中考數(shù)學(xué)幾何模型專題復(fù)習(xí)資料引言幾何是中考數(shù)學(xué)的核心板塊之一，占比約40%（各地區(qū)略有差異）。其考查重點(diǎn)不僅是定理的記憶，更在于圖形結(jié)構(gòu)的識(shí)別與模型的應(yīng)用。通過(guò)總結(jié)常見(jiàn)幾何模型，考生可快速定位解題思路，縮短思考時(shí)間，提升解題效率。本資料聚焦中考高頻幾何模型，涵蓋全等三角形、相似三角形、四邊形、圓四大類，每類模型均從特征、結(jié)論、例題、技巧四方面展開(kāi)，兼顧專業(yè)性與實(shí)用性。一、全等三角形模型全等三角形是幾何證明的“基石”，中考中常與旋轉(zhuǎn)、折疊結(jié)合考查。核心模型包括手拉手模型、一線三等角模型（全等型）。（一）手拉手模型1.模型特征兩個(gè)等腰三角形有公共頂點(diǎn)（手拉手的“轉(zhuǎn)軸”）；頂角相等（如∠BAC=∠DAE）；兩腰對(duì)應(yīng)重合或旋轉(zhuǎn)后重合（如AB=AC，AD=AE）。2.核心結(jié)論旋轉(zhuǎn)全等：△ABD≌△ACE（SAS，兩邊及其夾角相等）；對(duì)應(yīng)邊相等：BD=CE；對(duì)應(yīng)邊夾角等于頂角：BD與CE的夾角=∠BAC（或其補(bǔ)角）。3.經(jīng)典例題例1如圖，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD、CE。求證：BD=CE且BD⊥CE。證明：由等腰直角三角形性質(zhì)，AB=AC，AD=AE；∠BAC=∠DAE=90°，故∠BAD=∠CAE（均為∠BAE的余角）；在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，故△ABD≌△ACE（SAS）；因此BD=CE，∠ABD=∠ACE；設(shè)BD與CE交于點(diǎn)F，∠ABD+∠CBD=45°，則∠ACE+∠CBD=45°，故∠BFC=180°-45°-45°=90°，即BD⊥CE。4.解題技巧識(shí)別關(guān)鍵：找“共頂點(diǎn)、等腰、頂角相等”的特征；輔助線構(gòu)造：若圖形不完整，可補(bǔ)全等腰三角形（如延長(zhǎng)邊構(gòu)造等腰）；應(yīng)用結(jié)論：優(yōu)先考慮旋轉(zhuǎn)全等，再利用全等性質(zhì)推導(dǎo)邊、角關(guān)系。2023年某省中考第18題（6分）：以等邊三角形為背景，考查手拉手模型的全等與線段垂直關(guān)系，解題思路與例1完全一致。（二）一線三等角模型（全等型）1.模型特征一條直線上有三個(gè)相等的角（如∠ADC=∠BEC=∠ACB=90°）；角的兩邊分別形成兩個(gè)三角形（如△ADC和△CEB）；通常為直角（等腰直角三角形背景）或特殊角（如60°）。2.核心結(jié)論全等三角形：△ADC≌△CEB（AAS或ASA）；對(duì)應(yīng)邊相等：AD=CE，DC=EB。3.經(jīng)典例題例2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,3)，B(4,0)，點(diǎn)C在x軸上，且∠ACB=90°，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。解：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0)，則OC=|x|，BC=|4-x|；由∠ACB=90°，得△AOC∽△COB？不，此處應(yīng)為一線三等角全等：過(guò)A作AD⊥x軸于D（D與O重合），過(guò)B作BE⊥x軸于E（E與B重合），則∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°；∴∠DAC=∠ECB（均為∠ACD的余角）；∴△ADC≌△CEB（AAS）；∴AD=CE，DC=EB；AD=3（A點(diǎn)縱坐標(biāo)），CE=|x-4|，DC=|x|，EB=0？不對(duì)，修正：正確做法是勾股定理：AC2+BC2=AB2；AC2=x2+32，BC2=(4-x)2+02，AB2=42+32=25；∴x2+9+(4-x)2=25；展開(kāi)得x2+9+16-8x+x2=25；合并得2x2-8x=0；解得x=0或x=4（舍去，因C與A、B不重合）；哦，原題有誤，應(yīng)為“點(diǎn)C在x軸上，且∠ACB=90°”，正確解為x=0或x=4，但通?？肌包c(diǎn)C在x軸上，且∠ACB=90°”，答案為(0,0)或(4,0)？不，其實(shí)更常見(jiàn)的是一線三等角在坐標(biāo)系中的應(yīng)用，比如：例2（修正）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,2)，B(3,0)，點(diǎn)C在x軸上方，且∠ACB=90°，∠ABC=45°，求C點(diǎn)坐標(biāo)。解：由∠ABC=45°，∠ACB=90°，得△ABC為等腰直角三角形，BC=AC；過(guò)C作CD⊥x軸于D，CE⊥y軸于E，則∠ADC=∠CEB=90°；∠ACB=90°，故∠ACD=∠BCE（均為∠DCE的余角）；∴△ADC≌△BEC（AAS）；∴AD=BE，DC=EC；設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b)，則DC=b，EC=a，AD=2-b，BE=3-a；∴b=a，2-b=3-a；解得a=b=1；∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)。4.解題技巧識(shí)別關(guān)鍵：找“同一直線上三個(gè)直角（或相等角）”；輔助線構(gòu)造：過(guò)頂點(diǎn)作垂線，構(gòu)造全等三角形；應(yīng)用結(jié)論：優(yōu)先找角的關(guān)系（余角或補(bǔ)角），再證全等。二、相似三角形模型相似三角形是中考幾何的“升級(jí)版本”，常與比例線段、函數(shù)結(jié)合考查。核心模型包括A字模型、8字模型、母子型相似。（一）A字模型（正向/反向）1.模型特征有公共角（如∠A）；另一邊平行（如DE∥BC）；圖形形如“A”字（正向）或倒“A”字（反向）。2.核心結(jié)論相似：△ADE∽△ABC（AA，兩角對(duì)應(yīng)相等）；對(duì)應(yīng)邊比例：AD/AB=AE/AC=DE/BC；面積比：S△ADE/S△ABC=(AD/AB)2。3.經(jīng)典例題例3如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，BC=10，求DE的長(zhǎng)度。解：由DE∥BC，得△ADE∽△ABC（A字模型）；AD/AB=AD/(AD+DB)=2/5；∴DE/BC=2/5，即DE=10×2/5=4。4.解題技巧識(shí)別關(guān)鍵：找“公共角+平行線”；比例應(yīng)用：優(yōu)先計(jì)算對(duì)應(yīng)邊的比例（如AD/AB），再求未知線段；變形處理：若沒(méi)有平行線，可構(gòu)造平行線（如作中位線）。（二）8字模型（交叉型）1.模型特征有對(duì)頂角（如∠AOB=∠COD）；兩邊平行（如AB∥CD）；圖形形如“8”字（交叉型）。2.核心結(jié)論相似：△AOB∽△COD（AA，兩角對(duì)應(yīng)相等）；對(duì)應(yīng)邊比例：AO/CO=BO/DO=AB/CD；面積比：S△AOB/S△COD=(AB/CD)2。3.經(jīng)典例題例4如圖，AB∥CD，OA=2，OC=3，AB=4，求CD的長(zhǎng)度。解：由AB∥CD，得△AOB∽△COD（8字模型）；AO/CO=AB/CD，即2/3=4/CD；解得CD=6。4.解題技巧識(shí)別關(guān)鍵：找“對(duì)頂角+平行線”；比例應(yīng)用：交叉線段的比例等于平行邊的比例；拓展：若AB與CD不平行，可通過(guò)“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等”證明相似（反8字模型）。（三）母子型相似（直角三角形斜邊上的高）1.模型特征直角三角形（如Rt△ABC，∠C=90°）；斜邊上的高（如CD⊥AB）；分割成兩個(gè)小直角三角形（△ACD、△BCD）。2.核心結(jié)論三重相似：△ABC∽△ACD∽△BCD；比例關(guān)系：AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，CD2=AD·BD（射影定理）；面積關(guān)系：S△ABC=1/2AC·BC=1/2AB·CD。3.經(jīng)典例題例5如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，AC=6，BC=8，求CD的長(zhǎng)度。解：由勾股定理得AB=√(62+82)=10；由射影定理得CD2=AD·BD；又AD=AB-BD=10-BD，設(shè)BD=x，則AD=10-x；∴CD2=x(10-x)；同時(shí)，由面積公式得CD=(AC·BC)/AB=(6×8)/10=4.8；驗(yàn)證：x(10-x)=(82)/10？不，直接用面積公式更快捷：CD=(AC·BC)/AB=48/10=24/5=4.8。4.解題技巧識(shí)別關(guān)鍵：找“直角三角形+斜邊上的高”；優(yōu)先應(yīng)用：射影定理（快速求線段長(zhǎng)度）；拓展：非直角三角形的母子型相似（如等腰三角形底邊上的高）。三、四邊形模型四邊形是中考幾何的“綜合載體”，常與折疊、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱結(jié)合考查。核心模型包括矩形折疊模型、菱形對(duì)角線模型、正方形旋轉(zhuǎn)模型。（一）矩形折疊模型1.模型特征矩形（對(duì)邊相等、四角直角）；折疊（軸對(duì)稱，折痕為對(duì)稱軸）；頂點(diǎn)落在對(duì)邊或內(nèi)部（如點(diǎn)A折疊后落在點(diǎn)C處）。2.核心結(jié)論折疊后對(duì)應(yīng)邊相等（如AE=A'E）；對(duì)應(yīng)角相等（如∠A=∠A'）；折痕是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線（如折痕EF是AC的垂直平分線）。3.經(jīng)典例題例6如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，將點(diǎn)A折疊至點(diǎn)C，求折痕EF的長(zhǎng)度。解：設(shè)折痕EF與AC交于點(diǎn)O，則O是AC中點(diǎn)（折疊的性質(zhì)）；由勾股定理得AC=√(62+82)=10，故AO=5；設(shè)AE=x，則CE=x（折疊后A'E=AE），BE=6-x；在Rt△BCE中，CE2=BE2+BC2？不對(duì)，修正：正確做法是坐標(biāo)法：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，建立坐標(biāo)系；則A(0,0)，B(6,0)，C(6,8)，D(0,8)；折疊后A(0,0)落在C(6,8)，故折痕EF是AC的垂直平分線；AC的中點(diǎn)O坐標(biāo)為(3,4)，AC的斜率為8/6=4/3，故EF的斜率為-3/4；EF的方程為：y-4=-3/4(x-3)；求EF與矩形邊的交點(diǎn)：與AD邊（x=0）交于E：代入得y=4+9/4=25/4，故E(0,25/4)；與BC邊（x=6）交于F：代入得y=4-3/4×3=7/4，故F(6,7/4)；計(jì)算EF的長(zhǎng)度：EF=√[(6-0)2+(7/4-25/4)2]=√[36+(-18/4)2]=√[36+(9/2)2]=√[36+81/4]=√[(144+81)/4]=√[225/4]=15/2=7.5。4.解題技巧識(shí)別關(guān)鍵：找“矩形+折疊”；核心工具：坐標(biāo)法（將圖形轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，利用方程求解）；關(guān)鍵步驟：1.設(shè)坐標(biāo)：建立平面直角坐標(biāo)系；2.求對(duì)應(yīng)點(diǎn)：折疊后點(diǎn)的坐標(biāo)；3.求折痕：垂直平分線方程；4.求交點(diǎn)：折痕與矩形邊的交點(diǎn)；5.計(jì)算長(zhǎng)度：勾股定理。2022年某省中考第20題（8分）：矩形折疊后頂點(diǎn)落在對(duì)邊上，求折痕長(zhǎng)度，解題步驟與例6完全一致。（二）菱形對(duì)角線模型1.模型特征菱形（四邊相等、對(duì)角線互相垂直平分）；對(duì)角線（將菱形分成四個(gè)直角三角形）。2.核心結(jié)論對(duì)角線性質(zhì)：AC⊥BD，OA=OC=1/2AC，OB=OD=1/2BD；邊長(zhǎng)與對(duì)角線關(guān)系：AB2=OA2+OB2（勾股定理）；面積：S=1/2AC·BD（對(duì)角線乘積的一半）。3.經(jīng)典例題例7如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC=6，BD=8，求菱形的邊長(zhǎng)和面積。解：邊長(zhǎng)AB=√[(AC/2)2+(BD/2)2]=√[(3)2+(4)2]=5；面積S=1/2×6×8=24。4.解題技巧識(shí)別關(guān)鍵：找“菱形+對(duì)角線”；優(yōu)先應(yīng)用：勾股定理（求邊長(zhǎng)）、對(duì)角線乘積的一半（求面積）；拓展：菱形的高=面積/邊長(zhǎng)（如例7中高=24/5=4.8）。（三）正方形旋轉(zhuǎn)模型1.模型特征正方形（四邊相等、四角直角、對(duì)角線相等且垂直平分）；旋轉(zhuǎn)（繞中心或頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°）；旋轉(zhuǎn)后頂點(diǎn)落在另一個(gè)頂點(diǎn)位置（如正方形ABCD繞中心O旋轉(zhuǎn)90°后與原正方形重合）。2.核心結(jié)論旋轉(zhuǎn)全等：旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形全等；對(duì)應(yīng)邊夾角=旋轉(zhuǎn)角（如90°）；面積不變：旋轉(zhuǎn)后面積與原面積相等。3.經(jīng)典例題例8如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E是BC邊的中點(diǎn)，將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADF，求DF的長(zhǎng)度。解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，△ABE≌△ADF；∴DF=BE；E是BC中點(diǎn)，BC=2，故BE=1；∴DF=1。4.解題技巧識(shí)別關(guān)鍵：找“正方形+旋轉(zhuǎn)”；優(yōu)先應(yīng)用：旋轉(zhuǎn)全等（對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）；拓展：正方形繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后，對(duì)應(yīng)邊垂直（如例8中BE⊥DF）。四、圓的幾何模型圓是中考幾何的“難點(diǎn)”，常與切線、圓周角、圓冪定理結(jié)合考查。核心模型包括切線模型、圓周角定理模型、圓冪定理模型。（一）切線模型1.模型特征圓（⊙O）；切線（直線l與⊙O相切于點(diǎn)P）；半徑（OP）。2.核心結(jié)論切線性質(zhì)：OP⊥l（半徑與切線垂直）；切線判定：過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是切線（如l過(guò)P點(diǎn)且OP⊥l，則l是⊙O的切線）。3.經(jīng)典例題例9如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，E是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且EA=EC，求證：EA是⊙O的切線。證明：連接OC（切線判定的關(guān)鍵：連半徑）；∵EA=EC，∴∠EAC=∠ECA（等腰三角形性質(zhì)）；∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA（等腰三角形性質(zhì)）；∴∠EAC+∠OAC=∠ECA+∠OCA，即∠EAO=∠ECO；∵CD⊥AB，∴∠ECO=90°（CD延長(zhǎng)線與OC的夾角）；∴∠EAO=90°，即EA⊥OA；∵OA是⊙O的半徑，且EA過(guò)A點(diǎn)；∴EA是⊙O的切線（切線判定定理）。4.解題技巧識(shí)別關(guān)鍵：找“圓+切線”；切線性質(zhì)：見(jiàn)切線，連半徑，證垂直（如例9中連OC，證EA⊥OA）；切線判定：作垂直，證半徑（如過(guò)點(diǎn)P作l⊥OP，證OP是半徑，則l是切線）；切線長(zhǎng)公式：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長(zhǎng)相等（如PA=PB，P為圓外一點(diǎn)）。（二）圓周角定理模型1.模型特征圓（⊙O）；?。ㄈ缁B）；圓周角（∠ACB，頂點(diǎn)C在圓上）；圓心角（∠AOB，頂點(diǎn)O在圓心）。2.核心結(jié)論圓周角=1/2圓心角（∠ACB=1/2∠AOB）；同弧所對(duì)的圓周角相等（∠ACB=∠ADB）；直徑所對(duì)的圓周角=90°（∠ACB=90°，AB為直徑）。3.經(jīng)典例題例10如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠A=30°，求∠B的度數(shù)。解：AB是直徑，故∠ACB=90°（直徑所對(duì)的圓周角=90°）；在Rt△ABC中，∠A=30°，故∠B=60°。4.解題技巧識(shí)別關(guān)鍵：找“弧+圓周角+圓心角”；優(yōu)先應(yīng)用：直徑所對(duì)的圓周角=90°（快速構(gòu)造直角三角形）；拓展：半圓所對(duì)的圓周角=90°（與直徑同理）。（三）圓冪定理模型1.模型特征圓（⊙O）；割線（如PAB，P為圓外一點(diǎn)，AB為圓內(nèi)弦）；切線（如PT，T為切點(diǎn)）。2.核心結(jié)論切割線定理：PT2=PA·PB（PT為切線，PAB為割線）；相交弦定理：PA·PB=PC·PD（AB、CD為圓內(nèi)相交弦，交點(diǎn)為P）；割線定理：PA·PB=PC·PD（PAB、PCD為圓外兩條割線）。3.經(jīng)典例題例11如圖，PT是⊙O的切線，T為切點(diǎn)，PAB是⊙O的割線，PA=2，AB=3，求PT的長(zhǎng)度。解：由切割線定理得PT2=PA·PB；PB=PA+AB=2+3=5；∴PT2=2×5=10；解得PT=√10（舍去負(fù)根）。4.解題技巧識(shí)別