安徽省池州市貴池區(qū)2024-2025學年高三下學期高考第一模擬考試（一模）數(shù)學考點及答案考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-\lnx$，其中$x>0$，則函數(shù)$f(x)$的圖像大致是（）A.B.C.D.2.若復數(shù)$z$滿足$|z-1|=|z+1|$，則復數(shù)$z$在復平面內(nèi)的幾何意義是（）A.$z$在實軸上，且$x=0$B.$z$在虛軸上，且$y=0$C.$z$在直線$x=0$上D.$z$在直線$y=0$上3.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n^2-2a_n+1$，則數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式是（）A.$a_n=2n-1$B.$a_n=2^n-1$C.$a_n=2^{n-1}$D.$a_n=2^{n+1}-1$4.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$，則函數(shù)$f(x)$的極值點為（）A.$x=1$B.$x=2$C.$x=3$D.$x=4$5.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，若$a_1=3$，$a_5=15$，則$a_3$的值為（）A.$6$B.$7$C.$8$D.$9$6.已知函數(shù)$f(x)=\lnx+2x-3$，則函數(shù)$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.$(-\infty,0)$B.$(0,+\infty)$C.$(-\infty,1)$D.$(1,+\infty)$7.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$，則函數(shù)$f(x)$的圖像大致是（）A.B.C.D.8.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比為$q$，若$a_1=2$，$a_5=32$，則$a_3$的值為（）A.$4$B.$8$C.$16$D.$32$9.已知函數(shù)$f(x)=\lnx+2x-3$，則函數(shù)$f(x)$的極值點為（）A.$x=1$B.$x=2$C.$x=3$D.$x=4$10.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，若$a_1=3$，$a_5=15$，則$a_3$的值為（）A.$6$B.$7$C.$8$D.$9$二、填空題要求：直接寫出答案。11.若復數(shù)$z$滿足$|z-1|=|z+1|$，則復數(shù)$z$在復平面內(nèi)的幾何意義是__________。12.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n^2-2a_n+1$，則數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式是__________。13.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$，則函數(shù)$f(x)$的極值點為__________。14.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，若$a_1=3$，$a_5=15$，則$a_3$的值為__________。15.已知函數(shù)$f(x)=\lnx+2x-3$，則函數(shù)$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間是__________。16.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$，則函數(shù)$f(x)$的圖像大致是__________。17.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比為$q$，若$a_1=2$，$a_5=32$，則$a_3$的值為__________。18.已知函數(shù)$f(x)=\lnx+2x-3$，則函數(shù)$f(x)$的極值點為__________。19.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，若$a_1=3$，$a_5=15$，則$a_3$的值為__________。20.已知函數(shù)$f(x)=\lnx+2x-3$，則函數(shù)$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間是__________。四、解答題要求：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。21.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求函數(shù)$f(x)$的值域。22.設數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n^2-2a_n+1$，求證：數(shù)列$\{a_n\}$是等差數(shù)列。23.已知函數(shù)$f(x)=\lnx+2x-3$，求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(0,+\infty)$上的最大值和最小值。五、證明題要求：證明過程完整，邏輯清晰。24.證明：若$a+b+c=0$，則$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}=2$。25.證明：對于任意實數(shù)$x$，有$(x-1)^2\geq0$。六、應用題要求：結(jié)合實際情境，運用所學知識解決問題。26.某商品原價為$100$元，現(xiàn)進行打折促銷，設折扣率為$x$（$0<x<1$），求商品打折后的售價。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：C解析：由于$f(x)$在$x=2$處有定義，且$f(x)$為連續(xù)函數(shù)，根據(jù)中值定理，存在$\xi$在$(1,2)$之間，使得$f'(\xi)=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}$。計算得$f'(\xi)=\frac{1}{\xi}-\frac{1}{\xi^2}$，當$\xi$接近2時，$\frac{1}{\xi}$接近$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{\xi^2}$接近$\frac{1}{4}$，因此$f'(\xi)$接近$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$，故選C。2.答案：D解析：由$|z-1|=|z+1|$，可得$(z-1)(\bar{z}-1)=(z+1)(\bar{z}+1)$，即$z\bar{z}-z-\bar{z}+1=z\bar{z}+z+\bar{z}+1$，化簡得$-2z-2\bar{z}=0$，即$z+\bar{z}=0$，說明$z$在實軸上，且$x=0$，故選D。3.答案：B解析：由$a_{n+1}=a_n^2-2a_n+1=(a_n-1)^2$，可得$a_2=(a_1-1)^2$，$a_3=(a_2-1)^2=(a_1-1)^4$，以此類推，可得$a_n=(a_1-1)^{2^{n-1}}$，當$a_1=1$時，$a_n=2^{2^{n-1}}-1$，故選B。4.答案：B解析：求導得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=2$，由于$f''(x)=6x-6$，當$x=1$時，$f''(1)<0$，故$x=1$為極大值點；當$x=2$時，$f''(2)>0$，故$x=2$為極小值點，故選B。5.答案：B解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_5=a_1+4d$，代入$a_1=3$，$a_5=15$，解得$d=3$，因此$a_3=a_1+2d=3+2\times3=9$，故選B。6.答案：B解析：求導得$f'(x)=\frac{1}{x}+2$，令$f'(x)=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，由于$f''(x)=-\frac{1}{x^2}$，當$x=\frac{1}{2}$時，$f''(\frac{1}{2})<0$，故$x=\frac{1}{2}$為極大值點，故選B。7.答案：C解析：與第4題相同，函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$的圖像與第4題相同，故選C。8.答案：C解析：與第5題相同，由等比數(shù)列的性質(zhì)，$a_5=a_1q^4$，代入$a_1=2$，$a_5=32$，解得$q=2$，因此$a_3=a_1q^2=2^2=4$，故選C。9.答案：B解析：與第6題相同，函數(shù)$f(x)=\lnx+2x-3$的圖像與第6題相同，故選B。10.答案：B解析：與第5題相同，由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_5=a_1+4d$，代入$a_1=3$，$a_5=15$，解得$d=3$，因此$a_3=a_1+2d=3+2\times3=9$，故選B。二、填空題11.答案：$z$在實軸上，且$x=0$解析：由$|z-1|=|z+1|$，可得$(z-1)(\bar{z}-1)=(z+1)(\bar{z}+1)$，即$z\bar{z}-z-\bar{z}+1=z\bar{z}+z+\bar{z}+1$，化簡得$-2z-2\bar{z}=0$，即$z+\bar{z}=0$，說明$z$在實軸上，且$x=0$。12.答案：$a_n=2^{2^{n-1}}-1$解析：由$a_{n+1}=a_n^2-2a_n+1=(a_n-1)^2$，可得$a_2=(a_1-1)^2$，$a_3=(a_2-1)^2=(a_1-1)^4$，以此類推，可得$a_n=(a_1-1)^{2^{n-1}}$，當$a_1=1$時，$a_n=2^{2^{n-1}}-1$。13.答案：$x=1$或$x=2$解析：求導得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=2$。14.答案：$a_3=9$解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_5=a_1+4d$，代入$a_1=3$，$a_5=15$，解得$d=3$，因此$a_3=a_1+2d=3+2\times3=9$。15.答案：$(0,+\infty)$解析：求導得$f'(x)=\frac{1}{x}+2$，令$f'(x)=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，由于$f''(x)=-\frac{1}{x^2}$，當$x=\frac{1}{2}$時，$f''(\frac{1}{2})<0$，故$x=\frac{1}{2}$為極大值點，故單調(diào)遞增區(qū)間為$(0,+\infty)$。16.答案：C解析：與第4題相同，函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$的圖像與第4題相同，故選C。17.答案：$a_3=4$解析：與第5題相同，由等比數(shù)列的性質(zhì)，$a_5=a_1q^4$，代入$a_1=2$，$a_5=32$，解得$q=2$，因此$a_3=a_1q^2=2^2=4$。18.答案：$x=1$或$x=2$解析：與第6題相同，函數(shù)$f(x)=\lnx+2x-3$的圖像與第6題相同，故選B。19.答案：$a_3=9$解析：與第5題相同，由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_5=a_1+4d$，代入$a_1=3$，$a_5=15$，解得$d=3$，因此$a_3=a_1+2d=3+2\times3=9$。20.答案：$(0,+\infty)$解析：與第6題相同，函數(shù)$f(x)=\lnx+2x-3$的圖像與第6題相同，故選B。四、解答題21.答案：值域為$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$解析：由$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，可得$f(x)=x+2$，當$x>2$時，$f(x)>1$；當$x<2$時，$f(x)<1$，故值域為$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$。22.答案：證明如下：解析：由$a_{n+1}=a_n^2-2a_n+1=(a_n-1)^2$，可得$a_2=(a_1-1)^2$，$a_3=(a_2-1)^2=(a_1-1)^4$，以此類推，可得$a_n=(a_1-1)^{2^{n-1}}$，當$a_1=1$時，$a_n=2^{2^{n-1}}-1$。23.答案：最大值為$2$，最小值為$-1$解析：求導得$f'(x)=\frac{1}{x}+2$，令$f'(x)=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，由于$f''(x)=-\frac{1}{x^2}$，當$x=\frac{1}{2}$時，$f''(\frac{1}{2})<0$，故$x=\frac{1}{2}$為極大值點，$f(\frac{1}{2})=2$，故最大值為$2$；又因為$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，故最小值為$f(1)=-1$。五、證明題24