10.2

用樣本估計(jì)總體第十章2026高中總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI內(nèi)容索引0102第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)【知識(shí)篩查】

1.畫頻率分布直方圖的步驟(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差).(2)決定組距與組數(shù).(3)將數(shù)據(jù)分組.(4)列頻率分布表.(5)畫頻率分布直方圖.2.百分位數(shù)(1)第p百分位數(shù)的定義:一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值,且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.(2)求第p百分位數(shù)的步驟:第1步,按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步,計(jì)算i=n×p%.第3步,若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).(3)常用的分位數(shù)有第25百分位數(shù),第50百分位數(shù),第75百分位數(shù),這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份,因此稱為四分位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等,第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等.3.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)

平均數(shù)和中位數(shù)在頻率分布直方圖中的關(guān)系,有以下三種分布形態(tài).(1)(2)(3)一般來說,對(duì)于一個(gè)單峰的頻率分布直方圖來說,如果直方圖的形狀是對(duì)稱的(如圖(1)),那么平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多;如果直方圖在右邊“拖尾”(如圖(2)),那么平均數(shù)大于中位數(shù);如果直方圖在左邊“拖尾”(如圖(3)),那么平均數(shù)小于中位數(shù).問題思考在頻率分布直方圖中,如何確定中位數(shù)?在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等.溫馨提示1.方差、標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度,方差、標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;方差、標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.2.在實(shí)際問題中,總體平均數(shù)、總體方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差都是未知的,一般用樣本估計(jì)總體.在隨機(jī)抽樣中,樣本平均數(shù)、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差依賴于樣本的選取,具有隨機(jī)性.【知識(shí)鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).(

)(2)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個(gè)或多個(gè),中位數(shù)也具有相同的結(jié)論.(

)(3)上四分位數(shù)就是第25百分位數(shù).(

)(4)在頻率分布直方圖中,縱坐標(biāo)表示的是頻率.(

)(5)在頻率分布直方圖中,眾數(shù)的左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積之和相等.(

)√××××2.已知一組數(shù)據(jù)為6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36,則這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為(

)A.47 B.49

C.7

D.153.若數(shù)據(jù)x1,x2,x3,…,xn的平均數(shù)

,方差s2=2,則數(shù)據(jù)3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的平均數(shù)和方差分別為(

)A.5,2 B.16,2

C.16,18

D.16,9D將數(shù)據(jù)由小到大排列為6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49,共11個(gè)數(shù)據(jù).下四分位數(shù)即第25百分位數(shù),由11×25%=2.75,可知這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為第3個(gè)數(shù)據(jù)15.C由題意可知數(shù)據(jù)3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的平均數(shù)為3×5+1=16,方差為32×2=18.4.(多選)已知某滑冰比賽有9位評(píng)委進(jìn)行評(píng)分,首先這9位評(píng)委給出某選手的原始評(píng)分,然后評(píng)定該選手的得分時(shí),從9個(gè)原始評(píng)分中去掉一個(gè)最高分、一個(gè)最低分,得到7個(gè)有效評(píng)分,則7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比,可能變化的數(shù)字特征是(

)A.中位數(shù) B.平均數(shù) C.方差

D.極差BCD從9個(gè)原始評(píng)分中去掉一個(gè)最高分、一個(gè)最低分,得到7個(gè)有效評(píng)分,其中位數(shù)一定不變,其他數(shù)字特征均可能發(fā)生變化.5.若已知某組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示,則估計(jì)該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為

,中位數(shù)為

.

15.5由于眾數(shù)是樣本中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù),故由直方圖可估計(jì)為15.5.中位數(shù)是樣本中的中間數(shù)據(jù),由于樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間[13,14)內(nèi)的頻率為0.02,在區(qū)間[14,15)內(nèi)的頻率為0.18,在區(qū)間[15,16)內(nèi)的頻率為0.36,0.02+0.18+0.36>0.5,所以中位數(shù)落在區(qū)間[15,16)內(nèi),設(shè)中位數(shù)為x,則0.02+0.18+(x-15)×0.36=0.5,得第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點(diǎn)1頻率分布直方圖及其應(yīng)用例1

從一批零件中抽取80個(gè),測(cè)量其直徑(單位:mm),將所得數(shù)據(jù)分為9組:[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下頻率分布直方圖,則在被抽取的零件中,直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)內(nèi)的個(gè)數(shù)為(

)

A.10 B.18

C.20

D.36B由頻率分布直方圖可知,直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)的頻率為(6.25+5.00)×0.02=0.225,故所求個(gè)數(shù)為0.225×80=18.故選B.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況,對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查,將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖:根據(jù)此頻率分布直方圖,下面結(jié)論不正確的是(

)A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶,其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間C該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為(0.02+0.04)×1=6%,A正確;該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為(0.04+0.02+0.02+0.02)×1=10%,B正確;該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值約為0.02×3+0.04×4+0.1×5+0.14×6+0.2×7+0.2×8+0.1×9+0.1×10+0.04×11+0.02×12+0.02×13+0.02×14=7.68,C不正確;該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比率估計(jì)為(0.1+0.14+0.2+0.2)×1=64%,D正確.能力形成點(diǎn)2樣本的數(shù)字特征及其應(yīng)用例2

(1)(多選)已知某煤炭公司2023年1~10月份的煤炭生產(chǎn)量如下表所示.則下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)的結(jié)論正確的是(

)A.極差為12.5

B.平均數(shù)為24C.中位數(shù)為24

D.眾數(shù)為17.5ABD將數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為17.5,17.5,21,23,24,25,26,27,29,30,故極差為30-17.5=12.5,平均數(shù)為(2)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差為0.01,則數(shù)據(jù)10x1,10x2,…,10xn的方差為(

)A.0.01 B.0.1C.1 D.10C(3)甲、乙兩人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練,近期的五次測(cè)試成績(jī)得分統(tǒng)計(jì)情況如圖所示.

①分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差;②根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖和①中得出的結(jié)果,請(qǐng)對(duì)兩人的訓(xùn)練成績(jī)作出評(píng)價(jià).解

①由題圖可得甲、乙兩人五次測(cè)試的成績(jī)得分分別為甲:10,13,12,14,16;乙:13,14,12,12,14.從題中折線圖看,甲的成績(jī)基本呈上升狀態(tài),而乙的成績(jī)上下波動(dòng),可知甲的成績(jī)?cè)诓粩嗵岣?而乙的成績(jī)無明顯提高.解題心得1.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)及方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義(1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征,是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明地描述.(2)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢(shì),方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動(dòng)大小.2.平均數(shù)、方差的公式推廣:對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列,若這組數(shù)據(jù)丟失了其中的一個(gè)數(shù)據(jù),剩下的六個(gè)數(shù)據(jù)分別是2,2,4,2,5,10,則丟失的這個(gè)數(shù)據(jù)為

.

-11或3或17(2)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,得到如下頻數(shù)分布表.①作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;②估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);③根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定?解

①

②質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為

=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為s2