的比例為：，根據(jù)分層隨機抽樣的計算方法，從高一年級抽取的學(xué)生人數(shù)為：（人）.故選：B.5．A根據(jù)（甲，乙）方法得出總的取法的結(jié)果，求得符合題意的個數(shù)，可求甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率．【詳解】甲先從袋中摸出一個球，有4種可能的結(jié)果，乙再從袋中摸出一個球，有4種可能的結(jié)果，如果按（甲，乙）方法得出總共的結(jié)果為：16個，甲、乙兩人所摸出球的編號不同的結(jié)果為12個，甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是.故選：A．6．A根據(jù)，利用向量的運算可以將轉(zhuǎn)化為，進而得解.【詳解】∵，∴點在線段上，且，∴，∵，∴.故選：A7．B設(shè)直線CD與AB交于點E，分別用表示出，利用解出，再解出，最后出塔高即可.【詳解】設(shè)直線CD與AB交于點E，則，由題意，，又，且，代入解得，從而，進而，所以塔高米．故選：B8．C作圖，根據(jù)線面平行的判定定理可知平面，然后根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知，可得，判斷即可.【詳解】設(shè)平面DAM與交于點P，連接DP交于點Q，連接QN，如圖：因為平面DAM，平面DAM，所以平面DAM，又平面，平面平面，所以，因為M是三等分點，所以，因為平面平面，所以平面，又平面PDM，平面平面，所以，所以，因此．故選：C9．BC根據(jù)互斥事件的定義判斷A；根據(jù)對立事件的定義判斷B；根據(jù)獨立事件的定義判斷C；選項D需驗證三事件同時發(fā)生的概率是否等于各自概率的乘積.【詳解】因為，即件與能同時發(fā)生，不是互斥事件，A錯；因為且，即事件與不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生，事件與為對立事件，B正確；，，，故獨立；，，，故獨立；；，故獨立,綜上事件兩兩相互獨立，C正確；選項D：，故,,，選項D錯誤.故選：BC.10．ABD對于選項A，根據(jù)等式可變形化簡求出的關(guān)系，進而可求出的關(guān)系；對于選項B，先根據(jù)求出，然后根據(jù)余弦定理求出的值；對于選項C，根據(jù)勾股定理可確定，進而可求出三角形面積；對于選項D，根據(jù)直角三角形外接圓半徑為斜邊的一半可求出外接圓半徑.【詳解】因為，所以，即，所以，故A正確；因為，所以，因為，所以解得，在中，因為，由余弦定理得，，即，故B正確；又因為，所以，即，因此，故C錯誤；因為，所以，因此的外接圓半徑為，故D正確．故選：ABD.11．ACD對于選項A，證明即可證明四點共面；對于選項B，先確定與所成角，然后根據(jù)余弦定理可求出其余弦值；對于選項C，先由正弦定理求出外接圓半徑，然后根據(jù)勾股定理求出球的半徑，從而求出球的表面積即可；對于選項D，先確定動點的軌跡，然后根據(jù)勾股定理求出軌跡長度.【詳解】連接，因為分別為的中點，所以，從而，故四點共面，A正確；連接，因為，則為與所成角，在中，由余弦定理可得，B錯誤；在等邊中，由正弦定理可得，的外接圓半徑，設(shè)正三棱柱的外接球半徑為，且球心到平面的距離為1，由勾股定理可知，所以球的表面積為，C正確；在正三棱柱中，取的中點，連接，可知，又平面平面平面平面，所以平面平面，又因為是平面內(nèi)兩條相交直線，因此平面平面，當(dāng)點N在四邊形內(nèi)及其邊界上運動時，若平面，則在平面內(nèi)，從而動點N的軌跡為，又因為，所以動點N的軌跡長度為，D正確．故選：ACD.12．1先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法化簡，再根據(jù)模的概念求解.【詳解】因為.所以故答案為：113．2580根據(jù)平均數(shù)、方差的性質(zhì)求解即可．【詳解】由題意數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，根據(jù)平均數(shù)和方差性質(zhì)可得數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差.故答案為：25；8014．首先根據(jù)圓錐的底面半徑和母線長的關(guān)系以及表面積的值求出的表達(dá)式，然后利用圓錐的體積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)求出體積的最大值.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，則，因為圓錐的表面積為，所以從而，且，所以圓錐的體積為，因此當(dāng)時，體積取到最大值．故答案為：.15．(1)(2)．（1）根據(jù)向量夾角的余弦公式和向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式進行求解即可.（2）根據(jù)向量共線的坐標(biāo)公式求出參數(shù)的值.【詳解】（1）由已知，，所以.（2）由已知，，因此由，可得，解得．16．(1)，395（千瓦）(2)495萬人(3)（千瓦）．（1）根據(jù)頻率分布直方圖的頻率之和為1求出的值，進而可求得樣本的平均值.（2）由頻率分布直方圖求出用電量不低于400千瓦的頻率，進而求得用電量不低于400千瓦的人數(shù).（3）根據(jù)百分位數(shù)的公式求出85%百分位數(shù)，進而可求得的值.【詳解】（1）由頻率之和為1，可得，解得，樣本的平均數(shù)為：（千瓦）.（2）由圖可得，用電量不低于400千瓦的頻率為，故全市居民中月均用電量不低于400千瓦的人數(shù)為萬人.（3）由圖可得，前5組的頻率之知為，前6組的頻率之和為，設(shè)第85百分位數(shù)為，則，故，解得（千瓦）．17．(1)(2)（1）根據(jù)古典概型和已知條件求出事件“甲，乙各有一輪勝出”、“甲，乙兩輪都勝出”的概率，然后求出參數(shù)即可.（2）甲、乙兩人至少有一人兩輪都勝出的概率等于甲兩輪勝出的概率、乙兩輪勝出的概率以及甲乙兩輪都勝出的概率之和.【詳解】（1）記事件“第一輪比賽中甲勝出”，事件“第二輪比賽中甲勝出”，記事件“第一輪比賽中乙勝出”，事件“第二輪比賽中乙勝出”，由題意得相互獨立，且，記事件“甲，乙各有一輪勝出”，事件“甲，乙兩輪都勝出”，則，，從而有，解得，（2）記事件“甲兩輪都勝出”，事件“乙兩輪都勝出”，事件“甲，乙兩人至少有一人兩輪都勝出”，，.18．(1)(2)(3)．（1）由正弦定理和三角恒等變換得到，從而求出；（2）先計算出，兩邊平方求出，又，聯(lián)立兩式解得，由余弦定理求出；（3）若AD為角平分線，則，在中，由正弦定理得到，，故，根據(jù)基本不等式求出最小值.【詳解】（1）由已知，由正弦定理，可得，又因為，代入上式，化簡得：，因為中，，所以，從而，故，因為，所以．（2）因為，所以，由（1）知，，所以，由已知，所以，即，又，聯(lián)立兩式解得，，由余弦定理，可得，即．（3）若AD為角平分線，則，在中，由正弦定理，得，即，所以，，所以即，又因為，所以，，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為．19．(1)證明見解析(2)2(3)，點E在線段AD上靠近D點的處．【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以，因為四邊形為菱形，所以，因為，PO、平面，所以平面，又平面，所以．（2）過P在平面內(nèi)作于