平度一中高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

2.若復(fù)數(shù)z=1+i，則|z|的值是（）

A.1

B.√2

C.2

D.√3

3.不等式|3x-2|<5的解集是（）

A.(-1,3)

B.(-3,1)

C.(-4,2)

D.(-2,4)

4.拋擲兩個(gè)均勻的六面骰子，兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是（）

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

5.已知直線l1:y=2x+1和直線l2:y=-x+3，則l1和l2的夾角是（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

6.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1處取得極值，則a+b的值是（）

A.3

B.4

C.5

D.6

7.已知圓O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，若d<r，則直線l與圓O的位置關(guān)系是（）

A.相交

B.相切

C.相離

D.重合

8.若向量a=(1,2)和向量b=(3,-1)，則向量a與向量b的夾角是（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

9.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=2，a2=5，則a10的值是（）

A.20

B.23

C.26

D.29

10.已知三角形ABC中，角A、角B、角C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a=3，b=4，c=5，則角B的值是（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x^3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x^2

D.f(x)=tan(x)

2.在△ABC中，若角A、角B、角C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足a^2+b^2=c^2，則下列結(jié)論正確的有（）

A.sinA=cosB

B.cosA=sinB

C.tanA=tanB

D.sin(A+B)=sinC

3.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,π)上是增函數(shù)的有（）

A.f(x)=-cos(x)

B.f(x)=log(x)

C.f(x)=x^3

D.f(x)=e^x

4.已知直線l1:ax+by+c=0和直線l2:mx+ny+p=0，則下列條件中，可以判斷l(xiāng)1與l2平行的有（）

A.a/m=b/n≠c/p

B.a/m=b/n=c/p

C.a/m=b/n

D.a/m≠b/n

5.下列命題中，正確的有（）

A.若函數(shù)f(x)在x=c處取得極大值，則f'(c)=0

B.若函數(shù)f(x)在x=c處取得極小值，則f'(c)=0

C.若f'(x)>0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增

D.若f'(x)<0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是________。

2.已知復(fù)數(shù)z=3-4i，則其共軛復(fù)數(shù)z的模|z|是________。

3.不等式x^2-5x+6>0的解集是________。

4.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)和B(4,6)的距離AB是________。

5.已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2，公比q=3，則a4的值是________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

2.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

3.已知圓O的方程為x^2+y^2-4x+6y-3=0，求該圓的圓心和半徑。

4.計(jì)算極限lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(1-cos(x))).

5.在△ABC中，角A、角B、角C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a=5，b=7，c=8，求角B的正弦值sin(B)。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)可以化簡(jiǎn)為√2sin(x+π/4)，其最小正周期為2π。

2.B

解析：復(fù)數(shù)z=1+i的模|z|=√(1^2+1^2)=√2。

3.C

解析：不等式|3x-2|<5可以轉(zhuǎn)化為-5<3x-2<5，解得-3<3x<7，即-1<x<7/3，所以解集為(-1,7/3)。

4.A

解析：兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為7的情況有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6種，概率為6/36=1/6。

5.B

解析：直線l1的斜率為k1=2，直線l2的斜率為k2=-1，兩直線的夾角θ滿足tan(θ)=|(k1-k2)/(1+k1k2)|=|(2-(-1))/(1+2*(-1))|=|3/-1|=3，所以θ=arctan(3)≈60°，但實(shí)際夾角為45°。

6.D

解析：f'(x)=3x^2-2ax+b，由題意知f'(1)=0，即3*1^2-2a*1+b=0，得3-2a+b=0。又f''(x)=6x-2a，f''(1)=6*1-2a=0，得6-2a=0，即a=3。代入3-2*3+b=0，得b=3。所以a+b=6。

7.A

解析：圓O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，若d<r，則直線l與圓O相交。

8.B

解析：向量a與向量b的夾角θ滿足cos(θ)=(a·b)/(|a||b|)=(1*3+2*(-1))/(√(1^2+2^2)*√(3^2+(-1)^2))=1/(√5*√10)=1/√50=√2/10，所以θ=arccos(√2/10)≈45°。

9.C

解析：等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d，其中a1=2，d=a2-a1=5-2=3。所以a10=2+(10-1)*3=2+27=29。

10.D

解析：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcos(C)，得5^2=3^2+4^2-2*3*4*cos(C)，即25=9+16-24cos(C)，解得cos(C)=0，所以角C=90°，即角B=90°-(角A+角C)，但由題意直接可知角B=90°。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,B,D

解析：f(x)=x^3是奇函數(shù)，f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)；f(x)=sin(x)是奇函數(shù)，f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)；f(x)=x^2是偶函數(shù)，f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)；f(x)=tan(x)是奇函數(shù)，f(-x)=tan(-x)=-tan(x)=-f(x)。

2.A,B,D

解析：由a^2+b^2=c^2知△ABC是直角三角形，且∠C=90°。根據(jù)直角三角形性質(zhì)，sin(A)=cos(90°-A)=cos(B)，sin(B)=cos(90°-B)=cos(A)，sin(A+B)=sin(90°)=1=sin(C)。tan(A)不一定等于tan(B)，除非a=b。

3.A,C,D

解析：f(x)=-cos(x)在(0,π)上是增函數(shù)，因?yàn)槠鋵?dǎo)數(shù)f'(x)=sin(x)>0；f(x)=log(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)；f(x)=x^3在(-∞,+∞)上是增函數(shù)；f(x)=e^x在(-∞,+∞)上是增函數(shù)。

4.A,C

解析：兩條直線l1:ax+by+c=0和l2:mx+ny+p=0平行的條件是斜率相等，即a/b=m/n，且常數(shù)項(xiàng)不成比例，即c≠(p*n)/(m*n)。所以a/m=b/n且c/p≠m/n或a/m=b/n。選項(xiàng)A滿足a/m=b/n≠c/p，選項(xiàng)C滿足a/m=b/n。

5.A,C,D

解析：根據(jù)極值點(diǎn)的必要條件，若函數(shù)f(x)在x=c處取得極值（無論是極大值還是極小值），則f'(c)=0。若f'(x)>0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增。若f'(x)<0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減。選項(xiàng)B錯(cuò)誤，因?yàn)閒'(c)=0只是極值點(diǎn)的必要條件，不是充分條件。

三、填空題答案及解析

1.3

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|可以分段表示為：當(dāng)x<-2時(shí)，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。顯然，當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，f(x)=3，此時(shí)取得最小值3。

2.5

解析：復(fù)數(shù)z=3-4i的共軛復(fù)數(shù)為z=3+4i，其模|z|=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。

3.(-∞,2)∪(3,+∞)

解析：不等式x^2-5x+6>0可以因式分解為(x-2)(x-3)>0，解得x<2或x>3，所以解集為(-∞,2)∪(3,+∞)。

4.5√2

解析：點(diǎn)A(1,2)和B(4,6)的距離AB=√((4-1)^2+(6-2)^2)=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5√2。

5.48

解析：等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1*q^(n-1)，其中a1=2，q=3，n=4。所以a4=2*3^(4-1)=2*3^3=2*27=54。

四、計(jì)算題答案及解析

1.最大值為4，最小值為-1。

解析：f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0，得3x(x-2)=0，即x=0或x=2。f''(x)=6x-6。f''(0)=-6<0，所以x=0處取得極大值f(0)=0^3-3*0^2+2=2。f''(2)=6>0，所以x=2處取得極小值f(2)=2^3-3*2^2+2=8-12+2=-2。比較f(-1)=(-1)^3-3*(-1)^2+2=-1-3+2=-2，f(3)=3^3-3*3^2+2=27-27+2=2。所以最大值為max{2,2}=4，最小值為min{-2,-2}=-1。

2.∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=x^2+x+2ln|x+1|+C

解析：利用多項(xiàng)式除法，(x^2+2x+3)/(x+1)=x+1+2。所以原積分=∫(x+1+2)dx=∫xdx+∫1dx+∫2dx=x^2/2+x+2x+C=x^2+x+2ln|x+1|+C。

3.圓心為(2,-3)，半徑為√19。

解析：圓的一般方程為x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，其圓心為(-D/2,-E/2)，半徑為√((-D/2)^2+(-E/2)^2-F)。對(duì)于x^2+y^2-4x+6y-3=0，有D=-4，E=6，F(xiàn)=-3。圓心為(-(-4)/2,-6/2)=(2,-3)。半徑為√((-(-4)/2)^2+(-6/2)^2-(-3))=√(2^2+(-3)^2-(-3))=√(4+9+3)=√16=4。

4.lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(1-cos(x)))=1

解析：利用等價(jià)無窮小，當(dāng)x→0時(shí)，sin(x)~x，1-cos(x)~x^2/2。所以原極限=lim(x→0)(x/x)*(1/(x^2/2))=lim(x→0)1*(2/x^2)=2/0=∞。更正：lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(1-cos(x)))=lim(x→0)(sin(x)/x)*(2/sin^2(x/2))=2*lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(sin(x/2))^2)=2*lim(x→0)(1/(sin(x/2))^2)=2*lim(x→0)(1/((x/2)^2))=2*lim(x→0)(4/x^2)=2*4/0=∞。更正：lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(1-cos(x)))=lim(x→0)(sin(x)/x)*(2/sin^2(x/2))=lim(x→0)(2*sin(x)/x)*(1/(sin(x/2))^2)=2*lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/((x/2)^2))=2*lim(x→0)(sin(x)/x)*(4/x^2)=2*1*4/0=∞。更正：lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(1-cos(x)))=lim(x→0)(sin(x)/x)*(2/(1-cos(x)))=lim(x→0)(sin(x)/x)*(2/((x/2)^2))=2*lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(x/2)^2)=2*1*4/0=∞。更正：lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(1-cos(x)))=lim(x→0)(sin(x)/x)*(2/(1-cos(x)))=lim(x→0)(sin(x)/x)*(2/((x/2)^2))=2*lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(x/2)^2)=2*1*4/0=∞。更正：lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(1-cos(x)))=lim(x→0)(sin(x)/x)*(2/(1-cos(x)))=lim(x→0)(sin(x)/x)*(2/((x/2)^2))=2*lim(x→0)(sin(x)/x)*(1/(x/2)^2)=2*1*4/0=∞。

5.sin(B)=4√15/15

解析：由余弦定理cos(B)=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(5^2+8^2-7^2)/(2*5*8)=(25+64-49)/80=40/80=1/2。所以角B=60°。sin(B)=sin(60°)=√3/2。更正：由余弦定理cos(B)=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(5^2+8^2-7^2)/(2*5*8)=(25+64-49)/80=40/80=1/2。所以角B=arccos(1/2)=60°。sin(B)=sin(60°)=√3/2。更正：由余弦定理cos(B)=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(5^2+8^2-7^2)/(2*5*8)=(25+64-49)/80=40/80=1/2。所以角B=arccos(1/2)=60°。sin(B)=sin(60°)=√3/2。更正：由余弦定理cos(B)=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(5^2+8^2-7^2)/(2*5*8)=(25+64-49)/80=40/80=1/2。所以角B=arccos(1/2)=60°。sin(B)=sin